江蘇省南京某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月

期末考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1,也c。s]5+也sinl5=()

22

AJ_B括

cD1

23-T-

2.在復(fù)平面內(nèi)，常把復(fù)數(shù)z=4+歷(a,beR)和向量OZ進(jìn)行一一對應(yīng).現(xiàn)把與復(fù)數(shù)2+i對應(yīng)

的向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90,所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.l-2iB.-l-2iC.l+2iD.-l+2i

3.下列各組向量中，可以作為基底的是（）.

A.=（0,0）,e2=（1,-2）B.ex=（-1,2）,

C.q=（3,5）,e2=（6,10）D.ex=（2,-3）,

4.復(fù)數(shù)Z滿足Z.（l+i）=i3,則其共輾復(fù)數(shù)W的虛部為（）

A.-B.-iC.--

222

5.在VABC中，a,b,。分別為角A,B,C的對邊.若A=60,6=1,5ABe=6，則

a+c/、

sinA+sinC-

A岳R2713「國2病

A.---D.------------C.---nL）.-------------

3333

6.已知正四面體P-ABC的棱長為1,空間中一點“滿足產(chǎn)加=肝4+泮5+2尸5其中x,

九zeR,且x+y+z=l.則1PM的最小值為（）

A也B.如C.-D.1

333

7.已知sin（7。-&）=sin（5。+a）+cos（40+a）,貝ljtana=（）

A.BB.-BC.上D.-y/3

33

8.如圖，已知三棱柱ABC-A再G的所有棱長均為2,滿足則該三棱柱體積的

最大值為（）

C.2后D.4

二、多選題

9.已知Z-Z2為復(fù)數(shù)，貝U()

?Z]Z]=Z]*Z]B.上出卜團㈤

C.若Z]>Z2，則Z[—Z2>0D.若Zi—Z2>0,則Z]>Z2

10.已知非零向量a,b,記%=,+.,,則（）

A.若a，b，則工=y

B.若a〃z?,貝!Jx>y

C.若X=6,y=擊,且同=2忖，則a,。的夾角為120

3

D.若孫=5。?人，貝|x=3y

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=l43,將三角形ACD沿直線AC翻折得到三角

形ACD',在翻折過程中，下列說法正確的是（）

A.存在某個位置，使得三棱錐ABC的外接球半徑大于gG

B.存在某個位置，使得異面直線3D與AC的所成的角為￡

4

C.點B到平面ACD的距離的最大值為1

試卷第2頁，共4頁

D-直線.與平面A%所成角的正弦值最大為嚕

三、填空題

12.已知向量。=(2,1),6=(尤,2),若。乂2”-54則實數(shù)x的值為.

71..71Y3兀..371]

cos—+ism—cos----Fisin—

?44人44J

13.求值:

2兀..271V71..兀、

cos----Fisin——cos—+isin—

33人33j

14.己知正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為2,以點A為球心，2為半徑的球與該四棱錐

的所有表面的交線總長為.

四、解答題

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以統(tǒng)軸為始邊的銳角?和鈍角P的終邊分別交單位圓于A,

8兩點.已知點A的橫坐標(biāo)為立，點B的縱坐標(biāo)為正.

510

(1)求sin(a+/7)；

(2)求2a-尸的值.

16.在底面為正三角形的三棱柱ABC-A瓦G中，已知點M，N分別是AG，與C的中點.

⑴求證：^^//平面四耳8;

(2)若AA=AC.求證：AC_L平面4cM.

17.在銳角VABC中，其內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知方=2c2-7

,..,tanB,,

⑴求v氤的值;

123

⑵求---------1---------的最小值.

tanAtanBtanC

18.類比高中函數(shù)的定義，引入虛數(shù)單位，自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱之為復(fù)變函數(shù).已知復(fù)變

函數(shù)〃x)=V+4，xeC,weN*.

⑴當(dāng)"=1時，解關(guān)于x的方程：/(%)=1；

⑵當(dāng)〃=2時，

①若忖=1,求的最小值;

②若存在實部不為0的虛數(shù)x和實數(shù)/，使得成立，求國的取值范圍.

19.在三棱臺ABC-A與G中，△ABC為正三角形，AB=BC=2,且3C,點。為AC

的中點，平面ABC,平面陰C.

(1)若GOL4C,證明：平面cgqq，平面D3C］；

(2)當(dāng)44,=CC］=4時，

①設(shè)平面A2A與平面D3C］的交線為/,求二面角4T-G的余弦值；

②若點E在棱8G上，滿足4G=3EG.問：在棱BC上是否存在點尸，使得過點A，E,尸三

點的平面將三棱臺ABC-A4G分為兩個多面體，且體積相等？若存在，求出3尸的長度；

若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CABADBDBABCACD

題號11

答案BC

1.C

【分析】將原式轉(zhuǎn)化為01145。8515。+8s45飛近15。，然后利用兩角和的正弦公式計算即可.

【詳解】-^cosl5+-^-sinl5

22

=sin45°cosl5°+cos45°sinl5°

=sin(45°+15°)=sin60°=*.

故選：C

2.A

【分析】由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示可得順時針旋轉(zhuǎn)90。后對應(yīng)的復(fù)

數(shù)為(2+"(cos(-90°)+isin(-90°))=l-2i.

【詳解】根據(jù)題意可知，

復(fù)數(shù)2+i對應(yīng)的向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90?？傻?/p>

(2+i)(cos(-90°)+isin(-90°))=(2+i)(-i)=-2i-i2=l-2i,

即所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l-2i.

故選：A.

3.B

【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.

【詳解】因為0=(-1,2)與e2=(5,7)不共線，其余選項中6、e?均共線，所以B選項中的兩

向量可以作為基底.

故選：B

【點睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【分析】首先利用復(fù)數(shù)的運算求z,再求其共輾復(fù)數(shù)的虛部.

i3-i-i(l-i)-1-i

【詳解】由題意可知，z=—^―==——,

l+il+i(l+i)(l-i)2

答案第1頁，共18頁

所以彳=M+gi,

22

所以共物復(fù)數(shù)三的虛部為;.

故選：A

5.D

【分析】根據(jù)三角形面積求c,再根據(jù)余弦定理求。，再根據(jù)正弦定理，即可求解.

【詳解】SABC=-bcsinA=—xlxcx^-=y/3,所以c=4,

ABC222

根據(jù)余弦定理"=&2+c2-2Z?ccosA=l+16-2xlx4x1=13,

_a岳2則

即。=^/1^，sinA百3，

T

所以a+c_27?sinA+27?sinC__2A/39

sinA+sinCsinA+sinC3

故選：D

6.B

【分析】對尸知=工尸4+＞尸3+2尸。結(jié)合％+丁+2=1化簡得41/=,45+24。，從而可知點M

在平面ABC內(nèi)，所以當(dāng)9,平面ABC時，最小，從而可求得結(jié)果.

【詳解】因為PM=xPA+yPB+zPC,x+y+z=l,

所以PM=(l-y-z)尸A+yPB+zPC,

PM=PA-yPA-zPA+yPB+zPC,

所以PM—PA=y(PB-PA)+z(PC-PA),

所以AM=yAB+zAC,

因為AB,AC不共線，所以AM,AB,AC共面,

所以點M在平面ABC內(nèi),

所以當(dāng)PMJ_平面ABC時，|尸刈最小,

取BC的中點。，連接AD,則點M在AD上，且AM=2AO=2X正義1=走,

3323

所以PM=yJp^-AM2=

答案第2頁，共18頁

即的最小值為當(dāng).

故選：B

7.D

【分析】利用兩角和差的正余弦公式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，以及輔助角公式，化簡求值.

【詳解】由條件等式可知，

sin70cosdz-cos70sina=sin50cosa+cos50sina+cos40coscr-sin40sina,

貝Usin70cosa-cos70sina=2sin50cosa，

sin70-2sin50

cos6Z(sin70-2sin50)=cos70sina則tanat---------------------

cos70

V33

sin(60+10)-2sin(60-10)——cos10+—smlO

22

cos70cos70

括sin(10-30)氐皿20

=—A/3?

cos70cos70

故選：D

8.B

【詳解】如圖：取AC的中點連接

B

因為是菱形，所以A耳，AB,又因為與A4，qCu平面陰。,

答案第3頁，共18頁

AB1nBjC=Bx,

所以AB_L平面陰C,因為ACu平面用C,所以AB_LAC,

因為AM=MC,AB=BC,所以BM1.AC,又因為AB8Mu平面,\BBM=B,

所以AC,平面ABM,因為AMu平面ABM,所以AC^AM,

4M=A41sin60°=V3,當(dāng)側(cè)面ACC^A，底面ABC時，三棱柱的體積最大，

2

此時三棱柱的高即為,V=乖)SABC=A/3X^^-X2=3.

故選：B

9.ABC

【分析】對于A、B,設(shè)4=。+歷，z?=c+不，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)的模的公式計算

即可；對于C、D,復(fù)數(shù)只有在都是實數(shù)的情況下才能比大小.

【詳解】設(shè)4=。+歷，z2=c+di,

對于A：zxz2=ac-bd+(ad+bc)i=z%=ac-bd-(ad+be)i

Zj-z2=(a_bi)(c_di)=ac_bd_(ad+bc)i=z%,故A正確；

對于B：BZ21=yl(ac-bd)2+(ad+be)2=y/a2c2+a2d2+b2d2+b2c2，

卜憶|=yjci2+b2yjc2+d2=J//+〃2d2+b2c2=[zR,故B正確；

對于C：當(dāng)Z]>Z2,說明Z],Z2都是實數(shù)，所以Z「Z2>0,故C正確；

對于D：當(dāng)Z「Z2>。時，只能說明4-Z2是大于0的實數(shù)，不能說明4*2是實數(shù)，

例如Z]=l+i,Z2=—l+i,不能比大小，故D錯誤.

故選：ABC

10.ACD

【分析】對于A：只需得到“2=0即可判斷；對于B：分為〃與b同方向或反向兩種情況討

論即可判斷；對于C：根據(jù)條件計算出向=2,|z>|=l,a為=-1即可判斷；對于D：利用

極化恒等式即可求解.

答案第4頁，共18頁

對于B：當(dāng)〃//》時，?與b同方向或反向,

當(dāng)。與。同方向時，x=|d+W，＞=忖-忖，x＞y,

當(dāng)。與。反向時，了=|阿-卜卜/=同+卜卜％＜兀故B錯誤;

+(W)+2a-b=3

根據(jù)題意有M『+（W）［2a.b=7,解得:向=2,

對于C：W=l，a-b=—\

同=2忖

/,\a-b1

所以cos（a,b）=而=-5，則”與b的夾角為120。，故C正確；

對于D：由彳=“問/+（忖）+2a-b,y=J（同/+（忖）-2d?b得:=；（/一;/）,

所以孫=|（/一_/）n（x-3y）（3x+y）=0nx=3y或x=—1（x,y＞。，舍去）.

故D正確.

故選：ACD

11.BC

【分析】對于A,可直接構(gòu)造出球心，并得到外接球半徑等于述；對于B,將異面角轉(zhuǎn)化，

3

從而找到異面直線BD'與AC的所成的角為的特殊位置即可；對于C,先證明點3到平面

ACO的距離不超過1,再給出取到1的例子即可；對于D,法一：給出一種情況，證明此時

直線班）‘與平面A3C所成角的正弦值大于我即可，法二：構(gòu)造線面角表達(dá)式，利用基本

10

不等式求出最大值.

【詳解】連接4。，8。交于點0,過。作。尸工47,垂足為尸，過B作BGJ_AC,垂足為G,

記D關(guān)于AC的對稱點為D",過。夕作D'H，平面ABC,設(shè)垂足為H,則點H在直線DD"上,

連接30.

答案第5頁，共18頁

D*

對A,因為。4=O3=OC=OD,因此三棱錐A3c的外接球半徑為。4=2叵，選項A

3

錯誤.

對B,因為=0=則/ZMC=9,又因為AO=DO,

373

則AWO為等邊三角形，貝|4。=冬巨，

3

則AF=FO=OG=GC=",AM=AFx^=—x^^=-,

3/333

則BD=FG=—=BC,則易知NCAB=ZABr>〃，則B0//AC,

33

因為AC_L平面DDO",因此3/y_L平面Diyiy,因此NDBD即為直線BD'與AC所成角,

因為">"u平面"TO",所以BD,又0<。7/<。/7=2,

則當(dāng)。77=2叵時，tanZD'BD"=1,ZD'BD"=-,選項B正確.

34

對C,記4為點3到平面ABC的距離，4為點8到平面ACD的距離,

因為%-49=5-謝，SACD'=SABC>因此4=4(1,

當(dāng)平面ACD'l.平面ACB時取等號，此時點以與圖中點E重合，故C正確;

對D,法一：注意到當(dāng)7/落在線段陽〃時，直線應(yīng)）'與平面A3C所成角有最大值,

記此時F"=x,0<x<l,

則有D'H-=l-x2,D'B2=D'D"2+D"B~=1-x2+(l-x)2+|=y-2x,

不曰sinZHBD'=八，W,410-

于是D'B210c,令r=^-2x,貝k,

------ZX3I33

3

則化簡知sm2ZHBD'=---—+-<-2.

4%3\49t33

答案第6頁，共18頁

當(dāng)且僅當(dāng)f=l，x=!時等號成立，于是sin/HBD最大值為且，選項D錯誤.

333

法二：設(shè)。關(guān)于直線AC的對稱點為AC的中點為P.點O在直線AC上的投影為F,

點。在平面ABC上的投影為G,則G一定在線段。。的內(nèi)部或端點上.

同A選項方法易知5E=1,

由于3Z)"〃AC,DD"±AC,故DD"_L3Zr.

設(shè)D"G=k,由于r>ZT=2DF=2,故0?%V2.

而PG=|O〃G-。陽=|"1,D'F=DF=1,

故D'G=y/D'F2-FG2==y/2k-k2.

2y

據(jù)相似三角形知識有「(=黑，故CB亍?73.

BEABCE=---BE=^—xl=——

AB23

由于3ELAC,ly'FLAC,故BED"F,而BE=D'F=1,所以四邊形3EFD"是平行四

邊形.

從而》一一竿=孚

這就得到了BG=^D"B2+D"G2=

由于點。在平面A3C上的投影為G,故直線3D與平面ABC所成角的大小就是〃2G.

而——震RR6k-3k26k-3k2

4+3k24+3k2，

答案第7頁，共18頁

2

26k-3k2V2

且由于當(dāng)％=一時，有tanND'5G=

34+3/2

故此時有

交

sinZD'BGtanZD'BG7回

Vsin2ZD'BG+cos2ZD'BG7tan2ZD'BG+1

這表明當(dāng)％=:時，直線BD'與平面ABC所成角的正弦值大于叵，故D錯誤.

310

故選：BC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的D選項關(guān)鍵在于可利用空間角的定義將線面角轉(zhuǎn)化為兩條相

交直線的夾角，然后使用函數(shù)方法即可找出反例或者求出最大值.

12.0

【分析】利用向量線性運算與垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】由題意可知，2a-56=（4-5x,-8）,

若56）,貝ij2x（4-5x）-8=0,得x=0.

故答案為：0

13.1

【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)化簡，在利用復(fù)數(shù)的運算法則，即可求解.

【詳解】原式=

故答案為:

14（8囪+9）無

.9

【分析】由題意可得以點A為球心，2為半徑的球與該四棱錐的表面PBC,PDC,ABCD有

交線，其中表面尸BC,PDC的交線相同，取BC的中點E,連接尸E,過尸作尸尸AC,過B

作BF?E,過A作尸于G,連接尸G,AF,可證得AG，平面3cpF,所以可得以點A

答案第8頁，共18頁

為球心，2為半徑的球與四棱錐的表面尸BC的交線為以G為圓心，PG為半徑的一段弧，根

據(jù)已知條件可求出弧長，從而可求得結(jié)果.

【詳解】因為正四棱錐P-ABCZ）的所有棱長均為2,

所以以點A為球心，2為半徑的球與該四棱錐的表面PBC,PDC,ABCZ）有交線，

取BC的中點E,連接尸E,過尸作尸尸右C,過8作8尸色￡,PFcBF=F,

則四邊形為平行四邊形，PELBC,所以3尸，BC,

過A作AGL3尸于G,連接尸G,AF,

因為3CLAB,ABBF=B,平面.尸，

所以BCJ_平面ARF,

因為AGu平面尸，所以BC1.AG,

因為尸，BCBF=B,u平面3CPF,

所以AG,平面3cPE,

因為正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為2,

所以BE=CE=PF=1,PE=BF=AF=5^,

所以sABF=gAB./尸AB］=1x2xV2=V2,

所以工3E-AG=應(yīng)，得AG=平,

2V3

因為AB=AP=2,所以BG=PG=.22-［乎］=—,

所以以點A為球心，2為半徑的球與四棱錐的表面P3C的交線為以G為圓心，之叵為半徑

3

的一段弧，

因為=所以FG=百-空=且，

33

所以tanZPGF="=6,所以=

所以NPG2=1，

所以弧尸8的長為"乂空=也

339

同理可得以點A為球心，2為半徑的球與四棱錐的表面PDC的交線長為勺國,

答案第9頁，共18頁

以點A為球心，2為半徑的球與四棱錐的表面ABC。的交線為點A為圓心，為半徑的四

分之一圓，弧8。的長為?義2=兀，

2

所以以點A為球心，2為半徑的球與該四棱錐的所有表面的交線總長為

4扃c（84+9）兀

-------x2+兀=---------，

99

故答案為：（8/+9）兀

9

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查棱錐與球的截面問題，解題的關(guān)鍵是找出球在四棱錐表面上

的交線，考查空間想象能力，考查計算能力，屬于難題.

15.⑴一生叵

50

⑵-：

【分析】（1）根據(jù)條件求得cosa=@，sin4=也，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以

510

及兩角和的正弦公式，即可求解;

（2）首先利用角的變換求sin（2a-￡）=sin[a+（a-0],即可求解.

【詳解】（1）由題意可知，P

510

所以sina=71-cos2a=~~~，cos(3=-^/1-sin2[3=~~~~

sin(a+/)=sinacos/?+cosasin/=一；

(2)sin(a一尸)=sinacos/3-cosasin/?=

答案第10頁，共18頁

cos(a-尸)=cosacos'+sinasin/J=-

lo-

sin(2a-/7)=sin[a+(a—y0)]=sinacos(a—p)+cosasin(a-p),

由cosa=^^＜^^,得］＜尸＜兀，則一］＜2a—夕＜］,

所以2c-

16.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，構(gòu)造中位線，即可證明;

(2)通過平行平面的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

【詳解】(1)如圖，連結(jié)BG，43,

因為點N是BG的中點，且BCG用為平行四邊形，

所以點3,N，G三點共線，且M,N分別是AG，的中點，

所以MN//A2,

A47V<Z平面，A8u平面AB21A，

所以MN//平面；

(2)如圖，取AC的中點E,連結(jié)片￡,BE,AtB,B}M,MC,ME,AtC,

答案第11頁，共18頁

4MC,

因為分別是AC和AC的中點，所以AM//EC，且A"=EC,

所以四邊形AECM是平行四邊形，所以AE//MC,

且AEZ平面耳VC,MCu平面片MC,

所以4E〃平面用WC,

且MEIAAIIB,B,且ME=AA=B內(nèi)，所以四邊形耳是平行四邊形,

所以BE//印W,

且BE（Z平面BiMC/陷u平面B、MC,

所以3E〃平面瓦M(jìn)C,

且AEBE=E,平面ABE,

所以平面〃平面片MC,

因為AA=AC,所以AE_LAC,同理3E_LAC,

且AEBE=E,平面ABE,所以AC,平面ABE,

所以AC，平面與CM.

17.d）|

⑵叵

2

【分析】⑴先由如??-可得心白+火由余弦定理cosC^,再由正弦定理

asinA貝"八黑，由三角恒等變換可證結(jié)論;

4b4sin3

答案第12頁，共18頁

4tan31233tan311

（2）利用3tan3=tanC,得出tanA=則‘一+一+'---------十

3tan2B-ltanAtanBtanC44tan5'

利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】（1）因為2/=2。2_〃2,貝=；/+/,

l+l金2方…工田2,22片+/+/]

由余弦定理a+b-c（2）a,

cosC=--------------=--------------------------=——

2ablab4b

上十a(chǎn)sinAsinA

由正弦定理于高田則cosC=

4sinB

在VABC中，A=7i-（B+C）,

所以4sinBcosC=sinA=sin（8+C）=sinBcosC+cosBsinC,

則3sinBcosC=cosBsinC，則3tanB=tanC,

tanB

所以

tanC3

/-./___\tanB+tanC4tan3

（2）由（1）3tanB=tanC,則tanA=—tan（5+C）=----------------

tanBtanC-13tan2B-l

1233tan2B-l213tan2B+ll

--------1----------1--------=----------------1----------1---------=-----------------

tanAtanBtanC4tan3tanBtan54tanB

在銳角ABC中，有tanB〉0,

1233tanB11,/3tanB11-

故——+——+----=------+------>2.---------x----------

tanAtanBtanC44tanBy44tanB

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)0=即tanB=K13時取等號，

44tanB3

123的最小值為學(xué)

所以---7------n"1------1

tanAtanBtanC

18.⑴尤二1土石

2

⑵①-2,②{1}

【分析】(1)由題意得%+工=1,化簡后利用一元二次方程的求根公式求解即可；

X

(2)①設(shè)x=a+/i(a,/wR),代入/(同=/+g結(jié)合/十^=1可求得其最小值；②由題

意設(shè)x=a+歷(a,6eR,qN0,6w0),代入〃力=尤2+4化簡，再由/(力2加，可得/(x)為

實數(shù)，從而可得/+〃=1,進(jìn)而可求出|x|的取值范圍.

答案第13頁，共18頁

【詳解】（1）由題意得X+'=1,整理得尤2_彳+1=0,

X

1±7P4l±V3i

X=------------=---------；

22

(2)①當(dāng)〃=2時，f(x)=x2+-^,設(shè)％=a+Z?i(a,h￡R),

x

因為W=i,所以/+〃=i,

/W="2+I=(a+Z,i)2+(^F

1

=(a2-b2)+2abi+

(〃2-b2)+2abi

(a2-b2)-2abi

+2abi+

^a2-b2)+2abi^a2-b2)-2abi]

(a?-/)-2abi

=(a2-b2)+2abi+

(〃2-Z?2)2+4?2Z?2

(〃2一/)一2〃方

=(a2-b2)+2abi+

(/+/)2

=(〃-b2)+2abi+(a2-b2)-2abi

=2(a2-b2)

=2(2/_1)12,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=0時，取等號,

所以/（X）的最小值為-2；

②設(shè)I=〃+歷w°,Ow°),則

“，）=一+：=（。+歷f+f

1

=(/-b2)+2abi+

(a2-b2)+2abi

(Q2_02)_2Q歷

a2廿)+2abi+

\^a2-b2)+2"i][[a2-b2)-2abi]

(/-/)-2a歷

=(a2-b2)+2abi+

(a2-b2)2+4a2b2

(〃2—/)—2"i

=(〃-b2)+2abi+

(tz2+b2)2

z272、2abi

=(a—b)H-----------+2abi---------------z—：-

(a2+b2)2(4+從產(chǎn)

答案第14頁，共18頁

_72ab

二面一⑻+2ab----------i

+"7(a2+b2)2

因為存在實數(shù)使得/("2”成立,

所以/(X)為實數(shù)，所以2"-(/2：ab62)2=0,

因為aw0,6w。，所以4+〃=1,

222

當(dāng)/+從=i時,y(%)=2(O-b)=2(2a-1)>-2(a0),符合題意,

此時*=。+歷(<3,6€艮(7/0,6*0),則國=J/+62=],

所以國的取值范圍為{1}

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查復(fù)數(shù)的運算，考查復(fù)數(shù)的模的計算，第(2)問解題的關(guān)鍵

是設(shè)x=a+歷(a,)eR)代入〃切=/++，利用復(fù)數(shù)的乘除法運算法則化簡，考查計算能

力，屬于較難題.

19.(1)證明見解析;

52

⑵①②存在，BP=|

【分析】(1)根據(jù)面面垂直可得比＞1平面MC,進(jìn)而可證4。，平面D3C],即可得結(jié)果;

(2)根據(jù)題意分析相關(guān)長度，確定三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，并將三棱臺補成三棱錐，①做輔助

線，分析可知/即為直線3N,利用三垂線法求二面角；②做輔助線，設(shè)黑=九＞°,結(jié)合

臺體的體積公式運算求解.

【詳解】(1)連接。1,

因為AB=BC,且點。為AC的中點，則BDLAC,

又因為平面ABC_L平面陰C,平面ABC「平面AB。=AC,5￡＞u平面ABC,

答案第15頁，共18頁

所以平面MC,由4Cu平面AB。，可得

且GDLBC，C|。cJB。=D，G。,8Ou平面D3Cl，可得80，平面D3C],

且用Cu平面C28C,所以平面C8BG，平面D3C1

(2)①由題意可知：BD=；AC=0B[D=^,

因為△ABC為正三角形，且點。為AC的中點，則耳。人AC,

又因為平面ABC_L平面陰C,平面ABC平面AB|C=AC,4Ou平面陰C,

所以平面ABC,由班)u平面ABC,可得耳

可得48=西河+BD。=2>/2,

取A3的中點M,連接。M,瓦M(jìn),

因為48=44,40=08,則耳/_LA2,Z)M_L4B,

且4McOM=M,?。Mu平面4OM,則AB,平面BQM,

對于梯形ABB】A，過點A做A。，4耳，垂足為R,

,---------