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文檔簡介
2025中考數學基礎知識+公式
[?:-1,0,1-.
有理數[分數愛片…注意:分數定為有理數
[開方開不盡的:j5--JZ3/6-
無理數{產有n■的:277,g
I類似于0.10100100010000…的無限不循環(huán)小數
2.負指數累
1=%(-2尸=-:
T
9
零次累a°=1(除0外的任何數的0次方為1)例:=1;(-3)°=1;(71-5)°=1
3.近似數與精確度:近似數1.60萬精確到位;1.6x104精確到位;近似數
1.6的取值范圍.
4.科學記數法的形式:axl0"(l<|a|<10,〃為整數)
用科學計數法表示:160000000=,0.00000016=L
1.6億用科學計數法表示:
5,乘法公式:
平方差公式:(〃+/?)(〃-b)=a2-b2完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
變形公式:4+=(〃+42_2ab-(a-Z?)2+2ab
(a-Z?)2=(Q+bf_4ab、(a+/?)2=(a-bf+4ab
(a+Z?+c)2=/+層+c2+lab+2ac+2bc
/++d-ab-ac-be-:[(a-/?)2+(Z?-c)2+(a-c)2]
5.三角函數值
正弦:sinB=sin30o=-sin45o=sin60o=正
977
弦值隨角度的增大而增大.
余弦:cosB二cos30o='3cos45o='一cos60o=—余弦值隨角度的增大而減小.
AR??7
正切:tan3=ftan30。=tan45。=1tan60o=Ji正切值隨角度增大而增大.
BC4
公式:當a+G=90o時?sin(7=cos)6②cos。=sin/3(3)tanOf.tan13=1
對任意銳角a①sir?a+cos?1②tana二sin°③sina+cosa>1
req。
6.平面直角坐標系中兩點A(?,M),33,%),C是線段AB的中點,貝lj
。C點坐標(陽+幻-+必)例如:A(2'3);B(-3,2)
則:①中點C[,一)
O線段AB的長度=)(一一/2)2+(乂一8)2一一
②48=J(2+3)2+(3-2『=而
7.統(tǒng)計中的特征數:平均數,中位數,眾數,方差,標準差.
有一組數據:七,它,七,…,%.共九個數,平均數為方差S?,標準差S.則
①平均拆='&+X,+天+…+X”)
n
②中位數:將這組數據按從小到大順序排列,取中間的數作為中位數.若中間有2個
數,則取它們的平均數作為中位數.
③眾數:這組數據中出現次數最多的數.一組數據眾數可以出現多個,也可能沒有.
22:2
,52=-[(^1-J)+(JC2-X)+(x3-x)+---+(jcn-x)]
④萬差:”
方差反映數據穩(wěn)定程度,方差越小越穩(wěn)定.
⑤S=而即標準差=戶墓.★連續(xù)5個整數的方差為2,標準差為?拉.
如2,3,4,5,6的方差為2.
⑥一組數據X]+l,x2+l,x3+l,...,xn+1的平均巍+1,方差$2,標準差S.
一組數據3匹+2,3電+2,3當+2,...,3x?+2的平均數3x+2,方差9授,標準差3s.
8.特殊四邊形的證法
對角線
AH〃CD,I1AIWD
(一級對攻平行且相等)
AD〃CDCD〃BC~
(網粗H邊分別平行)、-越領邊桁等.一個角為d角八
(兩綱時邊分別相等)
It角線比宣(AC1BD)
OA=OC,OB=OD-少D平斤四邊影C
正方%C
(對角線互相平分)
■>
ft個ABC-W9)
0OSI0^(AB?IKM.DM)A)
#:叁形面枳公如2,“中比0角枕京積的半)
例如:S=2Bl)
此面&公K適合所有解角線看直的的邊雷I
9.扇形、圓柱、圓錐
1
扇形圓心角〃°,半徑R,弧長/,面積S,則
②S
圓柱高//,底面半徑r,母線/
②
Ph=l%=2m③S全面積=2乃+2乃5(DV柱二萬h
10.直角三角形相關結論,如圖上AC8=90。.
B。勾股定理AC?+BC2=AB2;
2若上A=30。,則8。=1力3;
7
①②③圖3若D是AB中點,則8=-AB-AD=BD=CD.
?
C
CD2=ADBD
2
4射影定理:^±ACB=90o,CD±ABMAC=AD-AB
ADRBC2=BDAB
_AC-BC
④⑤圖5面積法求IWJ:CD
心AR
qS+S2
St+S3=SjS'+S2M
★一般結論:以RtAABC三邊向外做相似圖形,則兩個小的面積之和等于大的圖
形的面積.
變式圖當以AB斜邊為直徑的半圓向上畫半圓時,如
'B圖得月牙形,則有$+S2=S"
11.度分秒互化:1?=60/;1/=6OS10=3600'
例如:1。42/=1.7O1.320=1019力=1。19/12-
12.三角形面積求法.
①
SA=大矩形面積減去三個小三角形面積
13.黃金分割:若AC2=AB.BC(AC>BC),則點C稱為線段AB的黃金分割點;
B
ACV5-1
~0.618篋金比);
一條線段有2個黃金分割點;注意:一般黃金分割值都帶根號,除非他要求精確;
黃金三角形
腰)
底一2
15.全等,相似證法
1全等:SSSSASASAAASHL(只適用RtA)
②相似:兩角對應相等;兩邊對應成比例,夾角相等;三邊對應成比例;
★比例中項概念:若@=即/=ac,貝帕叫做ac的比例中項.
17.平行線等積變形.
正方形AECD和正方形BFDG,可得BD//AC
'?S&ABC==^\EAECD
x
18.平面直角坐標系中有2條直線,解析式為必=kX+伉=k2+為;%=%x+b3.
y2=k2x+b2
①當自=履時,兩直線平行;反之兩直線平行,kx=k2.
yrkix+bt
②當自.自=-1時,兩直線垂直;反之兩直線垂直,自.七=-1.y^kix+bt
19.平面直角坐標系中,點到直線距離公式.(不熟練的不用)
5
一6±“2
20.①一兀二次方程:加+bx+c=0.求根公式:x=---------
2〃
②韋達定理:設巴々是方程加+bx+C-Q的兩個根,貝如+々=-2,%1.工2-—?
an
21.二次函數.
表達式對稱軸頂點最值
一般式直線x=__L
y=ax1+bx+cb4ac-b2
7/7()〃,4〃)4ac-b2
4a
頂點式直線x=-mk
y-a(x+m)2+k(-m,k)
交點式直線
y-a{x-x)(x-
xX,+X)4-X,把橫坐標、同頂點縱坐
x=-----(2,代入計算
標
其中Xx,X2是拋物
線與X軸交點橫坐
標.
二次函數識圖-:
\如圖卜/A?川a>0(看開口方向)
\?丫』甲+bx+c(a+0)
\:[6<0(看對稱軸:左同右異)
\J/:C<0(看拋物線與y軸交點位置)
一NJyb2-Aac>0(看拋物線與%軸交點個數)
二次函數識圖二:
①y=海u拋物線頂點在原點u>6=0,c=0
②y=ax2+bxo拋物線過原點Uc=0
③y=ar+co拋物線頂點在y軸u6=0Q對稱軸為y軸
(4)y=ax'+bx+c中"-4ac=0c拋物線頂點在x軸c拋物線與x軸只有1個
交■占八、、
⑤拋物線y=ax1+bx+c與坐標軸三個交點構成直角三角形。ac=-1
⑥拋物線與x軸兩個交點及頂點構成等腰直角三角形oA=4
⑦拋物線與x軸兩個交點及頂點構成等邊三角形?!鞫?2
\/A\b六/.4\B
⑤⑥⑦
★圖像平移.口訣:左加右減,上加下減.
例如:y=丘+b向左平移1個單位,向下平移2個單位,得y=L(x+l)+b-2
y=a(x+m)2+k向右平移3個單位,向上平移1個單位,得y=a(x+m-3)2+k+1
★拋物線y=ax2+bx+c在x軸上截得的線段長度為:"消。
或者是I%|=J(X]-xj2=J(X]+.0)2
22.函數應用題
(1)利潤最值問題(二次函數):
a.列表分析,關注未知數x表達的意思(銷售價還是降價或漲價等)
b.關注自變量的取值范圍(注意隱含的取值范圍,如整數等)
c.判斷對稱軸是否在自變量取值范圍內:
1)在一一直接取最值(配方法、公式法)
2)不在一一根據對稱軸和開口方向判斷增減性,在自變量端點值求最值
(2)成本最值問題(一次函數):求出自變量取值范圍,根據增減性在端點處
求最值。
(3)拱形門問題:區(qū)分清楚是二次函數問題還是圓弧形問題。
(4)圍成面積問題:注意限制條件,注意開門等條件,理解材料總長和要表示的
線段
23.一線三等角構“K”字型相似.
B條件:±B=±AED=±C
結論:4ABEsAECD
★在某些難題中出現直角的條件,可嘗試構造“K”字型相似或“K”字型全等.有時
出現一線上有2個等角,可嘗試畫出第3個等角,構造“K”字型相似.(難題的解決
需要多次嘗試)
24.常見的勾股數.3,4,56,8,105,12,138,15,177,24,25
對無理數的估算,乃yl.414?、八ul.73272.236
25.反比例函數基本圖形及結論.
④恒等性質AB=CD⑤面積公式SAAOB=S梯形ACDB=--丁
26.中位線.梯形中位線EF.
三角形中位線DE(2)A>~~(如圖,梯形ABCD中,AB〃CD.
如圖:D,E是^ABC中,/\E,F分別是AD,BC中點.
AB,AC邊上中點,y---------V則有:EF〃AB〃CD
則有DE〃BC,DE」BC.
-------------VEF=1(JB+CD)
23
★中點四邊形:取四邊形的四邊中點,連成的四邊形叫中點四邊形.
。任意四邊形ABCD,取四邊的中點E,F,G,H,則四邊形EFGH是平行四邊形.
2四邊形ABCD中,AC=BD,取四邊中點E,F,G,H,則四邊形EFGH是菱形.
3四邊形ABCD,AC±BD,則中點四邊形EFGH是矩形.
4四邊形ABCD,AC=BD,AC±BD,則中點四邊形EFGH是正方形.
27.角平分線.
①角平分線+平行線一等腰三角形.②角平分線定理.三角形中(不常用)
③角平分線推廣定理
如圖,AB〃CD,CE平分NACD,
如圖,BE平分上A8C,
則4ACE是等腰三角形.:AD平分上
EF_i_AB,EH_1_BC
:AB//CD:上1=上2ABBD
:EF=EH
:上2=上3:上1=上3AC~DC
又:CE平分上AC。:AC=AE.即△ACE是等腰三角形.
④BD,CD平分NABC,ZACB,BD,CD平分NCBF,NBCE,BD,CD平分NABC,ZACE,
則ND」/A
則ND=90。+-ZA則ND=90。--ZA
277
28.(1)正方形中,ZEAF=45°.⑵三角形中剪出正方形.?;DM//BC
.,.△ADM^AABC
DMAF=[、工口
m用----=----列萬程
RCAR
例如:BC=8,AE=6,求邊長.
可設邊長X,則
x_6-x徂_24
.一6,無一亍
4
0A/=8——x
3
44
S矩=x(8——x)=——x'+8A
當x=-'=3時,S最大=12
2a
結論:當DM為中位線時,矩形最大.S矩形最大=
29.三角形外心,內心,重心.
。外心(外接圓圓心,是^ABC三邊中垂線的交點)
結論:△ABC的外心到三個頂點的距離相等.
2內心(內切圓圓心,是^ABC三條角平分線的交點)
結論:4ABC的內心到三邊的距離
3重心(ZkABC三條中線的交點)
結論:重心將每條中線分成兩段,長度為2:1,
OAOBOC、
R即n:一=——=——=2
OFOGOF.
30.內切圓中的部分結論公式.如圖:是4ABC的內切圓,S表示aABC面
積,/表示aABC周長,r表示。O半徑:
結論:①AE=AF;BF=BD;CD=CE(切線長定理)
②AF+BCJ,BF+AC=—Z,CE+AB=—Z
22
'=S^AOB+SaBOC+
I111
=—AB.r+—BC.r+—AC
777?(知道三角形周長
I和面積,可求內
與(AB+BC+AC)
I切圓半徑.
=-lr
7
★RtAABC內切圓半徑為r.
結論:1+BCTC
2-
例如:一個三角形三邊為3,4,5;則它是RtA,
內切圓半徑為r=3+4~-=1.
2
31.圓中三大定理.
⑴垂徑定理:VAB是直徑①
AB±CD②|(推論由二推三?)
,CE=DE③}一|把其中兩個做條件
BC=BD④|(可推出其余三個結論
余=m⑤
垂徑三角形Rt^COE:半徑OC,半徑CE,弦心距0E,構成Rt^COE,可用勾股定理求
解長度.
易錯:平分弦I不是直徑)的直徑垂
直弦,平分弦所對的弧.
,/AB=CD①)
I(推論由一推三.)
AZA0B=ZC0D(2)1
—>I把其中一個做條件
AB=CD③|
1(可推出其余三個結論.,
OE=OF④J
易錯:在同圓或等圓中,弧相等,則弦相等(V)同弧、等弧概念[度數樣
在同圓或等圓中,弦相等,則弧相等(X).
原因:一條弦對兩條弧.??I長度一樣
⑶圓周角定理:
①同弧或等弧所對圓周角相等,即NE=NF.
②一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半,即NE=!ZAOB.
9
③直徑所對圓周角是直角;90°的圓周角所對弦是直徑.
VAB是直徑ZAFB=90
AZAFB=90°.,AB是直徑.
32.(1)圓內接四邊形圓:
:四邊形ABCD是圓內接四邊形
ZA+ZC=180](圓內接四邊形對角互補)
ZD+ZABC=180°/
ND=NABE(圓內接四邊形外角等于它的內對角)
(2)四點共圓:
①.p若四邊形中,ZA+ZC=180-,若四邊形中,
/則在同一個圓上,
A,B,C,DZDAC=ZDBC,
即A,B,C,D四點共圓.
J----------xJc即A,B,C,D四點共圓.
⑶多邊形內角和,外角和:
①"邊形內角和公式:(〃一2).180。;②〃邊形外角和:360.
③正”邊形每個內角度數:180一"或("DI'。
nn
④正”邊形每個外角度數:生
n
33.“12345”定理:(填空、選擇可直接用)
如圖在“3X3”網格中,△ABC為等腰直角三角形,ZBAC=ZACB=45°.
①Nl+N2=45°
(2)ZACB+Z3=ZMCBA
:tanJzl=—,tan_L2=—.:±ACB=45°,tan±3=-,tan±MCB=2
2?
3
我們用“3,表不上i的度數,
一9則有450+="2”
3
“1”表示上2的度數.
3(3)ZACB+Z4=ZACF
則有,,]_”+,4,,=45。
:上ACS=45°,tanJz4=Ltan上ACF=3
74
2
:ZD=ZCAD則有45°+“!”=
“3”
ZD+ZCAD=ZACB'2
113
tanZD=-,tanZ.CAD=—,tanAACB=-
,?4
⑤:ZD=ZCAD
ZD+ZCAD=ZACB
114
tan/D=—,tanNCZO=—,tan4cB=—
7??
223
34.常見幾何模型
㈠雙子型(手拉手模型)
條件:aOAB,A0CD均為等邊三角形.
結論:①△OAC等②AC=BD;
③NAEB=60。;④0E平分NAED;⑤點E在
△OAB的外接圓上
DD
E
條件:△0AB,40CD均為等腰直角三角形
結論:①△OAC2△OBD;②AC=BD;
③NAEB=90°;④0E平分NAED;⑤點E
在^OAB的外接圓上
條件:aOAB,AOCD均為等腰三角形,
ZA0B=ZC0D.
結論:(DAOAC^AOBD;②AC=BD;
③NAEB=NAOB;④0E平分NAED(或
ZAED的外角);⑤點E在AOAB的外
接
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