山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.62．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.3．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則：①．圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為②．圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為③．若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是④．若圓M與圓有公共點(diǎn)，則上述結(jié)論中正確的有（）個(gè)A.1 B.2C.3 D.44．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.5．甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)進(jìn)行黨史知識(shí)比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無(wú)重復(fù)），其中前2名將獲得參加市級(jí)比賽的資格，甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有獲得參加市級(jí)比賽的資格.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.126．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.7．若集合，，則A. B.C. D.8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件9．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫(xiě)出（）個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.6410．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.11．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（）X123Pa2a3aA. B.C. D.12．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的斜率為1，則a的值為_(kāi)__________.14．當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________15．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)______16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)，A、B、M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到截面ABCD的距離是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.18．（12分）同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的整數(shù)倍的概率19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為4，設(shè)，的左右有兩個(gè)焦點(diǎn)求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明兩點(diǎn)20．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.22．（10分）已知在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)F的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D2、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁浇饧癁?，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯(cuò)誤；，故C正確.故選：C.3、A【解析】由題意求出的垂直平分線可得△的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點(diǎn)的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率判斷C；由兩個(gè)圓有公共點(diǎn)可得圓心距與兩個(gè)半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍判斷D【詳解】由題意，△的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的垂直平分線方程為，即由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故①錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故②正確；的幾何意義：圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過(guò)與圓相切的直線方程為，即，由，解得，的最小值是，故③錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，，，解得，故④錯(cuò)誤故選：A4、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D5、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒(méi)有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C6、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.7、A【解析】通過(guò)解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由充分必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當(dāng)，可得，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.9、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列，共可寫(xiě)出個(gè)三位數(shù).故選：A10、B【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再利用導(dǎo)數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因?yàn)?，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性.11、C【解析】根據(jù)分布列性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以；故選：C12、B【解析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率計(jì)算公式即可求的參數(shù)a﹒【詳解】由題意可知，解得故答案為：614、【解析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因?yàn)椋?，其表示過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線.在同一坐標(biāo)系下作圖如下：不妨設(shè)點(diǎn)，直線斜率為，且過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線斜率為數(shù)形結(jié)合可知：要使得曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需即可.容易知：；不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.15、【解析】由直線垂直可得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：16、【解析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設(shè)（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用，點(diǎn)面距離的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）2.【解析】（1）由離心率，得到，再由點(diǎn)在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率，即，可得，又橢圓過(guò)點(diǎn)，可得，將代入，可得，故橢圓方程為.（2）設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消去y整理，得，所以，又直線與橢圓相交，所以，解得，則，點(diǎn)P到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.18、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時(shí)擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點(diǎn)數(shù)相等的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問(wèn)1詳解】同時(shí)擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問(wèn)2詳解】?jī)深w骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，用坐標(biāo)記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個(gè)基本事件，故兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的倍數(shù)有的概率為.19、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見(jiàn)解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè),表示出,求出其范圍;設(shè)CD的中點(diǎn)為;由,則;得到其斜率的乘積為,最后列取方程聯(lián)立計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可知,,則;所以橢圓C的方程為:;由題意可知,,設(shè),則,;所以的取值范圍是;假設(shè)存在滿足條件的直線,根據(jù)題意得直線的斜率存在;則設(shè)直線的方程為：；消化簡(jiǎn)得:;,則;；設(shè)，則CD的中點(diǎn)為；,；，則;，即;即,無(wú)解;故滿足條件的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),向量的數(shù)量積,直線的垂直,設(shè)而不求的思想方法,關(guān)鍵在于將幾何條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,還考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對(duì)稱.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱21、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（?。└鶕?jù)題意對(duì)參數(shù)分類討論，當(dāng)時(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化，且構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）中所求得到與的等量關(guān)系，求得并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】（?。┮?yàn)?，故可得，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，則，無(wú)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若在有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)，也即在有一個(gè)零點(diǎn)，又，則單調(diào)遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則；（ⅱ）由（?。┛芍?，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則，也即，則，令，則，又在都是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，又，故，則在單調(diào)遞增，則，故，即證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)以及最值；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，以及充分利用零點(diǎn)存在定理，熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法，屬