弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題（七大題型）（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破06弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題...............................................................2

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題.............................................................3

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題.............................................................5

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題.............................................................6

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題.............................................................7

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題...................................................8

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題........................................................10

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................12

亡法牯自與.柒年

//\\

1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式

①若A,8是直線(xiàn)丫=丘+〃?與圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去y后得到一元二次方程

px1+qx+r-Q,2

貝&+去2-%2|=7I+^.

②若A,B是直線(xiàn)％=◎+〃與圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去％后得到一元二次方程

22

py+qy+r=0,1+m一力

?pi

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

2

【典例1-1】已知點(diǎn)耳、工分別橢圓,+>2=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)工作傾斜角為］的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B

兩點(diǎn)，貝后玄A3的長(zhǎng)為.

221

【典例1-2】已知橢圓C：「+與=1(4>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,尸2,離心率為工，橢圓C上點(diǎn)M

ab2

滿(mǎn)足I町|+L|=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。(0,0)的直線(xiàn)/交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，求線(xiàn)段P。長(zhǎng)為JIZ時(shí)直線(xiàn)/的方程.

【變式山(2。24.海南.模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C:?3。，…)的實(shí)軸長(zhǎng)為2后，點(diǎn)小倔

在雙曲線(xiàn)C上.

(1)求雙曲線(xiàn)c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率為2#的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)為。，求|P0.

【變式1-2］已知拋物線(xiàn)比爐=>0)的焦點(diǎn)為尸(0,2).

⑴求P;

(2)斜率為2的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)下，且與拋物線(xiàn)E交于A(yíng)8兩點(diǎn)，求線(xiàn)段A5的長(zhǎng).

【變式1-3】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(4,0),且在V軸上截得的弦長(zhǎng)為8,動(dòng)圓圓心的軌跡方程為C,已知點(diǎn)

廠(chǎng)(2,0),直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)下且與軌跡C交于尸、。兩點(diǎn)，且|尸。卜16,求直線(xiàn)/的方程.

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題

【典例2-1】已知F為拋物線(xiàn)E:/=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)E交于A(yíng),B兩點(diǎn)，拋

物線(xiàn)E在A(yíng)3兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)L.

(1)設(shè)尸(%,%)是拋物線(xiàn)E上一點(diǎn)，證明：拋物線(xiàn)E在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為了=芳-%,并利用切線(xiàn)

方程求點(diǎn)L的縱坐標(biāo)的值；

(2)點(diǎn)C為拋物線(xiàn)E上異于A(yíng)B的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)，分別與線(xiàn)段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA,LN=pLB,求幾+〃的值；

(ii)證明：|網(wǎng)+|理+|卜。>|到+|月^+|印|

【典例2-2】(2024.高三.河北承德?開(kāi)學(xué)考試)已知VA5c的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為瓦c,面積為

9A/3,c=6,且sinAsinB=sin2c.

(1)證明：VABC為等邊三角形;

(2)設(shè)54的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)D滿(mǎn)足A9=2,又平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)?滿(mǎn)足NPBA=2/上鉆20),求

|邙+|￡叼的最小值.

22

【變式2-1](2024?寧夏銀川?銀川一中?？家荒?如圖所示，由半橢圓￡:土+2=1(”0)和兩個(gè)半圓

4b

222

C2:(x+l)+y=l(y>0)>。3：(*—1)+'2=1(”0)組成曲線(xiàn)。：尸(蒼丁)=0,其中點(diǎn)4，&依次為G的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)3為G的下頂點(diǎn)，點(diǎn)耳鳥(niǎo)依次為G的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)耳耳分別為曲線(xiàn)。2?3的圓心.

⑴求G的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)用，E作兩條平行線(xiàn)k3分別與G,C2和G,C3交與M,N和尸,Q,求1MM+|尸。|的最小值.

【變式2-2](2024.河南安陽(yáng).安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))定義：一般地，當(dāng)2>0且Xwl時(shí)，我們把方程

22222

?+方=彳(°>6>0)表示的橢圓《稱(chēng)為橢圓下方=l(a>b>0)的相似橢圓.已知橢圓C:.+yZ=l,

橢圓C/(彳>0且2大1)是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)尸為橢圓C，上異于其左、右頂點(diǎn)M,N的任意一點(diǎn).

(1)當(dāng)4=2時(shí)，若與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)4,4恰好相交于點(diǎn)尸，直線(xiàn)4,4的斜率分別為匕，用，

求左他的值;

(2)當(dāng)；l=e2(e為橢圓C的離心率)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)A,8,直線(xiàn)PN與橢圓C交于點(diǎn),

求|AB|+|DE|的值.

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題

22

【典例3-1】(2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C：T+2=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為0B，且

ab

閨門(mén)|=2,過(guò)點(diǎn)F?作兩條直線(xiàn)乙，，直線(xiàn)4與C交于兩點(diǎn)，EA8的周長(zhǎng)為4應(yīng).

(1)求C的方程；

(2)若0月42的面積為：，求《的方程；

(3)若乙與C交于兩點(diǎn)，且4的斜率是4的斜率的2倍，求知的最大值.

【典例3-2】已知拋物線(xiàn)C:;/=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-2#),直線(xiàn)4：y=履+”?(初—0)與C交于A(yíng),8兩點(diǎn)(異

于坐標(biāo)原點(diǎn)。).

(1)若0408=0,證明：直線(xiàn)4過(guò)定點(diǎn).

(2)已知左=2,直線(xiàn)4在直線(xiàn)乙的右側(cè)，4與4之間的距離3=有，4交C于N兩點(diǎn)，試問(wèn)是否

存在機(jī)，使得若存在，求加的值；若不存在，說(shuō)明理由.

22

【變式3-1】已知拋物線(xiàn)G：y=4x的焦點(diǎn)為橢圓C2：3+2=1(。>匕>0)的右焦點(diǎn)八點(diǎn)尸為拋物線(xiàn)

ab

G與橢圓c?在第一象限的交點(diǎn)，且舊司=:

⑴求橢圓c2的方程；

(2)若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)凡交拋物線(xiàn)G于A(yíng)，c兩點(diǎn)，交橢圓C?于2,。兩點(diǎn)(A,B,C,。依次排序)，且

|AC|-|B￡>|=^,求直線(xiàn)/的方程.

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題

【典例4-1】(2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模)已知點(diǎn)尸為圓。：(》-2)?+y=4上任意一點(diǎn)，A(-2,0),線(xiàn)段外的

垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)PC于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)H

(1)求曲線(xiàn)〃的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)H的兩條漸近線(xiàn)交于S,T兩點(diǎn)，且M為線(xiàn)段ST的中點(diǎn).

⑴證明：直線(xiàn)/與曲線(xiàn)H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

21

(ii)求加廣后引的取值范圍.

【典例4-2](2024.高三.山東德州.開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線(xiàn)E焦點(diǎn)在x軸上，離心率為后，且過(guò)點(diǎn)(0,4b

直線(xiàn)4與雙曲線(xiàn)E交于兩點(diǎn)，4的斜率存在且不為0,直線(xiàn)4與雙曲線(xiàn)E交于尸，。兩點(diǎn).

(1)若MN的中點(diǎn)為直線(xiàn)所,"N的斜率分別為《論,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求

1\TP\TN

(2)若直線(xiàn)4與直線(xiàn)4的交點(diǎn)T在直線(xiàn)x=g上，且直線(xiàn)4與直線(xiàn)4的斜率和為0,證明：1^1=—.

【變式4-1】拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)/的距離為2.

(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)尸的直線(xiàn)(斜率存在且不為0)交拋物線(xiàn)C于A(yíng)8兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于

FP

點(diǎn)產(chǎn)，求

AB

【變式4-2](2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè))在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，比如放在太陽(yáng)底下的籃球，在地

22

面上的影子就可能是一個(gè)橢圓.已知影子橢圓C:=+2=l(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦點(diǎn)為月，

ab

F2,離心率為9.過(guò)目且垂直于A(yíng)B的直線(xiàn)與c交于。，E兩點(diǎn)，|DE|=6,則3、+一月的最小值

是.

【變式4-3](2024?高三?河北?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為好，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且

3

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2后

⑴求橢圓E的方程；

CP

(2)若過(guò)尸(0,1)的直線(xiàn)交橢圓E于C、。兩點(diǎn)，求萬(wàn)萬(wàn)的取值范圍.

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題

22

【典例5-1】(2024?高三?北京海淀?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓(7言+/=1(""0)的右頂點(diǎn)為42,0),上頂點(diǎn)

為8(0,拘.

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓C的左焦點(diǎn)為E點(diǎn)P為橢圓C上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線(xiàn)AP,b與y軸的交點(diǎn)分別為若

\OM\-\ON\=^,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【典例5-2】已知拋物線(xiàn)C:Y=2py(p>0),尸為C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)/與C交于H,/兩點(diǎn)，且在

/兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)T,當(dāng)/與丁軸垂直時(shí)，Im1=4.

⑴求C的方程；

(2)證明：|FZHFHHFT|2.

【變式5-1］（2024?高三?江西?開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)C：?-1=l（a>0,b>0）其左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳,

ab

若國(guó)用=12,點(diǎn)4到其漸近線(xiàn)的距離為4應(yīng).

（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支分別交于A(yíng),B兩點(diǎn),且|的|=|班若|伍|,|知，忸局成

等比數(shù)列，則稱(chēng)該雙曲線(xiàn)為“黃金雙曲線(xiàn)”，判斷雙曲線(xiàn)C是否為“黃金雙曲線(xiàn)”，并說(shuō)明理由.

【變式5-2］（2024?高三?陜西安康?開(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A的圓心在無(wú)軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（T0）,（x,0）,（0,y）.

⑴求點(diǎn)（羽田的軌跡c的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)E（-I,o）的直線(xiàn)/交軌跡C于A(yíng)8兩點(diǎn)，若A（X0,4）,G為軌跡C上位于點(diǎn)A3之間的一點(diǎn)，點(diǎn)G關(guān)

于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作交A。于點(diǎn)"，求|人〃卜|4。|的最大值.

22

【變式5-3］已知橢圓G樵+5=1（。>"。）的離心率為g且直線(xiàn)4：：+1被橢圓G截得的弦長(zhǎng)為

幣.

⑴求橢圓G的方程；

（2）以橢圓C1的長(zhǎng)軸為直徑作圓c”過(guò)直線(xiàn)小y=4上的動(dòng)點(diǎn)”作圓C2的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A3,若直

線(xiàn)A5與橢圓CI交于不同的兩點(diǎn)C,D,求的取值范圍.

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題

22

【典例6-1］（2024.安徽.一模）已知雙曲線(xiàn)C：當(dāng)=1（“>0,。>0）的離心率為2.且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）.

ab

（1）求c的方程;

（2）若直線(xiàn)/與C交于A(yíng),8兩點(diǎn)，且。4.08=0（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求|AB|的取值范圍.

22

【典例6-2】（2024?高三?廣東?開(kāi)學(xué)考試）我們把各邊與橢圓E:二+2=1（。＞6＞0）的對(duì)稱(chēng)軸垂直或平行的

ab

E的內(nèi)接四邊形叫做E的內(nèi)接矩形.如圖，已知四邊形PQRS是￡的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方形，PS,

QR分別與無(wú)軸交于片，F(xiàn)2,且耳，尸2為E的兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)41=1,2,,100）是四邊形PQRS內(nèi)部的100個(gè)不同的點(diǎn)，線(xiàn)段尸。，部與V軸分別交于E2,記

100

〃=￡同闔，其中4=1,2,證明：4，4中至少有一個(gè)小于25（1+,）.

Z=1

22

【變式6-1］（2024.高三.浙江.開(kāi)學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓E:，+2=1（。＞6＞0）的右焦點(diǎn)的

ab

直線(xiàn)與E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍是［3,4］.

⑴求E的方程；

（2）已知曲線(xiàn)C:X"+y”=l（x,y,機(jī)＞0）的切線(xiàn)/被坐標(biāo)軸所截的線(xiàn)段長(zhǎng)為定值.

Ci）求/與C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)；

（ii）求/與E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍.

22

【變式6-2］（2024.高三.北京咱主招生）雙曲線(xiàn)：土—乙=1有一點(diǎn)。在雙曲線(xiàn)上，分別過(guò)尸點(diǎn)作漸近線(xiàn)

169

平行線(xiàn)交無(wú)軸于A(yíng)，8,且A在靠近原點(diǎn)的一側(cè)，過(guò)A點(diǎn)作x軸垂線(xiàn)交以。8為直徑的圓于點(diǎn)C,求|OC|的

取值范圍.

22

【變式6-3](2024?新疆?二模)已知橢圓°：土+匕=l(a〉b〉0)的左焦點(diǎn)為尸，C上任意一點(diǎn)到廠(chǎng)的

/b2

距離的最大值和最小值之積為1,離心率為

3

(1)求°的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)/與C交于M,N兩點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PM=XA/R,PN=-九NR，動(dòng)點(diǎn)。

在橢圓C上，求|PQ|的最小值.

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題

【典例7-1】(2024?山東濟(jì)南?三模)如圖所示，拋物線(xiàn)y2=2px(0>0)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(-2,3),

(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若角。為銳角，以角。為傾斜角的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)產(chǎn)，且與拋物線(xiàn)交于4B兩點(diǎn),作線(xiàn)段

的垂直平分線(xiàn)/交無(wú)軸于點(diǎn)尸，證明：1尸尸1-1"1??2?為定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知橢圓c：.+方=ig〉6〉o）的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8為橢

圓C上不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)A,0,5三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率之積為

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）若△042的面積為1,求的值.

22

【變式7-1］（2024?高三.廣東?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)小鳥(niǎo)為橢圓C：a+}=l（穌6>0）的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A

在橢圓C上，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,四邊形A耳3乙的面積為

⑴求橢圓C的方程；

11

（2）若過(guò)F2的直線(xiàn)/交橢圓C于兩點(diǎn)，求證：而對(duì)+同W為定值?

【變式7-2】已知橢圓。：3+==1（。>>>0）過(guò)點(diǎn)4一2,0）,且。=力.

ab

⑴求橢圓。的方程；

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C（l,0）的直線(xiàn)/與橢圓。交于P,。兩點(diǎn)，且直線(xiàn)/與x軸不重合，直線(xiàn)AP,AQ分

別與y軸交于N兩點(diǎn).求證|OM|?|ON|為定值.

【變式7-3］（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，雙曲線(xiàn)

22

￡-==1.>0,6>0）的上下焦點(diǎn)分別為耳（0,。），6（0,-。）.已知點(diǎn)卜，君）和（0,3）都在雙曲線(xiàn)上，其

中e為雙曲線(xiàn)的離心率.

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)設(shè)A,B是雙曲線(xiàn)上位于》軸右方的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)A片與直線(xiàn)8耳平行，與8耳交于點(diǎn)P.

⑴若|9|-忸閭=2,求直線(xiàn)A片的斜率；

(ii)求證：|尸國(guó)+|尸耳|是定值.

【變式7-4](2024?高三?湖北武漢.開(kāi)學(xué)考試)己知橢圓C:「+/=1(。>6>0)的離心率《=岑，連接四個(gè)

頂點(diǎn)所得菱形的面積為4.斜率為左的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)8兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

⑵若％=1,求的最大值；

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A8,。三點(diǎn)不共線(xiàn)，且0A03的斜率滿(mǎn)足心?無(wú)B=%2,求證：lOAf+IOBf為定

值.

力過(guò)關(guān)測(cè)試』

22

1已知斜率為2的直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)橢圓十土1的右焦點(diǎn)小與橢圓相交于仆兩點(diǎn)，求弦,的長(zhǎng)?

22

2.(2024.安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)E:鼻-2=1(。＞0,6＞0)的左頂點(diǎn)是4-1,0),一條漸近線(xiàn)的方

ab

程為y=x.

(1)求雙曲線(xiàn)E的離心率；

(2)設(shè)直線(xiàn)y=與雙曲線(xiàn)E交于點(diǎn)P,Q,求線(xiàn)段P。的長(zhǎng).

2

3.(2024?浙江.模擬預(yù)測(cè))已知尸為雙曲線(xiàn)C：爐-當(dāng)=1上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)

a

與雙曲線(xiàn)C相切.

⑴若點(diǎn)P是直線(xiàn)x=與圓f+y2=2的交點(diǎn)，求①

(2)求|OP|的取值范圍.

221

4.已知橢圓C：3+2=1(〃＞匕＞0)的離心率為T(mén)，點(diǎn)A,8在橢圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)直線(xiàn)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)并

ab2

3

垂直于X軸時(shí)，△OAB的面積為5(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

⑵延長(zhǎng)。4到使得。河=3。4,且“8與橢圓C交于點(diǎn)Q,若直線(xiàn)08的斜率之積為-^，求

聯(lián)的值?

5.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到。，。)的距離等于到直線(xiàn)％=-1的距離.

(1)求M的軌跡方程；

（2）尸為不在彳軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作（1）中M的軌跡的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,B；直線(xiàn)與尸。垂直（。

為坐標(biāo)原點(diǎn)），與無(wú)軸的交點(diǎn)為R,與P。的交點(diǎn)為。；

（i）求證：R是一個(gè)定點(diǎn)；

PQ

（ii）求親的最小值.

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)E：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩條動(dòng)直線(xiàn)分

別與E交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,當(dāng)|45|=|8|時(shí)，|蝴=8.

（1）求E的方程；

（2）設(shè)線(xiàn)段AB,C。的中點(diǎn)分別為M,N,若直線(xiàn)的斜率為正，且盟=g，求直線(xiàn)A8和CO的方程.

7.（2024.高三.廣東.開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)「:與-t=l（a>0,b>0）的離心率為亞，焦距為2G.

ab-2

（1）求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)（0,一9作直線(xiàn)/分別交「的左、右兩支于A(yíng)8兩點(diǎn)，交r的漸近線(xiàn)于c,。兩點(diǎn)，求儒的取值范

圍.

8.（2024?河南安陽(yáng)?一模）如圖，已知直線(xiàn)/i：y=6x4：y=—瓜，M是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MA/4且MA

與4相交于點(diǎn)A（A位于第一象限），MB//llt且MB與4相交于點(diǎn)8（B位于第四象限），若四邊形OAAffi

（。為原點(diǎn)）的面積為3.

2

⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)/(2,0)的直線(xiàn)/與C相交于P,。兩點(diǎn)，是否存在定直線(xiàn)八x=f,使以PQ為直徑的圓與直線(xiàn)”目

交于E,尸兩點(diǎn)，且篇為定值，若存在，求出/的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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9.若點(diǎn)網(wǎng)2,@為雙曲線(xiàn)C*-*=l(a,b＞0)上一點(diǎn)，必=1,點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)

/交雙曲線(xiàn)C于點(diǎn)Q,