2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圖形的旋轉(zhuǎn)（36題）解析版

專題21圖形的旋轉(zhuǎn)（36題）

一、單選題

1.（2024?湖北?中考真題）平面坐標(biāo)系尤2y中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,6）,將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

【答案】B

【分析】本題考查坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn).過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)A分別作x軸的垂線，證明會(huì)￡OAC（AAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6＞據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)4分別作1軸的垂線，垂足分別為BC,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,6),

OB=4,AB=6,

???將線段。4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到04,

：.OA=OAfNAQ4'=90。，

???ZAOB=90°-ZArOC=ZOAC,

AAOB^O4rC(AAS),

**.AC=OB=4,OC=AB=6,

，?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,4）,

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故選：B.

2.（2024.吉林?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）.以04OC

為邊作矩形。1BC,若將矩形Q4BC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C,則點(diǎn)？的坐標(biāo)為（）

B'

A.(“2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性質(zhì)可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。V=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,

OA=4,OC=2,

?..四邊形。1BC是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

:將矩形。"C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C',

OA'=OA=4,AB'=AB=2,ZOAB'=90°,

：.A?。軸，

???點(diǎn)8’的坐標(biāo)為（2,4）,

故選：C.

3.（2024?天津?中考真題）如圖，A8C中，48=30,將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到.DEC,點(diǎn)A8

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為RE,延長(zhǎng)W交DE于點(diǎn)尸，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

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【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得NBCE=NACD=60。，結(jié)合48=30,即可得證3尸，CE,再根

據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行，來(lái)分析AC〃DE不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運(yùn)算或線段的運(yùn)算

得出A和C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

【詳解】解：記所與CE相交于一點(diǎn)H,如圖所示：

：ABC中，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,

ZBCE=ZACD=60°

"?ZB=30°

.?.在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BFLCE

故D選項(xiàng)是正確的，符合題意；

設(shè)NAC"=x。

ZACB=60°-x°,

"?ZB=30°

/.ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x。

NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150。+x°

：廿不一定等于30。

Z./EDC+/ACD不一定等于180。

?*.AC〃DE1不一定成立，

故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；

VZACB=6O°-x°,ZACD=60°,廿不一定等于0。

NACB=/ACD不一定成立，

故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；

?..將ASC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得至LDEC,

：.AB=ED=EF+FD

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/.BA>EF

故C選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：D

4.(2024?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。(4,-2),將RtAOCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到

位置，則點(diǎn)8坐標(biāo)為()

A.(2,4)B.(4,2)C.(-4-2)D.(-2,4)

【答案】A

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到RtM3RtAO4B,推出

OA=OC=4,AB=CD=2即可求角軋

【詳解】解：：。(4,-2),

AOC=4,CD=2,

,：將Rt^OCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OAB,

/.RtAOCE^RtA.OAB,

Q4=OC=4,AB=CD=2,

.??點(diǎn)2坐標(biāo)為(2,4),

故選：A.

5.(2024?江蘇無(wú)錫?中考真題)如圖，在ABC中，ZB=80°,ZC=65°,將：ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

AAB'C'.當(dāng)AQ落在AC上時(shí)，/54C'的度數(shù)為()

A.65°B.70°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/B'AC'=/B4C,

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由三角形內(nèi)角和定理可得出48'47=/朋。=35。，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出/B'AC'=NBAC,

ZBAC+ZB+ZC=180°,

ZBAC=180。—80°—65°=35°,

：.ZB'AC'=ABAC=35°,

：.ABACABAC+ZB'AC70°,

故選：B.

6.（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,3c=6,點(diǎn)〃是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、N

是A￡）邊上任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)N',則△MBN'周長(zhǎng)的最小值為

A.15B.5+5岔C.10+5近D.18

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)N'的軌跡是解題的關(guān)鍵.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

結(jié)合AAS證明四△GMN',推出MG=AM=5,得到點(diǎn)N'在平行于48,且與的距離為5的直

線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)M關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)M',連接M'B交直線EF于點(diǎn)、N',此時(shí)△MBN'周長(zhǎng)取得最小值，

由勾股定理可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)N'作交AZ）、BC于E、F,過(guò)點(diǎn)/作尸垂足為G,

?..矩形ABCD,

AB//CD,

：.ABEFCD,

/.四邊形AMGE和BMG/都是矩形,

ZA=ZMGN'=9Q0,

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由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZNMV，=90。，MN=MN',

：.ZAMN=90°-ZNMG=ZGMN',

：.iAMN^GMN'(AAS),

：.MG=AM=5,

...點(diǎn)N'在平行于AB,且與AB的距離為5的直線上運(yùn)動(dòng)，

作點(diǎn)M關(guān)于直線所的對(duì)稱點(diǎn)財(cái)，連接交直線所于點(diǎn)N',此時(shí)△MBN'周長(zhǎng)取得最小值，最小值為

BM+BM',

'：BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

BM+BM'=5+yj52+l02=5+5A/5-

故選：B.

7.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，ASC中，AB=BC=1,ZC=72°.將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到△AB'C',點(diǎn)"與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C'與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn).若點(diǎn)C'恰好落在8C邊上，下列結(jié)論：①

點(diǎn)8在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是②3幺〃BC;③30=CD；④嘿=22.其中正確的結(jié)論是（）

5ACBD

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項(xiàng)，即可求解.

【詳解】解：：AB=3C,ZC=72°,

AZBAC=ZC=12°,ZABC=180°-2NC=36°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZAB'C=ZABC=36°,ZB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=NC=72°,ZAC'B'=ZADC=72°,

AC'=AC,

：.ZAC'C=/C=72°,

ZCAC=36°,

：.NC4c'=NB4C'=36°,

ZB'AB=72°—36°=36°,

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由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB'=AB,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

=:萬(wàn)；①說(shuō)法正確;

②；/3'AB=NABC=36°,AB'A//BC-,②說(shuō)法正確;

③ZDC'B=180°-2x72°=36°,

ZDC'B=ZABC=36°,

：.BD=C'D-,③說(shuō)法正確;

④：ZBB'D=ZABC=36°,ZB'BD=ZBAC=72°,

AB'BAABAC,

.ABB'B-r--rz,

一"工.④說(shuō)法正確;

ACDD

綜上，①②③④都是正確的,

故選：A.

8.（2024.四川廣元?中考真題）如圖，將ASC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到VAZ5E,點(diǎn)B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為點(diǎn)。，E,連接CE,點(diǎn)。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=l,則4）的長(zhǎng)為（）

C.2D.2后

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得AC=AE,

ZCAE=90。，DE=3C=1,推出^ACE是等腰直角三角形，CE=4,過(guò)點(diǎn)A作AHLCE于點(diǎn)H,得到EZD=1,

利用勾股定理求出AO的長(zhǎng).

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得△ABC//C4E=90。,

：.AC=AEfZCAE=90°,DE=BC=1,

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，"CE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

過(guò)點(diǎn)A作AH，CE于點(diǎn)打，

：.AH=-CE=CH=HE=2,

2

?*.HD=HE-DE=2-1=1,

?*-AD=^AH2+HD2=V22+12=V5，

故選:A.

9.（2024?重慶?中考真題）如圖，在正方形A3CD的邊CD上有一點(diǎn)E,連接AE,把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。，得到FE,連接CP并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.則—的值為（）

「3A/2n3百

.---\-j.-----------

22

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)/作DC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)兒則NH=90。，證明ADEWEHF,則A￡>=&7=1,

設(shè)DE=HF=x,得到HF=CH=x,則NHW=45°,故CF=?x,同理可求CG=J^BC=JL貝U

FG=CG-CF=6（1-X）,因此￡2=10二0=0.

CE1-x

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作DC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)”，則/〃=90。，

ABG

由旋轉(zhuǎn)得以=￡F,ZAEF=90°,

:四邊形A8CD是正方形，

；.2D90?,DC//AB,DA=DC=BC,設(shè)ZM=OC=3C=1,

?*.ZD=ZH,

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???NAEH=N1+NA￡F=N2+ND,

AZ1=Z2,

/.ADE^EHF,

：?DE=HF,AD=EH=1,設(shè)DE=HF=x,

貝！JCE=DC—。石=1—%,

：.CH=EH-EC=\-(1-x)=x,

：.HF=CH=x,而NH=90。,

NHCF=45。，

HF

CF==y/2x,

sin45°

???DC//AB,

：.ZHCF=ZG=45°,

同理可求CG=V2BC=V2，

FG=CG-CF=y/2-y/2x=y/2（l-x）9

.FGV2（1—X）r-

??------------------=72,

CE1-x

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔

助線，構(gòu)造“一線三等角全等”是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABJLy軸，垂足為點(diǎn)8,將，ABO繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)到VA旦。的位置，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)耳落在直線y=上，再將VA旦&繞點(diǎn)B,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

4

的位置，使點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2也落在直線y=上，如此下去，……,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,則

點(diǎn)用7的坐標(biāo)為（）.

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

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【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn).找出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律以

及旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段長(zhǎng)度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

通過(guò)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，AB.OA,0B的長(zhǎng)度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)逐步推導(dǎo)出后續(xù)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，然后

結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】48-1》軸，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,3）,

3

0B=3,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3,代入y=

4

得：x=T,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,3）.

0B=3,AB=4,

OA=V32+42=5>

由旋轉(zhuǎn)可知，OB=O[B[=O2B2=…=3,0A=A=02A=…=5,AB=AB{==…=4,

OB{=OA+ABl=4+5=9,4用=3+4+5=12,

B&3=B3B5==B35B37=12,

(37-1)

OB37=0Bx+8四=9+'2'x12=225.

設(shè)點(diǎn)島的坐標(biāo)為］ja),

則OB37=J/+L=225,

3

解得4=一180或180(舍去)，貝U--。=135,

4

二點(diǎn)用7的坐標(biāo)為(-180,135).

故選C.

11.（2024?四川南充?中考真題）如圖是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦

圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成.在正方形ABC。中，AB=10.下列三個(gè)結(jié)論:

3

①若tanZA。9=：,則跖=2；②若Rt^ABG的面積是正方形EFG8面積的3倍，則點(diǎn)P是AG的三等

分點(diǎn)；③將ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADG,則BG'的最大值為5指+5.其中正確的結(jié)論是（）

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D

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

AF3

【分析】根據(jù)tan/AZ）/=—=—,設(shè)A方=3%,得到。尸=4%,進(jìn)而得至!JAD=5x=AB=10,求出工的值,

DF4

3

判定①，根據(jù)Rt^ABG的面積是正方形￡FGH面積的3倍，求出AG=7BG,進(jìn)而得到

FG=AG-BG=^AG,判斷②；旋轉(zhuǎn)得到ZAG'D=ZAGB=90°,進(jìn)而得到點(diǎn)G'在以AO為直徑的半圓上,

取AD的中點(diǎn)。，連接80,0G',得到5GW30+0G',判斷③.

AF3

【詳解】解：在RtAD尸中，tanZADF=—=—,

DF4

???設(shè)A產(chǎn)=3%,貝lj：DF=4x,

AD=5x=AB=10,

??x=2,

：.AF=6,DF=8,

■:DFA^AGBmBHC§CED,

DE=AF=6,

；.EF=DF—DE=2；故①正確；

1?

若Rt^ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，貝U：-AGBG=3FG2=3（AG-BG）-,

AAGBG=6（AG-BG）2,即：6AG2-13AGBG+6BG2=0,

3?

???AG=—BG或AG=—BG（舍去），

23

/.FG=AG-BG=-AG,

3

；?點(diǎn)產(chǎn)是AG的三等分點(diǎn)；故②正確；

,/將ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,

ZAG'D=ZAGB=90°,

.?.點(diǎn)G'在以AD為直徑的半圓上，

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取AD的中點(diǎn)。，連接80,0G',貝ij：BG'<BO+OG',OG'=0A=-AD=5,

2

BO=y/o^+AB2=5A/5，

?*.BG'<BO+OG'=5^/5+5,

即：BG'的最大值為5指+5;故③正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解一元二次方程，求圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最

值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

12.（2024.北京?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZBAD^6O°,。為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形ABCD繞點(diǎn)0

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到菱形AB'C'D',兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為E,F,G,H.對(duì)八邊形BEB'GDTiO'E給出下面

四個(gè)結(jié)論：

①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；

②該八邊形各內(nèi)角都相等；

③點(diǎn)。到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；

④點(diǎn)0到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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【答案】B

【分析】根據(jù)菱形ABCD,ZaW=60°,則/B4O=/IMO=30。，ZAOD^ZAOB=90°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得到點(diǎn)4,。',3',。'一定在對(duì)角線4。,8。上，且OD=OU=OB=OB',OA=OA'=OC=OC,繼而得到

AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H=30°,結(jié)合川HA=/DHC',繼而得到；AD'H^.,C'DH,可證DH=DH,

C'H=AH,同理可證。'E=BE,BF=HF,3'G=DG,證二A'BEgCI汨,繼而得到=得到

DH=BE=DH=UE=BF=FB，=B，G=DG,可以判定該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，故①正確；根據(jù)角的平

分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據(jù)題意，得

ZED,H=120°,結(jié)合/DOD=90。，NODH=NODH=60。,得到NZ)7iD=150。，可判定②該八邊形各

內(nèi)角不相等；判定②錯(cuò)誤，證D'OH^DOH,進(jìn)一步可得ODKOH,可判定點(diǎn)。到該八邊形各頂點(diǎn)的

距離都相等錯(cuò)誤即③錯(cuò)誤，解答即可.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】向兩方分別延長(zhǎng)3。，連接的，

根據(jù)菱形ABCD,ZBW=60°,則/S4O=/ZMO=30。，ZAOD^ZAOB^90°,

菱形ABCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形AB'C'D',

.?.點(diǎn)A,C'一定在對(duì)角線AC,8。上，且OD=OD=OB=OB',Q4=(M'=OC=OC,

AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H=30°,

ZD'HA^ZDHC,

：.AD'H^C'DH,

：.DH=DH,C'H=AH,同理可證。'E=3E,B尸=3'尸,3'G=Z)G,

?/ZEA'B=ZHC'D=30°,A'B=CD,ZABE=ZC'DH=120°,

ABE^CDH,

：.DH=BE,

：.DH=BE=DH=D'E=BF=FB'=B'G=DG,

,該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，

故①正確；

根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，

???④正確；

根據(jù)題意，得NEDH=120。,

/DOD=90°,ZOD'H=Z.ODH=60°,

ZD'HD=150°,

第13頁(yè)共61頁(yè)

該八邊形各內(nèi)角不相等；

.?.②錯(cuò)誤，

根據(jù)OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

iD'OH^DOH,

ND'HO=ZDHO=75°,

Z（9DH=60°,

故ODwOH,

/.點(diǎn)0到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等錯(cuò)誤

③錯(cuò)誤，

故選B.

二、填空題

13.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，在,ABC和VADE中，AB=AC,ABAC=ZDAE=40°,將VAZJE

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)AD/3c時(shí)，/的度數(shù)是.

【答案】60?；?20。

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫(huà)出圖形，再結(jié)合等腰三角形的

性質(zhì)與角的和差運(yùn)算可得答案；

【詳解】解：如圖，當(dāng)4J/3C時(shí)，延長(zhǎng)AO交BC于J,

第14頁(yè)共61頁(yè)

A

VAB=AC,NBAC=NDAE=40°,

：.ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=200+40°=60°；

如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)ZM交BC于J,

VAB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,

：.ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=180°-20°-40°=120°,

故答案為：60?；?20。

14.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊與直線/重

合，A3=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑

長(zhǎng)至少為cm.（結(jié)果保留萬(wàn)）

【答案】87r

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握弧長(zhǎng)公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/4BC=/A'3c=60。,即N/曲=120°,再根據(jù)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為以B為圓心,

以A3為半徑的圓弧的長(zhǎng)即可解答.

第15頁(yè)共61頁(yè)

【詳解】解：???將該三角板繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上,

ZABC=ZABC=60°,即ZA'BA=120°,

點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為~=8兀.

loU

故答案為：8兀.

15.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,tanZ5AC=1,BC=2,AD=1,

線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)2為（7。的中點(diǎn)，則的最大值是.

B

C

【答案】272+1

【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出3P取最大值時(shí)B、

P、M三點(diǎn)的位置關(guān)系.

取AC的中點(diǎn)連接PM、BM,利用解三角形求出=dMC，+BC?=20，利用三角形中位線定理

推出加=工4。=,，當(dāng)AD在AC下方時(shí)，如果8、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值.

22

【詳解】解：取AC的中點(diǎn)連接尸加、BM.

VZACB^90°,tanZBAC=-,BC=2,

2

：,AM=CM=-AC=2,

2

?*-BM=ylMC2+BC2=A/22+22=2夜，

VP,M分別是CD、AC的中點(diǎn)，

PM=-AD=-.

22

如圖，當(dāng)AO在AC下方時(shí)，如果8、P、〃三點(diǎn)共線，則BP有最大值,

第16頁(yè)共61頁(yè)

最大值為BM+MP=26+L

2

故答案為：2V2+1.

16.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，直線y=2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A,B,將“108繞點(diǎn)A

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到ACD,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【答案】(-3,1)

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，延長(zhǎng)DC交y軸

于點(diǎn)E,先求出點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明四邊形Q4CE是正方形，進(jìn)而求出DE和OE的

長(zhǎng)度即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)DC交y軸于點(diǎn)E,

y=2x+2中，令x=0,貝l]y=2,令y=2x+2=0,解得了=-1,

OA=1,OB=2,

AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到；ACD,

ZACD=ZAOB=ZOAC=90°,OA=OC=1,OB=CD=2,

四邊形Q4CE是正方形.

CE=OE=OA=1,

第17頁(yè)共61頁(yè)

DE=CD+CE=2+1=3,

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,1）.

故答案為：（-3,1）.

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在ABC中，NACB=90。，AC=BC=2也,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

連接8￡>,將BCD繞點(diǎn)、B旋轉(zhuǎn),得到一5E7L連接CF,當(dāng)CF〃AB時(shí)，CF=.

【答案】2+76/76+2

【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)的綜合，掌

握等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB,CD,BD,3尸的值，作BGLCF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得BCG是

等腰直角三角形，可求出CG,3G的長(zhǎng)，在直角BFU中，根據(jù)勾股定理可求出fU的長(zhǎng)度，由此即可求

解.

【詳解】解：；在sABC中，ZACB=90°,AC=BC=2①,

：.Z.CAB=ZCBA=45°,AB=y/2AC=4,

:點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

AD=CD=-AC=y/2,

2

在RtBCD中，BD=yJCD2+BC2=J（應(yīng)J+僅&/=如,

,/將BCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到一BEF,

BCD-BEF,

:.BD=BF=?,EF=CD=血，BC=BE=2也，

如圖所示，過(guò)5GLCF于點(diǎn)G,

,/CF//AB,

第18頁(yè)共61頁(yè)

，NFCB=NCBA=45°,

BCG是等腰直角三角形，且BC=20，

/.CG=BG=—BC=—x2-j2=2,

22

在Rf3FG中，F(xiàn)G=_BG。=小卜時(shí)一2。=布,

CF=CG+FG=2+y/6,

故答案為：2+娓.

18.（2024?四川瀘州?中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移。（。＞0）個(gè)單位，再

繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的變換.如：點(diǎn)A（2,0）按照「（1,90。）變

換后得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-L2）,則點(diǎn)B（V3,-1）按照0（2/。5°）變換后得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

t答案12,吟

【分析】本題考查了解直角三角形,坐標(biāo)與圖形.根據(jù)題意，點(diǎn)B（區(qū)一?向上平移2個(gè)單位,得到點(diǎn)C（A/3,1）,

再根據(jù)題意將點(diǎn)C（有」）繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)105。，得到O?=OC=2,ZBW=45°,據(jù)此求解即

可.

【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)網(wǎng)退,-1）向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)C（百,1）,

OC=J+（陰=2,sinZCOE=^|=1,

ZCOE=30°,

根據(jù)題意，將點(diǎn)C（0,1）繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)105。,

AB'OE=105°+30°=135°,

作耳。1,無(wú)軸于點(diǎn)。，

第19頁(yè)共61頁(yè)

OB'=OC=2,ZB'OD=180°-135°=45°,

‘B'D=OD=OB'-sin45°=夜，

點(diǎn)8'的坐標(biāo)為卜0），

故答案為：（-叵吟.

19.（2024?江蘇蘇州?中考真題）直線］：y=x-l與％軸交于點(diǎn)A,將直線自繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。，得到直線

12,則直線4對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是.

【答案】y=

【分析】根據(jù)題意可求得4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A和點(diǎn)8,可得ZOAB=ZOBA=45°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到ZOAC=60°,

則NOC4=30。，求得OC=g,即得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線4的解析式.

【詳解】解：依題意畫(huà)出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象4和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象4,如圖所示：

設(shè)4與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)8,

令尤=0,得y=-l；令y=o,即x=l,

AA（l,0）,8（0,-1）,

Q4=l,OB=L

即ZOAB=ZOBA=45°

???直線4繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。，得到直線4,

Z（MC=60°,/OC4=30。，

/.OC=OAxtan60°=&OA=6,

則點(diǎn)C僅,-旬,

設(shè)直線4的解析式為，=履+6,則

第20頁(yè)共61頁(yè)

Q=k+bk=>/3

解得＜

Y=bb=-y/3

那么，直線'的解析式為丁=后「6,

故答案為：y=y/3x-y/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、直線的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)

解析式，解題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的直角邊長(zhǎng).

20.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)、B,C

均在無(wú)軸上.將，ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到△AB'C,則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

【答案】（4,4-孚）

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.作CFJLAO,

求出。尸，C'/的值即可得到答案.

ABC是等邊三角形，AO1BC,

AO是的角平分線，

:.ZOAC^30°,

OC=-AC,

2

第21頁(yè)共61頁(yè)

在RtAOC中，AO2+OC2=AC2,

BP16+(-AC)2=AC2,

2

解得AC二述，

3

AC=AC=—,

3

4^3

OF=AO-AF=4-ACcos60°=4一一—,

3

空=m'—6。。=半

…一用

故答案為：(4,4-券).

三、解答題

21.(2024.山東濟(jì)寧.中考真題)如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(l,3)1(3,4),。(1,4).

yik

6

5_____I____L

4C；;B\\

3

A\\

2

1

o123456%

(1)將ABC向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得△A與C，畫(huà)出平移后的圖形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)用的坐標(biāo);

(2)將△44C繞點(diǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得44G.畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑

長(zhǎng).

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，耳(3,2)

⑵作圖見(jiàn)解析，兀

第22頁(yè)共61頁(yè)

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

(1)利用平移的性質(zhì)作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線即可，

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線，G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C?所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)即為弧長(zhǎng)即可可求解

【詳解】(1)解：44瓦G如下圖所示:

(2)解：小8。2如上圖所示:

X90°TTX2X90°

G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c所經(jīng)過(guò)的路徑為:--------------------=-------------------=71

2180180

22.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，RtAABC中,1B90?.

(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線8。(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法);

(2)在(1)所作的圖中，將中線8。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到。。，連接AO,CD.求證：四邊形ABCD

是矩形.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);

(1)作出線段AC的垂直平分線ER交AC于點(diǎn)。，連接2。，則線段80即為所求；

(2)先證明四邊形A3CD為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，線段2。即為所求；

第23頁(yè)共61頁(yè)

:由作圖可得：AO=CO,由旋轉(zhuǎn)可得：BO=DO,

，四邊形ABCD為平行四邊形,

ZABC=90°,

四邊形ABC。為矩形.

23.（2024.甘肅蘭州.中考真題）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問(wèn)題，如圖，在ABC

中，點(diǎn)N分別為AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AN=3M.

【初步嘗試】（1）如圖1,當(dāng)，ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

連接80,則朋N=D3,請(qǐng)思考并證明：

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2,在ABC中，AB=AC,ABAC=90°,

AE，ACV于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MD,連接DA,DB.試猜想四邊形AFBD

的形狀，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在ABC中，AB=AC=4,4c=90。，連接BN,

CM,請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值.

【答案】（1）見(jiàn)詳解，（2）四邊形的BD為平行四邊形，（3）4百

【分析】（1）根據(jù)等邊三角的性質(zhì)可得ZA=60°,AB=AC,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=AM,ZAMD=120。,

從而可得NDMB=NA=60。，證明一絲MBO（SAS）,即可得證；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NABC=45。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MA=Mr）,/AMD=NAffiA=45。,

第24頁(yè)共61頁(yè)

ZDMA=ZDMB=90°,從而可得NM4D=NAB尸=45。，由平行線的判定可得AE)〃跳',證明

ANM^MEDUSAS),可得Z4A4N=NMDB,利用等量代換可得NDfiM=NM4F,再由平行線的判定可

得Z)B〃AF,根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；

(3)過(guò)點(diǎn)A作NBAG=45。，^,AG=CB,連接GM、GC,BG,延長(zhǎng)CB,過(guò)點(diǎn)G作GO_LCB于點(diǎn)。,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證NG4M=NBCN=45。，證明GAM"BCN(SAS),可得GM=EV,從而可

得當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，3N+CM的值最小，最小值為CG的值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義

可得NGBO=45。，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得OG=O8=2夜，從而可得OC=60，再

利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明??[ABC為等邊三角形，

/.ZA=60°,AB=AC,

,：繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到MD,

DM=AM,ZAMD=120。，

ZDMB=60°,

,:AN=BM,ZDMB=ZA=60°,

.ANM^,MBP(SAS),

MN=DB；

(2)解：四邊形AF3D為平行四邊形，理由如下，

VAB=AC,/B4c=90°,

ZABC=A5°,

,/繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到MD,

MA=MD,ZMAD=AMDA=45°,ZDMA=ZDMB=9OO,

：.ZMAD=ZABF=45°,

則尸，

在工AW和二MB。中，

'MA=DM

<AMAN=ZDMB,

AN=MB

：.ANM^MBO(SAS),

ZAMN=ZMDB,

?：AE1MN,

第25頁(yè)共61頁(yè)

ZAMN+ZMAE=90°,

ZMDB+ZMBD=90。,

：.ZDBM=ZMAFf

:.DB//AF,

則四邊形AFBD為平行四邊形；

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作NB4G=45。，使AG=CB,連接GM、GC,BG,延長(zhǎng)CB,過(guò)點(diǎn)G作GOLCB

于點(diǎn)。

,.,AB=AC=4,ABAC=90°,

：.ZABC=ZACB=45°f

：./GAM=NBCN=45。,

■:AN=BM,

：?AM=CN,

又=AG=CB,

；?GAMgBCN(SAS),

:.GM=BN9

：.BN+CM=GM+CM>CG,

???當(dāng)點(diǎn)G、M,。三點(diǎn)共線時(shí)，5N+。/的值最小，最小值為CG的值，

ZGAM=ZABC=45°,

:.AG//BC,

：.ZBAC=ZABG=90°f

：.ZGBO=180°-ZABG-ZABC=45°,

NG5O=45。，

:.OG=OB,

GB=叵OB=V2OG，

OG=OB=2yf2,

???OC=6亞，

在RtGOC中，GC=J(2V2)2+(6&『=4百，

???BN+CM的最小值為4A/5.

第26頁(yè)共61頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定、旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理得出當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CM的值最小，最

小值為CG的值是解題的關(guān)鍵.

24.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，矩形紙片的長(zhǎng)為4,寬為3,矩形內(nèi)已用虛線畫(huà)出網(wǎng)格線，每個(gè)小

正方形的邊長(zhǎng)均為1,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對(duì)矩形紙片進(jìn)行剪裁，使其分成兩塊紙片.請(qǐng)

在下列備用圖中，用實(shí)線畫(huà)出符合相應(yīng)要求的剪裁線.

注：①剪裁過(guò)程中，在格點(diǎn)處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；

②在各種剪法中，若剪裁線通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等圖形的定義與性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生實(shí)際的動(dòng)手操作能力，根據(jù)

全等圖形的性質(zhì)分別畫(huà)出符合題意的圖形即可.

，AC=3C,。為直線8C上任意一點(diǎn),

連接AD.將線段AD繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得線段即，連接BE.

圖1圖2

【嘗試發(fā)現(xiàn)】

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段3C上時(shí)，線段BE與co的數(shù)量關(guān)系為；

【類比探究】

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段3C的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段BE與8的數(shù)量關(guān)系并證明；

【聯(lián)系拓廣】

(3)若AC=BC=1,CD=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出sin/EC。的值.

【答案】(1)BE=V2CZ);(2)BE=gCD，補(bǔ)圖及證明見(jiàn)解析；(3)sinNEC。=冬叵或sinNECD=3叵

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