第一章三角形的證明（單元小結(jié)）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課堂（北師大版）

本章知識(shí)架構(gòu)知識(shí)專題要點(diǎn)梳理一、等腰三角形的性質(zhì)及判定

1.定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（等邊對(duì)等角

）

（一）等腰三角形的性質(zhì)CBA符號(hào)語(yǔ)言：

∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C2.推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重（三線合一）CBAD12要點(diǎn)梳理EDCBAEDCBAEDCBA性質(zhì)3：等腰三角形兩底角的平分線相等性質(zhì)4：等腰三角形兩腰上的中線相等性質(zhì)5：等腰三角形兩腰上的高相等等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重（三線合一）要點(diǎn)梳理（二）等腰三角形的判定方法ABCCBA幾何語(yǔ)言:在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；在△ABC中，

∠B=∠C，∴AB=AC（△ABC是等腰三角形）①

定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形②定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）要點(diǎn)梳理二、等邊三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：1.具有等腰三角形的一切性質(zhì)；2.等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°CBA（一）等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形等邊三角形邊兩邊相等三邊相等角兩角相等三角相等（60°）軸對(duì)稱一條(三線合一)三條(三線合一)性質(zhì)等邊對(duì)等角內(nèi)角都相等要點(diǎn)梳理判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中，∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．CAB判定定理2:有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形∵在△ABC中,BC=AC,∠C=60°(或∠A=60°)∴△ABC是等邊三角形．定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形.（二）等邊三角形的判定方法CAB要點(diǎn)梳理三、直角三角形的性質(zhì)及判定（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；ABC（一）直角三角形的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中,∠C=90°,

∴∠A+∠B=90°.要點(diǎn)梳理（2）勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形兩直角邊分別為a.b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.acb勾弦股要點(diǎn)梳理(3)定理:在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.∴BC=

AB.ABC300要點(diǎn)梳理1.定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形（二）直角三角形的判定ABC要點(diǎn)梳理2.勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中,AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.acbABC要點(diǎn)梳理3.定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（“斜邊、直角邊”或“HL”表示）幾何語(yǔ)言:∵在△ABC和△A′B′C中,

∠C=∠C′=900BC=B′C′,AB=A′B′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）ABCA′B′C′“HL”是直角三角形所獨(dú)有的判定三角形全等的定理，直角三角形全等的判定,除了“HL”外,還可用SAS，ASA，SSS，AAS.要點(diǎn)梳理四、垂直平分線的性質(zhì)及判定（一）線段垂直平分線的性質(zhì)定理定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ACBPMN符號(hào)語(yǔ)言：∵直線MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一點(diǎn).（P是線段AB垂直平分線上的一點(diǎn)）∴PA=PB.要點(diǎn)梳理ABCPabc符號(hào)語(yǔ)言：∵如圖,在△ABC中,a,b,c分別是AB,BC,AC的垂直平分線;∴a,b,c相交于一點(diǎn)P,

且PA=PB=PC稱點(diǎn)P為三角形的外心三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。要點(diǎn)梳理幾何語(yǔ)言描述：∵如圖,PA=PB∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上ABP（二）線段垂直平分線的判定定理

應(yīng)用：常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上（或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)）到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)梳理五、角平分線的性質(zhì)及判定應(yīng)用:常用來(lái)證明兩條線段相等符號(hào)語(yǔ)言：∵OC是∠AOB的平分線,（角平分線）P是OC上任意一點(diǎn)，

（角平分線上的點(diǎn)）

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.（垂直距離）

∴PD=PE（一）角平分線的性質(zhì)定理三個(gè)條件缺一不可角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等要點(diǎn)梳理B

C

P

E

DF定理：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.符號(hào)語(yǔ)言：∵如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F∴∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且PD=PE=PF.A

要點(diǎn)梳理幾何語(yǔ)言：∵點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E,PD=PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（二）角平分線的判定定理

應(yīng)用：常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上（或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)）定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.考點(diǎn)專練考點(diǎn)一等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例1如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來(lái)獲取角的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)專練ABCD))12E證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示，則∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.考點(diǎn)專練考點(diǎn)二直角三角形例2

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長(zhǎng)．解：∵∠B＝90°，∴b是斜邊，則在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b?BD＝ac，考點(diǎn)專練例3已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，

c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，

從而a2＋b2＝c2，

故可以判定△ABC是直角三角形．考點(diǎn)專練考點(diǎn)三線段的垂直平分線解：∵AD

是BC的垂直平分線，∴AB=AC，BD=CD.∵點(diǎn)C在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例4

如圖，AD是BC的垂直平分線，點(diǎn)C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？ABCDE考點(diǎn)專練例5如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.考點(diǎn)四角平分線