九年級數(shù)學(xué)兩圓關(guān)系及弧長和扇形面積培優(yōu)教程

九年級數(shù)學(xué)兩圓關(guān)系及弧長和扇形面積培優(yōu)教程考點·方法·破譯理解掌握圓與圓的五種位置關(guān)系，會根據(jù)距離與半徑的數(shù)量關(guān)系，確定圓與圓的位置關(guān)系，能根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，探究相應(yīng)半徑與距離的數(shù)量關(guān)系；會計算弧長與扇形面積以及圓錐、圓柱的側(cè)面積和全面積，并會借助分割與轉(zhuǎn)化的思想巧求陰影部分的面積。經(jīng)典·考題·賞析【經(jīng)典·考題·賞析】【例1】（濱州）已知兩圓半徑分別為2和3，圓心距為d，若兩圓沒有公共點，則下列結(jié)論正確的是（）0＜d＜1B.d＞5C.0＜d＜1或d＞5D.0≤d＜1或d＞5【解法指導(dǎo)】兩圓的五種位置關(guān)系中無公共點的有外離和內(nèi)含兩種，圓心距分別為大于半徑之和、小于半徑之差，則本題應(yīng)選D【變式題組】1.（臺州）大圓半徑為6，小圓半徑為3，兩圓圓心距為10，則這兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含2.（瀘州）已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為5cm和3cm，圓心距7cm，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切3.（益陽）已知⊙O1與⊙O2半徑分別為1和4，如果兩圓的位置關(guān)系為相交，那么圓心距O1O2的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）4.（赤峰）若兩圓的直徑分別是2㎝和10㎝，圓心距為8㎝，則這兩個圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離【例2】（赤峰）如圖，⊙O1，⊙O2，⊙O3兩兩相外切，⊙O1的半徑r1=1，⊙O2的半徑r2=2，⊙O3的半徑r3=3，則△O1O2O3是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D．銳角三角形或鈍角三角形【解法指導(dǎo)】根據(jù)外切兩圓圓心距與兩圓半徑關(guān)系：d=R+r，得O1O2=3，O2O3=5，O1O3=4，它們滿足勾股定理，所以△O1O2O3是直角三角形。本題選B.【變式題組】5.（錦州）如圖所示，點A、B在直線MN上，⊙A、⊙B的半徑均為1㎝，⊙A以每秒2㎝的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t之間的關(guān)系式為r=1+t（t≥0），當點A出發(fā)后秒兩圓相切。6.（慶陽）如圖，兩個等圓⊙O與⊙O′外切，過點O作⊙O′的兩條切線OA、OB，A、B是切點，則∠AOB=【例3】（彬州）如圖已知扇形的半徑為，圓心角的度數(shù)為，若將此扇形圍成一個圓錐，則圍成的圓錐的側(cè)面積為（）A.4πcm2B.6πcm2C.9πcm2D.12πcm2【解法指導(dǎo)】解圓錐的問題關(guān)鍵點：圓錐的側(cè)面積就是展開扇形的面積，故要計算圓的面積的三分之一。解：S=π×62×eq\f(1,3)，本題應(yīng)選D【變式題組】7.（哈爾濱）圓錐的底面半徑為8，母線長為9，則該圓錐的側(cè)面積為（）A.36πB.48πC.72πD.144π8.（泉州）已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長等于9.（仙桃）現(xiàn)有30%圓周的一個扇形彩紙片，該扇形的半徑為40cm，小紅同學(xué)為了在“六一”兒童節(jié)聯(lián)歡晚會上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作一個底面半徑為10㎝的圓錐形紙帽（接縫處不重疊）那么剪去的扇形紙片的圓心角為（）A.9°B.18°C.63°D.72°【例4】（1）（襄樊）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2,分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）（2）（新疆）如圖（2），已知菱形ABCD的邊長為1.5cm，B、C兩點在扇形AEF的eq\o(⌒,EF)上，求eq\o(⌒,BC)的長度及扇形ABC的面積【解法指導(dǎo)】（1）本題考察直角三角形、扇形面積、由圖可知陰影部分的面積=半圓AC的面積+半圓BC的面積-Rt△ABC的面積，所以S陰影=eq\f(1,2)π·22+eq\f(1,2)π·12—eq\f(1,2)×2×4=eq\f(5,2)π－4，故填eq\f(5,2)π－4（2）本題要用補形法解：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形且邊長為1.5，∴AB=BC=1.5,∴AB=BC=1.5，又∵B、C兩點在扇形AEF的eq\o(⌒,EF)上，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，eq\o(⌒,BC)的長=eq\f(60π·1.5,180)=eq\f(π,2)（cm），S扇形ABC=eq\f(1,2)Lr=eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·1.5=eq\f(3,8)π（cm2）【變式題組】10.（遂寧）如圖，把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2，兩圓相交于A、B，且O1A⊥O2A，則圖中陰影部分的面積是（）A.4π-8B.8π-16C.16π-16D.16π-3211.（來賓）如圖，正方形的四個頂點在直徑為4的大圓圓周上，四條邊與小圓都相切，AB、CD過圓心O，且AB⊥CD，則圖中陰影部分的面積是（）A.4πB.2πC.πD.0.5π12.（河池）如圖，PA,PB切⊙O于A,B兩點，若∠APB=60°，⊙O的半徑為3，則陰影部分的面積為【例5】（威海）如圖，點A,B在直線MN上，AB=11厘米，⊙A,⊙B的半徑均為1厘米，⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時間t（秒）之間的關(guān)系式為r=1+t（t≥0）（1）試寫出點A,B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數(shù)表達式；（2）問點A出發(fā)后多少秒兩圓相切？【解法指導(dǎo)】解：（1）當0≤t≤5.5時，函數(shù)表達式為d=11-2t；當t＞5.5時，函數(shù)表達式d=2t=11（2）兩圓相切可分為如下四種情況；①當兩圓第一次外切，由題意，可得11-2t=1+1+t，t=3；②當兩圓第一次內(nèi)切，由題意，可得11-2t=1+t-1，t=eq\f(11,3)；③當兩圓第二次內(nèi)切，由題意，可得2t-11=1+t-1，t=11；④當兩圓第二次外切，由題意，可得2t-11=1+t+1，t=13。所以，點A出發(fā)后3秒、eq\f(11,3)秒、11秒、13秒兩圓相切。【變式題組】13.（寧波）如圖，⊙A、⊙B的圓心在直線l上，兩圓的半徑都為1㎝，開始時圓心距AB=4cm，現(xiàn)⊙A、⊙B同時沿直線以每秒2cm的速度相向移動，則當兩圓相切時，⊙A運動的時間為秒.14.（紹興）如圖，⊙A,⊙B的半徑分別為1cm，2cm，圓心距AB為5cm，如果⊙A由圖示位置沿直線AB向右平移3cm，則此時該圓與⊙B的位置關(guān)系是【例3】（吉林）已知：B,C是線段AD上的兩點，且AB=CD，分別以AB，BC，CD，AD為直徑作四個半圓，得到一個如圖所示的軸對稱圖形，此圖的對稱軸分別交其中兩個半圓于M,N交AD于O，若AD=16，AB=2r，回答下列問題:（1）用含r的代數(shù)式表示BC=，MN=（2）設(shè)以MN為直徑的圓的面積為S，陰影部分的面積為S陰影，請通過計算填寫下表：（3）由此表猜想S與S陰影的大小關(guān)系，并證明你的猜想【解法指導(dǎo)】（1）16-4r,16-2r（2）（3）S=S陰影.證明：∵S=π（eq\f(16-2r,2)）2=π（8-r）2=64π-16πr+πr2S陰影=eq\f(1,2)×82π-πr2+eq\f(1,2)π（8-2r）2=64π-16πr+πr2,∴S=S陰影【變式題組】15.（邵陽）如圖，正方形OA1B1C1的邊長為1，以O(shè)為圓心、OA1為半徑作扇形OA1C1,A1C1與OB1相交于點B2，設(shè)正方形OA1B1C1與扇形OA1C1之間的陰影部分的面積為S1；然后以O(shè)B2為對角線作正方形OA2B2C2，又以O(shè)為圓心，OA為半徑作扇形OA2C2,A2C2與OB1相交于點B3，設(shè)正方形OA2B2C2與扇形OA2C2之間的陰影部分面積為S2；按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設(shè)正方形OAnBnCn與扇形OAnCn之間的陰影部分面積為Sn（1）求S1，S2，S3；（2）寫出S2008；（3）試猜想Sn（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）演練鞏固反饋提高1.（紹興）如圖為某機械裝置的截面圖，相切的兩圓⊙O1、⊙O2均與⊙O的弧AB相切，且O1O2∥l1（l1為水平線），⊙O1、⊙O2的半徑均為30mm，弧AB的最低點到l1的距離為30mm，公切線l2與l1間的距離為100mm，則⊙O的半徑為（）A.70mmB.80mmC.85mmD.85mm2.（淄博）如果一個圓錐的主視圖是正三角形，則其側(cè)面展開圖的圓心角為（）A.120°B.約156°C.180°D.約208°3.（十堰）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB邊所在的直線為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積是（）A.eq\f(168,5)πB.24πC.eq\f(84,5)πD.12π4.（湖州）已知⊙O1與⊙O2外切，它們的半徑分別為2和3，則圓心距O1O2的長是（）5.（荊州）如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB切小圓于P，兩圓的半徑分別為6、3，則圖中陰影部分的面積是6.（濟南）在綜合實踐活動課上，小明同學(xué)用紙板制作了一個圓錐形漏斗模型，如圖所示，它的底面半徑OB=6cm，高OC=8cm，則這個圓錐漏斗的側(cè)面積是（）A.30cm2B.30πcm2C.60πcm2D.120cm27.（聊城）如圖，小圓的圓心在原點，半徑為3，大圓的圓心坐標為（a,0），半徑為5，如果兩圓內(nèi)含，那么a的取值范圍是.8.（衢州）相切兩圓的圓心距是7，其中一圓的半徑是4，則另一圓的半徑是.9.（佛山）已知△ABC的三邊分別是a,b,c，兩圓的半徑，r1=a,r2=b，圓心距d=c，則這兩個圓的位置關(guān)系是.10.（蘭州）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點A，與大圓相交于點B，小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB，（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由;（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積（結(jié)果保留π）培優(yōu)升級奧賽檢測1.（齊齊哈爾）已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，則這兩個圓的圓心距是2.（錦州）圖2-1中的圓與正方形各邊都相切，設(shè)這個圓的面積為S1，圖2-2中的四個圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設(shè)這四個圓的面積之和為S2，圖2-3中的九個圓半徑相等，并依次外切，且與正方形的各邊相切，設(shè)這九個圓的面積之和為S3，……依此規(guī)律，當正方形邊長為2時，第n個圖中所有圓的面積之和Sn=3.（濟南）已知兩圓半徑分別是3和2，圓心坐標分別是（0,2）和（2，-4），那么兩圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含B.相交C.相切D.外離4.（大興安嶺）已知相切兩圓的半徑分別為5㎝和4㎝，這兩個圓的圓心距是。5.（綿陽）如圖，△ABC是直角邊長為a的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過點C且與半圓O1相切，則圖中陰影部分的面積是（）A.eq\f(7—π,36)a2B.eq\f(5-π,36)a2C.eq\f(7,36)a2D.eq\f(5,36)a26.（全國競賽）已知△ABC為銳角三角形，⊙O經(jīng)過點B，C，且與邊AB、AC分別相交于點D、E。若⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，則⊙O一定經(jīng)過△ABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心7.（全國聯(lián)賽）已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為8.（全國聯(lián)賽）如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為9.（全國聯(lián)賽）如圖ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交于另一點P，延長AP交BC于點N，則eq\f(BN,NC)=10.（天津）如圖①,O1、O2、O3、O4為四個等圓的圓心，A，B，C，D為切點，請你在圖中畫出一條直線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是；如圖②,O1、O2