遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025屆高三8月模擬預(yù)測數(shù)學試題

秘密★啟用前

2024-2025(上)8月月度質(zhì)量監(jiān)測暨第零次診斷測試

高二數(shù)學

本試卷滿分150分考試時間120分鐘

第I卷選擇題供58分)

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有

且只有一項是符合題目要求的)

1.已知集合”={0,123,4},N={1,3,5),P=MCN.則P的子集共有

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.已知復(fù)數(shù)z=里則|z|=

A.V2B.—C.2D.2V2

2

3.橢圓9+(=1的焦點的坐標為

A.(-V14,0),(V14,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-V14),(0,714)D.(0,-2),(0,2)

4.把14個相同的球全部放入編號為1、：、3的三個盒內(nèi)，要求盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號數(shù),

則不同的放入方法種數(shù)為

A.36B.45C.72D.165

5.下圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺的體積是

6.若函數(shù)/(久)為7?上的奇函數(shù)，且當％>0時，f(x)=2x-1,則f(0)+f(—1)=

A.-4B.—3C.—2D.-1

7.已知數(shù)列{a九}滿足的=%an+1-an+anan+1=0,則數(shù)列的前100項的和是

25D50「99八100

AA.—D.------C.--------------------\J.------

51101202101

8.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù).若某聲音對應(yīng)的函

數(shù)可近似為/(%)=sinx+^sin2x,則下列敘述正確的是

高三數(shù)學第1頁，共3頁

A.x=］為/(%)的對稱軸B.管,0)為/?(￡)的對稱中心

C.f(x)在區(qū)間［0,10］上有3個零點/(x)在區(qū)間［.,：］上單調(diào)遞增

二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有

多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.給出下列說法，其中正確的是

A.數(shù)據(jù)0,1,2,4的極差與中位數(shù)之積為6

B.已知一組數(shù)據(jù)了,％2,…』的方差是5,則數(shù)據(jù)4%1-1,4%2-1,…,鈕"一1的方差是

20

C.已知一組數(shù)據(jù)無1，犯,…,今的方差為。，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一

D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)Xi，%2,…,今的平均數(shù)為沏，在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)

出后得到一組新數(shù)據(jù)%0，%1，%2,…,為，其平均數(shù)為元，則元=X。

10.已知直線/經(jīng)過拋物線C:y2=2PMp>0)的焦點，且與C交于A,B兩點，以線段4B為

直徑的0。與C的準線相切于點P(-2,—l),則

A.直線Z的方程為4x+y—8=0B.點D的坐標為1)

C.0。的周長為蓑兀D.直線4x+2y+9=0與。。相切

11.已知函數(shù)/(%)=?，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則

A.27Tl<11

7r2

B.2)3>Sinn>3bl2冗

C.若％片=x：2,則久i+冷=2e

D./(%i)=/(%2)，且%貝U仇％1+仇％2>2

第II卷非選擇題(共92分)

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.若a為銳角，since=則cos(?r+a)=.

13.若向量日=(百,3),b=(-2,0),貝展在月上的投影向量為.

14.在三棱錐。一ABC中，已知4B=BC=2,AC=2V3,DB=4,平面BCD1平面ABC,

且。BL8C,則以下結(jié)論正確的是(填序號).

@DB1AC②平面_L平面ABC

、

③三棱錐D-ABC的體積為4甘^3④三棱錐。-ABC的外接球的表面積為32兀

四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟)

15.有4名同學下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電

了，大家隨機拿起了一個書包離開圖書館，分別計算下列事件的概率.

(1)恰有兩名同學拿對了書包；

(2)至少有兩名同學拿對了書包；

(3)書包都拿錯了.

高三數(shù)學第2頁，共3頁

16.如圖，4B是圓。的直徑，點C是圓。上的點，過點C的直線力垂直于圓。所在平面,

DE分別是憶的中點.K

求證：

⑴DE//平面ABC；/J\D

(2)￡)51平面^8(7.E\

17.Ei知函數(shù)/(x)=ax2—3x+2Inx(aER).

(1)若a=[,求函數(shù)7"(%)的極值；

(2)若直線y=x—3與曲線y=/(%)相切，求實數(shù)Q的值.

22

18.已知雙曲線。與雙曲線器-白=1有相同的漸近線，且過點4(2或,-1).

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)已知點。(2,0),E,尸是雙曲線。上不同于，的兩點，且赤?而=0,DGLEF于點G,

證明:存在定點〃，使|G”|為定值.

19.記無窮數(shù)列｛冊｝的前幾項中最大值為用力最小值為小小令%=%產(chǎn)

(1)若即=2"-3n，請寫出瓦方2，壇,比的值；

(2)求證：”數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列｛,｝是等差數(shù)列”的充要條件；

(3)若VneN*,|an|<2018,|%|=l,求證:存在后仁％*,使得有小+1=%

高三數(shù)學第3頁，共3頁

2024-2025(±)8月月度質(zhì)量監(jiān)測暨第零次診斷測試

高三數(shù)學參考答案及解析

1234567891011

DADBBDADACDACABD

1.

【詳解】因為集合用={0,1,2,3,4},N=[1,3,5),

所以P=MCN={1,3},

所以集合P的子集為0,{1},{3},{1,3},共四個.

2.

??V2+V2i2+碼2

福丁丁下廠友=6

【詳解】由z=回回，可得

1-1

3.

【詳解】在橢圓卷+卷=1中，a=3,b=V5,則c=-價=2,

易知該橢圓的焦點在y軸上，因此，橢圓?+?=1的焦點的坐標為(0,-2),(0,2).

4.

【詳解】解：根據(jù)題意，先在14個球種取出1個球放到編號為2的盒子里，再取出2個球

放在編號為3的盒子里，

此時只需將剩下的H個球，分為3組，每組至少一個，分別放到三個盒子里即可；

將11個球排成一列，排好后，有10個空位，

在10個空位中任取2個，插入擋板，有盤>=45種方法，即有45種將H個球分為3組的

方法，

將分好的3組對應(yīng)3個盒子，即可滿足盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號數(shù)，

則盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號數(shù)的放入方法有45種，

如圖，設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為“，母線長為2,貝以仃=兀-1,

2nR=n-2,解得r=[,R=l,

1=2-1=1,h=JR_(R一>)2=J/一&)=手，

高三數(shù)學答案及解析第1頁，共9頁

設(shè)上底面面積為S'=7T?0=3，下底面面積為S=7T-I2=7T,

則體積為式S+S，+唇)/1=:(兀+H勻??=等.

6.

【詳解】因為函數(shù)/(%)為A上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

又當久>0時，/(x)=2%-1,所以/(-1)=-/(I)=-(2xl-l)=-1,

所以/(0)+/(-I)=0+(-1)=-1，

故選：D.

7.

【詳解】???。九+1—+anan+l=0，-----------=1,且——2,

an+lanal

所以數(shù)歹Q｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，所以看=2+(n—l)=n+1,

1111

nnQ■力—9Q■力Q■力+1=~~~—

nn+1nn+l(n+l)(n+2)n+1n+2

_11,11I11I11

1UU233445101102

_11_25

―2102-51'

8.

【詳解】對于A,由已知得/(?！?)=sin(7i—x)+1sin2(7r—%)=sinx—|sin2x,即

f(ji一%)H/(%),故/(%)不關(guān)于％=T對稱，故A錯誤；

對于B,『O=s譏等+|s譏3兀=—1W0,故B錯誤；

對于C,利用二倍角公式知/(%)=sinx(1+cosx),令/(%)=0得sinx=0或cosX=

-1,即％=k7T(kEZ),所以該函數(shù)在區(qū)間[0,10]內(nèi)有4個零點，故C錯誤；

對于D,求導((%)=cos%+cos2%=2cos2%+cos%—1,令cosx=],由汽6腎一],知

te即g?)=2/+/T,利用二次函數(shù)性質(zhì)知g(t)20,即廣⑺20,可知/⑴在區(qū)

間xe樣壽]上單調(diào)遞增，故D正確；

9.

【詳解】對于A,極差為4-0=4,中位數(shù)為(=|,所以極差與中位數(shù)之積為

3,

44X-=6

2,A對；

對于B,根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)4%—1,4久2—1,,“,4;d一1的方差是42乂5=80,B

錯；

22()2

對于C,由方差$2=:[(%]-X)+(%2-X)+???Xn-X]=0,

高三數(shù)學答案及解析第2頁，共9頁

可得久1=%2=…==無，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對；

-/1.二八%1+亞+….

對十D,-------------------=Xo,???+%2-?--------1-xn=nx0,

.支o+汽1+%2+…_%o+九%0=xD對

10.

【詳解】A選項，依題意，拋物線C的準線方程為x=—2,即％=—：=—2,所以p=4,

即拋物線C的方程為必=8%,則拋物線C的焦點為(2,0).

設(shè)直線/的方程為久=ty+2,4(%,yj,B(x2,y2)>

聯(lián)立消去工整理得y2一8ty-16=0,/=64t2+64>0恒成立，

則+力=8t,yry2=-16,

則Xi+x2—t(yi+y2)+4=8t2+4,x1%2=5為)=%

64

又因為線段48為O。的直徑，O。與C的準線相切于點P(-2，T),

所以喬=(-2-x1(-l-yj-(-2-x2,-l-y2)

=(2+%i)(2+x2)+(1+%)(1+為)=。，

整理得4+2(%+x2)+x/2+l+y]+、2+92=o,

即4+2(8/+4)+4+1+8t-16=0,

即(4r+l)2=0,解得[=—工，所以直線/的方程為?+y-8=0,所以A正確；

4

B選項，因為DP垂直于準線，且P(-2，T),所以點。的縱坐標為-1,

代入直線/的方程4云+>一8=°,gp4x-1-8=0,解得x=2,

4

可得點￡?C，—1),所以B錯誤；

17

IAB|=%+9+4=工

C選項，根據(jù)拋物線的定義可得■2,所以的半徑為不17，

所以的周長為藍兀，所以c選項正確；

D選項，圓心。Q,—1)到直線?+2y+9=°的距離為右型=W<?，

所以直線4尤+2,+9=°與相交，不相切，所以D錯誤.

11.

【詳解】對于A,由題意得/(%)=嚀，則ro)=等,

當0V%<e時，((%)>0,/(%)遞增，當x>e時,//(%)<0,/(%)遞減,

高三數(shù)學答案及解析第3頁，共9頁

由于e<"l<4,所以〃4)</(何)，即竽=等=殍(曙，

整理得VHm2V2mV1L即仇2同<上11,所以2bl<11<11但，故正確;

對于B,由于3<兀，由于當久>e時，/(%)遞減，故/(3)>/(兀),

即空1>史上，2JIln3>2X31nn,即2m3兀>3lnn2,

37T

因為汽2)=等=早=/(4)<八兀)，

故婦<”,3nln2<3X21nn,即3"兀2>3"2兀,

271

綜上，2)37r>3》兀？>3仇2兀，故B正確；

對于3因為琮1=琢2n仇君】=仇琢2,即芭ln%2=qln%,即

設(shè)g(t)=/(e+t)—/(e-t),tE(0,e),由于當0<%<e時,/(%)遞增,當%〉e時,

/(%)遞減，

故gQ),te(0,e)單調(diào)減函數(shù),故g⑴<g(0)=°,即f(e+t)<f(e—t),

由于f(%。=/(%2)，不妨設(shè)0<%2<?，則％I<2C-%2，即%+%<2e,故c錯誤;

對任意兩個正實數(shù)%1，%2，且%1。％2，若f(%l)=/(%2)，不妨設(shè)0<%2<，

'Fiinxirmii

anlnx-iInx2Inx27

即---=----,攻----=----=m,貝?]/幾％1=mxA,tnx?=mx?,

X2XiX2

貝UIn再+lnx=m{x+x),ln玉-lnx=m(x-x)lnx-lnx

2x2212m=r2

Xt-x2

分析法知：要證目標不等式只需

2

xxx2>eoIn玉+In%>20m(x1+x2)>2<^>―加』>——?

一一一七-x2玉+x2

2(i-1)

1

=In石-lnx2>生—―<^>ln—>——---

一石+%2%%+1

-土>1/、12。-1)/⑺32(—)二F

i——>Lu(t)=In/-------

設(shè)當令t+l貝ijt(7+1)-t(t+iy

/\12(/—1)

u(t)=\nt-------,?〉1)

即1+1為單調(diào)增函數(shù)，故〃?)>〃(1)=0,

2盧-1)、、

即仇二——成立，故工1%2>所以m(%62)>上，，即"％1+m％2>2,故D正

“2石十]

確，

12.-|/-0.6

高三數(shù)學答案及解析第4頁，共9頁

【詳解】因為sina=sin2a+cos2a=1,仇為銳角,

q

所以cosa=

13.

【詳解】因為2=(百,3),3=(—2,0),

所以港3=—2W，同2=4

N在3上的投影向量為㈤cos(a,b)|||=|a|?而|j.]1|=備不=三文一2,0)=(A/3,0),

14.①②③④

【詳解】解：因為48=BC=2,AC=2V3,

222

2+2-(2A/3)1

所以cos4ABC=

2x2x22’

所以乙4BC=拳

因為平面BCD1平面ABC,ABC=BC,DB1BC,

所以DB_L平面ABC,DB1AC,

又DBu平面所以平面LMB1平面ABC,所以①②正確；

_xx2義2xsinx4=___

進一步三棱錐D-ABC的體積為323-3,所以③正確;

設(shè)三角形ABC的外心為F,過F作尸。1平面2BC,

則三角形48C的外接圓的半徑為,x蕓=2,

2sin可

設(shè)。為三棱錐D-ABC外接球的球心，

則F4=FB=2,0A=0D,所以立乎+。尸2=占郎+(DB-OF/,

所以A/22+OF?=122+(4—。尸產(chǎn),解得。F=2,

所以外接球的半徑為02=V22+0F2=2V2,

所以三棱錐D-ABC的外接球的表面積為4次。42=32萬，所以④正確.

15.嗚⑵3(3)|

【詳解】(1)設(shè)4名同學的書包分別為4B,C,D,4名同學拿書包的所有可能可表示為

(4B,C,D),Q4,B,D,C),(4C,B,D),Q4,C,D,B),(A,D,B,C),(A,D,C,B),

(B,4C,D),(B,4D,C),(B,C,4D)，A),(B,D,A,C),(B,D,C,4),

(C,4,B,D),(C,4D,B),(C,B,A,D),(C,B,D,A),(C,D,4,B),(C,D,B,4),

(D,4B,C),(D,4C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,4,B),(D,C,B,A),

共有24種情況.

恰有兩名同學拿對了書包包含6個樣本點，分別為

(4B,D,C),Q4,C,B,D),Q4,D,C,B),(B,4,C,D),(C,B,4,D)，(D,B,C,4),

故其概率為P卷/

(2)至少有兩名同學拿對了書包包含7個樣本點，分別為

高三數(shù)學答案及解析第5頁，共9頁

(4B,C,D),Q4,B,D,C),(AC,B,D),(4,D,C,B),(B,4,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,4),

故其概率為P=j

Z4

(3)書包都拿錯了包含9個樣本點，分別為

(B,4,D,C),(S,C,D,A),(B,D,4C),(C,AD,B),(C,D,4,B),(C,D,B,A),

O,4B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A),

故其概率為p=5=|.

2,4o

16.(1)證明：因為D,E為匕4,UC的中點，可得DE〃AC,I

又因為DEC平面ABC,ACu平面ABC,/\\

根據(jù)線面平行的判定定理，可得0E〃平面4BC.，一”

(2)證明：因為4B為。。的直徑，點C是。。上的點，所以4C1BC,/|

又因為VC垂直于。。所在的平面，且AC在。。所在的平面內(nèi)，所以1().

AC1VC,

又由BCnvc=CS.BC,VCU平面ABC,所以AC_L平面UBC,

又因為DE〃AC,所以DEI平面UBC.

17.(1)極大值為一*極小值為2m2—4；(2)a=1.

【詳解】(1)當a=?時，/(x)=^x2—3x+2Inx,

則/0)定義域為(0,+8),r(x)=x-3+|=一二=J(")；

???當%￡(0,1)11(2,+8)時,f'(x)>0；當％W(1,2)時,((%)<0；

???/(X)在(°』)，(2,+8)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減；

/(X)的極大值為f(1)=|-3=-j；極小值為f(2)=2—6+2m2=2)2—4.

(2)假設(shè)y=x-3與f(%)相切于點(t,a/-3t+2Znt),

???/'(%)—2ax—3+-,

(t)=2at—3+—=1,即2at2—4t+2=0,

2

又t—3=at—3t+2lntf

4t—2—St—4Zzit—6,即伍t=t-1；

令g(t)=Znt—t+1,貝Ug'(t)=￡-1=

??.當tE(0,1)時，g'(t)>0；當IE(1,+8)時，“⑴<0；

g(t)在e」)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

gQ)⑴max，即mt=t-1有唯一解：t=1，

???2a-4+2=0,解得：a=1.

X22T

—y=1

18.(1)4；(2)證明見解析.

高三數(shù)學答案及解析第6頁，共9頁

22

【詳解】⑴依題意，設(shè)雙曲線。的方程為竟―白=地不0),而點2(2或,—1)在雙曲線

C上，

匚』

于是4=?！?右雙曲線。的方程為5—?=%即4'一,

2

X2_]

—y=1

所以雙曲線C的標準方程為4

(2)當直線EF斜率存在時，設(shè)直線EF的方程為：y=kx+m,設(shè)E(%i，yi),F(%2，y2)，

由{1—消去P并整理得(41一I)%2+8kmx+4(m2+1)=0,

有41—1w0,且/=(8km)2—16(m2+l)(4fc2—1)>0,BR4fc2-1W0且4k2—m2—

l<0,

2

有％1+x2=造六=察言，又y/2=gi+m)(kx2+m)=kxrx2+

km{xr+x2)+標，

DE=(%i—2,y^),DF=(x2—2,y2)?由。E,DF=0,得Qq—2)(x2—2)+y1y2=0,

整理得(好+1)?xrx2+(km-2)?(%i+x2)+血2+4=0,

2

于是(1+1)-47+4+(km—2)-+m+4=0,化簡得37n2+16km+20k2=0,

4k2-l、'4k2-l

即(3m+10k)(?n+2k)=0,解得rn=—2k或m=-gk,均滿足條件，

當巾=一24時，直線EF的方程為y=k(x-2),直線EF過定點(2,0),與已知矛盾，

當爪=—三k時，直線EF的方程為y=k(x—5)，直線EF過定點M(g,O)；

當直線EF的斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線DE的方程為：y=%-2,

由[2:2匕解得x=2或%=?,因此點E,F的橫坐標尤E，孫有=孫=￥,即直線EF

過定點M譚,0),

綜上得直線EF過定點M(g,0),

由于DGLEF,即點G在以。M為直徑的圓上，H為該圓圓心，|GH|為該圓半徑,

2

所以存在定點使|GH|為定值

19.(1)瓦=—1,b2=—|,b3=—I，b4—1；(2)見解析;(3)見解析.

高三數(shù)學答案及解析第7頁，共9頁

n

【詳解】（1）因為冊=2—3n,所以的=—1,a2=—2,a3=—1,a4=4

所以瓦=—1,歷=-I，仇=-I，b4=1

（2）（必要性）當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為d

當d>0時，an—an_r=d>0,所以的>a九所以%=a九，mn=,

當d<0,an—a九_i=d<0,所以冊<an_x,所以M九=ar,mn=an

d=0是￡,a九一。九一i=d=0,月斤以》a九—。九_1，目斤以》八〃71=。1，=。九

綜上，總有e=區(qū)普

所以如-如-1=號-&尹=P所以數(shù)列｛,｝是等差數(shù)列

（充分性）當數(shù)列｛,｝是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為d*

因_b—_M九一1m7T-1_Mh-M7T一1+力九-R九-i_&*

根據(jù)“爪小皿的定義，有以下結(jié)論：

Mn>Mn.I，THnWmn_i，且兩個不等式中至少有個取等號

當d*>0,則