2025屆天津市天津一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆天津市天津一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列中,,,則首項()A. B.C. D.02.已知橢圓的離心率為,則()A. B.C. D.3.若直線與平行,則實數(shù)m等于()A.0 B.1C.4 D.0或44.已知點P是圓上一點,則點P到直線的距離的最大值為()A.2 B.C. D.5.阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點P與A,B距離之比滿足:,當P、A、B三點不共線時,面積的最大值是()A. B.2C. D.6.已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則()A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.847.已知,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件8.已知,則下列說法錯誤的是()A.若,分別是直線,的方向向量,則直線,所成的角的余弦值是B.若,分別是直線l的方向向量與平面的法向量,則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若,分別是平面,的法向量,則平面,所成的角的余弦值是D.若,分別是直線l的方向向量與平面的法向量,則直線l與平面所成的角的正弦值是9.命題“,都有”的否定為()A.,使得 B.,使得C.,使得 D.,使得10.已知a、b是兩條不同的直線,α、β、γ是三個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若a∥α,a∥b,則b∥α B.若a∥α,a∥β,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β D.若a⊥α,b⊥α,則a∥b11.已知雙曲線:,直線經(jīng)過點,若直線與雙曲線的右支只有一個交點,則直線的斜率的取值范圍是()A. B.C. D.12.若雙曲線經(jīng)過點,且它的兩條漸近線方程是,則雙曲線的方程是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若直線與直線平行,則實數(shù)m的值為____________14.在空間直角坐標系中,經(jīng)過且法向量的平面方程為,經(jīng)過且方向向量的直線方程為閱讀上面材料,并解決下列問題:給出平面的方程,經(jīng)過點的直線的方程為,則直線l與平面所成角的余弦值為___________.15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點A,B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓,如圖,在長方體中,,點E在棱上,,動點P滿足,若點P在平面內(nèi)運動,則點P對應(yīng)的軌跡的面積是___________;F為的中點,則三棱錐體積的最小值為___________.16.已知函數(shù),則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知平面直角坐標系上一動點滿足:到點的距離是到點的距離的2倍.(1)求點的軌跡方程;(2)若點與點關(guān)于直線對稱,求的最大值.18.(12分)已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過點作軸的平行線交軸于點,過點的直線與橢圓交于兩個不同的點、,直線、與軸分別交于、兩點,若,求直線的方程;(3)在第(2)問條件下,點是橢圓上的一個動點,請問:當點與點關(guān)于軸對稱時的面積是否達到最大?并說明理由.19.(12分)已知四棱錐的底面是矩形,底面,且,設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點,H為EG的中點,如圖.(1)求證:平面;(2)求直線FH與平面所成角的大小.20.(12分)已知拋物線上的點M(5,m)到焦點F的距離為6.(1)求拋物線C的方程;(2)過點作直線l交拋物線C于A,B兩點,且點P是線段AB的中點,求直線l方程.21.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值22.(10分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題的題設(shè)條件中.問題:等差數(shù)列的公差為,滿足,________?(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和得到最小值時的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,列出方程組,即可求得,進而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q,則,解得,所以.故選:B2、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得,進而可得.【詳解】因為,則,所以.故選:D3、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解:因為直線與平行,所以,解得,故選:A.4、C【解析】求出圓心到直線的距離,由這個距離加上半徑即得【詳解】由圓,可得圓心坐標,半徑,則圓心C到直線的距離為,所以點P到直線l的距離的最大值為.故選:C5、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標系,求出點P的軌跡方程,探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意,以線段AB的中點為原點,直線AB為x軸建立平面直角坐標系,如圖,則,,設(shè),因,則,化簡整理得:,因此,點P的軌跡是以點為圓心,為半徑的圓,點P不在x軸上時,與點A,B可構(gòu)成三角形,當點P到直線(軸)的距離最大時,的面積最大,顯然,點P到軸的最大距離為,此時,,所以面積的最大值是故選:C6、C【解析】根據(jù)對稱性以及概率之和等于1求出,再由即可得出答案.【詳解】∵隨機變量服從正態(tài)分布,∴故選:C.7、C【解析】根據(jù)充要條件的定義進行判斷【詳解】解:因為函數(shù)為增函數(shù),由,所以,故“”是“”的充分條件,由,所以,故“”是“”的必要條件,故“”是“”的充要條件故選:C8、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項即可判斷作答.【詳解】對于A,因分別是直線的方向向量,且,直線所成的角為,則,A正確;對于B,D,因分別是直線l的方向向量與平面的法向量,且,直線l與平面所成的角為,則有,B正確,D錯誤;對于C,因分別是平面的法向量,且,平面所成的角為,則不大于,,C正確.故選:D9、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,命題“,都有”的否定為:,使得故選:A10、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理,對四個選項逐一分析排除,由此得出正確選項.【詳解】對于A選項,直線有可能平面內(nèi),故A選項錯誤.對于B選項,兩個平面有可能相交,平行于它們的交線,故B選項錯誤.對于C選項,可能相交,故C選項錯誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項正確.故選:D.11、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件,即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線:的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點,可知直線的傾斜角取值范圍為,故直線的斜率的取值范圍是故選:D12、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程,再由其過的點即可求解.【詳解】漸近線方程是,設(shè)雙曲線方程為,又因為雙曲線經(jīng)過點,所以有,所以雙曲線方程為,化為標準方程為.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】利用兩條直線平行的充要條件,列式求解即可【詳解】解:因為直線與直線平行,所以,解得故答案為:14、##【解析】根據(jù)材料結(jié)合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量,即可用向量法求得線面角.【詳解】因為平面的方程,不妨令,則,故其過點,設(shè)其法向量為,根據(jù)題意則,即,又平面的方程為,則,不妨取,則,則平面的法向量;經(jīng)過點的直線的方程為,不妨取,則,則該直線過點,則直線的方向向量.設(shè)直線與平面所成的角為,則.又,故,即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為:.15、①.②.【解析】建立空間直角坐標系,根據(jù),可得對應(yīng)的軌跡方程;先求的面積,其是固定值,要使體積最小,只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系,設(shè),而,,,,.由,有,化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點P對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形,其面積為,,設(shè)平面的一個法向量為,則有,可取平面的一個法向量為,根據(jù)點的軌跡,可設(shè),,所以點到平面的距離,所以故答案為:;16、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求出切線的斜率,再利用點斜式求出切線方程【詳解】解:∵,∴,又,∴曲線在點處的切線方程為,即.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)直接法求動點的軌跡方程,設(shè)點,列方程即可.(2)點關(guān)于直線對稱的對稱點問題,可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離,也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設(shè),由題意,得:,化簡得,所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一:設(shè),因為點與點關(guān)于點對稱,則點坐標為,因為點在圓,即上運動,所以,所以點的軌跡方程為,所以兩圓的圓心分別為,半徑均為2,則.方法二:由可得:所以點的軌跡是以為圓心,2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為:18、(1);(2);(3)當點與點關(guān)于軸對稱時,的面積達到最大,理由見解析.【解析】(1)設(shè),可得出,,將點的坐標代入橢圓的方程,求出的值,即可得出橢圓的方程;(2)分析可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達定理,由已知可得,結(jié)合韋達定理可求得的值,即可得出直線的方程;(3)設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為,將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,由判別式為零可求得,分析可知當點為直線與橢圓的切點時,的面積達到最大,求出直線與橢圓的切點坐標,可得出結(jié)論.【小問1詳解】解:因為,設(shè),則,,所以,橢圓的方程可表示為,將點的坐標代入橢圓的方程可得,解得,因此,橢圓的方程為.【小問2詳解】解:設(shè)線段的中點為,因為,則軸,故直線、的傾斜角互補,易知點,若直線軸,則、為橢圓短軸的兩個頂點,不妨設(shè)點、,則,,,不合乎題意.所以,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,聯(lián)立,可得,,由韋達定理可得,,,,則,所以,解得,因此,直線的方程為.【小問3詳解】解:設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為,聯(lián)立,可得(*),,解得,由題意可知,當點為直線與橢圓的切點時,此時的面積取最大值,當時,方程(*)為,解得,此時,即點.此時,點與點關(guān)于軸對稱,因此,當點與點關(guān)于軸對稱時,的面積達到最大.【點睛】方法點睛:圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種:一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;二是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值19、(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接CH,延長交PD于點K,連接BK,根據(jù)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點,易得,再利用線面平行的判定定理證明.(2)建立空間直角坐標,求得的坐標,平面PBC一個法向量,代入公式求解.【詳解】(1)如圖所示:連接CH,延長交PD于點K,連接BK,因為設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點,所以H為CK的中點,所以,又平面平面,所以平面;(2)建立如圖所示直角坐標系則,所以,設(shè)平面PBC一個法向量為:,則,有,令,,設(shè)直線FH與平面所成角為,所以,因為,所以.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理,運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】(1)由拋物線定義有求參數(shù),即可寫出拋物線方程.(2)由題意設(shè),聯(lián)立拋物線方程,結(jié)合韋達定理、中點坐標求參數(shù)k,即可得直線l方程【小問1詳解】由題設(shè),拋物線準線方程為,∴拋物線定義知:可得,故【小問2詳解】由題設(shè),直線l的斜率存在且不為0,設(shè)聯(lián)立方程,得,整理得,則.又P是線段AB的中點,∴,即故l21、(1)+1;(2)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間是和,極大值為,極小值為【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率,求出后利用點斜式即可得解;(2

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