沈陽市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

沈陽市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．命題任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則為（）A.每一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形是矩形B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形D.存在一個(gè)圓內(nèi)接四邊形是矩形2．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是A. B.C. D.3．如下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①②與成角③與為異面直線④以上四個(gè)命題中，正確的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④4．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A. B.C. D.5．要證明命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”是假命題，只需（）A.證明所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)B.證明平方是正數(shù)的實(shí)數(shù)有無限多個(gè)C.至少找到一個(gè)實(shí)數(shù)，其平方是正數(shù)D.至少找到一個(gè)實(shí)數(shù)，其平方不是正數(shù)6．已知，函數(shù)在上遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．不等式的解集為R，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知a>0，那么2+3a+4A.23 B.C.2+23 D.9．圓的圓心和半徑為（）A.(1，1)和11 B.(-1，-1)和11C.(-1，-1)和 D.(1，1)和10．下列函數(shù)中，與函數(shù)的定義域與值域相同的是（）A.y=sinx B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知弧長為cm2的弧所對的圓心角為，則這條弧所在的扇形面積為_____cm212．已知水平放置的按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為___________13．已知，，，則有最大值為__________14．已知函數(shù)，若關(guān)于方程恰好有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15．如圖，在棱長均相等的正四棱錐最終，為底面正方形的重心，分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③；④直線與直線所成角的大小為其中正確結(jié)論的序號是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸非負(fù)半軸和軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，，設(shè).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；若，則的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，且向量，求：，，；向量與夾角的余弦值18．某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？19．在中，設(shè)角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求周長的取值范圍.20．已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對于任意的、都有，求的最小值.21．已知函數(shù)（1）若，求不等式的解集；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A，C不符合題意，同時(shí)對結(jié)論進(jìn)行否定，所以：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，故選：B.2、A【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C(m，n),由重心坐標(biāo)公式得重心為,代入歐拉線方程得：①AB的中點(diǎn)為，，所以AB的中垂線方程為聯(lián)立，解得所以三角形ABC的外心為，則，化簡得：②聯(lián)立①②得：或，當(dāng)時(shí)，BC重合，舍去，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的各種形式，重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題.3、D【解析】由已知中正方體的平面展開圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：由正方體的幾何特征可得：①不平行，不正確；

②AN∥BM，所以，CN與BM所成的角就是∠ANC=60°角，正確；③與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；④易證，故，正確；故選D4、D【解析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的范圍【詳解】解：函數(shù)，的圖象如圖：關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，必須有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根位于之間，由函數(shù)圖象可知，．令，方程化為：，，，開口向下，對稱軸為：，可知：的最大值為：，的最小值為：2故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，屬于中檔題5、D【解析】全稱命題是假命題，則其否定一定是真命題，判斷選項(xiàng).【詳解】命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”是全稱命題，若其為假命題，那么命題的否定是真命題，所以只需“至少找到一個(gè)實(shí)數(shù)，其平方不是正數(shù).故選：D6、B【解析】求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間A，令（，π）?A，解出ω的范圍【詳解】解：f（x）sin（ωx），令，解得x，k∈Z∵函數(shù)f（x）sin（ωx）（ω＞0）在（，π）上單調(diào)遞減，∴，解得ω2k，k∈Z∴當(dāng)k＝0時(shí)，ω故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】對分成，兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合判別式，求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為，解集為，符合題意.當(dāng)時(shí)，一元二次不等式對應(yīng)一元二次方程的判別式，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)閍>0，所以2+3a+4當(dāng)且僅當(dāng)3a=4a，即故選：D9、D【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓心和半徑即可.【詳解】因，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D10、D【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，值域依次對各選項(xiàng)判斷即可【詳解】解：由函數(shù)的定義域?yàn)?，值域，對于定義域?yàn)?，值域，，錯(cuò)誤；對于的定義域?yàn)?，值域，錯(cuò)誤；對于的定義域?yàn)?，，值域，，錯(cuò)誤；對于的定義域?yàn)椋涤?，正確，故選：二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】先求出半徑，再用扇形面積公式求解即可.【詳解】由已知半徑為，則這條弧所在的扇形面積為.故答案為：.12、2【解析】∵∠B'A'C'=90°,B'O'=C'O'=1，.∴A'O'=1，∴原△ABC的高為2，△ABC面積為.點(diǎn)睛：由斜二測畫法知，設(shè)直觀圖的面積為，原圖形面積為，則13、4【解析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.詳解：因?yàn)閤+y=4,所以4≥，所以故答案為4.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查基本不等式，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.14、【解析】作出函數(shù)的簡圖，換元，結(jié)合函數(shù)圖象可知原方程有6根可化為在區(qū)間上有兩個(gè)不等的實(shí)根，列出不等式組求解即可.【詳解】當(dāng)，結(jié)合“雙勾”函數(shù)性質(zhì)可畫出函數(shù)的簡圖，如下圖，令，則由已知條件知，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，二次方程根的分布，換元法，數(shù)形結(jié)合，屬于難題.15、①②③【解析】連接AC，易得PC∥OM，可判結(jié)論①證得平面PCD∥平面OMN，可判結(jié)論②正確由勾股數(shù)可得PC⊥PA，得到OM⊥PA，可判結(jié)論③正確根據(jù)線線平行先找到直線PD與直線MN所成的角為∠PDC，知三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，可判④錯(cuò)誤【詳解】如圖，連接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，結(jié)論①正確同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，結(jié)論②正確由于四棱錐的棱長均相等，所以AB2+BC2＝PA2+PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，結(jié)論③正確由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，所以MN∥AB，又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角，為∠PDC，知三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，故④錯(cuò)誤故答案為①②③【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面平行，考查線線角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題16、①.②.【解析】分別過點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)、，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，如下圖所示：則，設(shè)點(diǎn)、，則，，，.當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是將點(diǎn)的坐標(biāo)利用三角函數(shù)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】根據(jù)，是夾角為的兩個(gè)單位向量即可求出，然后利用向量的模的公式和數(shù)量積公式即可求得結(jié)果;根據(jù)即可求出向量夾角的余弦值【詳解】是夾角為的兩個(gè)單位向量；；，，；；【點(diǎn)睛】本題考查向量模的公式，考查向量數(shù)量積計(jì)算公式以及向量夾角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題18、（1）400；（2）不能獲利，至少需要補(bǔ)貼35000元.【解析】(1)每月每噸的平均處理成本為，利用基本不等式求解即得最低成本；(2)寫出該單位每月的獲利f(x)關(guān)于x的函數(shù)，整理并利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可作答.【小問1詳解】由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，∴該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸平均處理成本最低；【小問2詳解】該單位每月的獲利：，因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補(bǔ)貼35000元才能使該單位不虧損.19、（1）；（2）【解析】（1）由三角函數(shù)的平方關(guān)系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域即可得出.【詳解】（1）由題意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），則的周長.，，周長的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的平方關(guān)系，正余弦定理，兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.20、（1）；（2）的最小值為.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得、的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，由已知可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的最小值.【小問1詳解】解：因?yàn)榈慕饧癁椋缘母鶠?、，由韋達(dá)定理可得，即，，所以.【小問2詳解】解