2024-2025學(xué)年浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：絕對值的化簡7大壓軸題（原題版）

絕對值的化簡

目錄

解題知識必備....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、根據(jù)數(shù)軸位置化簡絕對值................................................................2

類型二、根據(jù)字母取值范圍化簡求值..............................................................2

類型三、利用非負(fù)性化簡絕對值..................................................................2

類型四、定義新運(yùn)算的絕對值化簡................................................................2

類型五、絕對值方程.............................................................................3

類型六、分類討論化簡絕對值....................................................................3

類型七、幾何意義的絕對值化簡..................................................................4

壓軸能力測評....................................................................4

X解題知識必備8

1.絕對值的意義

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做。的絕對值，記作時.

2.絕對值的性質(zhì)

a,a>0

絕對值表示的是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故有非負(fù)性同NO,即：同=0,4=0.

-a,a<0

互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等.

3.絕對值與數(shù)的大小

1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù).

2）理解：絕對值是指距離原點(diǎn)的距離.

所以：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而??；兩個正數(shù)，絕對值大的大.

??壓軸題型講練”

類型一、根據(jù)數(shù)軸位置化簡絕對值

例1.如圖，將實(shí)數(shù)a、b表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是（）

---------1-------------1------1--------->

a0b

A.\a\=aB.\b\=—bC.\b-a\=b-aD.\a+b\=ab

變式有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+c|-|a-b|——

]_____?___?_______?______

ab0c

變式1-2.已知a、b、c的大致位置如圖所示:化簡|a+c|+|b-c|-|a-b|+2b.

baQc

類型二、根據(jù)字母取值范圍化簡求值

例2.已知9WaW10,3WbW4,代數(shù)式阿一可+—的最小值為.

變式2-1.若3<a<10,那么|3—a|+|a—10|=.

變式2-2.已知有理數(shù)a<—l,則化簡|a+1|+|1—可的結(jié)果是.

類型三、利用非負(fù)性化簡絕對值

例3.若a、b、c是整數(shù)，且|a++c|=1,則|a—c|=.

變式3-1.已知整數(shù)久、y、z滿足+，一刀尸=1，則|久一z|—|z—y|—|y-久|的值為.

變式3-2.己知m,n,p為有理數(shù)，若—n+p|=m+n+p,且n40,則+?i+p+4|—|—2—九|的

值為.

類型四、定義新運(yùn)算的絕對值化簡

例4.數(shù)形結(jié)合是解決一些數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，比如I/—冷1在數(shù)軸上表示數(shù)打，相對應(yīng)的點(diǎn)之間的

距離.現(xiàn)定義一種“H運(yùn)算”，對于若干個數(shù)，先將每兩個數(shù)作差，再將這些差的絕對值進(jìn)行求和.例如：對

-1,1,2進(jìn)行“H運(yùn)算”,得|—1—+1—2|+|1—2|=6.下列說法：

①對小，一1進(jìn)行““運(yùn)算”的結(jié)果是3,則小的值是一4；

②對九，-3,5進(jìn)行“H運(yùn)算”的結(jié)果是16,則n的取值范圍是一3<n<5；

③對a,a,b,c進(jìn)行““運(yùn)算”，化簡后的結(jié)果可能存在6種不同的表達(dá)式.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

變式4-1.在多項(xiàng)式a—6—c—d（a<6<c<d<0）中，先將其中任意兩個減號變?yōu)榧犹?，再對相鄰的?/p>

個字母間任意添加絕對值符號（不存在添加雙重絕對值的情況），然后進(jìn)行去絕對值運(yùn)算，稱此為“雙加絕

對操作”，例如：|a—6|+c+d=—a+b+c+d,|a+—|c+d|=-a—b+c+d…下列說法中正確的

有（）

①存在“雙加絕對操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②存在“雙加絕對操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

③所有“雙加絕對操作”共有7種不同的結(jié)果.

A.0個B.1個C.2個D.3個

變式4-2.在多項(xiàng)式a—b+c—d+e（其中a>b>c>d>e>0）中，任意添加絕對值符號且絕對值符號

內(nèi)至少包含兩項(xiàng)（不可絕對值符號中含有絕對值符號），添加絕對值符號后仍只有加減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去

絕對值符號運(yùn)算，稱此運(yùn)算為“對絕操作”.\a-b+c\+\-d+e\=a-b+c+d-e,a-b+\c-d\

+e=a—b+c—d+e...,下列說法正確的個數(shù)是（）

①存在“對絕操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

②共有8種“對絕操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

③所有的“對絕操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果.

A.0B.1C.2D.3

類型五、絕對值方程

例5.適合|3a+7|+|3a—5|=12的整數(shù)a的值有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

變式5-1.若方程|x+2|+|—x—4|=爪無解，則加的取值范圍是（）

A.m>2B.m>2C.—4<m<—2D.m<2

變式5-2.若關(guān)于光的方程|x—3|—|x—5|=a有唯一解，貝b的取值范圍是.

變式5-3.已知a,b,c都為整數(shù)，且|a—b\2012+|c-a|2013=1,則方程因—x+\a—b\+\a-c\+\b—c\

的解為.

類型六、分類討論化簡絕對值

例6.若1<%<2,求代數(shù)式號―9+區(qū)=

變式6-1.已知a為任意有理數(shù)，則|a+3|+3|a+5|+2|a—7|的最小值為

變式6-2.若協(xié)40,a+b^0,則應(yīng)+培+怨+怨1=

ababa+b-----

類型七、幾何意義的絕對值化簡

例7.數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的

內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).我們知道，|可可以理解為|a—0|,它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離，這是絕對值的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個點(diǎn)4、B,分別用數(shù)a、b表示,那么4B兩點(diǎn)之

間的距離為4B=|a—b|,反過來，式子|a—川的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距

離.

若數(shù)軸上點(diǎn)4表示數(shù)a,請回答下列問題：

(1)如果|可=5,那么a的值是；

(2)如果|a-3|=5,那么a的值是；

(3)滿足|a+2|+|a-3|=5整數(shù)a有個；

(4)如果|a+2|+|a—3|=8,那么a的值是；

(5)|a+11+|a+21+|a+31+\a+4|+|a+51的最小值是.

變式7-1.同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所

對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

試探索：

(1)求|5—(—2)|=.

(2)找出所有符合條件的整數(shù)均使得|久+5|+|x—2|=7這樣的整數(shù)是.

(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)式，|x+3|+|x—6|是否有最小值？如果有寫出最小值(請寫清楚過程),

如果沒有說明理由.

變式7-2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：定義：點(diǎn)4、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4B兩點(diǎn)之間的距離表示為力B,在

數(shù)軸上力、B兩點(diǎn)之間的距離AB=\a-b\

AB

—1--------1-------------------L——

a0b

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示1和一4的兩點(diǎn)之間的距離是；

(2)若無表示一個有理數(shù)，則|久一2|+|%+3|的最小值=.

(3)若x表示一個有理數(shù)，且阿+1|+—3|=8,則滿足條件的久的值為；

X壓軸能力測評8

1.在多項(xiàng)式a+b+c+d中添加1個絕對值符號，使得絕對值符號內(nèi)含有k(2WkW4)項(xiàng)，并把絕對值符

號內(nèi)最右邊項(xiàng)的“+”改為“一”，稱此為“添加操作”，最后將絕對值符號打開并化簡，得到的結(jié)果記為r.例

如：將原多項(xiàng)式添加絕對值符號后，可得|a+b|+c+d,此時k=2.再將“+6”改為“一6"，可得|a—b|

+c+d.于是同一種“添加操作”得到的T有2種可能的情況：T=a-6+c+d或7=-a+b+c+d.下列

說法：①若k=4,T=0,則￡/=口+6+3②共有3種“添加操作”，可能得到？=￡1+6—c+d；③有且僅

有一個人值，使7中可能有2個“一”，其中正確的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.在a,b,c,d,e,f,g,八中，每個字母的值恰好是一3,0,1這三個數(shù)值中的一個，若

a+b+c+d+e+f+g+h=-2,則|可+網(wǎng)+|c|+|d|+\e\+|/|+\g\+\h\=.

3.己知回+a=0*=—l,|c|=c,化簡：|a+2b\—\c-a\+\—b-a|=.

4.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：|b|—|c+b|+|b—a|=.

]I]I

cb0a

5.閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：

x(%>0)

0；(x=0)現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，

{—%,(%<0)

如化簡代數(shù)式|x+1|+比一2|時,可令X+1=0和%-2=0,分別求得久=-l,x=2(稱一1,2分別為+1|

與|久一2|的零點(diǎn)值).在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x=-1和，x=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如

下3種情況：(1)久<—1(2)-1<%<2(3)%>2.從而化簡代數(shù)式|x+l|+上一2|可分以下3種情況：

(1)當(dāng)％<—1時，原式=—(%+1)—(x—2)=-2x+1；

(2)當(dāng)一1<%<2時，原式=%+1—(%—2)=3；

(—2%+1,(%V—1),

(3)當(dāng)％Z2時，原式=%+1+%—2=2%—1.綜上所述，原式={3,(—1<x<2),

I2%-1,(%>2).

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

(1)分別求出|%+2|和口一4|的零點(diǎn)值;

(2)化簡代數(shù)式|%+2|+|x—4|；

(3)求方程：。+2|+|%—4|=6的整數(shù)解;

6.(1)探索材料(填空)：

數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|zn-川.例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為|2-5|=3；

AB

圖1

III_______

ABC

圖2

IIII

ABCD

圖3

①數(shù)軸上表示數(shù)3和—1的兩點(diǎn)距離為|3—(—1)|=_；

②則氏+4］的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)_和_這兩點(diǎn)的距離.

(2)實(shí)際應(yīng)用(填空)：

①如圖1,在工廠的一條流水線上有兩個加工點(diǎn)/和瓦要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)尸往兩個加工點(diǎn)

輸送材料.才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??；

②如圖2,在工廠的一條流水線上有三個加工點(diǎn)B,C,要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個加工

點(diǎn)輸送材料.才能使尸到/，B,C三點(diǎn)的距離之和最??；

③如圖3,在工廠的一條流水線上有四個加工點(diǎn)4B,C,D,要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)尸往四個

加工點(diǎn)輸送材料一才能使尸到4B,C,。四點(diǎn)的距離之和最小.

(3)結(jié)論應(yīng)用(填空)；

①代數(shù)式|x+3|+|久一4|的最小值是；

②代數(shù)式|x+6|+|x+3|+|%—2］的最小值是；

③代數(shù)式|x+7|+|x+4|+氏一2|+比一5|的最小值是.

7.閱讀信息：

信息一：|x—y|的幾何意義是x與y兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.例如|3—1］的幾何意義是3

與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

信息二：對于有理數(shù)a,b,n,d,若|a—2九|+—2n|=d,則稱。和6關(guān)于〃的“雙倍關(guān)系值”為1.例

如，|6-2|+|3-2|=5,則6和3關(guān)于1的“雙倍關(guān)系值”為5.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

⑴—3和5關(guān)于2的“雙倍關(guān)系值”為.

⑵若0和3關(guān)于1的“雙倍關(guān)系值”為4,求a的值；

(3)若劭和的關(guān)于1的“雙倍關(guān)系值”為2,由和a?關(guān)于2的“雙倍關(guān)系值”為2,。2和關(guān)于3的“雙倍關(guān)系值，

為2,…,。20和。21關(guān)于21的“雙倍關(guān)系值”為2.

①+的的最大值為；

②a1+?2+a3++。20的值為(用含a°的式子表示).

8.華羅庚先生說；“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.

【知識儲備】

點(diǎn)M、N在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)加、"，則M、N兩點(diǎn)之間的距離可表示為|m—n|.

【初步運(yùn)用】

(1)數(shù)軸上表示3與一4的兩點(diǎn)之間的距離為；

(2)已知數(shù)軸上某個點(diǎn)表示的數(shù)為x.

①若|x—l|=2,則尤=；

②若|x+3|=|x—5|,貝卜=:

【深入探究】

(3)如圖，數(shù)軸上每相鄰兩點(diǎn)之間的距離為1個單位長度，點(diǎn)/、B、C表示的數(shù)分別為a、b、c.

7R

ABC

abc

?\a-b\+\b-c\=；

②若|b—2al=4,則點(diǎn)C表示的數(shù)為；

③若該數(shù)軸上另有兩個點(diǎn)P、Q,它們分別表示有理數(shù)p、q,其中點(diǎn)Q在線段4。上，當(dāng)|p—a|+|p—c|=8

且均一a|+|q—+|q—c|最小時，P、Q兩點(diǎn)之間的距圖為.

9.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想

方法.在數(shù)軸上點(diǎn)4、8分別表示數(shù)a、b.2、B兩點(diǎn)間的距離可以用符號表示，利用有理數(shù)減法和絕對

值可以計算4、8兩點(diǎn)之間的距離|ZB|.

例如：當(dāng)a=2,b=5時，=5-2=3；

當(dāng)a=2,b=-5時，\AB\=|-5-2|=7；

當(dāng)a=-2,b=-5時，\AB\=|—5—(—2)|=3.

綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)/、B之間的距離=|b—可(也可以表示為|a—b|).

請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：

(1)表示數(shù)a和一2的兩點(diǎn)間距離是6,則。=；

(2)如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于一4和3之間，則|a+4|+|a—3|=；

(3)代數(shù)式|a-l|+|a-2|+|a-3|的最小值是多少?

(4)如圖，若點(diǎn)/、B、C、。在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a、b、c、d,則式子|a—%|+|%+b|+|%—c|十

|%+磯的最小值為(用含有a、b、c、d的式子表示結(jié)果).

ABCD

--------------------?-------?—