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文檔簡介
2025年高考數(shù)學復習講義及練習解析
第八節(jié)函數(shù)與方程
課標解讀考向預測
從近三年高考情況來看,函數(shù)零點(方程的根)個數(shù)的
1.理解函數(shù)的零點與方程解的聯(lián)系,掌
判斷、由零點存在定理判斷零點(方程的根)是否存
握函數(shù)的零點、方程的根、圖象交點(橫
在、利用函數(shù)零點(方程的根)確定參數(shù)的取值范圍等
坐標)三者之間的靈活轉化.
是考查的熱點.本節(jié)內容也可與導數(shù)結合考查,難度
2.理解函數(shù)零點存在定理,并能簡單應
較大.預計2025年高考函數(shù)與方程仍會出題,可能
用.
以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉化,也可能
3.會用二分法求方程的近似解.
與導數(shù)結合考查,難度較大.
必備知識——強基礎
知識梳理
1.函數(shù)的零點
對于函數(shù)y=/(x),我們把使以)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.
2.方程的根與函數(shù)零點的關系
方程{x)=0有實數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有公共點.
3.函數(shù)零點存在定理
如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有血出妙)<0,那么,
函數(shù)>=/(x)在區(qū)間(。,份內至少有一個零點,即存在c£(a,b),使得{c)=0,c也就是方程
?=0的解.
4.二分法
對于在區(qū)間[。,6]上連續(xù)不斷且應1口)傷)<0的函數(shù)尸布),通過不斷地把它的零點所在區(qū)
間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分
法.求方程負x)=0的近似解就是求函數(shù)y=/(x)零點的近似值.
常用
函數(shù)零點的相關技巧:
(1)若連續(xù)函數(shù){x)在定義域上是單調函數(shù),則外)至多有一個零點.
(2)連續(xù)不斷的函數(shù)人x),其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.
(3)連續(xù)不斷的函數(shù){x)通過零點時,函數(shù)值不一定變號.
(4)連續(xù)不斷的函數(shù)人x)在閉區(qū)間[a,切上有零點,不一定能推出八0次6)<0.
1
2025年高考數(shù)學復習講義及練習解析
診斷自測
1.概念辨析(正確的打“力,錯誤的打“X”)
⑴函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與X軸的交點.()
⑵連續(xù)函數(shù)y=#x)在區(qū)間(0,6)內有零點,則加距)<0.()
⑶函數(shù)>=/)為R上的單調函數(shù),則大x)有且僅有一個零點.()
(4)二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aW0),若尻-4的<0,則於)無零點.()
答案(l)x(2)x(3)x(4)7
2.小題熱身
(1)(人教A必修第一冊4.5.1例1改編)已知函數(shù)於)=——+a的零點為1,則實數(shù)。的值為
3、+1
()
A.—2B.—1
2
C.-D.2
2
答案B
⑵下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點近似值的是()
D
答案A
解析根據(jù)題意,利用二分法求函數(shù)零點的條件是函數(shù)在零點的左、右兩側的函數(shù)值符號相
反,即圖象穿過X軸,據(jù)此分析,知選項A中的函數(shù)不能用二分法求零點.故選A.
(3)(人教A必修第一冊習題4.5T2改編)已知函數(shù)歹=/3)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,部分
對應關系如表所示,則該函數(shù)的零點個數(shù)至少為()
X123456
—
y126.115.15-3.9216.7845.6-232.64
A.2B.3
C.4D.5
2
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答案B
解析由表可知,人2次3)<0,人3疚4)<0,次4求5)<0,所以函數(shù)人x)在區(qū)間口,6]上至少有3個
零點.故選B.
(4)若函數(shù)4)=依+1在[1,2]上有零點,則實數(shù)左的取值范圍是.
一一1
答案1'2」
考點探究——提素養(yǎng)
考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷
例1(1)(2024?湖南長沙長郡中學高三月考)函數(shù)/(x)=5—2x—lg(2x+l)的零點所在的區(qū)間是
()
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
答案C
解析因為函數(shù)")=5—2x—lg(2x+l)在(一2,+8)上單調遞減,所以函數(shù)人x)最多只有一
個零點,因為人0洪1)=5(3一棺3)>0,/l)/(2)=(3-lg3)(l-lg5)>0,{2求3)=(1—1g5)(—1—
lg7)<0,A3)/(4)=(-l-lg7)x(-3-lg9)>0,所以函數(shù)於)=5—2x—lg(2x+l)的零點所在的
區(qū)間是(2,3).故選C.
(2)用二分法求函數(shù)/)=3工一工一4的一個零點,其參考數(shù)據(jù)如下:
7(1.6000)-0.200次1.5875戶0.133次1.5750戶0.067
7(1.5625)-0.003火1.5562戶一0.029次1.5500戶一0.060
據(jù)此數(shù)據(jù),可得方程3x—x—4=0的一個近似解為(精確度為0.01).
答案1.56(答案不唯一,在[1.5562,1.5625]上即可)
解析注意到人1.5562戶一0.029和/(1.5625戶0.003,顯然人1.5562)/(1.5625)<0,又|1.5562—
1.5625|=0.0063<0.01,所以近似解可取1.56.
【通性通法】
確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點存在定理:首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口,可上的圖象是否連續(xù),再看是否有
八0)/(6)<0.若有,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,6)內必有零點.
(2)數(shù)形結合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.
【鞏固遷移】
1.(2023?廣東梅州高三二模)用二分法求方程logu--=0的近似解時,所取的第一個區(qū)間可
3
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以是()
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
答案B
解析令/(x)=k)g就-因為函數(shù)y=log4X,y=―^在(0,+8)上都是增函數(shù),所以函數(shù)
2x2x
/(x)=log4X—:在(0,+8)上是增函數(shù),{i)=—梟),/(2)=k)g42—;=;-;=;>0,所以函數(shù)
/(x)=logM―在區(qū)間(1,2)上有唯一零點,所以用二分法求方程k)g4X—"^"=0的近似解時,
2x2x
所取的第一個區(qū)間可以是(1,2).故選B.
2.已知2<。<3<人<4,函數(shù)y=logaX與y=—x+b的交點為(xo,次),且xo£(〃,n+1),〃£N*,
貝!Jn=.
答案2
解析依題意,X0為方程10gaX=—的解,即為函數(shù)7(X)=10gaX+x—6的零點,*.*
2<6Z<3<6<4,.\A%)在(0,+8)上單調遞增,又/(2)=loga2+2—X0,X3)=loga3+3-6>0,
Axoe(2,3),即〃=2.
考點二函數(shù)零點個數(shù)的判斷
/-%
例2(1)已知函數(shù)/(x)="''則函數(shù)y=/(x)零點的個數(shù)為________.
10g2(X—1),X>1,
答案2
解析當xWl時,由於)=N—4=0,可得%=2(舍去)或x=—2;當x>l時,由/(x)=k)g2a
—1)=0,可得x=2.綜上所述,函數(shù)y=/(x)零點的個數(shù)為2.
(2)方程111》+(:0次=;在(0,1)上的實數(shù)根的個數(shù)為.
答案1
解析解法一:lnx+cosx=l,即co&x-1=-Inx,在同一平面直角坐標系中,分別作出函
33
數(shù)了=3?一;和y=-Inx的大致圖象,如圖所示,在(0,1)上兩函數(shù)的圖象只有一個交點,
即方程lnx+cosx=;在(0,1)上的實數(shù)根的個數(shù)為1.
解法二:令兀r)=lnx+cosx—L則/(x)=l—sinx,顯然在(0,1)上/(x)>0,所以函數(shù)/(x)在(0,
3x
4
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1)上單調遞增,又ytej=ln-+cos-——1—-+cos-<0,Xl)=ln1+cosl--=0+cosl—
ee33e3
|>cos|-1=^-1>0,所以在(0,1)上函數(shù)八x)的圖象和x軸有且只有一個交點,即方程Inx
+cosx=;在(0,1)上的實數(shù)根的個數(shù)為1.
【通性通法】
求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法
(1)直接法:令人x)=0,方程有多少個解,則人功有多少個零點.
(2)構造函數(shù)法:判斷函數(shù)的性質,并結合零點存在定理判斷.
(3)圖象法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后觀察求解,
此時需要根據(jù)零點個數(shù)合理尋找“臨界”情況,特別注意邊界值的取舍.
【鞏固遷移】
N12xW0
3.(2024?江蘇無錫模擬)函數(shù)作)=-'''的零點的個數(shù)為_________.
2x-6+lgx,x>0
答案2
解析當xWO時,40=x2—2,根據(jù)二次函數(shù)的性質可知,此時火X)單調遞減,零點為X=—
/;當x>0時,Hx)=2x—6+lgx,:y=2x—6單調遞增,y=lgx單調遞增,.\/(x)=2x—6
+lgx單調遞增.{1)=—4<0,火3)=lg3>0,由零點存在定理知,在區(qū)間(1,3)必有唯一零點.綜
上所述,函數(shù)人x)的零點的個數(shù)為2.
4.函數(shù)危)葉=匕1一|log瀏的零點有______個.
答案2
nilm
解析兀0=匕1—|logjx|的零點的個數(shù)即匕Jw=|log2%]的根的個數(shù),即為了=切與了=|log2X|
圖象交點的個數(shù),畫出大致圖象如圖所示,則由圖象可知交點有2個,即函數(shù)人力的零點有2
個.
考點三函數(shù)零點的應用(多考向探究)
考向1利用零點比較大小
例3已知函數(shù)外)=3*+》,g(x)=log2x+x,/?(x)=x3+x的零點分別為a,b,c,則a,b,c
的大小順序為()
A.a<c<bB.a<b<c
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C.b<a<cD.b<c<a
答案A
解析解法一:因為函數(shù)y=3ly=x均為R上的增函數(shù),故函數(shù)40=3工+工為R上的增函
數(shù),因為八一1)=;一1<0,大0)=1>0,所以一1<。<0.因為函數(shù)y=log2X,y=x在(0,+°°)±
均為增函數(shù),故函數(shù)g(x)=log2x+x在(0,+8)上為增函數(shù),因為gD=-g(l)=
1>0,所以!<6<1.由〃?=?2+1)=0可得c=0,因此°<c<6.故選A.
解法二:由題設,3。=一°,log26=-6,°3=—c,所以問題可轉化為直線>=-x與了=3工,
y=log2X,y=E(的圖象的交點問題,函數(shù)圖象如圖所示,由圖可知a<c=0<6.故選A.
【通性通法】
(1)直接利用方程研究零點.
(2)利用圖象交點研究零點.
(3)利用零點存在定理研究零點.
【鞏固遷移】
5.(2023?江西南昌模擬預測)已知函數(shù)/(x)=2x+x—4,g(x)=e"+x—4,〃(x)=lnx+x-4的零
點分別是a,b,c,則a,6,c的大小順序是()
A.a<b<cB.c<b<a
C.b<a<cD.c<a<b
答案C
解析由已知條件得?r)的零點可以看成y=2”的圖象與直線y=4—x的交點的橫坐標,g(x)
的零點可以看成y=e"的圖象與直線y=4—x的交點的橫坐標,版(x)的零點可以看成y=\nx
的圖象與直線>=4—x的交點的橫坐標,在同一坐標系內分別畫出函數(shù)y=e",y=lnx,
歹=4—x的圖象,如圖所示,由圖可知.故選C.
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考向2根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)
G+])2
例4(2023?山東濟南高三三模)已知函數(shù)/(x)=-''若函數(shù)g(x)=/(x)—b有四個不
Jlgx|,x>0,
同的零點,則實數(shù)b的取值范圍為()
A.(0,1]B.[0,1]
C.(0,1)D.(1,+00)
答案A
解析依題意,函數(shù)g(x)=/(x)—6有四個不同的零點,即以)=6有四個解,轉化為函數(shù)y=
{與y=6的圖象有四個交點,由函數(shù)y=/(x)可知,當xW(—8,—1]時,函數(shù)單調遞減,y
£[0,+8);當xG(—1,0]時,函數(shù)單調遞增,yG(0,1];當x£(0,1)時,函數(shù)單調遞減,
y£(0,+8);當x£[l,+8)時,函數(shù)單調遞增,y£[0,+8).結合圖象,可知實數(shù)6的
取值范圍為(0,1].故選A.
【通性通法】
根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的方法
(1)直接法:直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式(組),再通過解不等式(組)確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)值域問題加以解決.
(3)數(shù)形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結
合求解.一是轉化為兩個函數(shù)y=g(x),y=/z(x)的圖象的交點個數(shù)問題,畫出兩個函數(shù)的圖象,
其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù),二是轉化為y=ey=g(x)的圖象的交點個數(shù)問題.
【鞏固遷移】
6.(2024?安徽蚌埠高三摸底)已知函數(shù)九x)=2N+N+a有唯一的零點,則實數(shù)a的值為()
A.1B.-1
C.0D.-2
答案B
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解析函數(shù)加)=2網(wǎng)+N+。的定義域為R,x)=2r%l+(—x)2+tz=/(x),即函數(shù)人乃為偶函
數(shù),當工三0時,人工)=2%+,+〃,則於)在[0,+8)上單調遞增,在(一8,0)上單調遞減,
則當X=0時,/(X)min=Q+l,由函數(shù)4)=2國+%2+。有唯一的零點,得。+1=0,解得。=
-1,所以實數(shù)。的值為一1.故選B.
7.設a£R,對任意實數(shù)x,記/(x)=min{|M—2,%2-^+3?-5}.若加)至少有3個零點,
則實數(shù)a的取值范圍為.
答案[10,+8)
解析設g(x)=%2—辦+3。一5,h(x)=\x\—2,由IR—2=0可得X=±2.要使得函數(shù)外)至少有
3個零點,則函數(shù)g(x)至少有一個零點,則/=〃—12Q+2020,解得QW2或。210.①當Q
=2時,g(x)=N—2x+l,作出函數(shù)g(x),/z(x)的圖象如圖所示,此時函數(shù)?r)只有2個零點,
不符合題意;②當。<2時,設函數(shù)g(x)的2個零點分別為Xl,X2(X\<X2),要使得函數(shù)加)至少
-<-2,
有3個零點,則MW—2,所以“2無解;③當4=10時,g(x)=x2—10%
g(—2)=4+5〃-520,
+25,作出函數(shù)g(x),/z(x)的圖象如圖所示,由圖可知,函數(shù)人工)的零點個數(shù)為3,符合題意;
④當。>10時,設函數(shù)g(x)的2個零點分別為X3,X4(X3<X4),要使得函數(shù)人X)至少有3個零點,
則X322,可得,2解得a>4,所以。>10.綜上所述,實數(shù)。的取值范圍是[10,
g(2)=4+a—520,
+°0).
考向3根據(jù)零點范圍求參數(shù)
例5已知函數(shù)人x)=log2(x+l)—I+正在區(qū)間(1,3]上有零點,則實數(shù)加的取值范圍為.
X
5?上~~9'
答案L3J
解析由于函數(shù)歹=log2(x+l),歹=加一]在區(qū)間(1,3]上單調遞增,所以函數(shù)/(x)在(1,3]上
m<0,
單調遞增,由于函數(shù)五x)=log2(x+l)一1+加在區(qū)間(1,3]上有零點,則即
機+5三0,
X故3)20,
3
8
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解得一,WmO.因此實數(shù)〃?的取值范圍是]一不J
3
【通性通法】
根據(jù)零點范圍求參數(shù)的方法
(1)利用零點存在定理構建不等式(組)求解.
(2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
(3)轉化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的上下關系問題,從而構建不等式(組)求解.
【鞏固遷移】
8.(2024?湖北荊州中學高三月考)已知兀0是定義在R上且周期為3的函數(shù),當xW[0,3)時,
I工2—2.丫+1I
?r)=I2I,若函數(shù)y=/(x)—a
在區(qū)間[—3,4]上有10個零點(互不相同),則實數(shù)。的取值范圍是.
答案I2)
I——y—|——I1
解析作出函數(shù)外)=12I,xG[0,3)的圖象,可見{0)=5,當%=1時,小)極大值
=;,方程外)一。=0在[-3,4]上有10個零點,即函數(shù)>=/3)的圖象與直線在[-3,4]
Ir2—2x+-I
上有10個交點,由于函數(shù)兀r)的周期為3,因此直線y=a與函數(shù)/(x)=I2I,xE[0,
3)的圖象有4個交點,則有J.
課時作業(yè)
A級基礎鞏固練
一、單項選擇題
1.(2024-江蘇揚中第二高級中學高三期初檢測)函數(shù)/)=21+3x的零點所在的一個區(qū)間是
()
A.(—2,—1)B.(—1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
答案B
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2025年高考數(shù)學復習講義及練習解析
解析因為函數(shù)/(x)=2x+3x在定義域內單調遞增,1)=^—3=—1<0,/(0)=1+0=1>0,
所以由函數(shù)零點存在定理可知,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(一1,0).故選B.
2.已知函數(shù)八%)=,'''則函數(shù)人x)的零點為()
』+log2X,X>L
A.2B.12,0
c.-D.0
2
答案D
解析當xWl時,令於)=2%—1=0,解得x=0;當x>l時,令/(x)=l+log2X=0,解得x
=;(舍去).綜上所述,函數(shù)/(X)的零點為0.故選D.
3.函數(shù)")=鏟|111川一1的零點個數(shù)是()
A.1B.2
C.3D.4
答案B
解析令外)=則111%|—1=0,即|lnx尸e^,則函數(shù)/(x)=e11nx|-1的零點個數(shù)等價于兩個函
數(shù)〉=?二與y=|lnx|圖象的交點個數(shù),y=er與y=|lnx|的圖象如圖所示,由圖可知,兩個函
數(shù)的圖象有2個交點,故函數(shù)")=Hlnx|—1的零點個數(shù)是2.故選B.
4.(2023?河南扶溝期末)若關于x的方程logx=」一在區(qū)間b力上有解,則實數(shù)%的取值
1—m
1
2
范圍是()
A.IM
D.卜8,工①+8)
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答案B
解析尸logX在區(qū)間b孑上為減函數(shù),貝|]1勺<2,即1T—<2,解得%<2故選B.
1-m23
1
2
5.已知三個函數(shù)加)=2廠1+丁一1,g(x)=e%-1—1,〃(x)=log2a—1)+X—1的零點依次為〃,
b,c,則a,b,c的大小關系是()
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.c>b>a
答案D
解析:函數(shù)4)=21+工-1為增函數(shù),又義0)=2-i—1=一/0,火1)=1>0,."00,1),
由8(%)=廿一1一1=0,得X=1,即6=1,,.?/z(x)=log2(x—1)+%—1在(1,+8)上單調遞增,
又〃0=1082^―1]+:—1=/z(2)=log2(2-1)+2-1=1>0,A|<C<2,,。泌,〃故選
D.
6.若方程"一%一加=0(加>0,且加W1)有兩個不同的實數(shù)根,則實數(shù)冽的取值范圍是()
A.(0,1)B.(2,+8)
C.(0,1)U(2,+8)D.(1,+8)
答案D
解析方程元一x—冽=0有兩個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)歹=4與歹=%+機的圖象有兩個不
同的交點,當機>1時,如圖1所示,由圖可知,當機>1時,函數(shù)歹=“與歹=%+加的圖象
有兩個不同的交點,滿足題意;當0<冽<1時,如圖2所示,由圖可知,當0<冽<1時,函數(shù)》
=mx與y=x+m的圖象有且僅有一個交點,不滿足題意.綜上所述,實數(shù)冽的取值范圍為(1,
+°°).故選D.
圖1圖2
6,%W0,
7.已知函數(shù)")=,''若函數(shù)g(x)=/(x)+x—機恰有兩個不同的零點,則實數(shù)冽的取
1nx,x>0,
值范圍是()
A.[0,1]B.(-1,1)
C.[0,1)D.(—8,1]
答案D
11
2025年高考數(shù)學復習講義及練習解析
解析由題意,函數(shù)/(%)=?''當'W0時,函數(shù)/[x)=e%為增函數(shù),其中{0)=1,當
Inx,x>0,
x>0時,函數(shù)/(x)=lnx為增函數(shù),且人1)=0,又由函數(shù)g(x)=/(x)+x—冽恰有兩個不同的零
點,即為g(x)=O有兩個不等的實數(shù)根,即>=/3)與y=-x+冽的圖象有兩個不同的交點,
如圖所示,當>=-x+加恰好過點(1,0),(0,1)時,兩函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,結合
圖象,要使得函數(shù)g(x)=/3)+x—掰恰有兩個不同的零點,實數(shù)冽的取值范圍是(一8,1].故
選D.
|lgx|,0〈xW10,
8.已知函數(shù)4)=._1工+6若。,b,。均不相等,且人Q)=/3)=/(C),則仍c的取值
.2“''%>'10
范圍是()
A.(1,10)B.(5,6)
C.(10,12)D.(20,24)
答案C
解析函數(shù)加0的圖象如圖所示,不妨設則一lga=lgb=—;c+6£(0,1),所以仍
=1,0<--c+6<l,所以必=1,10<c<12,所以10<〃兒<12.故選C.
2
二、多項選擇題
9.下列說法正確的是()
A.函數(shù)歹=N—3%—4的零點是(4,0),(-1,0)
B.方程曠=3+x有兩個解
C.函數(shù)y=3Ly=log3X的圖象關于直線y=x對稱
D.用二分法求方程3%+3x—8=0在x£(l,2)內的近似解的過程中得到大1)<0,{1.5)>0,
/1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)上
答案BCD
解析對于A,令〉=N—3x—4=0,解得x=—1或%=4,所以函數(shù)〉=12—3x—4的零點是
12
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一1和4,故A錯誤;對于B,分別作出夕=巴y=3+x的圖象,夕=d與y=3+x的圖象有
兩個交點,即方程e,=3+x有兩個解,故B正確;對于C,因為同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函
數(shù)的圖象關于直線y=x對稱,所以函數(shù)y=3ly=log3X的圖象關于直線y=x對稱,故C正
確;對于D,因為>=3葉3》一8單調遞增,由零點存在定理知,因為八1)<0,/.5)>0,/(1.25)<0,
所以方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)上,故D正確.故選BCD.
10.若關于X的一兀二次方程(X—2)(x—3)=加有實數(shù)根Xl,X2,且X1<X2,則卜列結論正確的
是()
A.當加=0時,Xi—2,X2—3
B.m>--
4
C.當m>0時,2VxiVX2<3
D.二次函數(shù)y=(x-xi)(x—X2)+他的零點為2和3
答案ABD
解析對于A,易知當〃?=0時,(x—2)(x—3)=0的根為2,3,故A正確;對于B,設y=(x
。-斗1]、
—2)(x—3)=x2—5X+6=L2」一【》一因為y=(x—2)(x—3)的圖象與直線有兩個交
點,所以心一:,故B正確;對于C,當加>0時,y=(x—2)(x—3)一加的圖象由y=(x—2)(x
—3)的圖象向下平移冽個單位長度得到,XI〈2V3〈X2,故C錯誤;對于D,由(x—2)(x—3)=加
2—=
展開得,x5x+6—m=0,利用根與系數(shù)的關系求出%I+%2=5,xiX26—m,代入>=(%—
xi)(x_可得y=(x-xi)(x-X2)-\~m=(x-2)(%一3)一m-\~m=(x-2)(x-3),所以二次函數(shù)
?=。一處)(%—%2)+加的零點為2和3,故D正確.故選ABD.
11.已知函數(shù)外)=?''函數(shù)g(x)=/(x)—4,則下列結論正確的是()
—4x2+16x-13,
A.若g(x)有3個不同的零點,則Q的取值范圍是[1,2)
B.若g(x)有4個不同的零點,則。的取值范圍是(0,1)
C.若g(x)有4個不同的零點xi,X2,%3,X4(Xl<X2<X3<X4)f則%3+工4=4
D.若g(X)有4個不同的零點為,必X3,X4(X1<X2<X3<X4),則X#4的取值范圍是142)
答案BCD
解析令g(x)=/(x)—。=0,得/(X)=Q,所以g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)歹=加)與圖象的
13
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交點個數(shù),故作出函數(shù)y=/(x)的圖象如圖,由圖可知,若g(x)有3個不同的零點,則。的取
值范圍是[1,2)U{0},故A錯誤;若g(x)有4個不同的零點,則。的取值范圍是(0,1),故
B正確;若g(x)有4個不同的零點Xl,X2,Xi,X4(X1<X2<X3<X4)>此時X3,X4關于直線X=2對
稱,所以冷+g=4,故C正確;由C項可知X3=4—X4,所以X3X4=(4—X4)X4=-x3+4x4,由
1Q
于g(x)有4個不同的零點,a的取值范圍是(0,1),故0<—4x3+16x4—13<1,所以一<-x?+
4
7
4X4</,故D正確.故選BCD.
2
三、填空題
12.已知函數(shù);(x)=log2(x—1)+。在區(qū)間(2,3)上有且僅有一個零點,則實數(shù)。的取值范圍為
答案(T,0)
解析由對數(shù)函數(shù)的性質,可得以)為增函數(shù),又函數(shù)/(x)在(2,3)上有且僅有一個零點,所
以人2次3)<0,即a(a+l)<0,解得一l<a<0,所以實數(shù)a的取值范圍是(一1,0).
|3x—1|+1,x>0,1
13.已知函數(shù)加)=,''若函數(shù)>=/)-foe—1有加個零點,函數(shù)y=/(x)一'
—x2—2x,xWO,k
一1有〃個零點,且%+〃=7,則非零實數(shù)人的取值范圍是.
答案[0,3_U[3,+8)
解析")的圖象與直線y=Ax+1和y=L+l共7個交點,外)的圖象如圖所示,所以①
k
—
解得0<七5%
93,
0<^<3,101
②.k解得《23.綜上,非零實數(shù)左的取值范圍是I'^U[3,+8).
后23,
14
2025年高考數(shù)學復習講義及練習解析
、Y----1
14.(2024?河北衡水中學高三月考)已知函數(shù)於)=---與g(x)=l—sin7Lx,則函數(shù)尸(x)=/(x)
x~2
一g(x)在區(qū)間[―2,6]內所有零點的和為.
答案16
解析令尸(x)=/(x)—g(x)=0,得/(x)=g(x),在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)次x)=l
+」一與g(x)=l—simtx的圖象,如圖所示,又兀0,g(x)的圖象都關于點(2,1)對稱,結合
x~2
圖象可知人x)與g(x)的圖象在[-2,6]上共有8個交點,交點的橫坐標即F(x)=Ax)—g(x)的零
點,由對稱性可得,所有零點的和為4x2x2=16.
,1
x-\--,x<0,
15.已知函數(shù)人x)=,%則方程曲))+3=0的解的個數(shù)為()
Inx,x>0,
A.3B.4
C.5D.6
答案C
x+Lx<0,I
解析已知函數(shù)外)=’X;?令人X)=—3,則當x>0時,lnx=-3,解得%=下;當
Inx,x>0,e
x<0時,x+l=—3,解得x=E^6「."(/a))+3=0,即八/(x))=—3,則人x)=!或於)
x2ej2
由人工)=[,得lnx=',此方程只有一個根,:當x<0時,/(x)=x+lw—2,當且僅當x=-
e3e3x
1時,等號成立,.\/(x)=—3:」僅在介0時有一個根,?x)=—3;后在XV。時有兩個根,
在x>0時有一個根.綜上,方程煩x))+3=0的解的個數(shù)為5.故選C.
|log-x|,0<x<4,
2
16.(多選)(2024?湖北荊州模擬)已知函數(shù){x)=’p磯若方程外)=加有四
4cos16“31,4W%W14,
個不等的實根Xl,X2,X3,X4,且X1—,則下列結論正確的是()
A.0<m<2B.xi%2=l
2
C.XU4E(48,55)D.xiX3^(l,5)
15
2025年高考數(shù)學復習講義及練習解析
答案ACD
解析對于A,當0<%<1時,logx>0,則小尸logx,易得八工)在(0,1)上單調遞減,且4)況1)
11
22
=0,當lWx<4時,logxW0,則/(x)=-logx,易得益)在[1,4)上單調遞增,且次1)與危)勺(4),
11
2.2、
7171三x十四
當4WxW14時,Xx)=4cosl6%%
即0《/3)<2,
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