北京市東城第50中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

北京市東城第50中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.283．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為4天，那么感染人數(shù)超過1000人大約需要（）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天4．已知橢圓：的離心率為，則實數(shù)（）A. B.C. D.5．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．（2016新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，MF1與軸垂直，sin,則E的離心率為A. B.C. D.27．設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則8．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.10．已知一組數(shù)據(jù)為：2，4，6，8，這4個數(shù)的方差為（）A.4 B.5C.6 D.711．早在古希臘時期，亞歷山大的科學(xué)家赫倫就發(fā)現(xiàn):光從一點直接傳播到另一點選擇最短路徑，即這兩點間的線段.若光從一點不是直接傳播到另一點，而是經(jīng)由一面鏡子(即便鏡面是曲面)反射到另一點，仍然選擇最短路徑.已知曲線，且將假設(shè)為能起完全反射作用的曲面鏡，若光從點射出，經(jīng)由上一點反射到點，則（）A. B.C. D.12．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，使得”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是___________14．已知向量，向量，若，則實數(shù)的值為________.15．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為____16．若數(shù)列滿足，，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前項和，求的值.18．（12分）已知點F是拋物線和橢圓的公共焦點，是與的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點，與橢圓交于，，點關(guān)于軸的對稱點為.求的最大值及相應(yīng)的.19．（12分）某市對排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出的污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.20．（12分）已知數(shù)列是正項數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小22．（10分）已知P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是.設(shè)點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點A，B.當(dāng)，且滿足時，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D2、C【解析】根據(jù)通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列的前8項和為.故選：C3、B【解析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：即，解得，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程4、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C5、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B6、A【解析】由已知可得，故選A.考點：1、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率.【方法點晴】本題考查雙曲線及其方程、雙曲線的離心率.，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.由已知可得，利用雙曲線的定義和雙曲線的通徑公式，可以降低計算量，提高解題速度.7、C【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的8、A【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因為的定義域是，所以，當(dāng)時，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.9、A【解析】因為，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.10、B【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由平均數(shù)的計算公式，可得，所以這4個數(shù)的方差為故選：B.11、B【解析】記橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓定義，得到，由題中條件，確定本題的本質(zhì)即是求的最小值，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】記橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓的定義可得，，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，，即；由題意可得，求的值，即是求最短路徑，即求的最小值，所以的最小值為，因此.故選：B.【點睛】思路點睛：求解橢圓上動點到一焦點和一定點距離和的最小值或差的最大值時，一般需要利用橢圓的定義，將問題轉(zhuǎn)化為動點與另一焦點以及該定點距離和的最值問題來求解即可.12、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(-1，0]【解析】將題意的命題轉(zhuǎn)化條件為“，”為真命題，結(jié)合一元二次不等式恒成立即可得解.【詳解】因為命題“，使得”是假命題，所以其否定“，”為真命題，即在R上恒成立.當(dāng)時，不等式為，符合題意；當(dāng)時，則需滿足，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14、2【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因為向量，向量，且，所以，解得，故答案為：215、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，由向量法可得，令，，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據(jù)已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，則，0，，，0，，，1，，設(shè)，，，，，，，，，，，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)取得最大值，的最大值為故答案為：16、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：7三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，數(shù)列的通項為；（2）數(shù)列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求解，考查等差數(shù)列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計算，然后計算點到的距離，計算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點到的距離為..令，則，.此時，即【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對問題分析能力以及計算能力，屬難題.19、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應(yīng)繳納污水處理費1400元.20、（1）（2）【解析】（1）由條件因式分解可得，從而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法求和得到，由題意即即對恒成立，分析數(shù)列的單調(diào)性，得出答案.【小問1詳解】由，得∵∴∴∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由對恒成立得對恒成立即對恒成立，又是遞減數(shù)列∴時得到最大值∴，即∴的取值范圍是.21、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3