2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（十二大題型）（講義）（原卷版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航...........................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航...........................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究...........................................................4

知識點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義................................................................4

知識點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算...........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題................................................................6

題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.............................................................................8

題型三：在點(diǎn)尸處的切線........................................................................9

題型四：過點(diǎn)P的切線.........................................................................10

題型五：公切線問題............................................................................10

題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題.............................................................12

題型七：切線的條數(shù)問題.......................................................................13

題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題.........................................................14

題型九：牛頓迭代法............................................................................16

題型十：切線平行、垂直、重合問題.............................................................18

題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題.........................................................19

題型十二：切線斜率的取值范圍問題.............................................................19

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................20

05課本典例?高考素材...........................................................21

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................22

易錯(cuò)點(diǎn)：求曲線的切線方程時(shí)忽視點(diǎn)的位置.......................................................22

答題模板：求曲線過點(diǎn)P的切線方程.............................................................22

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年甲卷第8題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

(1)導(dǎo)數(shù)的定義

2022年1卷第15題，5分容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)考查導(dǎo)

(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

2021年甲卷第13題，5分?jǐn)?shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為

(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2021年1卷第7題，5分主.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(2)通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

函數(shù)/（1）歸=M處瞬時(shí)變彳七率lim在=lim/（?%+：”?/（小）,

Ax-4）AXAx-4ZLV

我們稱它為函數(shù)尸/（X）在mXo處的導(dǎo)數(shù)，記作/'（項(xiàng)）或/|EJ

廠m數(shù)的概今和J1同章義,=同=辿、，函數(shù)＞,=/（2fe=.&處的導(dǎo)數(shù)/'（.&）的幾何意義、

、P數(shù)日9微心和幾何?,乂/Y幾何忌乂）（即為函數(shù)j，=/（；）在點(diǎn)二城處的切線的斜率.）

X------=7^（函數(shù)s=s（/）在點(diǎn)4處的導(dǎo)數(shù)s'（，o）是物體在，0時(shí)刻的瞬時(shí)速度「，即xs'O

乂物理意義）-I”電在點(diǎn),。的導(dǎo)數(shù)一（Q是物體而。時(shí)刻的瞬時(shí)加速度4即a="Q.

/^7cx)=c(c為常數(shù))，/'")=0-

/(x)=v*(ae0,f(x)=axtl

f(x)=ax(a>01LA*1),f'(x)=axlna

f(x)=log^:(a>Q且"1)，/'代)=

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,,*

/(-v)=e\/'(x)=^

f(x)=lrixt/'(.v)=1

f(x)=shix,f'(x)=cosx/

、'、\^f(x)=cosx,f'(x)=-sinx

T函數(shù)和差求導(dǎo)法則:[/(2坨(2]'=/'(.、)壇'(2)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)積的求導(dǎo)法則：'=/'(2g(x)+/(Mg'(2)

1函數(shù)商的求導(dǎo)法她其30,則[懸]'=/'")飄；?[4'加'(2；

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)r復(fù)合函數(shù)丁=/ko］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)）'=/（"），〃=/?）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為機(jī)/可“〃；；

老占突曲?題理探密

-----H-H-c

知識JJ

知識點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

1、概念

函數(shù)/（%）在x=%處瞬時(shí)變化率是lim"=lim"尤。+—）-"飛）,我們稱它為函數(shù)y=/⑴在X=%

心.°Ax以―。Ax

處的導(dǎo)數(shù)，記作八龍。）或.

知識點(diǎn)詮釋：

①增量V可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.-0的意義：Ax與。之間距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)—0時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

包="Xo+Ar）-"%）無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率，即尸（%）=lim"=lim/^o+Ax-）-/（xo）.

-Ax"一。Ax

2、幾何意義

函數(shù)y=/（X）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)/（與）的幾何意義即為函數(shù)y=/（X）在點(diǎn)P（x。，%）處的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s⑺在點(diǎn)質(zhì)處的導(dǎo)數(shù)S&）是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度V,即丫=5&）；v=v⑺在點(diǎn)r。的導(dǎo)數(shù)

M%）是物體在％時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即a=v'G））.

【診斷自測】設(shè)/（X）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且/'（1）=1，則蜘/⑴一2A=（）

A.2B.-2C.1D.-1

知識點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))rw=o

y(x)=x"(aeg)fr(x)=axa~l

f(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=ax\na

f(x)=log。x(a>0,aw1)

rw=-x^ln—a

/(x)=d/'*)=/

/(x)=lnxr?=-

/(x)=sinx/'(%)=cos%

f(x)=cosx/'(x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)]'=/'(x)±g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=f(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)NO,則[效]=尸(x)g(x)j/(x)g'(x)

g(x)g(%)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)丁=yig(])]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù))=/(〃)，K=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為=”'〃；：

【診斷自測】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(1)y=xcosx-(lnx)sinx；

小、Vxcosx+x

⑵y--1--------

x+1Inx

解題方法總結(jié)

1、在點(diǎn)的切線方程

r

切線方程y-f(x0)=/(x0)(x-x0)的計(jì)算：函數(shù)y=/(尤)在點(diǎn)AO。,/(x0))處的切線方程為

y-/(九0)=/'(%())(%-%)，抓住關(guān)鍵

2、過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為尸(七,%),則斜率左=((工0),過切點(diǎn)的切線方程為：丁-%=/(%0)(%-%)，

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A(m,ri),所以〃-%=/(%0)(根-九。)然后解出/的值.(%有幾個(gè)值，就有幾條

切線)

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

3、高考?？嫉那芯€方程

(1)y=尤是y=ln(x+l)的切線，同時(shí))=X—1是y=lnx的切線，也是y=1—工和y=xlnx的切線.

(2)、=尤是,=sinx的切線，、=%是丁=1211%的切線.

(3)y="是y="的切線，)=%+1是y="的切線.

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題

【典例1-1］若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(“㈤內(nèi)可導(dǎo)，且與€(.向，則+的值為()

A./'(尤0)B.2仆)

C.-2/(%)

【典例1-2］如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容器內(nèi)注入

溶液，隨著時(shí)間f（單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度,

則當(dāng)/=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

V150

D.cm/s

2冗

【方法技巧】

利用導(dǎo)數(shù)的定義，對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項(xiàng)、添項(xiàng)等變形和導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)一致，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求解

【變式1-1］（多選題）已知/（X）,g（x）在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且y'伍》0,下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法

中正確的是（）

"1-Ar)-

A.lim=廣（尤0）B.lim=于'3

Ax->0A/zfO2A/z

limg(Xo+Ax)-g(Xo)=g1%)

C.lim=/'(%)D./%〃/+?)-/(尤0)f'M

Ax->03Ax

【變式1-2］（2024?上海閔行?二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期

整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間f的關(guān)系為W=/?）,用㈤一〃"）的大小評價(jià)在［a,可這段時(shí)間

b-a

內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.則下列

正確的命題是（）

污

水

達(dá)

標(biāo)

排

放

量

A.在［。，以這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

B.在弓時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

C.在4時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)；

D.甲企業(yè)在［0,3，,?。?上2聞這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)

題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

【典例2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)j=xe

/、Inx

⑵y=E

(3)^=2sin(l-3x)

(4)尸-：

【典例2-2】已知函數(shù),3滿足滿足/(x)=/")ei-f(O)x+g，；求“好的解析式

【方法技巧】

(1)對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求

導(dǎo)問題.

(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

【變式2-1】已知/(x)=:/+2#，(2022)-20221nx,貝1］/(2022)=_.

【變式2-2］設(shè)函數(shù)〃X)=X(X+D(X+2)(x+10),則廣(0)的值為()

A.10B.59C.10x9x—x2xlD.0

【變式2-3］在等比數(shù)列｛%｝中，4012=2,若函數(shù)“元)=3尤(》-%)(彳-出)」紅-023)，則/［。)=()

A.-22022B.22022C.-22023D.22023

【變式2-4］若定義域都為R的函數(shù)/(力及其導(dǎo)函數(shù)/'(x),滿足對任意實(shí)數(shù)x都有

2024

/(x)-/(2025-x)=2x-2025,則工/(%)=

k=l

【變式2?5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(Xx\

(l)y=2e2+xe；

\7

(2)y=a2x+x2；

(3)y=sin43x?cos34x；

(4)y=^^-ln(x+l).

x+1

題型三：在點(diǎn)尸處的切線

【典例3-1】(湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題)曲線y=ln2x在點(diǎn)處的切線方程為()

A.2x—y+1=0B.2x—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【典例3-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知曲線/(x)=xlnx在點(diǎn)。，/⑴)處的切線為/,貝U在V軸上的截

距為()

A.-2B.-1C.1D.2

【方法技巧】

函數(shù)V=/(%)在點(diǎn)A5,/(/))處的切線方程為y-/(%)=/(犬o)(x-Xo),抓住關(guān)鍵

3=/(%)

【變式3-1】曲線/(x)=2e=sinx-2在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為()

A.y=3xB.y=2xC.V=xD.y=f

【變式3-2](2024?山東濟(jì)寧?三模)已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)xvO時(shí)，/(x)=ln(-x)+x2,則曲線

y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程是()

A.3x—y—2=0B.3x+y-2=oc.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【變式3-3](2024?四川?三模)已知函數(shù)/(x)=<2x+a+cosx(aeR),則曲線y=/(x)上一點(diǎn)(0,-2)處

的切線方程為()

A.2x+y+2=0B.x+y+2=0

C.3%+y+2=0D.3x+y-2=0

題型四：過點(diǎn)尸的切線

【典例4-1】已知函數(shù)/(耳=9一6犬+9彳一7,直線/過點(diǎn)(0,1)且與曲線y=〃x)相切，則直線/的斜率為

()

A.24B.24或—3C.45D.0或45

【典例4-2】過點(diǎn)(0,昉可作〃力=6'7的斜率為1的切線，則實(shí)數(shù)加=.

【方法技巧】

設(shè)切點(diǎn)為尸(不，%),則斜率左=/(刀0),過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A(a,6),所以6-%=/00)(。-彳0)然后解出.%的值.

【變式4-1］曲線G"(x)=x+g過點(diǎn)A(|,o］的切線方程為

【變式4-2】過點(diǎn)(0,-2)作曲線/(x)=lnx-2的切線，則切線方程為一.

【變式4-3］(2024?山西呂梁?一模)若曲線/(x)=lnx在點(diǎn)月(4,九)處的切線過原點(diǎn)。(0,0),則

%0=.

【變式4-4］(2024?高三?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=alnx(a/0),過原點(diǎn)作曲線

y=/(x)的切線/,則切線/的斜率為—.

題型五：公切線問題

【典例5-1］若直線>=履+〃與曲線C：y=3+e，和曲線G：y=e"2同時(shí)相切，則6=()

B.2-ln2D.3-ln3

22

【典例5?2】(2024?湖南長沙?一模)若直線y=%(x+l)—l與曲線y=e'相切，直線y=%(x+l)—l與曲

線y=lnx相切，則人色的值為()

A.1B.ec.72D.e-1

【方法技巧】

公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)

切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組進(jìn)行求解.

【變式5-1](2024?廣東茂名?一模)曲線y=與曲線y=/+2ax有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

C11「1)(1-1

A.1-00,--B.--,+ooIC.1-00,—D.—,+oo

2

【變式5-2](2024?遼寧大連?一模)斜率為1的直線/與曲線y=ln(x+a)和圓V+y2=g都相切，則實(shí)數(shù)

。的值為()

A.0或2B.—2或0C.-1或0D.0或1

【變式5-3]若存在直線>=丘+〃，使得函數(shù)/(x)和G(x)對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足

F(x)>kx+b>G(x),則稱此直線y=>+6為尸(x)和G(x)的“隔離直線”.已知函數(shù)〃x)=f,

g(x)=olnx(?>0),若/(x)和g(x)存在唯一的“隔離直線”，則4=()

A.VeB.2A/CC.eD.2e

【變式5-4](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=eTg(x)=；ex2,若直線/是曲線y=與曲線

y=g(x)的公切線，貝”的方程為()

A.ex—y=0B.ex-y-e=0

C.x-y=0D.x-y-l=0

題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題

【典例6-1】若直線丁=質(zhì)與曲線y=log3%相切，則實(shí)數(shù)上=()

A.eln3B.elog3e

C.—D.-loge

ee3

【典例6-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)若直線y=2x-b與曲線〃x)=e"-2ox(a>-l)相切，則b的最小值

為()

A.-eB.-2C.-1D.0

【方法技巧】

已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的

導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在曲線上；③切點(diǎn)在切線上.

【變式6-1】已知直線尸質(zhì)+》與函數(shù)=的圖象相切，則上的最小值為.

【變式6-2](2024?重慶?模擬預(yù)測)已知直線y=or+b與曲線y=e，相切于點(diǎn)(x0,e而)，若天?-0),3),

則的取值范圍為()

A.(fe]B.(-e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

【變式6-3]已知函數(shù)g(x)=x(or+21nx),若曲線y=g(x)在x=l處的切線方程為？=6x+b,則

a+b=_.

【變式6-4](2024?四川?模擬預(yù)測)已知加>0,〃>0,直線y='x+"z+l與曲線y=hu-?i+3相切，則

e

m+n=.

【變式6-5]對給定的實(shí)數(shù)6,總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)。，使直線>=依-6與曲線y=ln(x-b)相切，則b的取值

范圍為___.

題型七：切線的條數(shù)問題

【典例7-1】若過點(diǎn)（1力）可以作曲線y=ln（x+l）的兩條切線，貝|（）

A.In2<b<2B.Z?>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>l

【典例7-2］若過點(diǎn)（a,b）可以作曲線y=lnx的兩條切線，貝|（）

A.eb>0>aB.lna>O>bC.eb>a>0D.lna>b>0

【方法技巧】

設(shè)切點(diǎn)為P（x（）,%）,則斜率左=（（X0）,過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A（a,6）,所以6-%=/（%）（“-％）然后解出與的值，有多少個(gè)解對應(yīng)有多少條

切線.

【變式7-11（2024?內(nèi)蒙古?三模）若過點(diǎn)（a,2）可以作曲線y=lnx的兩條切線，則a的取值范圍為（）

A.B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,ln2）

【變式7-2］若曲線>=竺?有且僅有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)a的值為（）

B.乎C.|D.f

A-i

【變式7-3］（2024?全國?二模）若曲線〃尤）=已有三條過點(diǎn)（0,。）的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.川B.（°,曰C.4口.卜。

【變式7-4］已知〃x）=x3-x,如果過點(diǎn)（2,⑴可作曲線y=/（x）的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是（）

A.—1<m<8B.O<m<7C.—3<m<5D.—2<m<7

【變式7-5】己知函數(shù)/（尤）=—（尤>0）,若過點(diǎn)P（a,。）可作兩條直線與曲線y=/（x）相切，則下列結(jié)論正

確的是（）.

A.—l<ab<0B.0<ab<l

c./+/的最大值為2D.eb>a

【變式7-6】過點(diǎn)（2,0）作曲線=的兩條切線，切點(diǎn)分別為（%,/（%））,（%"（%））,則:+:=

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【變式7-7］（2024?高三?北京海淀?期末）若關(guān)于x的方程log〃x-a、=。（0>0且"1）有實(shí)數(shù)解，則

"的值可以為（）

A.10B.ec.2D.-

4

題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題

【典例8-1］（2024?四川眉山?三模）若關(guān)于X的不等式Inx4加-加-1（"0）恒成立，則彳的最大值為

（）

C.1D.2

A.-z-B.-Y

eeee

yfix+y+1

【典例8-2］（2024?四川涼山?二模）已知點(diǎn)P（x,y）是曲線y=/上任意一點(diǎn)，則信+（；+以的最大值

為（）

CVT5+2^/5口J15+2>/5

A2A/5-V15?275-715

105105

【方法技巧】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

【變式8-1］（2024?湖北?模擬預(yù)測）設(shè)。=’（一-a)2+(ex-2^'+a+l,其中e=2.71828,則O的最小

值為（）

A.72B.V2+1C.z行D.73+1

【變式8-2］（2024?遼寧遼陽?一模）設(shè)曲線y=/在點(diǎn)（1』）處的切線為/,P為/上一點(diǎn)，。為圓

口（》-5）2+產(chǎn)=》上一點(diǎn)，則歸。的最小值為（）

A.孚

【變式8-3］（2024?寧夏銀川?一模）已知實(shí)數(shù)羽,滿足2爐一51nx—y=0,meR,則

yjx2+y2—2mx+2my+2m2的最小值為（）

【變式8-4】設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=Y+i@zo）上，點(diǎn)。在曲線y=C（%21）上，貝1JIPQI的最小值為.

【變式8-5］已知y=0-〃）2+（沈苫-〃+1）2（〃￡R）,則V的最小值為一

【變式8-6］（2024?高三?山東青島?期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸，。分別在圓M:（尤-姑根尸+⑶一根尸二；和曲線

y=lnx±.,則|P。的最小值為

【變式8-7］（2024?河南?一模）記函數(shù)y=e，的圖象為「，作。關(guān)于直線y=gx的對稱曲線得到G,則

曲線G上任意一點(diǎn)與曲線6上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為.

【變式8-8】已知函數(shù)y=*的圖象與函數(shù)y=ln（2x）的圖象關(guān)于某一條直線/對稱，若尸，。分別為它們

圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

A.叵*2B.拒也c忘（1+M2）D72（l-ln2）

【變式8-9］（2024?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（%）=犬+31—41nr,點(diǎn)尸是曲線y=/（x）上任意一點(diǎn)，則

點(diǎn)尸到直線/：%-〉-3=0的距離的最小值為（）

A.4后B.殛C.3后D.亞

22

【變式8?10］若點(diǎn)人（4,4）,5僅,6（々/￡用，則A3兩點(diǎn)間距離|A目的最小值為.

【變式841】實(shí)數(shù)4/滿足3/"+/=3111，+6+1,C￡R,（a—c）2+S+c）2的最小值是（）

A.4B.0C.2D.10

r?

【變式8-12］已知'=/+〃是曲線/（x）="的一條切線，則一r的最小值為（）

m

A.—彳B.——C.――D.-1

eee

題型九：牛頓迭代法

【典例9-1］（2024?山東濰坊?三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程/（%）=0的根

就是函數(shù)/（x）的零點(diǎn)八，取初始值無。,〃尤）的圖象在點(diǎn)&,“％））處的切線與，軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

玉J（x）的圖象在點(diǎn)（占"（占））處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，一直繼續(xù)下去，得到占它

們越來越接近設(shè)函數(shù)/（x）=f+笈，x0=2,用牛頓迭代法得到玉=!|，則實(shí)數(shù)。=（）

12

A.1B.1C.|D.-

4

【典例9-2】已知函數(shù)〃同=片"若曲線y=〃x）在uc=0處的切線交，軸于點(diǎn)（4,0）,在x=4處的切線

交x軸于點(diǎn)（生，。），依次類推，曲線）=/（"在x=%處的切線交￡軸于點(diǎn)（q，0）,則

1111

+++■+的值是（）

〃2〃3〃3〃4。2023%024

人2025「2023—2022一2023

A.------B.-------C.------D.

2024202220232024

【方法技巧】

數(shù)形結(jié)合處理.

【變式9-1］（2024?湖北咸寧?模擬預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求方程近似根的方法一

Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)廠是/（犬）=0的根，選取》作為r的初始近似值,

過點(diǎn)（加〃/））做曲線y=的切線/：>—/（*=/'（3（1—%）,貝心與％軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

（小。"。），稱X如的一次近似值；重復(fù)以上過程，得，的近似值序列，其中

K=%-點(diǎn)，（/'（%）"0）'稱X.+I是'的"+1次近似值.運(yùn)用上述方法'并規(guī)定初始近似值不得超過零

點(diǎn)大小，則函數(shù)〃x）=liu+x-3的零點(diǎn)一次近似值為（）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù):

ln2=0.693)

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

〃玉)

【變式9-2]（2024?北京?模擬預(yù)測）給定函數(shù)/（力，若數(shù)歹支Z｝滿足當(dāng)M=%則稱數(shù)列

E

%—2

優(yōu)｝為函數(shù)/（X）的牛頓數(shù)列.已知｛%｝為=x-2的牛頓數(shù)列，4=ln-F，且

?182^3=()

=l,xn<-l(?zeN+),數(shù)列｛4“｝的前”項(xiàng)和為S,.則

B.22024-1

【變式9-3】英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用

廣泛，若數(shù)列｛居｝滿足可則稱數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)/（x）=2f-8,數(shù)列｛%｝

為牛頓數(shù)列，設(shè)?！?抽干|,且q=l,x?>2.數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S",則S“=

Xn~

【變式9-4]令函數(shù)=對拋物線y=/（x）,持續(xù)實(shí)施下面牛頓切線法的步驟：在點(diǎn)（1,1）處

作拋物線的切線，交X軸于（X，O）;在點(diǎn)（占"&））處作拋物線的切線，交X軸于（七,0）;在點(diǎn)（和〃％））

處作拋物線的切線，交了軸于（七,0）;……由此能得到一個(gè)數(shù)列｛%｝隨著”的不斷增大，血會越來越接近

函數(shù)/（力的一個(gè)零在點(diǎn)％,因此我們可以用這種方法求/（x）零點(diǎn)%的近似值.①設(shè)%+i=g（x,）,則

g（4）=；②用二分法求方程f+x_i=o在區(qū)間（0,1）上的近似解，根據(jù)前4步結(jié)果比較，可以得到

牛頓切線法的求解速度（快于、等于、慢于）二分法.

題型十：切線平行、垂直、重合問題

【典例10-11(2024?高三?廣東深圳?期末)已知曲線E:y=e，與y軸交于點(diǎn)A,設(shè)E經(jīng)過原點(diǎn)的切線

為/,設(shè)E上一點(diǎn)3橫坐標(biāo)為加小片。)，若直線AB/〃，則用所在的區(qū)間為()

33

A.—1<m<0B.0<m<1C.1<m<—D.—<m<2

22

【典例10-2]（2024?高三?廣西?開學(xué)考試）曲線/（x）=lnx+2x+3在A點(diǎn)處的切線與直線x+3y-2=0

垂直，則切線方程為（）

A.x+3y+2=0B.3尤-y-l=O

C.x-3y+2-0D.3x—y+2=0

【方法技巧】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.

【變式10-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(x+a)2+lnr的圖象上存在不同的兩點(diǎn)AB,使得

曲線)=/(%)在點(diǎn)A3處的切線都與直線x+2y=0垂直，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-a),l-V2)B.(l-V2,0)C."1+&)D.(0,1+72)

【變式10-2](2024?河北邢臺?二模)己知函數(shù)/(x)=f+21nx的圖像在4(玉,〃%))，8(々,〃々))兩

個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

A.玉+/=2B.xx+x2=-C.演％2=2D.xxx2=-

【變式10-3】已知函數(shù)/(x)=eJx+lnx+a(aeR),過坐標(biāo)原點(diǎn)。作曲線y=/(x)的切線/,切點(diǎn)為A,

過A且與/垂直的直線4交無軸于點(diǎn)8,則Q4B面積的取值范圍是()

A.[e+l,+oo)B.[2e,+a>)C.[e2,+cojD.|^(e+l)2,+ooj

x2+x,x<0

【變式10-4]已知函數(shù)/(x)=1的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A、B,使得曲線>=/(幻在這兩

——,x>0

、X

點(diǎn)處的切線重合，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍可能是()

A.(-1,0)B.(T-:)C.(〈，1)D.(1,2)

，2，

題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題

【典例11-1】已知函數(shù)〃x)=asin3x+加+4(aeR力eR),/'(x)為的導(dǎo)函數(shù)，則

/(2016)+/(-2016)+r(2015)-r(-2015)=_.

【典例11-2](2024?海南海口?二模)已知函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,/(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí),

〃x)=ln(l-2x),則曲線了=/(同在點(diǎn)(2,"2))處的切線斜率為()

22

A.—B.----C.2D.—2

55

【方法技巧】

奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).

【變式11-1](2024?北京?模擬預(yù)測)記函數(shù)〃x)=sin?x+協(xié)(6＞0,0＜夕＜兀)的最小正周期為T,

/'㈤為/⑺的導(dǎo)函數(shù).若廣匕|=0,y=(+￡|為偶函數(shù)，則0的最小值為().

A.1B.2C.3D.4

【變式11-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=爐+(4-l)f-x+b是定義在函2+間上的奇函數(shù),

/'(x)為“X)的導(dǎo)函數(shù),則r(a+6+m)=()

A.-1B.0C.1D.2

【變式11-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)xvO時(shí)，/(x)=j，其中e為自然對

數(shù)的底數(shù)，則曲線/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為

題型十二：切線斜率的取值范圍問題

【典例12-1]過函數(shù)f(x)=ge2、-x圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為(