人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

專題22.5二次函數(shù)的應(yīng)用

典例精析

【典例1】某企業(yè)安排75名工人生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，每名工人每天可生產(chǎn)2件甲產(chǎn)品或1件乙產(chǎn)品，且

每名工人每天只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件可獲利20元.根據(jù)市場需求，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，

當(dāng)乙產(chǎn)品每天生產(chǎn)5件時，每件可獲利150元，每增加1件，當(dāng)天平均每件利潤減少2元，設(shè)每天安排x

(尤為不小于5的整數(shù))名工人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.

(1)用含x的代數(shù)式表示：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的工人有名；每件乙產(chǎn)品可獲利潤元；

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多450元，求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤；

(3)該企業(yè)在不增加工人數(shù)量的情況下，增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲，丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每

名工人每天可生產(chǎn)1件丙產(chǎn)品，丙產(chǎn)品每件可獲利25元，該企業(yè)每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品，且可獲得的總利潤的

和最大時，請求出尤的值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即可；

(2)根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)表示每天生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品獲得利潤，根據(jù)題意構(gòu)造方程即可；

(3)設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品機人，則生產(chǎn)丙產(chǎn)品人，則切=等，設(shè)生產(chǎn)三種產(chǎn)品每天可獲得的總利潤的和為

卬元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解題過程】

解：(1)由已知，每天安排無人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的有(75-x)人；

在乙每件150元獲利的基礎(chǔ)上，增加(尤-5)人,利潤減少2(尤-5)元每件，則乙產(chǎn)品的每件利潤為150

-2(%-5)=(160-2x)元.

故答案為：(75-x)；(160-2x)；

(2)由題意

20x2(75-x)=x(160-2x)+450,

-100x+1275=0,

解得xi=15,%2=85(不合題意，舍去)，

??x~~15,

???160-2%=130,

答：每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤是130元；

（3）設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品加人，則生產(chǎn)丙產(chǎn)品2根人，可獲得的總利潤的和為w元,

m+2m+x=75,

根據(jù)題意得：

w=20x2m+25x2m+x(160-2x)

=90m+160x-22

=90x+160x-2/

=-2/+130x+2250,

.,.對稱軸為直線x=-J及八=32-,

??”為正整數(shù)，-2<0,

.?.%=32或%=33時w最大，

當(dāng)x=32時，機=與必不是整數(shù)，

當(dāng)％=33時，m=-g-=14,

:?％=33,

答：x的值為33.

學(xué)霸必刷

1.（2022?鞍山）某超市購進一批水果，成本為8元/依，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來10天的售價

m（元伙g）與時間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式相=%+18（1金10,x為整數(shù)），又通過分析銷售情況，發(fā)

現(xiàn)每天銷售量y（飯）與時間第無天之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的三組對應(yīng)值.

時間第X天259

銷售量W依333026

（1）求y與尤的函數(shù)解析式；

（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為多少元?

【思路點撥】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，得出w=(-x+35)($+18-8)=-1(x—苧)？+出含，再結(jié)合

1SE10,x為整數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解題過程】

解：(1)設(shè)每天銷售量y與時間第x天之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為>=日+6,

根據(jù)題意，得:蔚仁爵

解囑/

.\y=-x+35(l<x<10,x為整數(shù))；

(2)設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，

,1

貝i]w=(-x+35)(-x+18-8)

2

——^.v~H--^t+SSO

Vl<x<10,x為整數(shù)，

.?.當(dāng)x=7或x=8時，w取得最大值，最大值為378,

答：在這10天中，第7天和第8天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為378元.

2.(2022?沙市區(qū)模擬)荊州某旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一

天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金尤(元)是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營運規(guī)律如下：當(dāng)無不超過100

元時，觀光車能全部租出；當(dāng)尤超過100元時，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會減少1

輛.已知所有觀光車每天的管理費是1100元.

(1)如果要使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元？(注：凈收入=

租車收入-管理費)

(2)當(dāng)每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？

【思路點撥】

(1)觀光車全部租出每天的凈收入=出租自行車的總收入-管理費，根據(jù)不等關(guān)系：凈收入為正，列出不

等式求解即可；

(2)由函數(shù)解析式是分段函數(shù)，在每一段內(nèi)求出函數(shù)最大值，比較得出函數(shù)的最大值.

【解題過程】

解：(1)由題意知，若觀光車能全部租出，則0〈爛100,

由50x-1100>0,

解得尤>22,

又是5的倍數(shù)，

每輛車的日租金至少應(yīng)為25元；

（2）設(shè)每天的凈收入為y元，

當(dāng)0〈爛100時，yi=50x-1100,

隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=100時，yi的最大值為50x100-1100=3900；

當(dāng)x>100時，

”=（50」一；00）%-1100

1

=50x—/92+20%-1100

=-1^2+70X-1100

=-1（.x-175）2+5025,

當(dāng)x=175時，”的最大值為5025,

V5025>3900,

當(dāng)每輛車的日租金為175元時，每天的凈收入最多是5025元.

3.（2022?朝陽）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）

與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8M15,且x為整數(shù)）.當(dāng)每件消毒用品售價為9元時,

每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件.

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？

（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤

最大？最大利潤是多少元？

【思路點撥】

（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)每件的銷售利潤x每天的銷售量=425,解一元二次方程即可；

（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤=每件的銷售利潤x每天的銷售量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

【解題過程】

解：（1）設(shè)每天的銷售量〉（件）與每件售價X（元）函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

由題意可知:｛常，==喘，

解得:｛廣總，

3=150

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-5尤+150；

（2）（-5x+150）（%-8）=425,

解得：xi=13,X2=25（舍去），

.??若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；

（3）w=y（x-8）,

=（-5x+150）（x-8）,

w=-5f+190x-1200,

=-5（x-19）2+605,

V8<r<15,且x為整數(shù)，

當(dāng)x<19時，w隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=15時，w有最大值，最大值為525.

答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元.

4.（2022?九龍坡區(qū)自主招生）在臍橙豐收時，為了減少臍橙的庫存，某臍橙銷售公司決定開發(fā)市場增加銷

售點進行銷售，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，臍橙的每日銷售量y（保）與銷售單價元/依）滿足關(guān)系式：y=-100X+3000,

銷售單價不低于6元/像且不高于20元/依.當(dāng)每日銷售量低于2000依時，該臍橙的成本價格為6元飯，當(dāng)

每日銷售量不低于2000依時，該臍橙的成本價格5元/依，設(shè)該公司銷售臍橙的日獲利為w（元）.

（1）求該公司銷售臍橙的日獲利w與銷售單價尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，銷售這種臍橙日獲利最大？最大利潤為多少元？

【思路點撥】

（1）分兩種情況討論，由日獲利=（銷售單價-成本）x日銷售量，可求解；

（2）分兩種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出6SE10和10<后20時的最大利潤，即可求解.

【解題過程】

解：（1）當(dāng)心2000時，即-100尤+3000N2000,

解得：爛10,

當(dāng)6<x<10時，w=(x-5)(-WOx+3000)=-100?+3500.r-15000,

當(dāng)10<x<20時，w=(x-6)(-lOOx+3000)=-100/+3600x-18000,

綜上所述：日獲利.與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為四*35。。，-15000(6WxW10)

(-100/+3600X-18000(10<%<20)

(2)當(dāng)6<x<10時，w=-100/+3500尤-15000=-100(x-17.5)2+15625,

-100<0,對稱軸為x=17.5,

二當(dāng)6WE10時，w隨x的增大而增大，

當(dāng)尤=10時，w有最大值，最大值為10000,

當(dāng)10<x<20時，w=-100?+3600x-18000=-100(%-18)2+14400,

'：a=-100<0,對稱軸為x=18,

...當(dāng)x=18時，w有最大值為14400,

V14400>10000,

.?.當(dāng)銷售單價定為18元時，銷售這種板栗日獲利最大，最大利潤為14400元.

5.(2022?鞍山二模)某科技公司生產(chǎn)一款精密零件，每個零件的成本為80元，當(dāng)每個零件售價為200元

時，每月可以售出1000個該款零件，若每個零件售價每降低5元，每月可以多售出100個零件，設(shè)每個零

件售價降低尤元，每月的銷售利潤為w元.

(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)為了更好地回饋社會，公司決定每銷售1個零件就捐款〃(0<?<6)元作為抗疫基金，當(dāng)40M60時,

捐款后每月最大的銷售利潤為135000元，求n的值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)銷售利潤=單件利潤*銷售量列出函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)銷售利潤-捐款額列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合x的取值范圍求值即可.

【解題過程】

解：(1)設(shè)每個零件售價降低x元，則每個零件的實際售價為(200-x)元，

每月的實際銷售量為(1000+5X100)，

貝Uw=(200-%-80)(1000+1X100)=20?十1400x+120000,

..[%>0

*1200-%-80>0'

0<x<120,

與X之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-20J+1400X+120000(0<x<120)；

（2）設(shè)捐款后的實際利潤為〃元,

貝【Jp=-20X2+1400X+120000-(1000+|x100)n,

整理得：p=-20?+(1400-20")x+120000-1000”,

1400—20n70—n

則p是x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線％=-

2x(—2。)——2

V0<n<6,

.?.32<^^<35,

??,-20<0,

.??函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)40W爛60時，p隨x的增大而減小，

當(dāng)x=40時，p有最大值135000,

即-20X402+40（1400-20n）+120000-1000^=135000,

解得：n=5.

6.（2022?南京模擬）某地實施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過測算為20元/千克，投放市場后，經(jīng)過

市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時間內(nèi)的銷售單價p（元/千克）與時間t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，

且其日銷售量y（千克）與時間f（天）的關(guān)系是：y=-2f+160.（0<r<80,且f為整數(shù)）

（1）試求銷售單價p（元/千克）與時間f（天）之間的函數(shù)表達式；

（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？

【思路點撥】

（1）當(dāng)0</<40時，設(shè)銷售單價p（元/千克）與時間f（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=kt+b,根據(jù)待定系數(shù)

法求解即可，當(dāng)40VfV80時，p=40,即可求解；

（2）設(shè)日銷售利潤為w元，分別求出分段函數(shù)中w的最大值，即可求解.

【解題過程】

解：（1）當(dāng)g日40時,

設(shè)銷售單價P（元/千克）與時間r（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=n+6,

.(30=b

"Uo=40k+b'

(b=30

1

.*./?=4%+30,

當(dāng)40W80時，T?=40,

綜上所述:片忤+30(0—40)：

.40(40<t<80)

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，

當(dāng)0</<40時，

w=(p-20)*y

1

=(一什30-20)(-2Z+160)

4

=-1t2+20t+1600

=(f-20)2+1800,

1

???-『0，

.?.當(dāng)f=20時，w有最大值為1800元，

當(dāng)40</<80時，

w=(p-20)?y=20(-27+160)=-40什3200,

：-40<0,-40x40+3200,即w<1600,

...綜上可得，第20天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1800元.

7.(2022?惠民縣一模)為落實“精準(zhǔn)扶貧”精神，市農(nóng)科院專家指導(dǎo)李大爺利用坡前空地種植優(yōu)質(zhì)草莓.根

據(jù)市場調(diào)查，在草莓上市銷售的28天中，其銷售價格m(元/公斤)與第x天之間滿足巾=

1一(X為正整數(shù))，銷售量〃(公斤)與第X天之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

[-%+58(14<x<28)

(1)求銷售量〃與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求草莓上市銷售第8天李大爺?shù)匿N售收入；

(3)求草莓上市銷售的第11天至14天這4天，每天的銷售收入y與第％天之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出這

4天當(dāng)中哪一天的銷售額最高？為多少元？

n.

【思路點撥】

(1)依據(jù)圖象，分段求出解析式，方法采用待定系數(shù)法；

(2)令x=8代入到銷售量解析式和價格解析式分別得出銷售量和價格，即可得到銷售收入.

(3)聯(lián)立價格函數(shù)和銷量函數(shù)得到到一個關(guān)于x的一元二次函數(shù)，在根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解題過程】

解：(1)當(dāng)Z<x<10,設(shè)直線AB的解析式為n=kx+b,

將A(1,12)>B(10,30)代入可得：

(k+b—12

V10k+b=30)

解得:吊=3

lb=10

即此時解析式為：n=2x+10.

當(dāng)10〈爛28時，同理可得：n=—2^+45,

則銷售量"與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式為：

2%+10(1<%<10)

n=3(x為整數(shù)).

-|x+45(10<x<28)

(2)解：令x=8分別代入價格函數(shù)和銷量函數(shù),

得：根=2x8+16=32,

幾=2x8+10=26,

則第8天的銷售收入為卯1=32x26=832(元)；

(3)解：在11天至14天這4天里，

3

根=2x+16,n——尹+45,

則每天的銷售收入>="〃?=（2x+16）（-2^+45）,

化簡，配成頂點式得y=-3（x-11）2+1083,（ll<x<14,且為整數(shù)）.

可知當(dāng)x=ll時，即第11天時，銷售收入最高，且最高收入為1083元.

8.（2022?南陵縣自主招生）交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、

密度三個概念描述車流的基本特征，其中流量g（輛/小時）指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速

度v（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度，密度k（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的

車輛數(shù).為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量g與速度v之間關(guān)系為q=-2V2+120V.

（1）當(dāng)該路段的車流速度為多少時，流量達到最大？最大流量是多少？

（2）已知q,v,左滿足q=就.

①市交通運行監(jiān)控平臺顯示，當(dāng)1狂區(qū)28該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象.試分析當(dāng)車流密度上在什么范圍

時，該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象；

②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，當(dāng)d=25米時請求出此時的速度v.

【思路點撥】

（1）利用配方法，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

（2）①求出v=28或18時，定義的上的值即可解決問題；

②當(dāng)d=25時，左=堞5=40,此時g=40v,即q=-2~+120丫=401，，即可求解.

【解題過程】

解：（1）,函數(shù)關(guān)系式4=-2儼+120%化為項點式得4=-2（v-30）2+1800,

：-2<0,

...v=30時，q達到最大值，q的最大值為1800；

（2）,:q,v,k滿足q=vk,

：.k=^.

V

①當(dāng)v=18時，q=-2X82+120X18=1512,此時k==84,

當(dāng)v=28時，q=-2x282+120x8=1792,此時k==64,

.?.6名公84,即當(dāng)車流密度上滿足64m公84時，該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象；

②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，且"=25,

fc=1黑。=40（輛/千米），

/.^=40v.

又?：q=-2V2+120V,

40v=-2V2+120V.

解得：vi=40,V2=O（舍去），

/.v=40,即此時的速度v=40千米/小時.

9.（2022?城廂區(qū)校級一模）為了防控新冠疫情，某市計劃在體育中考時增設(shè)考生進入考點需進行體溫檢測

的措施.防疫部門為了解學(xué)生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進入考點

的累計人數(shù)y（人）與時間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9?15表示9V后15）

時間X（分鐘）01234567899?15

人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進入考點的累計人數(shù)與時間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識求出y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果考生一進考點就開始測量體溫，體溫檢測點有2個，每個檢測點每分鐘檢測20人，考生排隊測

量體溫，求排隊人數(shù)最多時有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？

【思路點撥】

（1）分兩種情況討論，利用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）設(shè)第x分鐘時的排隊人數(shù)為w人，由二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)可求當(dāng)x=7時，w的最大值

=490,當(dāng)9c爛15時，210<w<450,可得排隊人數(shù)最多時是490人，由全部考生都完成體溫檢測時間義每

分鐘檢測的人數(shù)=總?cè)藬?shù)，可求解.

【解題過程】

解：（1）由表格中數(shù)據(jù)的變化趨勢可知,

①當(dāng)0WE9時，y是x的二次函數(shù),

當(dāng)x=0時，y=0,

二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為：y=a^+bx,

由題意可得：｛:a+b=170

9a+3b=450'

解得:｛、瑞

二次函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x2+180%,

②當(dāng)9〈止15時，>=810,

(—10x2+180x(0<x<9)

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:(810(9<x<15)

(2)設(shè)第尤分鐘時的排隊人數(shù)為卬人,

—10x2+140x(0<%<9)

由題意可得：w=y-40x=

810-40x(9<x<15)

①當(dāng)Of爛9時，w=-10X2+140X=-10(x-7)2+490,

.,.當(dāng)x=7時，w的最大值=490,

②當(dāng)9〈止15時，w=810-40x,w隨尤的增大而減小,

.".210<w<450,

.??排隊人數(shù)最多時是490人,

要全部考生都完成體溫檢測，根據(jù)題意得：810-40x=0,

解得：x=20.25,

答：排隊人數(shù)最多時有490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘.

10.(2022?江岸區(qū)校級模擬)中考臨近，七一中學(xué)、七一華源中學(xué)食堂為提高全體初三學(xué)子伙食，精心購

買4、8兩種食材共600依，A食材的價格為每千克5元，當(dāng)2食材購買量不大于300版時，2食材的價格

為每千克9元，當(dāng)8食材購買量大于300像時，每增加10像，B食材的價格降低0.1元.設(shè)購買B種食材

xkg(x為10的整數(shù)倍).

(1)若x<300,購買A、8兩種食材共花了3800元，求A、8兩種食材各多少千克？

(2)若尤>300,且購買A食材的數(shù)量不少于B食材數(shù)量的一半，求購買A種食材多少千克時，購買的總

費用最少，最少總費用是多少元？

(3)若購買A食材不超過機像(機<250),購買B食材超過300口，商家獲得的最大銷售額為4000元，

求相的值.

【思路點撥】

(1)設(shè)購買8種食材x千克，則購買A種食材(600-%)千克，根據(jù)題意列出方程求解即可；

(2)根據(jù)總費用=4,2兩種食材費用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；

(3)令(2)中解析式w=0,則解一元二次方程即可.

【解題過程】

解：由于購買2種食材x千克，則購買A種食材(600-無)千克，

(1)當(dāng)x<300時，購買8種食材的價格為每千克9元，

由題意得5(600-%)十9x=3800,

解得:x=200,

則600-x=600-200=400,

答：購買A種食材400千克，B種食材200千克；

（2）當(dāng)x>300時，購買8種食材的價格為每千克（9-q泮x0.1）元，設(shè)購買的總費用為w元，

由題意得w=5（600-x）+（9—二翟X0.1）x,

整理得w=-0.01/+7尤+3000,

即w是x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線工=-不彳々萬K=350,

ZX^—U.U1）

依>300

V1且x為10的整數(shù)倍，

600—x>/

300〈后400且x為10的整數(shù)倍，

：-0.0K0,

函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)300<x<350時，w隨x的增大而增大，當(dāng)350〈爛400時，w隨尤的增大而減小,

為10的整數(shù)倍，

.,.當(dāng)x=400時，w有最小值，最小值為-0.01x40（）2+7x400十3000=4200,

此時600-尤=600-400=200,

二購買A種食材200千克時，購買的總費用最少，最少總費用是4200元；

（3）由題意，結(jié)合（2）可得，令-0.0l/+7x十3000=4000,

解得：xi=200,X2=5OO,

,/購買B食材超過300千克，

.,.尤=200應(yīng)舍去，只取x=500,

Am=600-500=100.

11.（2022?洪山區(qū)模擬）某超市銷售A、B兩種玩具，每個A型玩具的進價比每個2型玩具的進價高2元,

若用600元進A型玩具的數(shù)量與用500元進B型玩具的數(shù)量相同.

（1）求A、8兩種玩具每個進價是多少元？

（2）超市某天共購進A、8兩種玩具共50個，當(dāng)天全部銷售完.銷售A型玩具的價格y（單位：元/個）與

銷售量無（單位：個）之間的函數(shù)關(guān)系是：y=-2x+80；銷售B型玩具日獲利優(yōu)（單位：元）與銷售量”（單

位：個）之間的關(guān)系為：機=16〃-260.

①若該超市銷售這50個玩具日獲利共300元，問B型玩具的銷售單價是多少元？

②該超市購進的50個玩具中，B型玩具的數(shù)量不少于A型玩具數(shù)量的數(shù)量的4倍，超市想盡快售完，決定

每個A型玩具降價a(0<?<6)元銷售，B型玩具的銷售情況不變，若超市銷售這50個玩具日獲利的最大

值為820元，直接寫出a的值.

【思路點撥】

(1)設(shè)B種玩具每種6元，則A種玩具每種(6+2)元，根據(jù)題意列出方程，求解即可；

(2)設(shè)該超市的日利潤為w元，由題意可知x+〃=50,所以〃=50-x,①由題意可知，w—(.y-12)x+m

=(-2x+80-12)x+16(50-x)-260=-2x?+52尤+540,由該超市銷售這50個玩具日獲利共300元，所

以-2/+52X+540=300,解該方程即可求出x的值，進而可得出8種玩具的個數(shù)；設(shè)此時8種玩具的售價

為c元，則加=15x20-260=(c-10)x20,解之即可；

②根據(jù)題意可知，此時w=(y-12-a)x+m=(-2尤+80-12-a)x+16(50-x)-260=-2/+(52-a)

x+540,由a的取值范圍，可得出該二次函數(shù)的對稱軸的取值范圍；由2型玩具的數(shù)量不少于A型玩具數(shù)量

的數(shù)量的4倍，可得出x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可列出方程，求解即可.

【解題過程】

解：(1)設(shè)2種玩具每種6元，則A種玩具每種(6+2)元，

,皿仁一八600500

由題息可知，---=—;一，

b+2b

解得6=10,

經(jīng)檢驗，6=10是原分式方程的解且符合實際意義；

."+2=12,

：.B種玩具每種10元，則A種玩具每種12元；

(2)設(shè)該超市的日利潤為w元，

由題意可知x+n—50,

-

??77^50XJ

①由題意可知，w=(y-12)x+m

=(-2x+80-12)x+16(50-x)-260

=-2X2+52X+540,

??,該超市銷售這50個玩具日獲利共300元,

???-2X2+52X+540=300,

解得％=30或%=-4(舍).

.*.n=50-x=20,

設(shè)此時8種玩具的售價為c元,

..m15x20-260=(c-10)x20,

解得c=13,

???8型玩具的銷售單價是13元;

②根據(jù)題意可知，此時w=(y-12-a)x+m

=(-2x+80-12-〃)x+16(50-x)-260

=-2小+(52-〃)x+540,

0V〃<6,

46<52-a<52,

152—ci52—a

11-<x=-<13；

22x(-2)

B型玩具的數(shù)量不少于A型玩具數(shù)量的數(shù)量的4倍,

n>4x,

50-x>4x,解得立10,

當(dāng)x=10時，w取得最大值,

-2x102+10(52-a)+540=820,

解得<2=4.

二。的值為4.

12.(2022春?鼓樓區(qū)校級期末)如圖，學(xué)校要用一段長為36米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃，墻

長為16米.

(1)若矩形A8C。的面積為144平方米，求矩形的邊A8的長.

(2)要想使花圃的面積最大、AB邊的長應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米?

AD

花圃

B

【思路點撥】

(1)根據(jù)題意：矩形的面積=A2x2C,設(shè)未知數(shù)列方程可解答;

(2)設(shè)AB為x米，矩形的面積為y平方米，則BC=(36-2%)米，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，在x

的取值范圍內(nèi)求出函數(shù)的最大值即可.

【解題過程】

解:(1)設(shè)A3為x米，則BC=(36-2尤)米,

由題意得：x(36-2x)=144,

解得：xi=6,X2=12,

?.?墻長為16米，36米的籬笆，

.*.36-2x<16,2x<36,

.,.10<x<18,

.,.尤=12,

.?.AB=12,

答：矩形的邊A2的長為12米；

(2)設(shè)A8為x米，矩形的面積為y平方米，則BC=(36-2x)米，

.,.y—x(36-2無)=-2X2+36X—-2(x-9)2+162,

V10<r<18,且-2<0,故拋物線開口向下，

...當(dāng)尤=10時，y有最大值是160,

答：A3邊的長應(yīng)為10米時，有最大面積，且最大面積為160平方米.

13.(2022春?宿豫區(qū)期中)如圖，正常水位時，拋物線形拱橋下的水面寬AB為20加，此時拱橋的最高點

到水面的距離為4m.

(1)把拱橋看作一個二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個二次函數(shù)的表達式；

(2)當(dāng)水面寬10優(yōu)時，達到警戒水位，如果水位以02M/Z的速度持續(xù)上漲，那么達到警戒水位后，再過

多長時間此橋孔將被淹沒？

AB

【思路點撥】

(1)建立如圖所示坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a/+4,把A點坐標(biāo)代入解析式求出a即可;

(2)首先求出警戒水位到橋面的距離，再求出時間f.

【解題過程】

解：(1)以水面所在直線為x軸，以過拱頂垂直于的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a?+4（存0）,

把點A坐標(biāo)代入解析式得：100〃+4=0,

1

解得：a=一石，

.??這個函數(shù)的表達式為：尸—奈+4；

（2）當(dāng)水面寬10根時，即尤=5時，y=-與x5?+4=3,

此時水面離拱頂4-3=1（%）,

"0.2=5（/?）,

答：達到警戒水位后，再過5/7此橋孔將被淹沒.

14.（2022?寧夏）2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一

條拋物線，跳臺高度為4米，以起跳點正下方跳臺底端。為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸,

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.已知拋物線最高點8的坐標(biāo)為（4,12）,著陸坡頂端C與落地點。的距

CE3

離為2.5米，若斜坡8的坡度=3：4（即;二=二）.

DE4

_、

ED

求：（1）點A的坐標(biāo)；

（2）該拋物線的函數(shù)表達式;

（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：V3-1.73）

【思路點撥】

(1)由拋物線的圖象可直接得出結(jié)論；

(2)由拋物線的頂點可設(shè)出拋物線的頂點式，將點A的坐標(biāo)代入即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)勾股定理可得出CE和DE的長，進而得出點Z)的坐標(biāo)，由0C的長為點。的橫坐標(biāo)減去OE的

長可得出結(jié)論.

【解題過程】

解：(1)；。4=4,且點A在y軸正半軸，

AA(0,4).

(2):拋物線最高點B的坐標(biāo)為(4,12),

.?.設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-4)2+12,

VA(0,4),

：.a(0-4)2+12=4,解得。=一去

.??拋物線的解析式為：丫=一±(尤-4)2+12.

CE3

(3)在RtACDE中，一=CD=2.5,

DE4

，CE=L5,DE=2.

二點D的縱坐標(biāo)為-1.5,

令—2(x-4)~+12=-1.5,

解得，x=4+3k=9.19或x=4-3百Q(mào)-1.19(不合題意，舍去)，

：.D(9.19,-1.5).

.?.00=9.19-2=7.19=7.2(m).

：.OC的長約為7.2米.

15.(2022?欽州一模)跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當(dāng)繩子甩到最高處時，其形狀視為拋物線.如圖

是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m,并且相距4m,

現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作無軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，且繩子所對應(yīng)的拋物線解析式為y=-卷/+bx+c.

(1)求繩子所對應(yīng)的拋物線解析式(不要求寫自變量的取值范圍)；

(2)身高1.70根的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？

(3)身高1.64機的小軍，站在繩子的下方，設(shè)他距離甲拿繩子的手S",為確保繩子能通過他的頭頂，請求

出s的取值范圍.

【思路點撥】

(1)把(0,1),(4,1)代入拋物線y=-1/+日+?,得到二元一次方程組，解方程組即可;

(2)由自變量的值求出函數(shù)值，再比較便可；

(3)由y=1.64時求出其自變量的值，便可確定s的取值范圍.

【解題過程】

解：(1)根據(jù)題意，拋物線丫=一司/+bx+c經(jīng)過點(0,1)，(4,1).

c—1,

11

4b+c-

解得k=I'

(C=1.

繩子所對應(yīng)的拋物線解析式為：尸-射2+/+1.

(2)身高1.70%的小明，不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂.

理由如下:

?.?產(chǎn)2

-1x+|x+1,當(dāng)x=一W=2時,

yo32x(4)

177

y最大值=一小、22+@義2+1=JV1.7.

繩子能碰到小明，小明不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂.

1c2

(3)當(dāng)y=1.64時，一G%2+可％+1=1.64,

即W-4x-3.84=0,

解得x=9粵4±0.8

-2-

??xi^2.4,X2=1.6.

.,.1,6<5<2,4.

16.(2022?環(huán)江縣模擬)如圖1是一座拋物線型拱橋Ci側(cè)面示意圖.水面寬A8與橋面長均為24H7,

點E在CD上，DE=6m,測得橋面到橋拱的距離所為15”，以橋拱頂點。為原點，橋面為x軸建立平面

直角坐標(biāo)系.

圖1圖2

(1)求橋拱頂部。離水面的距離；

(2)如圖2,在(1)的條件下，橋面上方有3根高度均為的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端

的鋼纜是形狀相同的拋物線C2,C3,其最低點與橋面8的距離均為求拱橋拋物線C1與鋼纜拋物線

C2的豎距離的最小值.

【思路點撥】

(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征計算求解；

(2)由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標(biāo)為(6,1),然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；再根據(jù)

題意，列式y(tǒng)i利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【解題過程】

解:(1)根據(jù)題意可知點尸的坐標(biāo)為(6,-1.5),可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達式為：yi=ai^.

將尸(6,-1.5)代入yi=ai尤2有：-1.5=36ai,求得ai=-克，

?_12

??v=~24X>

當(dāng)x=12時，yi—2^X12?=-6,

二橋拱頂部離水面高度為6m；

(2)由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標(biāo)為(6,1),可設(shè)其表達式為”=及(x-6)2+1,

將H(0,4)代入其表達式有：4=及(0-6)2+1,求得。2=白，

二右邊鋼纜所在拋物線表達式為：”=張(x-6)2+1,同理可得左邊鋼纜所在拋物線表達式為：*=條(x+6)

2+1

設(shè)拱橋拋物線Ci與鋼纜拋物線C2的豎距離為Lm,

貝!JL=yi-yi=R(x-6)2+1-(一4/)=#2-x+4=g(x-4)2+2,

1

V->0,

8

當(dāng)x=4時，L最小值=2,

答：拱橋拋物線Ci與鋼纜拋物線C2的豎距離的最小值是2m.

17.(2022春?江夏區(qū)校級月考)某公園要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管OA長

2.25M在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1相處達到最高，

高度為3m.

(1)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求拋物線(第一象限部分)的解析式；

(2)不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？

(3)實際施工時，經(jīng)測量，水池的最大半徑只有25%，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴

出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1相處達到最高，需對水管的長度進行調(diào)整，求調(diào)整后水管的最

【思路點撥】

(1)由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,3),設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-1)2+3,將(0,2.25)

代入得，求出。的值即可；

(2)令y=0,得,0=(X-1)2+3,解得x=-l(舍)或x=3,可得直徑至少為2x3=6(米)；

(3)將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(2.5,0),設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y=(x

-1)2+h,將(2.5,0)代入得求出的值，得出平移后的拋物線的解析式，再令x=0求出y即可.

【解題過程】

解：(1)由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,3),

.?.設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-1)2+3,

將(0,2.25)代入得，a(0-1)2+3=2.25,

Q

解得4=—五，

.??拋物線的解析式為：y=~l(x-1)2+3.

(2)令y=0,得，0=(尤-1)2+3,

解得尤=T(舍)或x=3,

：2x3=6(米),

水池的直徑至少要6米才能使噴出的水流不落到池外.

(3)將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(2.5,0),

設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y=-l(尤-1)2+h,

將(2.5,0)代入得，一,(2.5-1)2+h=0,

解得h=條

當(dāng)時,產(chǎn)一'-1)=磊

15

調(diào)整后水管的最大長度一米.

16

18.(2022?承德二模)如圖1,在建筑工人臨時宿舍外，有兩根相距10米的立柱AB,。垂直于水平地面

上，在48,間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無法繃直，其形狀可近似看成拋物線＞=

17

2Q^+bx+c,已知繩子最低點距離地面1米.以點8為坐標(biāo)原點，直線8。為無軸，直線A8為y軸建立平面

直角坐標(biāo)系.

(1)求立柱A8的長度；

(2)一段時間后，繩子被抻長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段8。之間與相距4米的地

方加上一根立柱撐起繩子，這時立柱左側(cè)的拋物線月的最低點相對點A下降了1米，距立柱MN也是

1米，如圖2所示，求MN的長；

(3)若加在線段3。之間的立柱的長度是2.4米，并通過調(diào)整的位置，使拋物線印的開口大小與

拋物線y=m/+l的開口大小相同，頂點距離地面L92米.求與CD的最近距離.

圖1圖2

【思路點撥】

(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(3)先利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再令y=2.4解方程求出無即可.

【解題過程】

解：⑴由題意拋物線的解析式為尸4(廠5)2+1,

即y=2Q-^—‘

令x=0,得至！Jy=3,

：.AB^3米；

(2)由題意設(shè)拋物線為的解析式為y=a(x-3)2+2,

把A(0,3)代入解析式得：3=a(0-3)2+2,

解得：a=

(x-3)2+2,

當(dāng)x=4時,y=導(dǎo)，

/.AB=3米；

(3)拋物線四的開口大小與拋物線、=今/+1的開口大小相同，頂點距離地面1.92米,

.?.設(shè)拋物線人的解析式為y=條(x-h)2+1.92,

把A(0,3)代入解析式得：3=務(wù)(-〃)2+1.92,

解得：hi=-3.6(舍去)，"2=3.6,

?,?拋物線為的解析式為產(chǎn)條(x-3.6)2+1.92,

?;MN=2A,

1

.?.當(dāng)y=2.4時，—（x-3.6）2+1.92=2.4,

解得：xi=1.2,X2=6,

當(dāng)尤=1.2時，DM=10-1.2=8.8（米），

當(dāng)x=6時，0A1=10-6=4（米），

V4<8.8,

:.MN與CD的最近距離為4米.

19.（2022?路南區(qū)二模）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計的一動畫示意圖，尤軸上依次有A,O,N三個點，且AO

=2,在ON上方有五個臺階乃?75（各拐角均為90。），每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階乃到尤

軸距離0K=10.從點A處向右上方沿拋物線L：y=-W+4x+12發(fā)出一個帶光的點P.

（1）寫出拋物線L與y軸的交點坐標(biāo)為（0,⑵，點A的坐標(biāo)為（-2,0）；

（2）通過計算說明點P會落在哪個臺階上；

（3）當(dāng)點P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C

的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點.

【思路點撥】

（1）求A點坐標(biāo)，令拋物線的y=0,求拋物線工與y軸的交點坐標(biāo)，令拋物線的x=0即可；

（2）由題意臺階人的左邊端點（4.5,7）,右邊端點的坐標(biāo)（6,7）,求出x=4.5,6時的y的值，即可

判斷；

（3）由題意拋物線C:-jr+bx+c,經(jīng)過（5,7）,最高點的縱坐標(biāo)為11,構(gòu)建方程組求出6,c,可得

結(jié)論；

【解題過程】

解：（1）對于拋物線y=-/+4x+12,

令x=0,解得y=12,

.??拋物線工與y軸的交點坐標(biāo)為（0,12）；

令y=0,-，+4x+12=0,解得x=-2或6,

.".A（-2,0）,

故答案為：（0,12）,（-2,0）；

（2）由題意臺階看左邊的端點坐標(biāo)（4.5,7）,右邊的端點（6,7）,

當(dāng)尤=4.5時，y=9.75>7,

當(dāng)x=6時，y=0<7,

當(dāng)y=7時，7=-f+4x+12,

解得x=-1或5,

拋物線與臺階方有交點，交點為（5,7）,

.?.點尸會落在臺階川上；

（3）由題意拋物線C：y=-x^+bx+c,經(jīng)過（5,7）,最高點的縱坐標(biāo)為11,

一一廬

4c=11

A-4，

、―25+5