概率論中三個(gè)重要分布

三個(gè)重要分布χ2分布t分布F分布χ2分布χ2分布的定義設(shè)X為正態(tài)分布總體的隨機(jī)變量，其平均數(shù)及方差分別為μ和σ2，即X~N(μ,σ2)，為來自該總體的n個(gè)樣本值x1,x2,…,xn的樣本平均數(shù)，則樣本統(tǒng)計(jì)量是自由度為n-1的卡方分布，記作χ2(n-1)。注意：整個(gè)χ2是一個(gè)符號(hào)，并不是χ的平方χ2統(tǒng)計(jì)量χ2統(tǒng)計(jì)量也可表示成χ2分布的概率密度函數(shù)χ2(n)分布的概率密度為其中Γ(·)為伽瑪函數(shù)χ2分布的統(tǒng)計(jì)特性χ2分布的變量值始終為正χ2(n)分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對(duì)稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱χ2分布的期望為：E(χ2(n))=n，方差為：D(χ2(n))=2nχ2分布具有可加性。若U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，則U+V～χ2(n1+n2)χ2分布的α分為點(diǎn)對(duì)于給定的α(0<α<1)

，稱滿足條件的點(diǎn)為χ2(n)分布的α分為點(diǎn)χ2分布α分為點(diǎn)的求法χ2分布α分為點(diǎn)的求法：對(duì)于n≤45的α分為點(diǎn)可查表求得；當(dāng)n充分大（n>45）時(shí)，近似地有其中uα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的α分為點(diǎn)例題分析n=12,α=0.05,求n=12,α=0.95,求n=18,α=0.95,求和使得n=50,α=0.05,求t分布t分布的定義設(shè)總體隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，x1,x2,…,xn為取自該總體的n個(gè)隨機(jī)樣本，當(dāng)σ2未知時(shí)，以樣本方差s2替代，則是自由度為n-1的t分配，記為t(n-1)t分布的概率密度t(n-1)的概率密度函數(shù)為其中Γ(·)為伽瑪函數(shù)t分布的統(tǒng)計(jì)特性t(n-1)分布具有對(duì)稱性，且以t=0為對(duì)稱軸，其隨機(jī)變量取值范圍為(-∞,∞)t(n-1)分布期望值為0，方差為(n-1)/(n-3)，即t分布的統(tǒng)計(jì)特性（續(xù)）t(n-1)分布的形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但由于t(n-1)的方差大于1（當(dāng)n>3時(shí)，(n-1)/(n-3)>1），所以t(n-1)分布比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更分散。即t(n-1)的概率密度函數(shù)是中央部分較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低，而兩尾部分則較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布高t分布的統(tǒng)計(jì)特性（續(xù)）當(dāng)抽樣數(shù)目n增大時(shí)，t(n-1)

的方差越來越接近1，同時(shí)t(n-1)分布的形狀也越來越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。理論上，當(dāng)n→∞時(shí)t(n-1)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。一般認(rèn)為n≥30就說t(n-1)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布非常接近t分布的α分為點(diǎn)對(duì)于給定的α(0<α<1)，稱滿足條件的點(diǎn)tα(n)為t分布上的α分為點(diǎn)由t分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性有t分布α分為點(diǎn)的求法t分布α分為點(diǎn)的求法：對(duì)于n≤45的α分為點(diǎn)可查表求得；當(dāng)n充分大（n>45）時(shí)，近似地有

其中uα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的α分為點(diǎn)例題分析n=9,α=0.05,

求t0.05(9)n=9,α=0.95,

求t0.95(9)n=18,求t0.025(18)及t0.975