2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)四十八 利用空間向量研究距離問題

見十八利用空間向量研究距離問題

（時間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實練】

1.（5分）已知平面a的一個法向量為〃=（-1,-2,2）,點4（0,1,0）為a內(nèi)一點，則點

到平面a的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

【解析】選D因為說=（1,一1,1）,n=（-1,-2,2）,

所以說n=-l+2+2=3,\n\=11+4+4=3,

|AP-n|

則點P到平面?的距離d=~—\.

I叫

2.（5分）如圖是一棱長為1的正方體，則異面直線4a與SA之間的距離為

A.^/3B.gC.|

【解析】選B.分別以D為原點QZQCQA所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖空

間直角坐標系，

設(shè)〃=（x,y,z）與和都垂直,

貝悌;坐心票取f

又因為5X=（i，°，°），

所以異面直線DB和力戶間的距離為

,\DiAin\1W

d=~~一寶一甘.

|n|y|33

3.（5分）如圖,正方體ABCD-AiBCDi的棱長為1,點P是線段AA.的中點，點Q是

線段。坊上的動點（包括端點）廁|PQ|的最小值為（）

Oic,

@1

AB

A.|B,^C,^D,1

【解析】選B.分別以DAQCQD1所在直線為xy軸建立空間直角坐標系，如圖

所示：

則點尸的坐標為(1,0月,

設(shè)點Q的坐標為;1,2)(0<A<1),

貝U|PQ|=j(4-1)2+/+(2-J—JsA2,-3A+~卜(入_J+2—

當且僅當2=1時，不等式取等號，

即|PQ|的最小值為最

4.(5分)如圖，已知正方體/5C7X42iGA的棱長為1,0為正方形4QA4的中

心，若P為平面OD、B內(nèi)的一個動點，則P到直線48的距離的最小值為()

Bi

【解析】選A.如圖,分別以D4QCQA所在直線為軸建立空間直角坐標系,

則有5(1,1,0)2(001)4(1,0,1)B(1,1,1),

因為O為正方形4DQ14的中心彳導

418]=(0,1,0),。8=(2，1廣2)/]8=(11,-1),

設(shè)平面OBD]的法向量為〃=(%,3),

利用萬方笛―⑴則‘2y-2,

取X=l,解得〃=(l,o,l)有而?〃=(),且/向右平面。。囹則直線45〃平面OD1B,

設(shè)直線/山1到平面OD\B的距曷為d,取直線上一點囪,與平面OD\B上一點B,

則呵=(0,0,1),

I麗?.瓶IA/2

利用空間中點面距離公式有d--'4.

5.(5分)如圖，在棱長為a的正方體/5CQ-45C。中,P為4A的中點,0為

4囪上任意一點石下為CD上兩個動點，且EF的長為定值，則點。到平面PEF

的距離()

A.等于［a

B.和郎的長度有關(guān)

C.等于gq

D.和點。的位置有關(guān)

【解析】選A.取B?的中點G,連接PGCGQR則PG//CD,

所以點Q到平面PEF的距離即點Q到平面PGCD的距離，與EF的長度無關(guān),B

錯.

又45〃平面PGCD,

所以點4到平面PGCD的距離即點Q到平面PGCD的距離，即點Q到平面

PEF的距離，與點Q的位置無關(guān),D錯.

如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，

則0（0/,0）。（0,0,0）〃1（見0,4）/（，0,61）,所以5^=（0,凡0）,5^=（4,0,4）,而=《,0,。）,

,------->fCL

設(shè)〃=（%,3）是平面PGCD的法向量，則由『黑=?得/+az=0,

{n-DC=0,ay=0,

令z=l,則產(chǎn)一2產(chǎn)0,所以〃=（一2,0,1）是平面PGCD的一個法向量.

DA^-n?anA/5/7

設(shè)點。到平面PEF的距離為d,則#Yr=A對,C錯

|叫7b3

6.（5分X多選題）在棱長為2的正方體/5CD-451GA中,尸是棱上一動點，則

P到平面4。。的距離可能是（）

A.fB，V3C.竽D.2"

【解析】選BC如圖以口為坐標原點以正0以［，陋的方向分別為x軸y

軸/軸的正方向，建立空間直角坐標系，

貝14(2,0,0)乃(2,2,2)尸(242)(002^2),0(0,0,2),01(020),

故41=(22,0)/衛(wèi)=(-2,0,2),

設(shè)平面4cM的法向量〃=（%,丁/）,

"n-AC=-2%+2y=0

由，11

n-A1D=-2%+2z=0'

取x=l,則“=（1,1,1）為平面4GQ的一個法向量/y=（0平2）,

IT41P-Zl|IQ_i_71

所以P到平面4G。的距離

\n\

因為0叱2,所以何竽,。，而（2也）2-管）W>0,即BC選項的數(shù)值才符合.

7.（5分）如圖，在棱長為1的正方體出GA中，平面45Q與平面4G。

的距離d是（）

A：B.gC與

633

【解析】選B.如圖，以D為坐標原點,分別以NQCQA所在直線為軸，建

立空間直角坐標系，連接BDi,BD,BD交AC于點E,

因為DD\上AC乂C±BD,BDCDDi=D,

所以4C_L平面AQ氏所以BD^AC.

同理可證班

因為所以助」平面即現(xiàn)是平面AB.C的一個法向量.

因為平面平面4GA所以點D到平面ABXC的距離即為兩平面之間的

距離.

\DE-~BD]\|jx(-l)+jx(-l)+oxl|w

因為族=。；,0),西=(-11,1),所以

\BD[\.1+1+13-

8.(5分)已知直四棱柱/HCXMiSGA中，底面/5CD為正方形〃5=2,“1=2”

,E為BC的中點下為GA的中點，則直線BD與EF之間的距離為.

【解析】以。為原點D4QCQA所在直線分別為％軸、y軸、z軸建立空間直

角坐標系，

x/AB

則￡>(0,0,0),5(2,2,0),￡(1,2,2^/2),F(0,1,2^2),

所以而=(0,1,2"),屈=(-11,0),麗=(2,2,0).

因為前二疑，所以所〃。民所以直線BD與EF之間的距離d即為點D到直線

斯的距離d.

設(shè)<5月前>=仇

DF-EF"

則cosR

\DF\\EF\6

所以sin

所以所求距離為d=|而sin9=3x?萼.

冬案?史

口木?2

9.(5分)如圖f為矩形438所在平面外一點，尸4J_平面/5CD,若已知

48=340=4,尸4=1,貝U點P至I」BD的距離為.

【解析】如圖,分別以ABADAP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

。(0,0,1),3(3,0,0),。(0,4,0),所以麗=(3,0,-1),麗=(-3,4,0).

設(shè)＜麗，前＞=/

BDPB9^/10

所以c°s。下而冢-丁，

c[-]\?-13^^

所以sm(p_50,

所以點P到BD的距離d=|麗|-sin?？?

筠案

口木?5

10.(10分)如圖,△5C7)與ZWCQ都是邊長為2的正三角形，平面MCC平面

J_平面BCD^B=2#球點、A到平面MBC的距離.

【解析】如圖，取CD的中點0,連接O50M,因為△5C7)與AMCD均為正三角

形，所以又平面平面3C￡),平面MCDH

平面3C￡>=C7),OMu平面MCD,所以MO平面BCD.

以0為坐標原點，直線OC,5O,OM分別為x軸j軸,z軸,建立空間直角坐標系

Oxyz.

因為△58與叢MCD都是邊長為2的正三角形，

所以O(shè)B=OM=B

貝U0(0,0,0),C(1,0,0)X(0,0,^/3),

5(0,g0)40,-國2回

所以BC=(1,淄',0)，BM=(0/\/^Z^).

設(shè)平面MBC的法向量為〃=(q/),

TL_LBCzgn-BC=0

由

[n1BM^\n-~BM=O,

'x+—o

即

平y(tǒng)+4z=0,

取吟方,可得平面MBC的一個法向量為〃=（依-1,1）.

又第=（0,0,2科

所以所求距離為步『考！

Inl5

11.（10分）如圖,邊長為2的等邊人45C所在平面與菱形力MCC1所在平面互相垂

直4。=存G8為線段力。的中點.

⑴求證:平面5MC1_L平面/歸。1；

【解析】（1）因為四邊形44CG為菱形,

所以41cL4G.

又因為4。=用所以N4CG=60。，

即八4CG為等邊三角形.

因為AC{=CCX,M為線段AC的中點，

所以4CJ_GM

因為AB=BC,M為線段AC的中點,

所以

又因為GMnaid,所以4。，平面

又因為4C〃4G,所以4?！蛊矫鍮MC1

又4GU平面/滑。1,

所以平面5MG_L平面A}BC{.

⑵求點C到平面AXBCX的距離.

【解析】（2）因為平面44CCU平面/5C,交線是4C,且GMJ_4C,所以C.ML

平面ABC.

以M為原點，〃氏MC,MG所在直線分別為元丁/軸建立空間直角坐標系,如圖所

C(0,1,0),5(^/3,0,0),C1(0,0，V3)^I(0,-2,^/3),

則萌=(0,2,0),殂=(-避,0,避)，可=(0,-1,73),

設(shè)平面AXBCX的法向量為〃=(%,"),

'n-A.C.=2y=0

貝士―,1J)廠

n-BC1=-退x+退z=0，

令x=l,則“=(1,0,1),

所以點C到平面45G的距離d耳

\n\7乙乙

【能力提升練】

12.（5分）（多選題）如圖所示,三棱錐S-ABC中,ZU5C為等邊三角形，&4,平面

1

ABC,SA=3/B=2.點、D在線段SC上，且SD^SC,^E為線段SB的中點以線段

BC的中點O為坐標原點04徒所在直線分別為可軸，過點O作SA的平行線

為z軸,建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）

A.直線CE的一個方向向量為Q，￥，￥）

B.點D到直線CE的距離為等

C.平面ACE的一個法向量為（4,3,-2）

D.點D到平面ACE的距離為1

【解析】選八：6口依題意,5（收0,3）〃（國0,0）石（0,1,0）,。（0,一1,0）乃停，熱

'2平1\

I3，-§引,

則謂因為*=逆停，￥，￥），故A正確;

~CD會,|）,故點D到直線CE的距離d=

2'CDCE^8a

~CD，故B正確;

21

設(shè)〃=(%,y,z)為平面ACE的法向量,

AC-n=0'-退x-y=0

則，即I旦+$+]=0,

AE-n=02

令產(chǎn)3,則〃=(-73,3,-2)為平面ACE的一個法向量，故C錯誤;

而CD=(-故點D到平面ACE的距置di~~~-=1,故D正確

13.(5分)已知正方體45CZX4向GA的棱長為4,M,N,E,b分別為

的中點，則平面與平面EFBD之間的距離為.

【解析】以。為原點所在直線分別為％軸、＞輒z軸建立空間直

角坐標系，

則4(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),5(4,4,0),E(Q,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),從而

說=(2,2,0),而=(2,2,0),

4M=(-2,0,4),BF=(~2,0,4),

所以麗=加，俞=麗,

所以EF//MN,AM//BF,

所以平面AMN//平面EFBD.

設(shè)〃=(%/,z)是平面EFBD的一個法向量，

從而箱方=-2%+42=0'斛甸'=-27

取z=l得〃=(2,-2,1).

因為同=(0,4,0),

所以點A到平面EFBD的距離為噂號，

\n\3

O

即平面④W與平面EFBD之間的距離為］

圣室?號

口木.3

14.(10分)如圖,正方體/5CD451GA的棱長為1,M,N分別是5%51G的中

點

(1)求直線到平面4cA的距離；

【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，

則知點4(1,0,0),。(0,0,1),C(0,1,O),7l/(l,l,f),2V(f,l,l),

所以西=(-1,0,1),而=(-

____]

所以而于耳.

因為直線與401不重合，所以MN//AD,.

又因為平面4a平面ACDh

所以MV〃平面4cz)i.

故直線MN到平面ACDX的距離等于點M到平面ACD.的距離前=(-1,1,0),

0,1).

設(shè)平面/CA的一個法向量為機=(%/,z),

'm-AD=0-x+z=0

所以1，即

rn-^AC=0-x+y=0,

令x=l得尸z=l,所以機=(1,1,1).

因為病＜0,13

而即|=4,

所以點M到平面ACD,的距離為7MLi.號

即直線MN到平面ACDX的距離為日.

⑵若G是力向的中點，求平面MNG與平面4cA的距離.

【解析】(2)連接4