2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：空間向量基本定理（5題型分類）

1.2空間向量基本定理5題型分類

彩題如工總

題型1:空間向量基底的判斷

題型5：利用空間向量基本定理求距離、夾角

題型2：利用基底表示空間向量

空間向量基本定理5題型分類

題型4：利用空間向量基本定理證明位置關(guān)系

題型3：利用空間向量基本定理求參數(shù)

彩先渡寶庫(kù)

一、空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一^個(gè)空間向量p9存在唯一^有序?qū)崝?shù)組(%,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我們把｛〃，b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

二、空間向量的正交分解

1.單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都是1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用億

j,A｝表示.

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一^個(gè)空間向量p,存在唯一^有序?qū)崝?shù)組(%,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我們把｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

2.向量的正交分解

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,z4使得a=xi+W+zA;.像這樣把

一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

三、空間向量基本定理的應(yīng)用

1.求異面直線的夾角：cos<a,b>=

|a|網(wǎng)

2.證明共線(平行)、共面、垂直問題：

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a、b(bH0),a||b的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使。=肪.

(2)如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量Q,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),

使p=xa+yb.

(3)若a、b是非零向量，則albOa?b=0.

3.求距離(長(zhǎng)度)問題：|a|=(而|=J樂?福.

彩他題海籍

（-）

空間向量基底的判斷

（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底?；走x定后，空間的所有向量均可由基底唯一表

示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同；

（2）一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念；

（3）由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共面，就

說(shuō)明它們都不是零向量.

（4）基底的選擇一般有兩個(gè)條件：（1）基底必須是不共面的非零向量；（2）在進(jìn)行基底選擇時(shí)要盡量選擇已

知夾角和長(zhǎng)度的向量，這樣會(huì)讓后續(xù)計(jì)算比較方便.

題型1：空間向量基底的判斷

1-1.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）已知｛4,九。｝為空間的一個(gè)基底，則下列各選項(xiàng)能構(gòu)成基底的是（）

A.a,a-2b,a+bB.a+b,a-b,c

C.2a+2b,a+b,2cD.a+c,b+c,a+b+2c

【答案】B

【分析】利用基底的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)椤?26=3。-2（。+6）,所以a,a-2b,a+b是共面向量，不能構(gòu)成基底，A不正確；

因?yàn)椤?不是共面向量，所以可以構(gòu)成基底，B正確；

因?yàn)?a+2。與〃+人平行，所以2〃+2萬(wàn),〃+乩2。不能構(gòu)成基底，C不正確；

因?yàn)镼+e+b+0=4+b+22，所以a+c,b+c,a+Z?+2c共面，不能構(gòu)成基底，D不正確.

故選：B.

1-2.（2024高二下?江西南昌?期中）｛4,6,c｝為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（）

A.a,a+b?a—bB.b,a+b>a—b

C.c,a+b,d—bD.a+2ba+ba—b

【答案】c

【分析】確定a=；[(a+6)+(a-6)],6=+,a+26+排除ABD,得至！]

答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：a=g[,+6)+(cT)],向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：b=^(a+b)-(a-b)\,向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：假設(shè)。=/1,+6)+〃(。-6),即c=(X+〃”+(4-〃)〃，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成

基底，正確；

對(duì)選項(xiàng)D：0+2〃=；(a+B)-g(a-B),向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；

故選:C

1-3.(2024高一下?湖南?期末)給出下列命題：

①若｛°,瓦c｝可以作為空間的一組基，1與：共線，1*0，則｛。,6,d｝也可作為空間的一組基；

②已知向量Z//人則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基；

③A,3,M,N是空間四點(diǎn)，若2A,BM,8N不能構(gòu)成空間的一組基，那么共面；

④已知｛a,b,c｝是空間的一組基，若根=a+c，貝U｛a,6,根｝也是空間的一組基.

其中真命題的個(gè)數(shù)是().

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

【分析】由空間向量基底的定義，結(jié)合空間向量基本定理以及共線定理，利用反證法可得答案.

【詳解】根據(jù)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一組基，顯然②正確.

③中由共面且過相同點(diǎn)B,故A,氏M,N共面.

下面證明①④正確.

①假設(shè)d與。,6共面，則存在實(shí)數(shù)九〃，使d=Xa+〃b,

團(tuán)1與"共線，cwO,回存在實(shí)數(shù)%,使2=公，

回//。，團(tuán)左r0,從而。+國(guó)。與a,6共面，與條件矛盾.

kk

Eld與4,6不共面.

同理可證④也是正確的.

故選：D.

1-4.(2024高一下?湖南?期末)已知｛。,6,可是空間的一個(gè)基底，若°=。+＞，q^a+c,則下列與p,q構(gòu)

成一組空間基底的是()

A.r=2b—3cB.r=a—b+2c

C.r=a+2b—cD.r=2a+b+c

【答案】A

【分析】根據(jù)構(gòu)成空間基底的條件對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A.設(shè)戶,所以26-3e=x(a+6)+y(d+c),

整理得，2b-3c=(^x+y^a+xb+yc,

x+y=0

因?yàn)椋鸻,b,c｝是空間的一個(gè)基底，所以，x=2,無(wú)解.

所以。，G與「構(gòu)成一個(gè)基底.

B.因?yàn)閞="一b+2c,所以r=2q-p,所以排除B；

C.因?yàn)閺S=a+26—d,所以r=2p—q,所以排除C；

D.設(shè)r-xp+yq,所以2&+6+e=x(&+6)+y(a+c),

整理得，2a+b+c=(^x+y^a+xb+yc,

x+y=2

X=1

因?yàn)椋鸻,b，c｝是空間的一個(gè)基底，所以，x=l,所以

y=l

y=i

所以P,4與戶不構(gòu)成一個(gè)基底，排除D.

故選:A

彩他題海籍

利用基底表示空間向量

1、用基底表示向量時(shí)，若基底確定，要利用向量加法、減法的三角形法和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘

的運(yùn)算律進(jìn)行化簡(jiǎn)；若沒給基底，首先要選出基底，再求解.

2、用基底表示向量的步驟：

⑴定基底：由已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(2)尋目標(biāo)：由確定的基底表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、

向量的運(yùn)算進(jìn)行變形化簡(jiǎn).

(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底｛a,b,c｝可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a,b,

c,不能含有其他形式的向量.

題型2:利用基底表示空間向量

2-1.(2024高二下?江蘇徐州?期中)如圖，在平行六面體ABC。-A瓦GR中，尸是CA的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA上,

且CQ:Q4=4:1,設(shè)AB=a,AD=b>AA,=c.則()

D.QP=-a+—b+—c

【答案】C

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)槭荂A的中點(diǎn)，

所以4尸=；(朋+40)=3(朋+河+^￡))=3(0+6+0),

又因?yàn)辄c(diǎn)。在C&上，且CQ:QA=4:1,

1114

所以AQ=A4,+AQ=相+《AC=A4,+《(AC-=《AC+1胡

14114

=-(AB+AD)+-AAl=-a+-b+-c,

一一-1114333

所以QP=AP-AQ=—(tz+Z?+c)——a——b——c=一a-\---b---c,

2555101010

故選：c.

2-2.(2024高二下?江蘇鹽城?期中)在四面體O-ABC中，PA=2OP，。是BC的中點(diǎn)，且/為P。的中點(diǎn),

右OA=a，OB=b,OC=c,則OM=()

111111

A.—a+—b7+—cB.-ClH---b7H---C

644622

111111

C.—a+—b7+—cD.—a+—bz+—c

322344

【答案】A

【分析】利用基底。也＜+表示OP,OQ,再利用向量線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?OP=PA，所以O(shè)P=goA,

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以O(shè)0=g(O3+OC),

因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M=L(OP+OQ)=L0尸+!00=-OA+-{OB+OC)=-a+l-b+-c,

22264644

故選：A.

2-3.(2024高二上?浙江麗水?期末)在平行六面體A8Cr>-A4Gr)|中，AC,8。相交于0,M為。C］的中

點(diǎn)，設(shè)AB=a，AD=b，AAi=c,則CM=()

1-1?11

A.—a+—b——cB.-Q——b+—c

442442

111_317

C.——a—b7+—cD.a+—b

442-44~2

【答案】C

【分析】由空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可.

2-4.（2024高二上?福建泉州?期末）已知四面體。一ABC,G/是aABC的重心，G是OG/上一點(diǎn)，且OG=

3GGi,^OG=xOA+yOB+zOC,貝！|（x,〉,z）為（）

[1111（333、

A?匕qqjB-匕7力

<111A/222、

uD.匕與母

【答案】A

【分析】連接AG/并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,利用向量加減、數(shù)乘幾何意義用OA,OB,。。表示出OG,即可得

答案.

【詳解】如圖所示，連接AG/并延長(zhǎng)，交8C于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，

1121

AE=-{AB+AC)=-(OB-2OA+OC),則AGi=-AE=-(OB-2OA+OC),

由題設(shè)，OG=3GG]=3(OG]-OG),

3331211

OG=-OGX=-{OA+AGi)=-{OA+-OB--OA+-OC)=-{OA+OB+OC)

所以x=y=z=L.

故選：A

彩健題秘籍(二)

空間向量基本定理在幾何中的應(yīng)用

用空間向量基本定理解決幾何問題時(shí)需注意

(1)若證明線線平行，只需證明兩向量共線.

(2)若證明線線垂直，只需證明兩向量的數(shù)量積為0.

(3)若求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角.

(4)若求兩點(diǎn)間的距離，則轉(zhuǎn)化為求向量的模.

題型3:利用空間向量基本定理求參數(shù)

3-1.(2024高二下?云南?階段練習(xí))如圖，在正方體ABCD-4瓦G2中，瓦/分別為4民。2的中點(diǎn)，若

EF=xDA+yDC+zDDx,則x+y+z=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)向量的分解和基底的定義求解.

【詳解】因?yàn)樯?￡4+4。+￡)尸=一加-；￡^+：。2,

1111

所以無(wú)=_l,y=_],z=/,所以x+y+z=_l_5+5=_l.

故答案為:-1.

3-2.(2024高二下?江蘇常州?期中)已知矩形A3CD,尸為平面ABCL(外一點(diǎn)，上4,平面ABC。，點(diǎn)N

12

滿足尸M=]PC,PN=-PD.MN=xAB+yAD+zAP,則x+y+z=()

【答案】A

【分析】利用空間向量基本定理表示出MN，即可求解.

【詳解】矩形A3CD中，AC=AS+A。,所以尸C=PA+AC=PA+A8+AO=—AP+AB+AO.

因?yàn)镻O=AD_AP,PN=：PD,所以PN=：(A￡>-AP).

所以M7V=PN—PM=g(AD—AP)_JbAP+A8+Ar))=_jA3_gAP+gAO.

所以尤=一:，y=_：,z=：,所以x+y+z=(_；]+(-;]+：=一；.

266<<oyo2

故選：A

3-3.（2024高三上?安徽宣城?期末）四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn),

^AE=xAB+yAD+zAP,則x+y+z等于()

22

【答案】A

【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量AE=gA8+：Ar?+；AP,對(duì)照系數(shù)，求得x，y，z,代入可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)锳E=AB+BC+CEuAB+AD+EP=A2+AD+（AP-AE）,

所以2AE=AB+Ar>+AP，所以AE=：++：A尸，所以x=：,y=：,z=：,

乙乙乙乙乙乙

1113

所以％+丁+2=大+二+7=7，

2222

故選：A.

3-4.（2024?陜西?一模）空間四邊形A8CD中，AC與5。是四邊形的兩條對(duì)角線，M,N分別為線段A3,

-23

CO上的兩點(diǎn)，且滿足DN=-DC,若點(diǎn)G在線段MN上，且滿足MG=3GN，若向量AG滿

AG=xAB+yAC+zAD9則x+y+z=

【答案】鳥

12

1Q3

【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則，直接求出AG=：AB+3AC+3AZ),再利用空間向量基本定理，即可

61616

求出結(jié)果.

QQ02OQA1、

【詳解】因?yàn)锳G=A〃+MG=§AB+：MN=1AB+：(MB+BN)=§AB+：［3A5+BN)

Qio11o11211o/1、

=-AB+-AB+-BN=—AB+-BN=—AB+-(BC+CN}=—AB+-\AC-AB+-CD

344124124t,124(4)

ioo1QQ10a

=-AB+-AC+—CD=-AB+-AC+—(AD-AC\=-AB+—AC+—AD,

64166416、>61616

匚匚?19311

6161612

故答案：—.

題型4:利用空間向量基本定理證明位置關(guān)系

4-1.（2024高二?江蘇,課后作業(yè)）已知空間四邊形0ABe中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=O8=OC,M,

N分別是。4,8C的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG0BC.

【答案】證明見解析

【分析】取定基底向量OAOB,OC,并分別記為a,b,c,再用基底表示出0G和8C,然后借助數(shù)量積即可計(jì)

算作答.

【詳解】在空間四邊形04BC中，令OA=a,OB=b,OC=c,則

4ZAOB=Z.BOC=ZAOC=6,G是A/N的中點(diǎn)，如圖，

則0G=；(0M+0N)=；[j0A+；(08+0C)]=；3+6+c),BC=OC-OB=c-b，

11--2-2?.

于是得。G,BC=—(a+6+c>(c-6)=—(a-c-a-b+6-c—6+c—be)

44

=—(|a|2cosd-1a『cos。-1a『+1a『)=0,

4

因此，OG工BC，

所以0G3BC

4-2.(2024高二?江蘇?課后作業(yè))如圖，在平行六面體ABCD-A向。。/中，A8=4D=AA7=LSAIAB=^AIAD

=SBAD=60°,求證：直線A/C3平面

【答案】證明見解析

【分析】設(shè)AB=a，AD=b，M=c,并以它們?yōu)榛妆硎境?、BD、BBX,在面上任意一點(diǎn)

P有BP=2BD+HBB],結(jié)合已知并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求ACBP,即可證結(jié)論.

【詳解】設(shè)AB=a，AD=b>A4,-c,貝!]{a,b,c}為空間的一個(gè)基底且a+b-c,BD=b-a>BB}=c.

因?yàn)锳B=AO=A4/=：L,EIAiAB=0AiAD=60°,

所以Wc—l，a-b=bc=c-a=^.

在平面BDD/S上，取BD、8耳為基向量，則對(duì)于面■BDQB/上任意一點(diǎn)尸，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)優(yōu)〃)，

彳更得BP=%BD+〃BB「

所以，-BP=-BD+JuAlCBBl=A(a+b-c)-(b-a)+/j(a+b-c)-c=0.

所以AC是平面BDDiBi的法向量.

所以4CH平面2。。/即

4-3.(湖南省長(zhǎng)沙市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月階段考試數(shù)學(xué)試題)如圖所示，三棱柱

A3C-A瓦G中，CA=a>CB=b，CCX=c,CA=CB=CCt=l,^a,b^=(a,c)=^-,=N是AB中

點(diǎn).

(1)用a,b,e表示向量AN；

(2)在線段G耳上是否存在點(diǎn)M，使AM,AN?若存在，求出河的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

[答案]⑴-弓4+^人一

2

(2)當(dāng)C1M=§GB[時(shí)，AM

【分析】(1)根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)(4e【°1]),用。，b,?表示向量AM,依題意可得AM-AN=0,根據(jù)空間向量數(shù)

量積的運(yùn)算律求出4,即可得解.

【詳解】(1)解：因?yàn)镹是A3中點(diǎn)，所以

2

所以4N=AA+A2V=GC+gAB

=-CC.+-(CB-CA)=--a+-b-c-

1222

(2)解：假設(shè)存在點(diǎn)“，使AMLAN,設(shè)(2G[0,1]),

顯然2clg=例,AM=AAI+AtC1+CIM=c-a+^,

因?yàn)锳M_LAN,所以AMTN=O,

即(e-a+26).(-ga+g6-c)=0,

:.--c-a+—c-b—c2+—a2-—a-b+c-a-—Aa-b+—Ab2—Ab-c=Q

222222

CA=CB=CC]=1,(a,))=(a,c)=與，=

:.—c-a—c2+—a2-(—+—A)a-i>+—AZ?2=0

22222

11,1,1111

gp-xlxlx(一一)-l2+-xl2-(-+-A)xlxlx(一一)+—2」2=0,

2222222

2?

解得4=§，所以當(dāng)GM=]C且時(shí)，AM.

4-4.(2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí))已知四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證：這個(gè)四面體相

對(duì)的棱兩兩垂直.

已知：如圖，四面體ABCD,E,F,G,H,K,M分別為棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中點(diǎn)，且

舊求證AB1CD,AC1BD,AD1BC.

【答案】證明見解析

【分析】設(shè)AB=a,AC=6,AO=e,由空間向量的運(yùn)算證明AC_LO3,ADLBC,AB±CD.

【詳解】證明：設(shè)AB=a,AC="AD=C

貝！|EG=AG-AE=UAC+Ar>)-L4B=」a+L+L」(-a+6+C)

2、>22222、1

FH=AH-AF=-AD--^AB+AC^=-c--(a+b^=-[-a-b+c^

KM=AM-AK=-AC--(AB+AD)=-b--+c^=^—d+b—c

22、)22

|EG|=|FH^,/.；(_〃+/?+(?)=^-a-b+c^,

(一白+石+c[=(-(1-b-\-c\f

a~+b"+c~—2a,b—2a?c+2/?,c=a~++c2+2a,b—2a,c—26,c，

:Aa-b=4b-c,:.ab-b-c=0,.'.b(a-d^=O

Xb=AC,a-c=DB,:.ACDB=O

AC±DB,ACLDB,同理可證AD_L3C,AB_LCD,

這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.

題型5:利用空間向量基本定理求距離、夾角

5-L（2024高二上?天津靜海?階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABC。的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,

點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,C。的中點(diǎn).設(shè)=AC=b，AD=c.

⑴求證EGEL4S；

（2）求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【答案】（1）證明過程見解析;

（2）1

【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直;

（2）用a,6,c表達(dá)AG與EC，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【詳解】（1）證明：連接。E,

因?yàn)榭臻g四邊形ABC。的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,且E,G分別是AB,C。的中點(diǎn)，

所以AC=BC,3D=AD,

^CELAB,DELAB,

又因?yàn)镃EDE=E,CE,DEu平面COE,

所以AB_L平面C￡>E,

因?yàn)镋Gu平面C￡>E,

所以ABJ_EG.

(2)由題意得：！ABC!A。,！ABO均為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1,

所以AG=EC=^

2

AG=：R+C),EC=1(BC+AC)=|(AC-AB+AC)=/?-1?,

所以AGEC=-{b+c^\b--a\=-b-—ab+—C'b--a-c

2I2J2424

二g一!卜HWcos60。+；HUcos60°—:忖.卜|cos60°

~2~8+4~~8~2,

設(shè)異面直線AG和CE所成角為6,

IzMIAG?:7

則

cos0=cos(AG,EC--

|AG|-|EC|A^X2^3

22

5-2.(2024高二上?上海?期中)如圖，三棱柱ABC-A51cl中，M,N分別是4反與G上的點(diǎn)，且

BM=2AM，GN=2BIN.設(shè)A3=〃,AC=b^A\=C,

B

⑴試用〃，b，c表示向量MN;

(2)若ZBAC=90°,NBA4t=ZCAA[=60°,AB=AC=AAi=lJ求MN的長(zhǎng).

【答案】(L=ga+?+$

⑵在

3

【分析】(1)利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

(2)根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.

【詳解】(1)解：MN=MAi+AlCl+C1N

=-BA+AC+-CB

33

=-^AB+^AA,+AC+|(AB-AC)

=-AB+-AA.+-AC,

3313

…11,1

^\MN=-a+-b+-c；

333

(2)解：AB=AC二的=1,.[41日"=匕|=1,

NB4C=90。,“m=0,.N&L4j=ZCAAl=60°,

:\MN^=^(a+b+c

:\MN\=?

即MN的長(zhǎng)為好.

3

5-3.(2024高二上?浙江杭州?期末)如圖，平行六面體42cz)-44C1R中,

CB±BD,ZCtCD=45°,ZCQB=60°,CCt=CB=BD=l,

⑴求對(duì)角線CA的長(zhǎng)度；

⑵求異面直線CA與D4所成角的余弦值.

【答案］⑴3；

【分析】（1）以向量CB,CD,CG為基底，貝I有C4j=CB+CD+CG，兩邊平方即可得|C4,『=9,即可得|C4J

的值，即可得答案；

UUULUUU1UUUUL1U、UUUUUUU

⑵由向量的四則運(yùn)算及數(shù)量積可得CAiDA^C\CB=萬(wàn),從而可得cos<M，>的值，即可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)镃3=3D=1,CB±BD,

所以三角形BCD為等腰直角三角形，所以。=近，

又因?yàn)閏q=C8=l,NC￡B=60。，

所以三角形CG8為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

UUUULUUUUU

以向量CB,a）,cC］為基底，

UULLULIUUUUUUULUUUULUUUUU

則有。1^CB+BA+AAi=CB+CD+CQ,

uir,uuntuiuxm

兩邊平方得期一=（C8+C￡>+CG>

UUU2tui211UH2tunturuunUULUuunuu

=CB+CD+cq+2CB-CD+2CB-CCX+2CQ-CD

=1+1+2+2x1x72x—+2xlxlx-+2xlXA/2x—

222

=9,

UUU

所以|C4J=3,

即|CAI=3,

所以對(duì)角線CA的長(zhǎng)度為3；

MULLUUU1ULUUUUUUUUuuuUUU

(2)因?yàn)椤?=。8+8+區(qū)1,1cAi|=3,DA=CB，IDA|=|CB\=l,

UUUUUULUUUUUU

所以cvn^cvcs

UUUULUUUUUUUU

=(CB+CD+CC[)CB

uun2uirummmtun

=CB+CDCB+CC[CB

=1+^2xlx^?-+lxlx—

22

_5

=2；

mu.uuui

用知CA.DA5

所以cos<CA,,D4>=-uutf-1~UUB-=-,

\CA,\-\DA\6

即異面直線CA,與ZM所成角的余弦值為g.

6

5-4.(2024高二上?福建三明?期末)如圖，在四面體ABC。中，Zfi4C=60°,ZBAD=ZCAD=45°,AD=亞,

AB=AC=3.

⑴求8C8O的值；

⑵已知尸是線段C。中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足￡B=2AE，求線段EF的長(zhǎng).

【答案】⑴:9;

（2呼

2

【分析】（1）取A氏AC,AO為空間的一個(gè)基底，表示出再利用空間向量數(shù)量積求解作答.

（2）利用（1）中的信息，利用空間向量數(shù)量積計(jì)算空間向量的模作答.

【詳解】（1）在四面體ABCD中,設(shè)A月二1AC=b，AD=c＞則忖="=3,卜卜血，

(a,b)=ABAC=60°，〈。,c>=/BAD=45°，S，c)=ZCAD=45°，

__....................-.-2

BC,BD—(AC—AJ5),(AZ)——(b—ci),(c—ci)=b?c—b.a—a*c+a

=|Z?||c|cos450-|/?||a|cos600-|fl||c|cos45°+|<2|2=3V2x--32xl-3^x—+32=-.

2222

(2)由(1)知，因?yàn)椤闎=2AE，貝[]AE=；A2=ga,因?yàn)槭荂D中點(diǎn)，貝l]

-2-2-2------

用山1廠廠12z1171、2abca-ba-cb-c

322944332

3232(V2)232cos60°372cos4503A/2COS45011口口后5m而

=---1----1----------------------------------1-------------=—，即侶Er\=------，

94433242

所以線段跖的長(zhǎng)為姮.

2

5-5.(2024高二下?江蘇?課后作業(yè))如圖，在平行六面體-A4G2中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)

都為1,且兩兩夾角為60。，求BQ與AC的夾角的余弦值.

【答案】骼

【分析】設(shè)出基向量，然后根據(jù)圖形，結(jié)合幾何關(guān)系用基向量表示出-a+%+c,AC=“+b.進(jìn)而根據(jù)

數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量的模以及數(shù)量積，即可根據(jù)數(shù)量積的定義公式得出8。以及AC夾角的余弦值，即

可得出答案.

【詳解】設(shè)AB=a,AD=b,AAi=c,

由已矢口可得。2==b-c=lxlxcos60°=—,

因?yàn)锽Q=BA+BC+BB]=-AB+AD+AA,=—a+Z?+c,

AC=AB+AD=a+b9

--2/..\2y111一

22=++_

所以,BD[=(—a+b+c)=a+b+c-2^-Z2+2/?-c-26z-clll2x—+2x--2x—=2,

2/\2°°j

AC=(〃+〃)=Q+2a-b=1+1+2X-=3,

3￡)IAC=(_〃+B+c)?(〃+/?)=-a-a-b+ab+b+a-c+b-C=+—+1+—+—=1?

所以忸聞=0,|AC卜出，

BD「AC1瓜

COS,AC

所以,\BD^AC\~y/2xs/3~6

故直線BDX與AC的夾角的余弦值為四.

6

嫁習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024高二下?安徽?開學(xué)考試）已知四面體O-ABC,G是VABC的重心，尸是線段。G上的點(diǎn)，且OP=2PG,

OP=xOA+yOB+zOC,貝lj(x,y,z)為()

（\in（222、riin（\in

A，[％%'"B-〔爐c-|j，n]D-〔展3J

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意知，

團(tuán)OP=2PG，

22（111A222

^OP=-OG=-\-OA+-OB+-OC\=-OA+-OB+-OC,

33（333J999

故選:B.

2.（2024高二上?遼寧?期末）已知｛4,"c｝是空間的一個(gè)基底，則可以與向量％=a+2b，力=。-，構(gòu)成空間

另一個(gè)基底的向量是（）

A.2a+2b—cB.a+4b+cC.b-cD.a—1b—2c

【答案】C

【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】因?yàn)?。+2/?-。=(。+2匕)+(〃一。)，

〃+4。+c=2(Q+2b)-{a-c),

a-2b-2c=2(。-c)-(a+2b),

所以向量2Q+2/?—c，a+4b+c，。-2/7—2。均與向量相，〃共面.

故選：C

3.(2024高二上?山東荷澤?階段練習(xí))對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的二點(diǎn)A氏C,有如下關(guān)系：

OP=-OA+-OB+-OC,貝I」()

632

A.0,46C四點(diǎn)必共面B.P,A,B,C四點(diǎn)必共面

C.O,P,B,C四點(diǎn)必共面D.O,P,A&C五點(diǎn)必共面

【答案】B

【分析】根據(jù)如下結(jié)論判斷：對(duì)于空間任一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)AB,C,若點(diǎn)P滿足

OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zeR)S.x+y+z=l,則P,A,8,C四點(diǎn)共面.

【詳解】對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A,3,C,若點(diǎn)P'}^/^OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zeR)y+z=1,

則P,A,民C四點(diǎn)共面.

111ill

^OP=-OA+-OB+-OC,其中二+；+彳=1,所以尸,A,屬C四點(diǎn)共面.

632632

故選：B.

4.(2024高二上?全國(guó)裸后作業(yè))已知BABC,8瓦為三條不共面的線段，若=乂鉆+2y3C+3zC]C,那

么x+y+z=()

7511

A.1B.一C.一D.—

666

【答案】B

【分析】直接利用共面向量的基本定理求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：ACi=AB+BC+Cq,

即AC^AB+BC-QC,

因?yàn)?xAB+2yBC+3z￡C,

所以x=l,2y=1,3z=—1,

所以尤=1,>=:，z=-=，所以x+y+z=l+!—

23236

故選：B.

5.(2024高二上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，M是四面體Q4BC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，點(diǎn)P

在線段前上，旦M「ON,AP=/N,用向量叩OB，0。表示。尸，則OP=()

O

B

A.-OA+-OB+-OCB.-OA--OB+-OC

444444

113131

C.-OA——OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

444444

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.

3

【詳解】OP==OA+AP=OA+-AN

4

Q1Q

=OA+-(ON-OA\=-OA+-ON

4、,44

13211

=-OA+-x-OM=-OA+-OM

44342

=-OA+-x-(OB+OC]=-OA+-OB+-OC.

422、>444

故選：A

6.(2024高二?全國(guó)?課后作業(yè))已知直線AB,BC,8月不共面若四邊形的對(duì)角線互相平分，且

AG=xA8+2yBC+3zC￡,貝！Jx+〉+z的值為()

..5一211

A.1B.—C.一D.—

636

【答案】D

【分析】由題意｛AB.BGCCJ為空間的一組基底，然后利用空間向量基本定理求解.

【詳解】由題意，知鉆，BC,B片不共面，四邊形BBCC為平行四邊形，CC\=BB-

（AB,8C,用｝為空間的一組基底.

ACX=AB+BC+CC[,又AG=xAB+2yBC+3zCCl,

:.x=2y=3z=l,：.x=l,V=—,z=-

23

11

.xyz—

故選：D.

7.（2024?福建福州?三模）在三棱錐PA3C中，點(diǎn)。為△A3C的重心，點(diǎn)￡）,E,歹分別為側(cè)棱以，PB,PC

的中點(diǎn)，^a=AF，b=CE,c=BD,則0尸=()

11121222-2

A.B.——a——7b——cC.——a——bz——cD.—CLH---bH---C

333333333333

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合重心的性質(zhì)即可求解.

【詳解】取5c中點(diǎn)為M,

一——,1_.一

a=AF=PF-PA=-PC-PA,

2

b=CE=PE-PC=-PB-PC,

2

--.-.一1?一

=BD=PD-PB=-PA-PB

C2

三個(gè)式子相力口可得〃+人+c=-g(出+P3+PC)nPA+P5+PC=—2(〃+Z?+c),

y.OP=AP-AO=-PA--AM=-PA^^x-^AB+AC^=-PA--^PB-PA+PC-PA^

=-PA--(PB-PA+PC-PA\=--PA--PB--PC=--(PA+PB+Pc]=-(a+b+c

3、,3333、,3、

故選：D

8.（2024高二?全國(guó)?課后作業(yè)）已知"，b，"是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量

是()

A.3a，a-b>a+2bB.2b，b-2a，b+2a

C.a，2b，b-cD.c，a+c'a—c

【答案】C

【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項(xiàng)判斷作答.

【詳解】向量6,c是不共面的三個(gè)向量，

對(duì)于A,3a=2(a-/?)+(?+2b),貝！]向量3a,a-b,a+2b共面，A不能構(gòu)成空間基底；

對(duì)于B,2b=(b-2a)+S+2a),則向量2b,b-2a,b+2a共面，B不能構(gòu)成空間基底;

對(duì)于D,2c=(a+c)-(a-c),則向量c,a+c,a-c共面，D不能構(gòu)成空間基底；

對(duì)于C