2024-2025學年湖南省衡陽市衡陽縣某校高三5月模擬考試數(shù)學試題（含解析）

2024-2025學年湖南省衡陽市衡陽縣江山學校高三5月模擬考試數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，

設計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為Pl,P2,則（）

115

A.P/P2=—B.P1=P2=-C.P1+P=-D.P1<P

43262

2.對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，.…下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天

數(shù)統(tǒng)計表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是（）

發(fā)芽所需天數(shù)1234567>8

種子數(shù)43352210

A.2B.3C.3.5D.4

3.若單位向量耳，e2夾角為60°,a=^-e2,且則實數(shù)2=（）

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

4.已知向量a,b滿足同=4,〃在。上投影為-2,則的最小值為（）

A.12B.10C.V10D.2

5.設復數(shù)z滿足卜-2z[=|z+l],z在復平面內對應的點為（x,y）,則（）

A.2x-4y-3=0B.2無+4丁-3=0C.4x+2y-3=0D.2x—4y+3=0

\y>0

6.若實數(shù)％，y滿足的約束條件x+y-3WO,則Z=2x+y的取值范圍是（）

2x-y>Q

A.[4,+oo）B.[0,6]C.[04]D.[6,+oo）

Ayr

7.如圖所示，用一邊長為后的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為色-的雞

蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）

1-1垃+1

.2,2

GiA/3—1

.2.2

8.已知命題夕：任意無之4,都有l(wèi)og?尤22；命題《：a>b,則有片〉片.則下列命題為真命題的是（)

A.P^qB.p八5q)C.(「p)A(」4)D.(~^p)vq

如圖，圓錐底面半徑為0,體積為迪萬，AB、8是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，￡是母線依的中

9.

3

點，已知過8與石的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點尸的距

1「屈

A.-B.1L?---------

24

10.已知::是球一的球面上兩點,2通繼?沒嚴）,C為該球面上的動點.若三棱錐「-二:：體積的最大值為36,則球C

的表面積為（）

A.36兀B.647tC.144.71D.256兀

11.已知拋物線。：：/=4.雙“〉0）的焦點為尸，過焦點的直線與拋物線分別交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于

\FB\

點S,與準線/交于點T,且|E4|=2|AS|,則e=（）

I八I

27

A.—B.2C.—D.3

52

12.已知復數(shù)z=a2j—2a—z?是正實數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2%—1x<03

13.已知函數(shù)/■（>：）=〈'—，若關于x的方程/（x）=—x+a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a

/（x-2）,x〉02

的取值范圍是.

14.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是cm3;最長棱的長度是cm.

俯視圖

15.已知三棱錐P—ABC的四個頂點都在球。的球面上，PA=PB=PC,AB=2,BC=小，AC=3,E,F

3

分別為AC,必的中點，EF=~,則球。的體積為.

2

16.小李參加有關“學習強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題

小李都會的概率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在AABC中，角A,瓦C所對的邊分別為a,4c,向量〃以2a—回，辰卜向量〃=（cosB,cosC）,且根//〃.

（1）求角。的大小；

（2）求y=sz>zA+Gs譏（3-？）的最大值.

18.（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米〃卜時、120千米

/小時、600千米/小時，等千舉的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中等小時的損耗為機元（相>0）,

運輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為%（元）、

y2（元）、%（元）?

（D請分別寫出%、%、%的表達式;

(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.

19.(12分)函數(shù)/(無)=ar-ln(尤+l),g(x)=sinx,且了(尤)..0恒成立.

(1)求實數(shù)。的集合M；

(2)當aeM時，判斷了(尤)圖象與g(x)圖象的交點個數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：山2。0.69,3477)

20.(12分)如圖，在四棱柱ABCD—ABG。中，平面ABCD，底面A3CZ>滿足A?！?C,且

AB=AD=A4j=2,BD=DC=2叵

(I)求證:AB，平面A。，A；

(II)求直線AB與平面與C。所成角的正弦值.

X=1+/COS6Z

21.(12分)在直角坐標系X0y中，直線/的參數(shù)方程為，.a為參數(shù)，0Wa<?).在以。為極點，X軸

y=1+/sina

正半軸為極軸的極坐標中，曲線C：夕=4cos，.

兀

(1)當。=一時，求C與/的交點的極坐標;

4

(2)直線/與曲線C交于A,B兩點,線段中點為河(1,1),求的值.

22.（10分）已知向量a=（2sinx,一6}Z?=（cosx,2cos2工一1）,f（x）=a-b.

(1)求/(%)的最小正周期;

(2)若AABC的內角A,B,C的對邊分別為“S,c,且a=退力=1,/(A)=G,求AABC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=—；

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=—；

6

所以P1+P2=?

6

故選C.

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.

2.C

【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).

【詳解】

3+4

由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為——=3.5,

2

故選：C.

本題考查中位數(shù)的計算，屬基礎題.

3.D

【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)X的值.

【詳解】

1

由于卜所以〃2=3，即4)=3,/V,—2/^^-e2+e2-X—27^-cos60+1=3，即丸？一%—2=0,

解得X=2或4=—1.

故選：D

本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.

4.B

【解析】

根據(jù)Z，在。上投影為-2,以及cos<a力>e]-1,0),可得巾，“=2；再對所求模長進行平方運算，可將問題轉化為

模長和夾角運算，代入.即可求得卜-3“..

IIminIImin

【詳解】

匕在a上投影為一2,即問cos<d,b>=-2

網(wǎng)>。/.cos<d,b><0

又cos<a,〃b\n=2

a-3b=a2-6a-b+9b2=|o|2-6|?||&|cos<tz,Z>>+9b=9b+64

:.\a-3b\=79x4+64=10

IImin

本題正確選項：B

本題考查向量模長的運算，對于含加減法運算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結果；解題

關鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到忖的最小值.

5.B

【解析】

設2=%+”,根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到x、y的關系式，即可得解；

【詳解】

解：設z=_x+W

V|z-2z|=|2+1|,x2+(y-2)2=(x+l)2+y2,解得2x+4y—3=0.

故選：B

本題考查復數(shù)的幾何意義的應用，屬于基礎題.

6.B

【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.

【詳解】

>>0

實數(shù)羽y滿足的約束條件卜+y-3vo,畫出可行域如下圖所示：

2x-y>0

將線性目標函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,

則將y=-2x平移，平移后結合圖像可知，當經(jīng)過原點0(0,0)時截距最小，zmn=0;

當經(jīng)過3(3,0)時，截距最大值，zmax=2x3+0=6,

所以線性目標函數(shù)z=2x+y的取值范圍為[0,6],

故選：B.

本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用，線性目標函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎題.

7.D

【解析】

47r

因為蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1,又因為雞蛋的體積為:，所

以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d而截面到球體最低點距離為1-半，而蛋巢的高度為:，

_1(⑨V3-1

故球體到蛋巢底面的最短距離為；-1-^-=^~—.

212)2

點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內接或外接幾何

體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解

決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.

8.B

【解析】

先分別判斷命題p，q真假，再由復合命題的真假性，即可得出結論.

【詳解】

。為真命題；命題q是假命題，比如當0＞。＞6，

或1=1,/?=一2時，則片〉〃不成立.

貝"。人4’（「p）A（—iq）,（―ip）vq均為假.

故選:B

本題考查復合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關鍵，屬于基礎題.

9.D

【解析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離.

【詳解】

將拋物線放入坐標系，如圖所示，

"0=及，OE=1,OC=OD=日

C（—1,0）,設拋物線y2=2〃x,代入c點,

可得y2=-2x

焦點為1一5,0],

即焦點為0E中點，設焦點為產(chǎn)，

EF=-,PE=1，：-PF=—.

22

故選：D

本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質，兩點間的距離等基礎知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論

證能力，應用意識.

10.C

【解析】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設球。的半徑為R,此時

Vo-ABC=Vc-AOB=-x-R-xR=-R3=36,故R=6,則球。的表面積為s=4乃a=144萬，故選C-

326

考點：外接球表面積和椎體的體積.

11.B

【解析】

過點A作準線的垂線，垂足為"，與y軸交于點N,由I，弘|=2|AS|和拋物線的定義可求得|TS|,利用拋物線的性

112,,

質而+向=而可構造方程求得\BF\,進而求得結果.

【詳解】

過點A作準線的垂線，垂足為4，40與V軸交于點N,

由拋物線解析式知：F（/?,0）,準線方程為％=一，.

\F^\=2\AS\,=-.\AN\=^\OF\=j,：.\AM\=±p,

4i9

由拋物線定義知：|AH=|AM|=§P，.?/AS|=e|AH=§p,.?.￡耳=2〃，

.'.|ra|=|SF|=2p.

1121311,,

由拋物線性質工莉+正后=丁=一得：1+而后=一，解得：忸耳=4。,

\AF\\BF\2pp4P\BF\p11

,此竺

''\TS\2P-

故選：B.

本題考查拋物線定義與幾何性質的應用，關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.

12.C

【解析】

將復數(shù)化成標準形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.

【詳解】

因為z=a~i-2a-i=-2a+(a2-l)z為正實數(shù)，

所以一2a>0且4—i=o,解得a=—1.

故選：C

本題考查復數(shù)的基本定義，屬基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-℃,3)

【解析】

3

畫出函數(shù)/(元)的圖象，再畫y=]X+a的圖象，求出一個交點時的。的值，然后平行移動可得有兩個交點時的。的范

圍.

【詳解】

函數(shù)/Xx)的圖象如圖所示：

3一

因為方程/(x)=QX+a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，

3

所以y=于3圖象與直線y=+a有且只有兩個交點即可，

3

當過(。,3)點時兩個函數(shù)有一個交點，即。=3時，y=Qx+a與函數(shù)/(x)有一個交點,

由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點，

可得a<3,

故答案為：（-%3）.

本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉化，數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.

14.2273

【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AD,A3，側棱PAL底面ABCD，

由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長棱的長度.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如下圖所示：

該幾何體為四棱錐，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AD,LAB,側棱24,底面A5CD,

則該幾何體的體積為V=L義史213x2=2(5?),

32V'

PB=A/22+22=2正(cm),PC=x/22+22+22=273(cm),

因此，該棱錐的最長棱的長度為2百cm.

故答案為：2；273.

本題考查由三視圖求體積、棱長，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

15.4垂）兀

【解析】

可證NABC=90°,則E為AABC的外心，又==PC則PEL平面ABC

即可求出Pfi,尸石的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.

【詳解】

解：AB=2,3c=6，AC=3

AB2+BC2=AC2

:.ZABC^9Q0,因為E為AC的中點，所以E為A4BC的外心,

13

:.BE=-AC=-

22

B

因為PA=PB=PC,所以點尸在A4BC內的投影為A43C的外心E，

所以PE,平面ABC,

BEu平面ABC

:.PE工BE,

所以QB=2EF=3,

所以PE=yjPB2-BE-=->j3,

2

巧Vc\2

又球心。在PE上，設PO=r,貝ij2-r+-=戶,所以廠=6,所以球。體積，V=—◎=4岳.

、2)

故答案為：4昌

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題.

1

16.-

2

【解析】

從四道題中隨機抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.

【詳解】

由題：從從4道題中隨機抽取2道作答，共有C：=6種，

小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有窗=3種，

C21

所以其概率為.

C：2

故答案為：—

2

此題考查根據(jù)古典概型求概率，關鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

TT

17.（1）-⑵2

6

【解析】

（1）轉化條件得2sinAcosC=^sin（B+C）,進而可得cosC=X3，即可得解;

（2）由4+3=登化簡可得y=2sin[A+01,由Ae（0,葛]結合三角函數(shù)的性質即可得解.

【詳解】

（1）mlIn，：cos5,

由正弦定理得2sinAcosC-esin5cosc=^sinCcosB，

,2sinAcosC=^（sinBcosC+sinCeosB）BP2sinAcosC=gsin（B+C）,

又B+C—n—A,2sinAcosC=sinA,

又AG（O,TT）,「.sinAwO,/.cosC=6

3’

由CG（0,TT）可得c=工.

6

5TT八57r4

（2）由（1）可得A+5=—,B-----A,

66

y=sinA+也sin（B一。）=si幾A+A/5s加（葛一A一三）=sinA+—A）

=s而A+百cosA=2sin[A+g）,

n7乃,/.2sin（A+（卜

A,A~\-----G（-1,2],

TT3~39~6

1.y=s譏4+65就（3-。）的最大值為2.

本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的性質，屬于中檔題.

/、八八。mvmemS1八。mS

18.（I）y=20sH---,—IOS~\----%—50sH-----.

1602120f3600

（2）當機＜6000時，此時選擇火車運輸費最省;

當機>6000時，此時選擇飛機運輸費用最??；

當加=6000時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.

【解析】

(1)將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.

(2)作差比較為、%的大小關系得出結論?

【詳解】

(1)%=20S+吧，

160

=105+—,%=50S+小.

21203600

(2)m>0,S>0,

故皿。嚼喂,

恒成立，故只需比較為與%的大小關系即可,

令/⑸-二頻一魯］。一言卜，

rn

故當40---->0,即機<6000時，

150

/(S)>0,即為<%，此時選擇火車運輸費最省，

當40----<0,即加>6000時，

150

/(S)<0,即%〉內，此時選擇飛機運輸費用最省.

當40——-=0,即m=6000時，

150

/(，)=。，為=%,

此時選擇火車或飛機運輸費用最省.

本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎題.

19.(1){1}；(2)2個，證明見解析

【解析】

(1)要/(九)-0恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看/(元)是否有最小值;

(2)將/(%)圖像與g(x)圖像的交點個數(shù)轉化為方程/(%)=g(x)實數(shù)解的個數(shù)問題，然后構造函數(shù)

0>)=/(%)-1?(%),再利用導數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).

【詳解】

(1)/(%)的定義域為(-L+8),因為/''(%)="———,

X+1

1。當為。時，/'5)<0"(%)在*€(0,+與上單調遞減，mxe(O,+s)時，使得/(x)</(0)=0,與條件矛盾；

2。當a>0時，由/'(x)<0,得—l<x<L—1；由/'(x)>0,得X〉4—1,所以/(X)在上單調遞減，

aa\aJ

在(1—l'+s］上單調遞增，即有2in(x)=/］：—“=l—a+lna,由/(x)..0恒成立，所以1—a+lna.0恒成立,

1l-

令丸(a)=1-a+Ina{a>0),7z'(a)=-1+—=----a,

aa

若0<a(l,"(a))0,h(d)<A(l)=0；

若a>l,及'(a)<O,7i(a)<7z(l)=O；而a=l時，h(a)=0,要使1-a+Ina..0恒成立，

故ae{l}.

(2)原問題轉化為方程f(x)=g(x)實根個數(shù)問題，

當。=1時，/(X)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點，理由如下：

由/(x)=g(x),gpx-ln(x+l)-sinx=0,令0(％)=x-ln(x+l)-sinx,

因為奴0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根；夕'(%)=1——-——cosx,

X+1

1。當一l<x<0時，1---—(0,cosx)0,

x+1'

所以°'(x)<o,9(x)在(—1,0)上單調遞減，。(幻>。(0)=0,即0(x)=O在(—1,0)上無實根；

2。當0<x<3時，<p\x)=1+sinx>0,

(x+1)

則(p(x)在(0,3)上單調遞遞增，又9,佰］=1---1>0,d(0)=-1<0,

所以夕'(x)=0在(0,3)上有唯一實根與,%且滿足1—J1=cosxo，

①當0c%,不時，/(X),,0,以?在(0,毛］上單調遞減，此時奴%)<0(0)=0,°(x)=0在(0,%］上無實根；

2一1

(冗\冗(4\02

②當不<%<3時，0'(%)>0,°(九)在(5,3)上單調遞增，J=-y+1J=ln——

2+1

10nl=O63)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0,故小)=。在(的3)上有唯一實根.

--\~1

2

3。當x>3時，由(1)知，x-ln(l+x)—l在(0,+oo)上單調遞增，

所以x—ln(l+x)-1..2-21n2=21n/>0,

=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以°(x)=0在[3,+oo)上無實根.

綜合1。，2。，3。，故以幻=0有兩個實根，即/'(X)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點.

此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉化思想，考查導數(shù)的運用，屬于較難題.

20.(I)證明見解析；(II)逅

6

【解析】

(1)證明AA^LAB,根據(jù)AB~+AD2=BI?得到AB.LAD,得到證明.

(II)如圖所示，分別以AB.ARM為x,%z軸建立空間直角坐標系，平面用的法向量"=(1,1,2),AB=(2,0,0),

計算向量夾角得到答案.

【詳解】

(I)朋，平面ABCD,ABi平面ABCD,故四,人反

AB=AD=2,BD=2舊故AB?+A￡>2=皿?，故

ADoA^^A,故AB_L平面ADDiA.

(II)如圖所示：分別以AB,AD,A4,為羽Xz軸建立空間直角坐標系,

則A(0,0,0),5(2,0,0),4(2,0,2),C(2,4,0),刈(0,2,2).

ne/、nHC=0f4y-2z=0

設平面用C。的法向量"=(x,y,z),貝ij1，即二0八，