江蘇省南通市海安市2025屆高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇省南通市海安市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共11小題，每小題5分，共55分。

1.已知集合4={X|，>2X},5={-2,0,1,3],則4nB=（）

A.{-2,0,3)B.{-2,3}C.{013}D.{3}

2,已知命題pTx>0,3X>1,則->p:()

A.3x>0,3X<1B.Hx<0,3X>1C.Vx>0,3%<1D.Vx>0,3%>1

1p:—屋xp弋—骰在區(qū)間（。，+）上（

3.函數(shù)y8I

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增

4.已知函數(shù)/（久）=（無一—1,則（）

A.f(x-1)=f(l-x)B.f(x—1)=f(x+1)

C./(I+x)=/(I—x)D.y(i+%)=—y(i—久)

m

5.已知27n=3九=5,則4三=()

B.6C.8D.9

6.設(shè)b,ceR,函數(shù)/（%）=%+力口+c,貝1J"關(guān)于％的不等式%2+b%+C>0的解集為R”是“/（%）>0恒成

立”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分不必要

7.已知直線y=a%+b與曲線y=%+（相切，則2a+b的最大值為（）

A.-B.2C.1D.5

8.若函數(shù)/（%）=x\x-a\-1的3個(gè)零點(diǎn)由小到大排列成等差數(shù)列，則a=（）

A.2B.V5。歲D.

9.下列曲線平移后可得到曲線y=2,的是（）

A.y=2x+3B.y=2x-3C,y=23xD.y=y

10.一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%,且這個(gè)比值越

大，通風(fēng)效果越好.（）

A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為200TM2,則窗戶面積至少應(yīng)該為30nl2

B,若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%,則教室通風(fēng)效果不變

C.若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好

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D.若窗戶面積第一次增加了爪％,第二次增加了地面面積兩次都增加了叫9％,則教室的通風(fēng)

效果變差

11.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(久)不恒為0,下列結(jié)論正確的是()

A.若f(x)具有奇偶性，則滿足/(x)=p(x)+q(x)的奇函數(shù)p(x)與偶函數(shù)q(x)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)

值為0

B.若/(%)不具有奇偶性，則滿足/(X)=p(x)+q(x)奇函數(shù)p(x)與偶函數(shù)q(x)不存在

C.若/'(久)為奇函數(shù)，則滿足/'(久)=pO)q(X)的奇函數(shù)p(x)與偶函數(shù)式久)存在無數(shù)對(duì)

D.若/'(>)為偶函數(shù)，則滿足/0)=q(p(x))的奇函數(shù)p(x)與偶函數(shù)q(x)存在無數(shù)對(duì)

二、填空題：本題共3小題，共15分。

12.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上任意兩點(diǎn)處的切線都不相同，則滿足題設(shè)的一個(gè)人久)=.

13.已知矩形2BCDQ4B>4D)的周長(zhǎng)為24,將△ABC沿力C向△4DC折疊，4B折過去后與DC交于點(diǎn)P.設(shè)2B

=%,則DP=(用x表示)，當(dāng)△4DP的面積最大時(shí)，x=.

14.已知a為常數(shù)，且a>0.定義在R上的函數(shù)/'(x)滿足f(x+a)<f(%)</(x+3a),且當(dāng)OWxWa時(shí)，/(%

)=ax2—x,貝!ja=.

三、解答題：本題共5小題，每小題12分，共60分。

15.如圖，在三棱柱4BC—41B1C1中，81B1平面ABC,NABC=90。，AB=BC=BB1=1,E,F,G分另!]

是棱48,BC,BBi上的動(dòng)點(diǎn)，且力E=BF=BiG.

(1)求證：A1F1CiG;

1

(2)若平面EGCi與平面44$$的夾角的余弦值為小求BF.

16.某學(xué)習(xí)小組研究得到以下兩個(gè)公式：

①sin(a+0)-sin(a—。)=sin2a—sin2/?;②sin(a+。)-sin(?—0)=cos2j5—cos2a.

(1)請(qǐng)你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明；

(2)在△2BC中，已知sinCsin(4—8)=sinBsin(C—4),cosA=pBC-2,求△48C的面積.

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17.分別過橢圓C:1+q=l的左、右焦點(diǎn)％,尸2作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)P,

Q.

(1)當(dāng)P為C的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的斜率；

(2)求四邊形PFIAQ的面積的最大值.

18.已知紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)擊中的概率均為|,紅方、藍(lán)方空中攔截對(duì)方炮彈成功的概率分

別為小小現(xiàn)紅方、藍(lán)方進(jìn)行模擬對(duì)抗訓(xùn)練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)，另一方再進(jìn)行空中

攔截，輪流進(jìn)行，各攻擊對(duì)方目標(biāo)一次為1輪對(duì)抗.經(jīng)過數(shù)輪對(duì)抗后，當(dāng)一方比另一方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次時(shí),

訓(xùn)練結(jié)束.假定紅方、藍(lán)方互不影響，各輪結(jié)果也互不影響記在1輪對(duì)抗中，紅方擊中藍(lán)方目標(biāo)為事件4藍(lán)

方擊中紅方目標(biāo)為事件B.求：

⑴概率P⑷,P(B);

(2)經(jīng)過1輪對(duì)抗，紅方與藍(lán)方擊中對(duì)方目標(biāo)次數(shù)之差X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(3)在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率.

19.(1)函數(shù)y=2力與y=log2X的圖象有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)證明；

(2)是否存在正數(shù)C,對(duì)任意的X>C,總有2X>/>log2比?若存在，求C的最小值;若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)已知常數(shù)a>1,證明：當(dāng)久足夠大時(shí)，總有aX>xa>logaX.

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參考答案

1.5

2.C

3.0

4.C

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

1Q.BCD

11.ACD

12./(答案不唯一)

13.12—6也

14.1

15.證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，｛瓦t兩，說｝為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則&(1,1,0),七(0,1,1),設(shè)E(t,0,0)(0<t<1),

則F(O,O,1T),G(0,t,0),

故4j_F=(-1,—1,1—t),C1G=(0,t—1,—1),

所以尸-C^G=—(t—1)—(1—t)=0.

所以不_L至了，所以2/lCiG.

(2)設(shè)平面EGCi的法向量五=(x,y,z),

劇何心=。pDf(t-i)y-z=o

則l?i-EG=0'B|J(-tx+ty=0'

令2=1—1,則x=y=L所以￡=—1).

又可知，平面44道/的法向量訪=(0,0,1).

設(shè)平面EGCi與平面A41B#的夾角為0,則cos。=今

T7八I->—.Im-n|\t-1\

乂cos。=cos<m,n>=一—=，

1117nll川《-1)2+2

故出「：：)?+2=(解得t=2或t=|?

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16.解：(1)因?yàn)閟in(a+S)sin(a—S)

=(sinacosS+cosasin/?)(sinacos^?—coscrsin/?)

=sin2acos2/?—coscrsin2/?'

若選①

si/acos2s—cos2asin2s

=sin2a(1—sin2/?)—(1—sin2ct)sin2/?=sin2a—sin2j6,

所以sin(a+K)sin(a-0)=sin2a—sin2s.

若選@sin2acos2/?—cos2asin2/?

=(1—cos2cr)cos2/?—cos2a(1—cos2/?)=cos2/?—cos2cr,

所以sin(a+S)sin(a-0)=cos2/?—cos2a.

(2)記△ZBC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

由C=—(4+B),得sinC=sin(i4+B).

又因?yàn)閟inCsin(Z—B)=sinBsin(C—A),

所以sin(A+B)sin(/—B)=sin(C+Z)sin(C—A).

由①知，sin2X—sin2B=sin2c—sin2i4,

由正弦定理，得2a2=b2+c2.

又Q=2,所以拉+。2=8,

由余弦定理，得cos/="2_4=g,所以bc=a

Zbc5z

因?yàn)椤癳(0,兀),所以sinA=—cos2i4=

11CQQ

所以△4BC的面積S=4csinX=4x|x|=f.

17.解：(1)根據(jù)橢圓C：3+9=l知，F(xiàn)iC-1,0),F2(l,0),上頂點(diǎn)(0,4).

4J

所以當(dāng)P為c的上頂點(diǎn)時(shí)，直線PF1的斜率為避，平行直線Q%的斜率也為避，

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所以直線Q出的方程為y=8Q-1).

與橢圓+9=1聯(lián)立方程組并消去y,得5/—8x=0,

4,3

解得久=?；蚓?|,

因?yàn)辄c(diǎn)Q在x軸上方，

所以x=*y=溶，所以點(diǎn)Q5，￥).

所以直線PQ的斜率為一坐.

(2)設(shè)P%與C的另一交點(diǎn)為口。3,乃)(為<0).

因?yàn)镻FJ/QF2，由橢圓的對(duì)稱性，知IQBI=IP'FJ

又設(shè)直線P%與QF2的距離為由

則四邊形PF1F2Q是梯形，面積S=*|P%|+\QF2\)d=^\PF1\+|P'Fi|)d

］

r

=2\PP\d=S/^Pp,p2=S4pFiF?+S/\p,尸1尸2

1.

=2xF/2l(yi-丫3)=yi—丫3

設(shè)直線PP'斜率不可能為0,可設(shè)其方程為：%=-l+my,

與橢圓C的方程9+(=1聯(lián)立并消去x,

得(3血2+4)y2—6my—9=0.

則%+%=播”3=而蚩,

所以三角形面積S滿足：

s=yr—y3=J(yi+丫3)2-437義3______

_^/(—6m)2—4(3m2+4)x(—9)_〔？Im2+1.

3m2+4\(3m2+4)2

記血2+1=t(t>1),

則S=121(3t；i)2=12；9*+6,

1

因?yàn)閥=9t+］在［1,+8)上隨t的增大而變大，

1

所以當(dāng)t=l即機(jī)=0時(shí)，9t+］取得最小值10,

此時(shí)S的最大值為12J1H三=3,

當(dāng)且僅當(dāng)根=0,即PF1與y軸平行時(shí)等號(hào)成立，面積最大，

所以，四邊形PF1F2Q面積的最大值為3.

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18.解：(1)記紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)擊中分別為事件A2,P(&)=P(a2)=|,

紅方、藍(lán)方空中攔截對(duì)方炮彈成功分別為事件Bi，B2,P(BI)=:，P(B2)=p

由獨(dú)立性，得p(a)=p(&)p(w)=p(4i)[i—p(&)]=弓x(i—》

P(B)=PQ42)P(?=P02)[1-P(Bi)]=|x(l-1)=|.

(2)經(jīng)過1輪對(duì)抗，紅方與藍(lán)方擊中對(duì)方目標(biāo)數(shù)之差X的可能取值為1,0,-1.

由獨(dú)立性，知事件a與8獨(dú)立，

則p(x=1)=p(a豆)=p(a)p(J)=p(x)[i-p(B)]=|x

P(x=-1)=P(4B)=PG4)P(B)=[1-P(4)]P(B)=(l-1)x1=i

P(x=0)=P{AB+AB)=PQ4B)+P(4B)=|X|+(1X(1-

X的概率分布為：

X—101

P

623

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1x4+(—1)x1=J.

DOO

(3)記4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束為事件C,記紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次為事件D.

若在1輪對(duì)抗中，一方比另一方多擊中目標(biāo)1次為凈勝輪，少擊中目標(biāo)1次為凈負(fù)輪，擊中目標(biāo)次數(shù)相等為平

輪，

則事件CD包括兩類情況：

第一類是第4輪為凈勝輪，前3輪中恰有1輪為凈勝輪，其余為平輪；

第二類是第3,4輪為凈勝輪，前2輪中恰有1輪為凈勝輪，1輪為凈負(fù)輪；

由獨(dú)立性，得P(CD)=P(X=1)x6xP(X=1)xp2(x=0)+p2(X=1)x禺xP(X=1)xP(X=-1)

=|xcix|x(1)2+(1)2xclx|xl=(1)^+|)=|x|j,

同理,得。(詼)=*心義3G)2+?2*禺*/六(》2號(hào)+臺(tái)=表、裝

所以P(G=P(CD+C》)=P(CD)+P(CD)=3X||+^X||=^X|1?

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131

所以P(叫=娉=要

3636

答：在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為小

19.解：(1)函數(shù)y=2*與y=log2%的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱.

證明：設(shè)P(%o,yo)是函數(shù)y=2%的圖象上任意一點(diǎn)，

則丫0=2配，即％o=log2yo?

又點(diǎn)尸(%o,yo)關(guān)于直線y=%的對(duì)稱點(diǎn)P(yo,%o)，

由％o=log2yo知，點(diǎn)P'(yo,%o)在函數(shù)y=log2%的圖象上，

由點(diǎn)P的任意性，知丁=2%與y=log2%的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱.

(2)記/(%)=2久一%2,則,(4)=24—42=0,于是cN4.

當(dāng)c=4時(shí)，2久>x2(x>4)<=>xln2>21nx(x>4)=等<野=等(%>4).

I己g(%)=W，則令g'(%)=1]n久=0,得X=e,

所以當(dāng)?shù)?(0冏時(shí)，gf(x)>0,g(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)久E[e,+8)時(shí)，gf(x)<0,g(%)單調(diào)遞減,

所畔〈哈(久>4)，

所以V%>4,總有2%>X2,

則久>4時(shí)，2X>x2>x,

又%>log2%<=>2%>x,

所以V%>4,總有％2>log2x.

綜上，存在最小正數(shù)C=4,對(duì)任意的％>C,總有2,>%2>]og2%.

(3)由(2)知，當(dāng)aNe時(shí)，g(%)單調(diào)遞減，取。=①

則當(dāng)％>c時(shí)，ax>xa,

當(dāng)1<a<e時(shí)，當(dāng)工足夠大時(shí)，總有凝>%a=%lna>alnx<=>—%>Inx.

a

令b=野(0<b

則問題轉(zhuǎn)化為：0<力〈工，當(dāng)久足夠大時(shí)，總有取一In%>0.