2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)01

皿「、、九

數(shù)學(xué)

（清華附中初22級）2024.09

一.選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史.以下是在棋譜中截取的四個部分，由

黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合.

把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱

圖形，這個點叫做對稱中心.據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：選項A、B、C不都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以

不是中心對稱圖形.

選項D能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.

故選：D.

2.如圖，直線A3、CD相交于點。，OC平分NAOE,28。。=35°,則NBOE的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.110°D.145°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是對頂角性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記鄰補角之和為180°是解題的關(guān)

鍵.

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先由對頂角性質(zhì)求得NAOC=35°,再根據(jù)角平分線的定義求出/AOE,再根據(jù)鄰補角之和為180°計算,

即可得到答案.

【詳解】解：,/ZAOC=ZBOD=35°,

又???OC平分/AOE,

NAOE=2ZAOC=70°,

ZBOE=180°-NAOE=110°,

故選：C.

3.已知根+3<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3<m<-m<3B.m<-3<-m<3C.-3<m<3<-mD.m<-3<3<-m

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的

方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)

數(shù)，不等號的方向改變.根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：???m+3<0,

m<-3,

-m>3,

m<-3<3<-m,

/.A,B,C不符合題意；D符合題意；

故選：D

4.若關(guān)于x的一元二次方程依2一6%+9=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.k<1B.k<1C.左<1,且左HOD.左<1,且左HO

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關(guān)于左的不等式，求出左的取值范圍即可.本題主要

考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的根的判別式.

【詳解】解：..?關(guān)于x的一元二次方程而2—6》+9=0有實數(shù)根，

2

A=（-6）-4X^X9=36-36^>0,k羊0,

解得：k<l,且上70

故選：D.

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5.正六邊形的外角和是（）

A.720°B.540°C.360°D.180°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是360度即可求出答案.

【詳解】解：六邊形的外角和是360。.

故選：C.

【點睛】考查了多邊形的外角和定理，任何多邊形的外角和是360度.外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān).

6.2024年第33屆巴黎奧運會是史上第一屆男女比例完全平衡的奧運會，參賽的男女運動員分別為

5250,5250名，本屆奧運會的運動員總數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5.25xlO3B.5.25xlO4C.1.5xlO4D.1.05xlO4

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為qxlO"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,“為

整數(shù)，正確確定。的值以及〃的值是解決問題的關(guān)鍵.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中為整數(shù).確定”的值時，要看把原數(shù)變成。時，

小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時，”是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)

的絕對值<1時，”是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：5250x2=10500=1.05x104.

故選：D.

AE1

7.如圖，在菱形A3CD中，點E在邊AD上,.射線CE交的延長線于點R若——=—，AB=3,則

ED2

AF的長為（）

BC

23

A.1B.-C.-D.2

32

【答案】C

【解析】

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【分析】此題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明口4在枳。?！晔墙忸}的關(guān)鍵.由菱

形的性質(zhì)得AB〃DC,AB=DC=3,可證明口APEsODCE,則空=把=（,求得AF=：OC=[,

DCED222

于是得到問題的答案.

【詳解】解：：四邊形A3CD是菱形，AB=3,

AB//DC,AB=DC=3,

;點P在直線A5上，

AF//DC,

：.UAFE<^QDCE,

.AFAE}

13

AF=-DC=~.

22

故選：C.

8.如圖，在四邊形A3CD中，NB=NBC￡>=90。，點石在3c上，CE<BE,連接AE并延長交OC的

延長線于點R,連接DE,UABE^ECD.給出下面三個結(jié)論：①AELQE；②A8+CD>AE；

@41AB-EF=AD-CF.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系、相似三角形的

判定與性質(zhì)等知識點，由全等三角形的性質(zhì)可得N8AE=NCE￡>,AE=ED,BE=CD,結(jié)合

ZB=ZBCD=90°,求出/4m=90°,即可判斷①；由三角形三邊關(guān)系即可判斷②；證明

EFCF

UFEC^nAEB,得出一=——，即可判斷③，從而得解.

AEAB

【詳解】解：□ABE^JECD,

ZBAE=ZCED,AE=ED,BE=CD,

■：ZB=NBCD=90°,

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ZAEB+ZCED=ZAEB+ZBAE=90°,

ZAED=180°-(ZAEB+NCED)=90°,

AE1DE,故①正確，符合題意；

AB+BE>AE,且BE=CD,

AB+CD>AE,故②正確，符合題意；

AE=ED,ZAED=90°,

AD=yjAE2+ED2=42AE，

AE=—AD，

2

ZFCE=ZB=90°,ZFEC=ZAEB,

.DFEC^OAEB,

EFCF

,?瓦一耘‘

V2

/.AB?EF=----ADCF，

2

:.6ABEF=ADCF，故③正確，符合題意；

故選：D.

二.填空題(本題共16分，每小題2分)

9.若代數(shù)式」一有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

x-5

【答案】xw5

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式要有意義，分母不等于零，列出式子，求解即可.

【詳解】解：???代數(shù)式」一有意義，

x-5

[X-5w0,

解得：xw5,

故答案為：

10.因式分解：%3+6x2+9x=-

【答案】x(x+3)2

【解析】

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【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式

法，完全平方公式法，十字相乘法等.

先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.

【詳解】解：X3+6X2+9X

=xfx2+6x+9)

=x(x+3)2.

故答案為：x(x+3『.

11.方程,———=0的解為.

xx+3

【答案】x=3

【解析】

【分析】本題主要考查了解方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對方程的解進行

檢驗即可.

【詳解】解：-———=0,

xx+3

去分母得：x+3-2x=0,

移項，合并同類項得：-％=-3,

系數(shù)化為1得：x=3,

檢驗：把x=3代入x(x+3)=3x(3+3)=18w0,

；.x=3是原方程的解，

故答案為：x=3.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=(左一2卜+1的圖象經(jīng)過點A。,％),8(2,%)，如果

%<%,那么左的取值范圍是.

【答案】k>2

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性進行解答即可.

【詳解】解：?.?一次函數(shù)y=("2)x+l的圖象經(jīng)過點A(lj),5(2,y2),且以<%，

,一次函數(shù)y=(左-2)x+l的圖像y隨X的增大而增大，

...左一2>0,

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k>2,

故答案為：k>2.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)的增減性，掌握左的正負(fù)性與一次函數(shù)y=疆+匕的增減性之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

13.某農(nóng)科所試驗田有3萬棵水稻.為了考察水稻穗長的情況，于同一天從中隨機抽取了50個稻穗進行測

量，獲得了它們的長度x（單位：cm）,數(shù)據(jù)整理如下：

稻穗長度x<5.05.0<x<5.55.5<x<6.06.0<x<6.5x>6.5

稻穗個數(shù)5816147

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計此試驗田的3萬棵水稻中“良好”（穗長在5.5Wx<6.5范圍內(nèi)）的水稻數(shù)量為

__________萬棵.

【答案】1.8

【解析】

【分析】本題考查用樣本估計總體，利用3萬棵水稻乘以穗長在5.5<x<6.5范圍內(nèi)的所占比，即可解題.

【詳解】解：由題知，3x竺薩=1.8（萬棵），

故答案為：1.8.

BE

14.如圖，直線AD,BC交于點O,AB//EF//CD,若AO=5,OF=2,FD=3,則——的值為

//B

71

【答案】—##2—

33

【解析】

【分析】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決

BFAF

本題的關(guān)鍵.由平行線分線段成比例可得，—=-從而可得答案.

CEDF

【詳解】解：VAB//EF//CD,AO=5,OF=2,FD=3,

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,BE_AR_5+2_7

..CE―DF_3-3'

7

故答案為：一.

3

15.綜合實踐課上，小宇設(shè)計用光學(xué)原理來測量公園假山的高度，把一面鏡子放在與假山AC距離為21米

的2處，然后沿著射線CB退后到點E,這時恰好在鏡子里看到山頭A,利用皮尺測量BE=2.4米，若小

宇的身高是1.6米，則假山AC的高度為米.（結(jié)果保留整數(shù)）

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可進行解答.

【詳解】解：1CE,

：.ZC=ZE=90°,

根據(jù)平面鏡反射原理，入射角等于反射角可得：NABC=NDBE,

：.△ABCSADBE,

DEBE1.62.4

.?---=----,即nn----=---,

ACBCAC21

解得：AC=14,

故答案為：14.

【點睛】本題主要考查了利用相似三角形測高，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例.

16.車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障.已知第一臺至第五臺修復(fù)的時間如下表：

車床代號ABCDE

修復(fù)時間（分鐘）15829710

若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).

（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺車床，則下列三個修復(fù)車床的順序：

①Df8fEfAfC；②DfATCTETB；③CfAfE—3—。中，經(jīng)濟損失最少

的是（填序號）；

（2）若由兩名修理工同時修理車床，且每臺車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為_____元.

【答案】①.①②.1010

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【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，找出方案是解題的關(guān)鍵.

（1）因為要經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間盡量短，顯然先修復(fù)時間短的即可；

（2）一名修理工修按。，E,C的順序修，另一名修理工修按8,A的順序修，修復(fù)時間最短，據(jù)此計算即

可.

【詳解】解：⑴①總停產(chǎn)時間：5x7+4x8+3x10+2x15+29=156分鐘，

②總停產(chǎn)時間：5x7+4x15+3x29+2x10+8=210分鐘，

③總停產(chǎn)時間：5x29+4x15+3x10+2x8+7=258分鐘，

故答案為：①；

（2）一名修理工修按。，E,C的順序修，另一名修理工修按B,A的順序修，

7*5+1*4+9、3+6義2+23=101分鐘，

101x10=1010（元）

故答案為：1010.

三.解答題（本題共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題，每

題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）

17.計算：（2024—兀）°+|百一—+712；

【答案】3G-2

【解析】

【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和化簡二次根式，先計算零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)

指數(shù)募和化簡二次根式，再根據(jù)實數(shù)的運算法則求解即可.

【詳解】解：（2024-7i）°+|V3-l|-Q^+V12

=1+73-1-2+273

=373-2.

2（x+l）<5x+8

18.解不等式組4X-1.

2x—5<---

[2

【答案】-2<x<3

【解析】

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【分析】分別求出不等式組中不等式的解集，再根據(jù)確定不等式組解集的原則：大大取較大，小小取較小,

大小小大中間找，大大小小無處找，得出不等式組的解集即可.

2(x+l)<5x+8@

【詳解】解：cu，

2x-5<----(2)

L2

解①得：x>-2,

解②得：x<3,

-2<x<3.

【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握確定不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

(21X2-6x+9

19.先化簡，再求值：1——-k—-----,其中x=5.

Ix—ljx—X

x5

【答案］--

x—32

【解析】

【分析】先進行通分，和因式分解，再應(yīng)用分?jǐn)?shù)的除法法則，將x=5代入，即可求解,

本題考查了，分式的華計件求值，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)運算法則.

x2-6%+9

【詳解】解:

X2-x

p-l21(X-3)2

\x-lx-1)x(x-l)

x-3；；x(x-l)

冗-1(x-3)2

x

x-3，

Y55

當(dāng)x=5時，——

x—35^32

20.如圖，四邊形ABC。的對角線AC,BD相交于點O,BC,EO為矩形8EC0對角線,

BC//AD,AD=EO.

EC

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（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）連接DE,若4。=4,/38=120。，DE的值.

【答案】（1）見解析（2）。石=2而

【解析】

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得OE=CB,ZBOC=90°,結(jié)合AO=E?？傻?D=C8,結(jié)合

BC//AD,可證四邊形A3CD是平行四邊形，再根據(jù)ZBOC=90°可證四邊形A3CD是菱形；

（2）先根據(jù)已知條件和（1）中結(jié)論證明AABC是等邊三角形，進而求出A。，BO,再利用勾股定理解

RtDDBE即可.

【小問1詳解】

證明：..?四邊形BEC。是矩形，

OE=CB,ZBOC=90°,

AD=EO,

AD=CB,

AD//BC,

四邊形ABC。是平行四邊形.

vZBOC=90°,

???平行四邊形A5CD是菱形.

【小問2詳解】

解：如圖，連接DE,

???四邊形A3CD是菱形，

AB=BC=CD=AD,AB//CD,AC1BD,

：.ZBCD+ZABC=180°,

ZBCD=120°,

ZABC=180?！猌BCD=60°,

ZSABC是等邊三角形，

AC1BD,AC=4,

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A(7=(7C=-AC=2,

2

BO=yjAB2-AO-=A/42-22=2百,

???BD=2B0=473，

???四邊形BEC。是矩形，

...BE=OC=2,ZOBE=90°,

DE=yjBD2+BE2=小百『+22=2713.

【點睛】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形

等，難度一般，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法.

21.羽毛球運動深受大眾喜愛，該運動的場地是一塊中間設(shè)有球網(wǎng)的矩形區(qū)域，它既可以進行單打比賽，

也可以進行雙打比賽，下圖是羽毛球場地的平面示意圖，已知場地上各條分界線寬均為4cm,場地的長比

寬的2倍還多120cm包含分界線寬，單、雙打后發(fā)球線（球網(wǎng)同側(cè)）間的距離與單、雙打邊線（中線同

側(cè)）間的距離之比是12:7.根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求單、雙打后發(fā)球線間的距離.

單打后發(fā)球線

單、雙打后二口

雙打壁球線

中左發(fā)

m球區(qū)

前發(fā)球線

1180cm

"W

前發(fā)球線

左發(fā)

區(qū)

球

4cm_>=

單、雙打后_

發(fā)球線間距一〃

4cm，氤雙打單、雙打

邊線間距邊線間距

【答案】球網(wǎng)同側(cè)的單、雙打后發(fā)球線間的距離是72cm

【解析】

【分析】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，

設(shè)球網(wǎng)同側(cè)的單、雙打后發(fā)球線間的距離是12xcm,則中線同側(cè)的單、雙打邊線間的距離是7xcm,根據(jù)

題意列方程求解即可.

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【詳解】解：設(shè)球網(wǎng)同側(cè)的單、雙打后發(fā)球線間的距離是12xcm,則中線同側(cè)的單、雙打邊線間的距離是

7xcm,

由題意可得1180+24%+4x4=2（510+14%+4x4）+120.

解得x=6

12x=72,

答：球網(wǎng)同側(cè)的單、雙打后發(fā)球線間的距離是72cm.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)丁="+可左片0）的圖象經(jīng)過點A（3,5）,B（—2,0）,且與y軸交于點

C.

（1）求該函數(shù)的解析式及點c的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x<2時，對于x的每一個值，函數(shù)>=-3x+〃的值大于函數(shù)y=履+6（左W0）的值，直接寫出

n的取值范圍.

【答案】（1）函數(shù)的解析式為y=x+2,點C的坐標(biāo)為（0,2）

（2）

【解析】

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及解不等式，

（I）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式，當(dāng)X=o時，求出y=2即可求解.

（2）根據(jù)題意結(jié)合解出不等式-3x+〃>x+2結(jié)合x<2,即可求解.

【小問1詳解】

解：將A（3,5）,8（—2,0）,代入函數(shù)解析式得，

3k+b=5k—1

<-2k+b=Q'解得［8=2，

.??函數(shù)的解析式為：y=x+2,

當(dāng)％=0時，y=2,

.?.點C的坐標(biāo)為（0,2）.

【小問2詳解】

角軍：由題意得，—3%+〃>%+2,

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又x<2,

解得：九210,

的取值范圍為“210.

23.小宇觀看奧運會跳水比賽，對運動員每一跳成績的計算方法產(chǎn)生了濃厚的興趣，查閱資料后，小宇了

解到跳水比賽的計分規(guī)則為：

?.每次試跳的動作，按照其完成難度的不同，對應(yīng)一個難度系數(shù)

b.每次試跳都有7名裁判進行打分（0~10分，分?jǐn)?shù)為0.5的整數(shù)倍），在7個得分中去掉2個最高分和兩

個最低分，剩下3個得分的平均值為這次試跳的完成分p-,

c.運動員該次試跳的得分4=難度系數(shù)XX完成分pX3.

在比賽中，甲運動員最后一次試跳后的打分表為：

難度系數(shù)裁判1#2#3#4#5#6#7#

3.5打分7.58.54.09.08.08.57.0

（1）甲運動員這次試跳的完成分尸甲=，得分4巾=;（直接寫出答案）

（2）若按照全部7名裁判打分的平均分來計算完成分，得到的完成分為P人那么與（1）中所得的尸甲比

較，判斷P甲P甲（填“>”，"=”或）并說明理由；

（3）在最后一次試跳之前，乙運動員的總分比甲運動員低13.1分，乙最后一次試跳的難度系數(shù)為3.6,若

乙想要在總分上反超甲，則這一跳乙的完成分P乙至少要達到多少分.

【答案】（1）8.0,84；

（2）<；（3）9.0分

【解析】

【分析】（1）根據(jù)公式求出尸甲、A甲即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)的公式求出尸甲，比較得出答案;

（3）列方程求解即可.

【小問1詳解】

解：7名裁判得分中去掉2個最高分和兩個最低分，剩下3個得分為7.5,8.0,8.5,

7.5+8.0+8.5

平均數(shù)==8.0,

3

第14頁/共28頁

???完成分產(chǎn)甲=8.0；

得分A甲=3.5x8.0x3=84,

故答案為：8.0,84；

【小問2詳解】

7.5+8.5+4.0+9.0+8.0+8.5+7.0

P甲=---------------------------------=7.5,

7

V7.5<8.0,

P甲'<。甲，

故答案為<；

【小問3詳解】

由題意得3.6x2義3=84+13.1,

971

解得?,

這一跳乙的完成分尸乙至少要達到9.0分.

【點睛】此題考查了平均數(shù)的計算公式，列一元一次方程解決問題，正確理解題意，掌握平均數(shù)的計算公

式是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在△。43中，OA=OB,E是A3的中點，過點E作EC，于點C,過點3作，05,

交CE的延長線于點D.

(2)若A3=12,BD=5,求0A的長.

【答案】(1)證明見詳解

(2)OA=—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等邊對等角得出=再根據(jù)余角和對頂角的性質(zhì)可得/。防=/。5后，

即可證明￡>3=￡>E.

(2)連接。石，過點。作A5的垂線，垂足為根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZOEA=ZOEB=ZDFE=90°,根據(jù)E是A3的中點，AB=12,BD=5,得出AE=BE=6,

第15頁/共28頁

_________DF4

EF=BF=3,ED=BD=5,勾股定理可得￡)p=萬二"港萬=4,即sinZDER=----=—，再根據(jù)

DE5

AP415

余角和對頂角可得ZDEF=ZCEA=ZAOE,得sinZAOE=sinZDEF=——=—，即可求出。4=一.

A052

【小問1詳解】

證明：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

又；EC上。A,BD1OB,

：.ZOAB+ZCEA=ZOBA+ZDBE,

Z.ZCEA=ZDBE,

又；NCEA=NDEB,

ZDEB=ZDBE,

DB=DE.

【小問2詳解】

解：連接OE,過點。作A3的垂線，垂足為R,如圖：

OA=OB,E是A5的中點，DB=DE,

：.ZOEA=ZOEB=ZDFE=90°,

是A3的中點，AB=12,BD=5,

AE=BE=6,EF=BF=3,ED=BD=5,

BD=5,ZDFB=90°,

?*-DF=1BD?-BF。=后-32=4，

sinZDEF=—=~,

DE5

ZCEA=ZDEB,ZCEA+ZOAE=NOAE+ZAOE=90°,

ZDEF=ZCEA=NAOE,

AP4

sinZAOE=sinZDEF=——=—,

AO5

AE=6,

第16頁/共28頁

.6_4

??一,

AO5

解得：OA=—.

2

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)值，余角和對頂角，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

25.某款電熱水壺有兩種工作模式：煮沸模式和保溫模式，在煮沸模式下將水加熱至100℃后自動進入保

溫模式，此時電熱水壺開始檢測壺中水溫，若水溫高于50℃水壺不加熱；若水溫降至50℃,水壺開始加

熱，水溫達到100℃時停止加熱……此后一直在保溫模式下循環(huán)工作.某數(shù)學(xué)小組對壺中水量。（單位：

L）,水溫T（單位：°C）與時間單位：分）進行了觀測和記錄，以下為該小組記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù).

表1從20℃開始加熱至100℃水量與時間對照表

a0.511.522.53

t4.5811.51518.522

表21L水從20℃開始加熱，水溫與時間對照表

煮沸模式保溫模式

t036m101214161820222426

T205080100898072666055505560

對以上實驗數(shù)據(jù)進行分析后，該小組發(fā)現(xiàn)，水壺中水量為1L時，無論在煮沸模式還是在保溫模式下，只

要水壺開始加熱，壺中水溫T就是加熱時間/的一次函數(shù).

（1）寫出表中加的值；

（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，補充完成以下內(nèi)容:

①在下圖中補全水溫與時間的函數(shù)圖象；

②當(dāng)/=60時，T=；

第17頁/共28頁

(3)假設(shè)降溫過程中，壺中水溫與時間的函數(shù)關(guān)系和水量多少無關(guān).某天小明距離出門僅有30分鐘，他

往水壺中注入2.5L溫度為20℃的水，當(dāng)水加熱至100℃后立即關(guān)閉電源.出門前，他—(填“能”

或“不能”)喝到低于50℃的水.

【答案】(1)8

(2)①圖見解析；②60℃

(3)不能

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并分析表格中數(shù)據(jù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)在煮沸模式下，加熱時間每增加3分鐘，水溫就上升30℃,從而計算出每增加1分鐘水上升的溫度，

據(jù)此列方程并求解即可；

(2)①描點并連線即可；

②當(dāng)時間從26分開始，設(shè)時間為/時，水溫加熱到100C.在這個過程中每2分鐘，水溫升高5℃,從而求

出每增加1分鐘水上升的溫度，據(jù)此列方程求出"再計算出剩下的時間，根據(jù)表2,得到在剩下的時間內(nèi)水

溫可以變化到多少；

(3)由表1可知，2.5L的水從20℃加熱到100℃需要18.5分，此時離出門還剩30—18.5=11.5(分)根

據(jù)表2,計算水溫從100℃降到50℃需要的時間，將這個時間與21.5分比較，在關(guān)閉電源的基礎(chǔ)上即可得

到結(jié)論.

【小問1詳解】

解：在煮沸模式下，加熱時間每增加3分鐘，水溫就上升30℃,

30+3=10(℃),

在煮沸模式下，加熱時間每增加1分鐘，水溫就上升10℃,

A10(/72-6)=100-80,

/.m=8.

【小問2詳解】

解：①補全水溫與時間的函數(shù)圖象如圖所示：

第18頁/共28頁

②當(dāng)時間從26分開始，設(shè)時間為/時，水溫加熱到100C.

在這個過程中每2分鐘，水溫升高5℃,則每1分鐘水溫升高5+2=2.5(℃),

由此得2.5(526)=100-60,

解得。=42,

60-42=18(分)，

根據(jù)表2的數(shù)據(jù)可知，T=100℃經(jīng)過18分后水溫降到了60℃,

...當(dāng)/=60時，T=60℃.

故答案為：60℃；

【小問3詳解】

解:由表1可知，2.5L的水從20℃加熱到100℃需要18.5分，30-18.5=11.5(分)，

由表2可知，水溫從100℃降到50℃需要22-8=13(分)，

VI1.5<13,且電源已關(guān)閉，

出門前，他不能喝到低于50℃的水.

故答案為：不能.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫=/-(2+〃。尤+2切的對稱軸為直線》=,.

(1)求才的值(用含加的代數(shù)式表示)；

(2)點C(7+L%)在該拋物線上.若拋物線與x軸的一個交點為(%,0),其中

0<x0<2,比較％,上，%的大小，并說明理由.

_小生、/t、2+m

【答案】(1)t=----

(2)為<為<%，詳見解析

第19頁/共28頁

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題等，數(shù)形結(jié)合思想及求二次函數(shù)與一

次函數(shù)交點需要聯(lián)立方程是解題基礎(chǔ).

(1)直接根據(jù)對稱軸公式即可解答；

(2)結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論；

【小問1詳解】

解：由題意得，對稱軸為直線x=——+

2

【小問2詳解】

解：%<%<%.

理由如下：

令V=。，得V-(2+7")x+2:〃=。.

??X]=2,%2=加.

...拋物線與X軸的兩個交點為(2,0),(m,0).

:拋物線與x軸的一個交點為(/，0),其中0</<2,

0<m<2.

?.2+機

?t一,

2

：A<t<2.

*,?—2<—t<—1,2</+l<3.

設(shè)點A(T，%)關(guān)于拋物線的對稱軸x=/的對稱點為4(%%).

■:點4(7，%)在拋物線上，

...點A(〃,％)也在拋物線上.

由〃T=f_(T),得"=3/.

/.3<3/<6.

t<t+l<3t.

,/拋物線的解析式為y=/_(2+m)x+2m,

第20頁/共28頁

...此拋物線開口向上.

當(dāng)/時，y隨》的增大而增大.

■:點以3丫2），C（f+1,%），A（3f,%）在拋物線上,且r<f+l<3r,

27.在中，AB=AC,NB4C=a,點。是5c中點，點E是線段BC上一點，以點A為中心,

將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AF,連接EE.

（1）如圖1,當(dāng)點E與點。重合時，線段EE,AC交于點G,求證：點G是ER的中點；

（2）如圖2,當(dāng)點E在線段3。上時（不與點B,。重合），若點”是ER的中點，作射線。8交AC于

點M,補全圖形，直接寫出NAMD的大小，并證明.

【答案】（1）見解析（2）ZAMD=90°,見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/。4。=工/84。=工&,得到/CAR=ND4C=，根據(jù)

222

等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）依題意補全圖形.連接尸C,截取KC=BE,連接PK交AC于N.根據(jù)SAS證明□B4E四口C4/

得BE=CF,ZB=ZACF,證明KC=CE得KEJ.AC,由三角形中位線可證?！啊?，進而可

得ZAMD=ZANK=90°.

【小問1詳解】

???A3=AC,點。是3c中點，

ZDAC=-ABAC=-a.

22

,?NDAF=a,

：.ZCAF=ZDAC=-a.

2

:AE=AF,

...點G是EE的中點.

【小問2詳解】

依題意補全圖形.

第21頁/共28頁

A

EDK

/AMD=90°.

證明：連接尸C,截取KC=BE,連接RK交AC于N.

ABAC=NEAF=a,

：.ZBAE=NCAF.

"：AE=AF,AB=AC,

：.UBAE^JCAF(SAS),

：.BE=CF,NB=NACF.

?：ZB=ZACB,

ZACB=ZACF.

'：KC=BE,

：.KC=CF,

：.K/FAC于N.

:點。是BC中點，

BD=CD,

：.DE=DK.

;點X是跖的中點，

；?DH//KF,

：.ZAMD=ZANK=90°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌

握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段。，給出如下定義：直線4：y=3x+4經(jīng)過線段。的一個端點，

直線/2：y=-4%+4經(jīng)過線段。的另一個端點，若直線4與乙交于點尸，且點P不在線段。上，則稱點尸

為線段。的“雙線關(guān)聯(lián)點”.

第22頁/共28頁

產(chǎn)

5-

4-

3-

2-

1-

□_?_?_>

123x

g，3］,鳥（U）,月|，2），A（T2）,

（1）已知，線段。的兩個端點分別為（0,-2）和（0,5）,則在點《

中，線段。的“雙線關(guān)聯(lián)點”是：

2

（2）&（m,乂）,8（m+3,%）是直線丁=1工上的兩個動點.

①點尸是線段A5的“雙線關(guān)聯(lián)點”，其縱坐標(biāo)為3,直接寫出點P的橫坐標(biāo)；

②正方形CDEE的四個頂點的坐標(biāo)分別為C（//）,D（/,T）,E（3/,V）,E（3f,。，其中/>0.若所有線段

A3的“雙線關(guān)聯(lián)點”中，有且僅有兩個點在正方形CDEE的邊上，直接寫出/的取值范圍__________.

【答案】⑴P2,P4

52314

（2）①點P的橫坐標(biāo)為一一或上；②一〈/<14

229

【解析】

【分析】⑴當(dāng)直線4：V=3x+4經(jīng)過點（0,-2），直線4：V=—4x+b2經(jīng)過點（0,5）,可得伉=-2,2=5

值，即可得到直線4：y=3x—2,直線4：_y=—4x+5,聯(lián)立即可求解第一種情況，當(dāng)直線/］：y=3x+4

經(jīng)過點（0,5）,直線4：、=-4%+4經(jīng)過點（0,-2）時，同理可得第二種情況.

（2）①將點A（m，x）,B（m+3,%）代入y=§x,求出力,內(nèi)，即可得出

++在按照（1）的步驟分情況談?wù)?，?dāng)直線/1：y=3x+4經(jīng)過點

直線&：y=—4x+4經(jīng)過點31機+3,g/n+2］時，或當(dāng)直線（：y=3x+4經(jīng)過點

Blm+3,|m+2l,直線乙：V=-4%+a經(jīng)過點A［私|加）時，分別結(jié)合點尸縱坐標(biāo)為3,即可得出點

P的橫坐標(biāo).

第23頁/共28頁

x=m+2

214

②設(shè)線段A3的雙線關(guān)聯(lián)點”為M,N,由①得12,消元可得點M在直線p：y=—x+—上運

y=—m+633

13

214

動，同理得點N在直線/:y=—x—-上運動，在f>0時，令r慢慢變大，找到其一個交點和三個交點時

33

的/值，觀察圖象即可得到/的取值范圍.

【小問1詳解】

解：若直線4：y=3%+4經(jīng)過點（0,—2）,直線4：〉=—4%+4經(jīng)過點（0,5）,

則代入得：4=一2,b2=5,

???直線4：y=3%—2,直線4：V=—4%+5,

y=3x-2

聯(lián)立得:

y=-4x+5

y=i

解得：i

x=l

若直線/]：y=3x+4經(jīng)過點（0,5）,直線4：y=—4x+偽經(jīng)過點（0,-2）,

則代入得：4=5,。2=-2,

直線4：y=3x+5,直線4：y=-4%-2,

y=3x+5

聯(lián)立得:

y=-4x-2

y=2

解得：\,

x=-1

綜上可得P2,舄點是線段a的“雙線關(guān)聯(lián)點”，

故答案為舄;

【小問2詳解】

2

①解：將點A的,%),可根+3,%)代入y=§X，

22/、2

得根，J2=j(m+3)=-w+2,

則加,g加加+3,1加+2)

第24頁/共28頁

2，直線：經(jīng)過點加+加+卜寸,

當(dāng)直線4：y=3%+々經(jīng)過點Am.—m4y=—4%+43,g2

3