2025屆深圳市育才中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆深圳市育才中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.2．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.23．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.64．在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.5．總體由編號為的30個個體組成.利用所給的隨機數(shù)表選取6個個體，選取的方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）A.20 B.26C.17 D.036．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1207．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.8．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．已知點F是雙曲線的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.10．圓關(guān)于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.11．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.12．“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)橢圓標準方程為，則該橢圓的離心率為______14．已知數(shù)列前項和為，且，則_______.15．已知過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB經(jīng)過拋物線C的焦點F，則___________16．已知橢圓，為其右焦點，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，則橢圓的方程為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）已知拋物線C：，經(jīng)過的直線與拋物線C交于A，B兩點（1）求的值（其中為坐標原點）；（2）設(shè)F為拋物線C的焦點，直線為拋物線C的準線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點M，與直線相交于點N，證明：點P在拋物線C上移動時，恒為定值，并求出此定值19．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且滿足，，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和20．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導(dǎo)演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22．（10分）甲、乙等6個班級參加學(xué)校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）個數(shù)X的分布列與期望

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.2、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.3、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.4、C【解析】根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點關(guān)于原點對稱，則對稱點坐標為該點對應(yīng)坐標的相反數(shù)，所以.故選：C5、D【解析】根據(jù)題目要求選取數(shù)字，在30以內(nèi)的正整數(shù)符合要求，不在30以內(nèi)的不合要求，舍去，與已經(jīng)選取過重復(fù)的舍去，找到第5個個體的編號.【詳解】已知選取方法為從第一行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個數(shù)字，所以選取出來的數(shù)字分別為12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（與前面重復(fù)，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故選出來的第5個個體的編號為03.故選：D6、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A7、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因為，所以，即函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B8、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據(jù)點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.9、B【解析】根據(jù)是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【詳解】，當時，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.10、D【解析】先根據(jù)圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.11、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因為，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12、A【解析】方程表示雙曲線則，解得，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.14、，.【解析】由的遞推關(guān)系，討論、求及，注意驗證是否滿足通項，即可寫出的通項公式.【詳解】當時，，當且時，，而，即也滿足，∴，.故答案為：，.15、【解析】設(shè)出點的坐標，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合題意和韋達定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進而求得的值.【詳解】設(shè)，在拋物線，過切點A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點的切線方程為，即，同理，設(shè)，在拋物線，過切點B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.16、##【解析】將代入橢圓的方程，可得出，可得出關(guān)于的等式，求出的值，進而可求得的值，由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，橢圓的方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運用正弦定理進行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進行化簡是關(guān)鍵.一般地，當?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時，可利用余弦定理進行化簡；當含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進行邊角互化.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）求得過點的拋物線的切線方程，由此求得兩點的坐標，通過化簡來證得為定值，并求得定值.【小問1詳解】依題意可知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，消去并化簡得，所以，所以.小問2詳解】拋物線方程為，焦點坐標為，準線，通徑所在直線，在拋物線上，且，所以過點的拋物線的切線的斜率存在且不為零，設(shè)過點的切線方程為，由消去并化簡得，，將代入上式并化簡得，解得，所以切線方程為，令得，令得，，將代入上式并化簡得，所以為定值，且定值為.19、（1）（2）【解析】（1）由成等比數(shù)列得首項，從而得到通項公式；（2）利用裂項相消求和可得答案.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，∵成等比數(shù)列，∴，即，∴，由題意故，得，即.【小問2詳解】，∴20、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數(shù)后可計算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率21、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.【小問1詳解】連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平