2025中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識+公式

2025中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識+公式

[?：-1,0,1-.

有理數(shù)［分?jǐn)?shù)愛片…注意：分?jǐn)?shù)定為有理數(shù)

［開方開不盡的：j5--JZ3/6-

無理數(shù)｛產(chǎn)有n■的：277,g

I類似于0.10100100010000…的無限不循環(huán)小數(shù)

2.負(fù)指數(shù)累

1=%(-2尸=-：

T

9

零次累a°=1(除0外的任何數(shù)的0次方為1)例：=1；(-3)°=1；(71-5)°=1

3.近似數(shù)與精確度：近似數(shù)1.60萬精確到位；1.6x104精確到位；近似數(shù)

1.6的取值范圍.

4.科學(xué)記數(shù)法的形式:axl0"(l<|a|<10,〃為整數(shù))

用科學(xué)計數(shù)法表示：160000000=,0.00000016=L

1.6億用科學(xué)計數(shù)法表示：

5,乘法公式：

平方差公式：(〃+/?)(〃-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

變形公式：4+=(〃+42_2ab-(a-Z?)2+2ab

(a-Z?)2=(Q+bf_4ab、(a+/?)2=(a-bf+4ab

(a+Z?+c)2=/+層+c2+lab+2ac+2bc

/++d-ab-ac-be-:[(a-/?)2+(Z?-c)2+(a-c)2]

5.三角函數(shù)值

正弦:sinB=sin30o=-sin45o=sin60o=正

977

弦值隨角度的增大而增大.

余弦：cosB二cos30o='3cos45o='一cos60o=—余弦值隨角度的增大而減小.

AR??7

正切:tan3=ftan30。=tan45。=1tan60o=Ji正切值隨角度增大而增大.

BC4

公式：當(dāng)a+G=90o時?sin（7=cos）6②cos。=sin/3（3）tanOf.tan13=1

對任意銳角a①sir?a+cos?1②tana二sin°③sina+cosa>1

req。

6.平面直角坐標(biāo)系中兩點A（?，M）,33,%），C是線段AB的中點，貝lj

。C點坐標(biāo)（陽+幻-+必）例如：A（2'3）;B（-3,2）

則:①中點C[,一）

O線段AB的長度=）（一一/2）2+（乂一8）2一一

②48=J（2+3）2+（3-2『=而

7.統(tǒng)計中的特征數(shù)：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差.

有一組數(shù)據(jù)：七,它,七，…,％.共九個數(shù)，平均數(shù)為方差S?,標(biāo)準(zhǔn)差S.則

①平均拆='&+X,+天+…+X”）

n

②中位數(shù)：將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，取中間的數(shù)作為中位數(shù).若中間有2個

數(shù)，則取它們的平均數(shù)作為中位數(shù).

③眾數(shù)：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).一組數(shù)據(jù)眾數(shù)可以出現(xiàn)多個，也可能沒有.

22:2

,52=-[（^1-J）+（JC2-X）+（x3-x）+---+（jcn-x）]

④萬差：”

方差反映數(shù)據(jù)穩(wěn)定程度，方差越小越穩(wěn)定.

⑤S=而即標(biāo)準(zhǔn)差=戶墓.★連續(xù)5個整數(shù)的方差為2,標(biāo)準(zhǔn)差為?拉.

如2,3,4,5,6的方差為2.

⑥一組數(shù)據(jù)X]+l,x2+l,x3+l,...,xn+1的平均巍+1,方差$2,標(biāo)準(zhǔn)差S.

一組數(shù)據(jù)3匹+2,3電+2,3當(dāng)+2,...,3x?+2的平均數(shù)3x+2,方差9授,標(biāo)準(zhǔn)差3s.

8.特殊四邊形的證法

對角線

AH〃CD,I1AIWD

（一級對攻平行且相等）

AD〃CDCD〃BC~

（網(wǎng)粗H邊分別平行）、-越領(lǐng)邊桁等.一個角為d角八

（兩綱時邊分別相等）

It角線比宣（AC1BD）

OA=OC,OB=OD-少D平斤四邊影C

正方％C

（對角線互相平分）

■>

ft個ABC-W9)

0OSI0^(AB?IKM.DM)A)

#：叁形面枳公如2，“中比0角枕京積的半）

例如：S=2Bl）

此面&公K適合所有解角線看直的的邊雷I

9.扇形、圓柱、圓錐

1

扇形圓心角〃°，半徑R,弧長/,面積S,則

②S

圓柱高//,底面半徑r,母線/

②

Ph=l%=2m③S全面積=2乃+2乃5(DV柱二萬h

10.直角三角形相關(guān)結(jié)論,如圖上AC8=90。.

B。勾股定理AC?+BC2=AB2;

2若上A=30。，則8。=1力3;

7

①②③圖3若D是AB中點，則8=-AB-AD=BD=CD.

?

C

CD2=ADBD

2

4射影定理：^±ACB=90o,CD±ABMAC=AD-AB

ADRBC2=BDAB

_AC-BC

④⑤圖5面積法求IWJ：CD

心AR

qS+S2

St+S3=SjS'+S2M

★一般結(jié)論：以RtAABC三邊向外做相似圖形,則兩個小的面積之和等于大的圖

形的面積.

變式圖當(dāng)以AB斜邊為直徑的半圓向上畫半圓時，如

'B圖得月牙形,則有$+S2=S"

11.度分秒互化：1?=60/；1/=6OS10=3600'

例如：1。42/=1.7O1.320=1019力=1。19/12-

12.三角形面積求法.

①

SA=大矩形面積減去三個小三角形面積

13.黃金分割：若AC2=AB.BC(AC>BC),則點C稱為線段AB的黃金分割點;

B

ACV5-1

~0.618篋金比）;

一條線段有2個黃金分割點；注意：一般黃金分割值都帶根號，除非他要求精確;

黃金三角形

腰)

底一2

15.全等，相似證法

1全等：SSSSASASAAASHL（只適用RtA）

②相似：兩角對應(yīng)相等；兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等；三邊對應(yīng)成比例;

★比例中項概念：若@=即/=ac,貝帕叫做ac的比例中項.

17.平行線等積變形.

正方形AECD和正方形BFDG,可得BD//AC

'?S&ABC==^\EAECD

x

18.平面直角坐標(biāo)系中有2條直線,解析式為必=kX+伉=k2+為；%=%x+b3.

y2=k2x+b2

①當(dāng)自=履時，兩直線平行；反之兩直線平行，kx=k2.

yrkix+bt

②當(dāng)自.自=-1時，兩直線垂直；反之兩直線垂直，自.七=-1.y^kix+bt

19.平面直角坐標(biāo)系中，點到直線距離公式.（不熟練的不用）

5

一6±“2

20.①一兀二次方程：加+bx+c=0.求根公式:x=---------

2〃

②韋達(dá)定理：設(shè)巴々是方程加+bx+C-Q的兩個根，貝如+々=-2，%1.工2-—?

an

21.二次函數(shù).

表達(dá)式對稱軸頂點最值

一般式直線x=__L

y=ax1+bx+cb4ac-b2

7/7()〃,4〃)4ac-b2

4a

頂點式直線x=-mk

y-a(x+m)2+k(-m,k)

交點式直線

y-a{x-x）（x-

xX,+X)4-X,把橫坐標(biāo)、同頂點縱坐

x=-----（2，代入計算

標(biāo)

其中Xx,X2是拋物

線與X軸交點橫坐

標(biāo).

二次函數(shù)識圖-：

\如圖卜/A?川a>0（看開口方向）

\?丫』甲+bx+c（a+0）

\：[6<0（看對稱軸：左同右異）

\J/:C<0（看拋物線與y軸交點位置）

一NJyb2-Aac>0（看拋物線與%軸交點個數(shù)）

二次函數(shù)識圖二：

①y=海u拋物線頂點在原點u>6=0,c=0

②y=ax2+bxo拋物線過原點Uc=0

③y=ar+co拋物線頂點在y軸u6=0Q對稱軸為y軸

（4）y=ax'+bx+c中"-4ac=0c拋物線頂點在x軸c拋物線與x軸只有1個

交■占八、、

⑤拋物線y=ax1+bx+c與坐標(biāo)軸三個交點構(gòu)成直角三角形。ac=-1

⑥拋物線與x軸兩個交點及頂點構(gòu)成等腰直角三角形oA=4

⑦拋物線與x軸兩個交點及頂點構(gòu)成等邊三角形?！鞫?2

\/A\b六/.4\B

⑤⑥⑦

★圖像平移.口訣：左加右減，上加下減.

例如：y=丘+b向左平移1個單位，向下平移2個單位，得y=L（x+l）+b-2

y=a（x+m）2+k向右平移3個單位，向上平移1個單位，得y=a（x+m-3）2+k+1

★拋物線y=ax2+bx+c在x軸上截得的線段長度為："消。

或者是I%|=J（X]-xj2=J（X]+.0）2

22.函數(shù)應(yīng)用題

（1）利潤最值問題（二次函數(shù)）：

a.列表分析，關(guān)注未知數(shù)x表達(dá)的意思（銷售價還是降價或漲價等）

b.關(guān)注自變量的取值范圍（注意隱含的取值范圍，如整數(shù)等）

c.判斷對稱軸是否在自變量取值范圍內(nèi)：

1）在一一直接取最值（配方法、公式法）

2）不在一一根據(jù)對稱軸和開口方向判斷增減性，在自變量端點值求最值

（2）成本最值問題（一次函數(shù)）：求出自變量取值范圍，根據(jù)增減性在端點處

求最值。

（3）拱形門問題：區(qū)分清楚是二次函數(shù)問題還是圓弧形問題。

（4）圍成面積問題：注意限制條件，注意開門等條件，理解材料總長和要表示的

線段

23.一線三等角構(gòu)“K”字型相似.

B條件：±B=±AED=±C

結(jié)論：4ABEsAECD

★在某些難題中出現(xiàn)直角的條件，可嘗試構(gòu)造“K”字型相似或“K”字型全等.有時

出現(xiàn)一線上有2個等角，可嘗試畫出第3個等角，構(gòu)造“K”字型相似.（難題的解決

需要多次嘗試）

24.常見的勾股數(shù).3,4,56,8,105,12,138,15,177,24,25

對無理數(shù)的估算,乃yl.414?、八ul.73272.236

25.反比例函數(shù)基本圖形及結(jié)論.

④恒等性質(zhì)AB=CD⑤面積公式SAAOB=S梯形ACDB=--丁

26.中位線.梯形中位線EF.

三角形中位線DE(2)A>~~(如圖，梯形ABCD中，AB〃CD.

如圖：D,E是^ABC中，/\E,F分別是AD,BC中點.

AB,AC邊上中點，y---------V則有：EF〃AB〃CD

則有DE〃BC,DE」BC.

-------------VEF=1(JB+CD)

23

★中點四邊形：取四邊形的四邊中點，連成的四邊形叫中點四邊形.

。任意四邊形ABCD,取四邊的中點E,F,G,H,則四邊形EFGH是平行四邊形.

2四邊形ABCD中，AC=BD,取四邊中點E,F,G,H,則四邊形EFGH是菱形.

3四邊形ABCD,AC±BD,則中點四邊形EFGH是矩形.

4四邊形ABCD,AC=BD,AC±BD,則中點四邊形EFGH是正方形.

27.角平分線.

①角平分線+平行線一等腰三角形.②角平分線定理.三角形中（不常用）

③角平分線推廣定理

如圖，AB〃CD,CE平分NACD,

如圖，BE平分上A8C,

則4ACE是等腰三角形.:AD平分上

EF_i_AB,EH_1_BC

：AB//CD:上1=上2ABBD

：EF=EH

:上2=上3:上1=上3AC~DC

又：CE平分上AC。：AC=AE.即△ACE是等腰三角形.

④BD,CD平分NABC,ZACB,BD,CD平分NCBF,NBCE,BD,CD平分NABC,ZACE,

則ND」/A

則ND=90。+-ZA則ND=90。--ZA

277

28.(1)正方形中，ZEAF=45°.⑵三角形中剪出正方形.?；DM//BC

.,.△ADM^AABC

DMAF=［、工口

m用----=----列萬程

RCAR

例如：BC=8,AE=6,求邊長.

可設(shè)邊長X,則

x_6-x徂_24

.一6，無一亍

4

0A/=8——x

3

44

S矩=x(8——x)=——x'+8A

當(dāng)x=-'=3時，S最大=12

2a

結(jié)論：當(dāng)DM為中位線時，矩形最大.S矩形最大=

29.三角形外心，內(nèi)心，重心.

。外心（外接圓圓心，是^ABC三邊中垂線的交點）

結(jié)論:△ABC的外心到三個頂點的距離相等.

2內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心，是^ABC三條角平分線的交點）

結(jié)論：4ABC的內(nèi)心到三邊的距離

3重心（ZkABC三條中線的交點）

結(jié)論：重心將每條中線分成兩段，長度為2:1,

OAOBOC、

R即n：一=——=——=2

OFOGOF.

30.內(nèi)切圓中的部分結(jié)論公式.如圖：是4ABC的內(nèi)切圓，S表示aABC面

積，/表示aABC周長，r表示。O半徑：

結(jié)論：①AE=AF;BF=BD;CD=CE（切線長定理）

②AF+BCJ,BF+AC=—Z,CE+AB=—Z

22

'=S^AOB+SaBOC+

I111

=—AB.r+—BC.r+—AC

777?（知道三角形周長

I和面積，可求內(nèi)

與(AB+BC+AC)

I切圓半徑.

=-lr

7

★RtAABC內(nèi)切圓半徑為r.

結(jié)論:1+BCTC

2-

例如：一個三角形三邊為3,4,5；則它是RtA,

內(nèi)切圓半徑為r=3+4~-=1.

2

31.圓中三大定理.

⑴垂徑定理：VAB是直徑①

AB±CD②|（推論由二推三?）

，CE=DE③｝一|把其中兩個做條件

BC=BD④|（可推出其余三個結(jié)論

余=m⑤

垂徑三角形Rt^COE:半徑OC,半徑CE,弦心距0E,構(gòu)成Rt^COE,可用勾股定理求

解長度.

易錯：平分弦I不是直徑）的直徑垂

直弦，平分弦所對的弧.

,/AB=CD①)

I（推論由一推三.）

AZA0B=ZC0D(2)1

—>I把其中一個做條件

AB=CD③|

1（可推出其余三個結(jié)論.，

OE=OF④J

易錯：在同圓或等圓中，弧相等，則弦相等（V）同弧、等弧概念［度數(shù)樣

在同圓或等圓中，弦相等，則弧相等（X）.

原因：一條弦對兩條弧.??I長度一樣

⑶圓周角定理:

①同弧或等弧所對圓周角相等，即NE=NF.

②一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半，即NE=!ZAOB.

9

③直徑所對圓周角是直角；90°的圓周角所對弦是直徑.

VAB是直徑ZAFB=90

AZAFB=90°.，AB是直徑.

32.（1）圓內(nèi)接四邊形圓:

：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形

ZA+ZC=180］（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）

ZD+ZABC=180°/

ND=NABE（圓內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角）

（2）四點共圓:

①.p若四邊形中，ZA+ZC=180-,若四邊形中，

/則在同一個圓上，

A,B,C,DZDAC=ZDBC,

即A,B,C,D四點共圓.

J----------xJc即A,B,C,D四點共圓.

⑶多邊形內(nèi)角和，外角和:

①"邊形內(nèi)角和公式：（〃一2）.180。；②〃邊形外角和：360.

③正”邊形每個內(nèi)角度數(shù)：180一"或（"DI'。

nn

④正”邊形每個外角度數(shù)：生

n

33.“12345”定理：（填空、選擇可直接用）

如圖在“3X3”網(wǎng)格中，△ABC為等腰直角三角形，ZBAC=ZACB=45°.

①Nl+N2=45°

(2)ZACB+Z3=ZMCBA

：tanJzl=—,tan_L2=—.：±ACB=45°,tan±3=-,tan±MCB=2

2?

3

我們用“3,表不上i的度數(shù),

一9則有450+="2”

3

“1”表示上2的度數(shù).

3(3)ZACB+Z4=ZACF

則有，，］_”+，4，，=45。

:上ACS=45°,tanJz4=Ltan上ACF=3

74

2

:ZD=ZCAD則有45°+“！”=

“3”

ZD+ZCAD=ZACB'2

113

tanZD=-,tanZ.CAD=—,tanAACB=-

，？4

⑤：ZD=ZCAD

ZD+ZCAD=ZACB

114

tan/D=—,tanNCZO=—,tan4cB=—

7??

223

34.常見幾何模型

㈠雙子型（手拉手模型）

條件：aOAB,A0CD均為等邊三角形.

結(jié)論：①△OAC等②AC=BD；

③NAEB=60。;④0E平分NAED；⑤點E在

△OAB的外接圓上

DD

E

條件：△0AB,40CD均為等腰直角三角形

結(jié)論：①△OAC2△OBD；②AC=BD；

③NAEB=90°;④0E平分NAED；⑤點E

在^OAB的外接圓上

條件：aOAB,AOCD均為等腰三角形，

ZA0B=ZC0D.

結(jié)論：（DAOAC^AOBD；②AC=BD；

③NAEB=NAOB；④0E平分NAED（或

ZAED的外角）；⑤點E在AOAB的外

接