2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 三角形 單元重點(diǎn)綜合測試（解析版）

三角形（單元重點(diǎn)綜合測試）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列長度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（）

A.1,3,5B.3,6,9C.3,4,5D.5,8,13

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分

析即可得出答案.注意：只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否大于最長邊.

【詳解】解：A.1+3<5,故不能組成三角形；

B.3+6=9,故不能組成三角形；

C.3+4=7>5,故能組成三角形；

D.5+8=13,故不能組成三角形.

故選擇：C.

2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080。，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）

A.8B.9C.7D.6

【答案】A

【分析】本題考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和定理.由多邊形內(nèi)角和定理：

（”-2）480。（〃23且〃為整數(shù)），可求多邊形的邊數(shù).

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〃，

由題意得：（?-2）-1800=1080°,

=8,

故選：A

3.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么/I等于（）

A.45°B.60°C.105°D.120°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先

求出Z2,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：如圖，

由三角形的外角性質(zhì)得，21=22+60°=45°+60°=105°,

故選：C.

4.如圖，工人師傅做了一個(gè)長方形窗框/BCD,E、F、G、H分別是四條邊上的中點(diǎn)，為使它穩(wěn)固，需

要在窗框上釘一根木條，則這根木條應(yīng)釘在（）

A.B、。兩點(diǎn)之間B.E、G兩點(diǎn)之間

C.F、以兩點(diǎn)之間D.A、8兩點(diǎn)之間

【答案】A

【分析】考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用.解題關(guān)鍵是利用了三角形的穩(wěn)定性，判斷是否穩(wěn)定則看能否構(gòu)成

三角形.根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷.

【詳解】A.若釘在3、。兩點(diǎn)之間構(gòu)成了三角形，能固定窗框，故符合題意；

B.若釘在石、G兩點(diǎn)之間不能構(gòu)成三角形，不能固定窗框，故不符合題意；

C.若釘在尸，“兩點(diǎn)之間不能構(gòu)成三角形，不能固定窗框，故不符合題意；

D.若釘在A,3兩點(diǎn)之間不能構(gòu)成三角形，不能固定窗框，故不符合題意；

故選A.

5.如圖，AB//CD,4E交CD于點(diǎn)、F,連接CE,N/=60。，ZC=24°,則/￡的度數(shù)為（）

A.36°B.35°C.34°D.24°

【答案】A

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)以及三角形的外角定理，掌握平行線的基本性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定理求解即可.

【詳解】解：???43〃CD,44=60。，

ZDFE=//=60°,

根據(jù)三角形外角定理，NDFE=NC+NE,

.-.ZE=ZDFE-NC=60°-24°=36°,

故選：A.

6.如圖所示的地面由正八邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則/R4c的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了平面鑲嵌，也考查了正多邊形內(nèi)角的計(jì)算方法，掌握正多邊形的概念，理解幾何圖形

鑲嵌成平面是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角是解題關(guān)鍵.

先計(jì)算出正八邊形的內(nèi)角，根據(jù)平面鑲嵌的條件計(jì)算求解.

【詳解】解：正八邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180。-平=135。，

8

???/8/。的度數(shù)為360。-135。義2=90。，

故選：B.

7.如圖，在“5C中，關(guān)于高的說法正確的是（）

AFB

A.線段/。是邊上的高B.線段3E是4C邊上的高

C.線段b是/C邊上的高D.線段C9是2C邊上的高

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段

叫做三角形的高.根據(jù)三角形的高的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：05c中，AB,AC,邊上的高分別為線段C尸，線段3E,線段/D.

觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)B符合題意.

故選：B.

8.如圖，將“8C平移后得到SEF,若乙1=44。，ZEGC=70°,則/尸的度數(shù)是（）

A

A.16°B.26°C.36°D.66°

【答案】B

【分析】本題主要考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀、大小和方向；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)

所連的線段平行或在同一直線上，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等.同時(shí)考查了三角形的外角性質(zhì).由

平移前后對應(yīng)角相等及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得出

ZDCG=ZEGC-ZEDF=26°,再根據(jù)對應(yīng)線段平行得到答案即可.

【詳解】?.?將“8C平移后得到⑼"

ZEDF=ZA=44°,BC//EF,

ZDCG=ZEGC-ZEDF=26°.

NF=NDCG=26°,

故選：B.

9.如圖，在“5C中，已知點(diǎn)。為2C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在/C邊上，且EC=24E,AD、8E相交于點(diǎn)尸，若^ABC

的面積為24,則四邊形C。/花的面積是（）

D.11

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的中線與線段倍和差求面積，連接W,由EC=2/E,設(shè)S△四=a,得

=

S^EFC~2a,S“FC3〃，又點(diǎn)。為8c中點(diǎn)，貝USABFD=S^CFD，S“BD=S“CD，設(shè)^ABFD~^ACFD='，從而有

S^BCE=2x+2a,根據(jù)EC=2ZE得心即二%,解出x=3a,然后由AA8C的面積為24即可求出a=2,熟練掌

握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接。尸，

-DaS

,.?2v&EFC-，Q^AFC-J"'

???點(diǎn)。為中點(diǎn),

??.BD=CD,

S叢BFD=S^CFD，S&ABD~S“CD，

x

設(shè)SABFD=S^CFD=，

,.?3vBCF—一乙人，

S^BCE~2x+2a,

???EC=2AE,

S.ABE=]S^BCE=龍+a,

S“BF=X，

???S/助=即2x=x+3a，解得：x=3a,

???S"c=3x+3a=12a=24,解得：a=2,

四邊形CAFE■的面積是x+2a=5a=10,

故選：C.

10.如圖，將五邊形/BCDE沿虛線裁去一個(gè)角，得到六邊形/3CDG尸，則下列說法正確的是（）

①周長變大；

②周長變?。?/p>

③外角和增加180。；

④六邊形ABCDGF的內(nèi)角和為720。.

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】本題主要考查了多邊形的有關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì).

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，判斷周長的大小，從而判斷①②，再根據(jù)多邊形外角性質(zhì)：多邊形的外

角和都為360。，與邊數(shù)無關(guān)判斷③，最后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理判斷④即可.

【詳解】解：???將五邊形/3CDE沿虛線裁去一個(gè)角，得至I］六邊形N8COG尸,M+EG>FG,

二該六邊形的周長比原五邊形的周長小，

??.①的說法錯(cuò)誤，②的說法正確；

???多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，都是360。，

???③的說法錯(cuò)誤；

???五邊形的邊數(shù)增加了1,

,根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理可知六邊形ABCDGF的內(nèi)角和為（6-2）x180。=720°.

二④的說法正確；

綜上可知：說法正確的是②④,

故選：D.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.已知。8c兩邊長分別為4與5,第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長的最大值為.

【答案】7

【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于

兩邊的和.首先設(shè)第三邊長為x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得5-4<x<5+4,再解不等式可得x的范圍，

然后再確定x的值即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊長為X,由題意得：

5—4<x<5+4,

解得：1<x<9,

???第三邊的長為奇數(shù)，

???x=3>5或7,

???第三邊的長的最大值為7.

故答案為：7.

12.如圖，平移圖形與圖形N可以拼成一個(gè)平行四邊形，即則圖中々的度數(shù)是

【答案】30

【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角、補(bǔ)角的定義和平行四邊形的性質(zhì)，明確五邊形的內(nèi)角和及平行線的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得ZD+NC=180。，然后根據(jù)多邊形內(nèi)角和求出"，再根據(jù)補(bǔ)

角的定義即可得出答案.

【詳解】如圖：

???四邊形45CQ是平行四邊形，AD〃BC,

??.ZD+ZC=180°,

???圖形N是五邊形，

ZC+ZD+Z/7+70°+140°=540°

.?"=150。，

???平移圖形與圖形N可以拼成一個(gè)平行四邊形，

.?./a+N夕=180。

Za=30°.

故答案為：30.

13.如圖，A/5C為鈍角三角形，分別過點(diǎn)/、3作3C、ZC邊上的高N。、BE,已知

AC=10,BC=5,BE=3,則ND的長為.

【答案】6

【分析】本題考查了利用三角形的面積求高線的長.利用三角形的面積公式求得SA/BC=；NCXBE=15,再

利用Sm=—Cx/O=15,求解即可.

【詳解】解：???/C=10,BE=3,且

；.S4A,HRLr=-2ACxBE=15,

vBC=5,且

:.S,=-BCxAD=-x5xAD=15,

AAHRLr22

解得40=6,

故答案為：6.

14.如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手與底座CD都平行于地面，靠背。M與支架平行，

前支架OE與后支架。尸分別與C0交于點(diǎn)G和點(diǎn)。，AB與DM交于點(diǎn)N,當(dāng)NEOF=90°,ZODC=30°

時(shí)，人躺著最舒服，此時(shí)扶手與靠背DM的夾角°.

【答案】120

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).根據(jù)題意可得

AB//CD,得到/DOB=/ODC=30。，由可得/0D8=/EOF=90。，再根據(jù)三角形的外角性

質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得AB//CD,

ZDOB=ZODC=30°,

?-?OE//DM,

Z.ODB=ZEOF=90°,

ZANM=NDOB+ZODB=30°+90°=120°,

故答案為：120.

15.我們知道：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖，若〃邊形的一個(gè)外角是廿，與它不

相鄰的所有內(nèi)角之和是則x、y與〃之間的數(shù)量關(guān)系是.

人”

【答案】y-x=180(〃-3)

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，熟記多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵;

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理列方程求解即可.

【詳解】解：；〃邊形的一個(gè)外角是X。，

???與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是(180-》)。，

與這個(gè)外角不相鄰的所有內(nèi)角之和是

二.(180-x)+,y=(n-2)x180,

解得：^-x=180(?-3),

故答案為：＞-x=180(〃-3).

16.當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí).我們稱此三角形為“夢想三角形”.如果一個(gè)“夢想三角形”

有一個(gè)角為126。，那么這個(gè)“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為.

【答案】12?；?3.5。

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和為180。，是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角

和等于180。，如果一個(gè)“夢想三角形”有一個(gè)角為126。，可得另兩個(gè)角的和為54。，由三角形中一個(gè)內(nèi)角是另

一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，可以分別求得最小角為180。-126。-126+3。=12。，54。+(1+3)=13.5。，得出答案即可.

【詳解】解：當(dāng)126。的角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，

最小角為180。-126。-126+3°=12°,

當(dāng)另外的兩個(gè)角中其中一個(gè)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，最小角為：

(180°-126°)-(1+3)=13.5°

因此，這個(gè)“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為12°或13.5。.

故答案為：12。或13.5。.

三、(本大題共4小題，每小題6分，共24分)

17.如圖，中，4D是角平分線，BE是高,ZABC=70°,ZDAC=25°,求NC8E的度數(shù).

AEC

【答案】30°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，求一個(gè)角的余角，根據(jù)角平分線的定義可得出

/DAC=/BAD=25。,由三角形的高可得出NNE5=90。，由余角的定義可得出N/8E=40。，最后根據(jù)角

的和差關(guān)系即可得出答案.

【詳解】解：???4D平分/5/C,

ADAC=ABAD=25°,

???BE是三角形Z8C的高，

NAEB=90°,

：.AABE=90°-2ZDAC=40°,

vZ^5C=70°,

.-.ZC5￡=70°-40°=30°.

18.已知。3C的三邊長為eb,c,且mb,c都是整數(shù).

(1)若Q=2,6=5,且。為偶數(shù).求的周長.

(2)化簡：,_6+c|_0_c_4+,+z?+c].

【答案】的周長為11或13

(2)a+b+c

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系、化簡絕對值、整式的加減運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，理解三角形的三邊

關(guān)系成為解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定c的取值范圍，進(jìn)而c的值，最后求周長即可；

(2)先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定4-b+c、b-c-a,a+b+c的正負(fù)，再化簡絕對值，然后再合并同類

項(xiàng)即可解答.

【詳解】(1)解：?"=2,6=5,

5-2<c<5+2,即3<c<7,

由于c是偶數(shù)，則c=4或6,

當(dāng)c=4時(shí)，的周長為a+b+c=2+5+4=ll,

當(dāng)c=6時(shí)，”5C的周長為a+b+c=2+5+6=13.

綜上所述，”5C的周長為11或13.

(2)解：的三邊長為a,b,c,

:.a+c>b,

a—b+c\—\b—c—a\+\a+b+c\=a+c—b—(a+c—b)+a+b+c=a+b+c.

19.如圖，已知直線尸，ZD+ZS=180°.

⑴證明：DE//BC；

⑵連接佑，/平分ZBHE,ND=NHGC,求的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)60°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線等知識(shí).熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，角平分線是

解題的關(guān)鍵.

(1)由48〃。尸，可得/D=NBHE,由ND+/S=180°,可得NBHE+NB=180。,進(jìn)而可得DE〃夕C.

(2)如圖，由由平分可得NEHG=g/BHE,由(1)可知，ZD=ABHE,NBHE+NB=180。,

DE//BC,則/BHE=/HGC,由DE〃3C,可得ZEHG+/HGC=180。，即』/&?￡+NBHE=180。，

2

可求/①汨=120。，根據(jù)N8=180。-/3〃￡,計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)證明：???/5〃。尸，

.■.ZD=2BHE,

■.-ZD+ZB=180°,

:./BHE+/B=180。,

.-.DE//BC.

(2)解：如圖，

???H3平分NBHE,

.-.ZEHG=-ZBHE,

2

由（1）可知，2D=NBHE,NBHE+NB=180°,DE//BC,

?:ND=NHGC,

：./BHE=/HGC,

■.-DE//BC,

NEHG+NHGC=180°,即工ZBHE+ZBHE=180°,

2

解得，ZBHE=nO0,

AB=180°-ZBHE=60°,

???/8的度數(shù)為60。.

20.如圖，在。5c中，AE,是角平分線，它們相交于點(diǎn)O.

(1)若ZC=72°,則ZAOB的度數(shù)為；

(2)猜想//08的度數(shù)與NC的度數(shù)存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)126。

(2)Z^O5=90°+1ZC；理由見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵.

(1)先由三角形內(nèi)角和為180度求出+=再由角平分線的定義推出/OR4+/O4B=54。,

則由三角形內(nèi)角和定理可得//=180。-/OAB-ZOBA=126°.

(2)根據(jù)角平分線的定義得出=/OAB=；NCAB,求出

ZOBA+ZOAB^^ZCAB+^ZCBA=90°-^ZC,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可.

222

【詳解】(1)解：???在05C中，2c=72。,

.-.ZCBA+ZCAB=180°-ZC=108°,

'-AE,3尸是角平分線，它們相交于點(diǎn)。，

.-.ZOBA=~ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

.■.ZOBA+ZOAB=-ZCAB+-ZCBA=54°,

22

ZAOB=18Q0-ZOAB-ZOBA=126°；

(2)解：在。8c中，ZCBA+ZCAB=l80°-ZC,

■■AE,B尸是角平分線，它們相交于點(diǎn)。，

：.AOBA=-ZCBA,ZOAB=-ACAB,

22

.-.ZOBA+NOAB=-ACAB+-ZCBA

22

=^(ZCAB+ZCBA)

=1(180°-ZC)

=90°--ZC,

2

...ZAOB=180°-(NOAB+AOBA)

=180。_（90。_；/0

=90°+-ZC.

2

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上.

⑴畫出AA8c中邊8c上的高40,邊/C上的中線BE；

（2）已知的周長比A8CE的周長大45,則AB比3C長

（3）直接寫出AABE的面積為

【答案】（1）見解析

(2)45；

⑶4.

【分析】本題考查了基本作圖，三角形的高和中線的定義，根據(jù)題意利用網(wǎng)格畫出符合題意的圖形是解題

的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)三角形的高和中線的定義畫出圖形即可；

（2）根據(jù)三角形的中線定義可得=根據(jù)題意可得4B+4E+BE-（BC+CE+2E）=45,即可求解;

（3）先求出S“Bc=g80/0=8,再根據(jù)BE是。2C的中線，得到以"上=，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段N。、線段8E即為所求;

???AABE的周長比ABCE的周長大45，

AB+AE+BE-(BC+CE+BE)^45,

AB-BC=45,

故答案為：45；

(3)；S“"c=ggCSO=gx4x4=8,BE是A48C的中線,

一S&ABE=]S/\ABC=4,

故答案為：4.

22.如圖，在四邊形48c。中，44=150。，40=80。.

(2)如圖2,若//8C的平分線BE交DC于點(diǎn)E,且BE〃4試求出/C的度數(shù)；

(3)①如圖3.若NA8C和NDCB的平分線交于點(diǎn)P,試求出N2PC的度數(shù)；

②如圖4,P為五邊形"COE內(nèi)一點(diǎn)：DP,CP分別平分/EDC,/BCD,請直接寫出/尸與//++/E

的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)65

(2)ZC=70°

(3)①/BPC=115。，②/尸=白土1+2-90。,理由見解析

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，結(jié)合已知條件求解即可；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/Z8E的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到//8C的度數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)四邊

形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；

(3)①先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得出ZABC+/BCD=130。，由角平分線的定義得出NPBC+/PCB=65°,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；②由五邊形的內(nèi)角和定理得出

NEDC+ABCD=540°一(//+Z8+/￡),由角平分線的定義得出NPDC+ZPCD=5'。。,

即可得出答案.

【詳解】(1)解：?.?//+Z8+/C+ZD=360°,Z^=150°,ZD=80°,ZB=ZC,

3600-ZA-ZD360°-150°-80°「°

ZC=------------=-------------=65,

22

故答案為：65:

(2)解：VBE//AD,

.,.//BE+4=180°,

ZABE=180。-//=180。-150°=30°,

/ABC的平分線BE交DC于點(diǎn)E,

：.NABC=60°,

ZC=360°-(150°+80°+60°)=70°；

(3)解：①???四邊形/8C。中，44=150。，ZD=80°

...NABC+ZBCD=360°-(150°+80°)=130°,

???/ABC和ZBCD的平分線交于點(diǎn)P,

NPBC=-NABC,NPCB=-ZDCB,

22

：.ZPBC+ZPCB=65°,

.?./BPC=180°-65°=115°；

②,??五邊形ABCDE的內(nèi)角和為180。x(5-2)=540°,

...ZEDC+/BCD=540°-(ZA+ZB+ZE),

/瓦)C和NBCD的平分線交于點(diǎn)P,

ZPDCB=-ZEDC,/PCD=-ZDCB,

22

540。一(44+/5+/￡)

???ZPDC+/PCD=------------------------------L,

2

“=180。.54。"+4+">="±々+"_90。,

22

23.某數(shù)學(xué)興趣小組為了研究多邊形中從一個(gè)頂點(diǎn)可以作幾條對角線，以及該多邊形中對角線的總條數(shù)與

邊數(shù)的關(guān)系，他們決定從以下圖形開始尋找規(guī)律.

⑴在圖5中畫出從A點(diǎn)出發(fā)的所有對角線;

(2)根據(jù)探究，整理得到下面表格：

多邊形的邊數(shù)45678...n

從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)12345...a

多邊形對角線的總條數(shù)2591420...b

①表格中。=，b=；(用含〃的代數(shù)式表示)

②拓展應(yīng)用：

若該校要舉辦足球比賽，總共有11個(gè)班級(jí)參加比賽，規(guī)定每個(gè)班級(jí)都要和其他班級(jí)比賽一次，請計(jì)算總共

要比賽多少場.

【答案】(1)見解析

(2)①〃-3，n(n~3).②55場

【分析】本題考查了多邊形的對角線，根據(jù)表格信息尋求規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)連接作圖即可；

(2)①根據(jù)所給數(shù)據(jù)規(guī)律解答即可；

②根據(jù)每班都需要和對手比賽一次，且一次比賽能滿足2個(gè)班級(jí)的比賽需求列式運(yùn)算即可.

【詳解】(1)如圖所示，即為所求；

⑵解:①”3,或

@11x(11-1)-2=55(場),

答：共需要比賽55場.

五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

24.如圖1,凹四邊形NBDC形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”.

模型探究

（1）如圖1,在規(guī)形/8OC中，請?zhí)骄縉4NB、ZGND之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

實(shí)踐應(yīng)用

（2）應(yīng)用（1）中探究的結(jié)論解決下列問題：

①如圖2,在規(guī)形/ADC中，/A8D與的角平分線3E、CE交于點(diǎn)、E,若乙BDC=145°,NN=85。,

則NBEC的度數(shù)是。；

②如圖3,在規(guī)形/ADC中，若N8/C、NADC的角平分線NE、DE交于點(diǎn)E,且48>NC,試探究

NE、NB、/C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】（1）ZBDC=ZBAC+ZB+ZC,理由見解析；（2）①115；②/￡=理由見解析；

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

（1）連接ND,并延長到點(diǎn)E,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到N3=N1+N&Z4=Z2+ZC,兩式相加即得解；

（2）①由（1）知442。+//。=/8。。-44=60。，結(jié)合角平分線性質(zhì)，得到乙18。=2N/5E、

NACD=2NACE,代入得至UNA8E+N/CE=30。，再利用第（1）問結(jié)論可得=++

即可求解；

②由（1）知NBOC=NB/C+N8+NC,結(jié)合角平分線性質(zhì)，得至1」/3=；/8￡^=3（/氏4。+/8+/。）,

N1=；NB4C,利用三角形的外角性質(zhì)得到NE=N5-N3,N5=Nl+4,代入即可得解；

【詳解】解：（1）NBDC=NBAC+NB+NC,

理由：如圖1,連接并延長到點(diǎn)E,

圖1

則N3=/l+/&Z4=Z2+ZC,

.-.Z3+Z4=Z1+Z2+ZB+ZC,

即ZBDC=ZBAC+NB+NC；

(2)①由(1)知/A3O+N4C〃=N3￡>C-N/=60。,

,；BE平分NABD、CE平分/AC。，

NABD=22ABE、NACD=2NACE,

.?.2(N/8E+4CE)=60。，

；.NABE+NACE=30。,

則NBEC=ZA+ZABE+N/CE=85°+30°=115。；

②ZE=-ZB--ZC,

22

理由：如圖3,

圖3

由(1)知NBDC=NBAC+NB+NC,

?；DE平分NBDC,

Z3=IZBDC=+NB+ZC),

???4E平分NA4C,

.-.Zl=-ZBAC,

2

vZE,=Z5-Z3,Z5=Z1+Z5,

ZE=Z1+ZB-Z3

=-ZBAC+ZB--ZBDC

22

=1zJB^C+ZS-1(ZJ8^C+Z5+ZC)

=izs-izc,

22

即.

22

25.如圖1,NMCW=90。，點(diǎn)48分別在0MCW上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)。重合)，3C是//5N的平分線，BC

的反向延長線交NCU5的平分線于點(diǎn)D.

圖1圖2備用圖

【特殊探究】

⑴若N8/O=60。，貝ljND=0；

【推理論證】

(2)隨著點(diǎn)42的運(yùn)動(dòng)，的大小是否會(huì)變化？如果不變，求/。的度數(shù)；如果變化，請說明理由.

【拓展探究】

(3)如圖2,直線4與直線4相交于點(diǎn)。，夾角為。，點(diǎn)