湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)、河南省南陽一中、信陽高中等湘豫名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題含解析

湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)、河南省南陽一中、信陽高中等湘豫名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，2．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.3．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A B.5C. D.74．若，則（）A B.C. D.5．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且f(-1)=0，則不等式的解集是（）A. B.C. D.7．等差數(shù)列中，,，則當(dāng)取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在8．據(jù)有關(guān)文獻記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.10．已知橢圓的左右焦點分別為，，點B為短軸的一個端點，則的周長為（）A.20 B.18C.16 D.911．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里12．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(，)與拋物線有相同的焦點，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，下圖中第一行的稱為三角形數(shù)，第二行的稱為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第10項為__________，五邊形數(shù)的第項為__________.14．若不同的平面的一個法向量分別為，，則與的位置關(guān)系為___________.15．在學(xué)習(xí)《曲線與方程》的課堂上，老師給出兩個曲線方程；，老師問同學(xué)們：你想到了什么？能得到哪些結(jié)論？下面是四位同學(xué)的回答：甲：曲線關(guān)于對稱；乙：曲線關(guān)于原點對稱；丙：曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積；丁：曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積；四位同學(xué)回答正確的有______（選填“甲、乙、丙、丁”）16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，則雙曲線的漸近線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對任意正實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)18．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當(dāng)面積最大時，求實數(shù)的值19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，.（1）證明平面；（2）求平面與平面的夾角.20．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）21．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求的最大值；（2）求證：對于任意x∈(1,7),e1-x+22．（10分）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾?。衲瓿霈F(xiàn)的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．應(yīng)國務(wù)院要求，黑龍江某醫(yī)院選派醫(yī)生參加援鄂醫(yī)療，該院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；該院病毒感染科有2名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任，現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中共選4人參加援鄂醫(yī)療（最后結(jié)果用數(shù)字表達）（1）若至多有1名主任參加，有多少種派法？（2）若呼吸內(nèi)科至少2名醫(yī)生參加，有多少種派法？（3）若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，有多少種派法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】通過命題的否定的形式進行判斷【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為圓關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C.3、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D4、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運算求解即可【詳解】因為，所以，故選：D5、A【解析】設(shè)，計算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時，重合，舍去頂點的坐標(biāo)是故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.6、D【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，再結(jié)合函數(shù)f(x)的奇偶性得到函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)奇偶性得到單調(diào)性，進而解得答案.【詳解】由題意，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，容易判斷是定義在上的奇函數(shù)，于是在上單調(diào)遞增，而f(-1)=0，則.于是當(dāng)時，.故選：D.7、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為∵∴∴∴∵∴當(dāng)取最大值時，的值為或故選C8、C【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列前n項和公式列式計算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C9、C【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因為，所以，解得故選：C10、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B11、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B12、C【解析】由題意可知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由在拋物線的準(zhǔn)線上，則，則，則焦點坐標(biāo)為，所以，則，解得，雙曲線的漸近線方程是，將代入漸近線的方程，即，則雙曲線的離心率為，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】對于三角形數(shù)，根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，從而歸納出規(guī)律利用求和公式即得，對于五邊形數(shù)根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，然后利用累加法可得通項公式.【詳解】由題可知三角形數(shù)的第1項為1，第2項為3=1+2，第3項為6=1+2+3，第4項為10=1+2+3+4，，因此，第10項為；五邊形數(shù)的第1項為，第2項為，第3項為，第4項為，…，因此，，所以當(dāng)時，,當(dāng)時也適合，故，即五邊形數(shù)的第項為.故答案為：55；.14、平行【解析】根據(jù)題意得到，得出，即可得到平面與的位置關(guān)系.【詳解】由題意，平面的一個法向量分別為，，可得，所以，所以，即平面與的位置關(guān)系為平行.故答案為：平行15、甲、乙、丙、丁【解析】結(jié)合對稱性判斷甲、乙的正確性；通過對比和與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積來判斷丙丁的正確性.【詳解】對于甲：交換方程中和的位置得，所以曲線關(guān)于對稱，甲回答正確.對于乙：和兩個點都滿足方程，所以曲線關(guān)于原點對稱，乙回答正確.對于丙：直線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為，，，在第一象限，直線與曲線都滿足，，，所以在第一象限，直線的圖象在曲線的圖象上方，所以，丙回答正確.對于丁：圓與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為，在第一象限，曲線與曲線都滿足，，，，所以在第一象限，曲線的圖象在曲線的圖象下方，所以，丁回答正確.故答案為：甲、乙、丙、丁16、【解析】首先根據(jù)已知條件得到，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示：，，所以，即.設(shè)，則，.即，，，，所以，漸近線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因為對任意正實數(shù)，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極大值為，在時取得極小值為，因為當(dāng)大于0趨近于0時，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，所以當(dāng)，即時，有且只有一個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有三個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有一個零點.綜上所述：當(dāng)或時，有且只有一個零點；當(dāng)或時，有且只有兩個零點；當(dāng)時有且只有三個零點.18、（1）；當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當(dāng)面積最大時，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當(dāng)時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當(dāng)時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當(dāng)面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設(shè)圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號(下同)19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知結(jié)合線面平行判定定理可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可解.【小問1詳解】∵，，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】∵平面且、平面，∴，，又∵，故分別以所在直線為軸，軸、軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，，可得：，，，，，由已知平面，平面，，，，，平面，所以平面，為平面的一個法向量，且；設(shè)為平面的一個法向量，則，，，，，，，令，則，，，設(shè)平面與平面的夾角大小為，，由得：平面與平面的夾角大小為20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因為為整數(shù)，所以的最小值為.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出，討論其導(dǎo)數(shù)后可得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值.（2）先證明任意的，總有，再利用放縮法和換元法將不等式成立問題轉(zhuǎn)化為任意恒成立，后者可利用導(dǎo)數(shù)證明.【小問1詳解】，當(dāng)時，