廣東省珠海市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省珠海市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，故選：B.2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以z的共軛復(fù)數(shù)為.故選:B.3.在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，滿足，M是AD的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C.4.已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗兩點(diǎn)，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D.5.一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個(gè)幾何體．這3個(gè)幾何體的體積從小到大之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，設(shè)三角形斜邊上的高為，則，，由題意設(shè)該3個(gè)幾何體的體積為，則，，，，所以這3個(gè)幾何體的體積從小到大之比為.故選：.6.已知函數(shù)在R上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的圖象如圖所示，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以或,解得或,故選：A.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)圖象向右移個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為〖答案〗D〖解析〗由已知，所以，又，所以函數(shù)的最小正周期為π，由已知，所以，A正確；所以，因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B正確，將函數(shù)圖象向右移個(gè)單位后可得函數(shù)的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，又，所以的最小值為，C正確，若，則，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯(cuò)誤.故選：D.8.若不等式對(duì)一切恒成立，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗法一：不等式對(duì)一切恒成立即為不等式對(duì)一切恒成立，今，則有；故不等式對(duì)一切恒成立等價(jià)于恒成立，所以為的最大值點(diǎn).顯然，，否則時(shí)，，與題設(shè)矛盾.又，此時(shí)，若，存在區(qū)間，是否且，總有f'x>0，這與為的最大值點(diǎn)矛盾，故不成立，同理也不成立，故，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)x∈0,+∞故在上遞增，0,+∞上遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x<0當(dāng)時(shí)，f'x故在上遞減，上遞增，0,+∞上遞減，而當(dāng)時(shí)，，故即，故恒成立，故符合題意綜上，，因此.法二：不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)0,1，故只需直線為在點(diǎn)0,1處的切線即可，，此時(shí).當(dāng)時(shí)，亦恒過(guò)點(diǎn)0,1，為使對(duì)一切x∈R恒成立，需開(kāi)口向下，且在點(diǎn)0,1處與有公切線即可，故，此時(shí).綜上，的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若A，B互斥，則B.若，則A，B相互獨(dú)立C.若A，B互斥，則A，B相互獨(dú)立D.與相等〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，故A正確；對(duì)于B：由相互獨(dú)立事件的概念知，若，則事件A，B是相互獨(dú)立事件，故B正確；對(duì)于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，所以不滿足相互獨(dú)立事件的定義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，所以與相等，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B.存在無(wú)數(shù)個(gè)等腰三角形ABD，其三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上C.存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形ABCD，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形ABCD，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，令，當(dāng)時(shí)，f'x>0當(dāng)x∈-1,1時(shí)，f'x<0，則函數(shù)在，1,+∞又，，函數(shù)y=fx的圖象與圓得圖象如圖所示：故函數(shù)y=fx的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B、C，由于函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作直線交的圖象于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的圖象于、兩點(diǎn)，則為等腰三角形，四邊形為菱形，當(dāng)線段繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，仍為等腰三角形，四邊形仍為菱形，故選項(xiàng)B、C均正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由于，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象外側(cè)，則，此時(shí)，利用極限思想，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；如圖所示，故至少存在兩個(gè)正方形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱(chēng)精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)，距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)3D.曲線C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)P滿足〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：化簡(jiǎn)得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令解得，即：曲線經(jīng)過(guò)，結(jié)合圖象，得.今，得，令，得，因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn).故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，所以曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，即：都不超過(guò)3，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：點(diǎn)滿足，則在垂直平分線上，則，設(shè)，則，，故只有原點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.故選：.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與曲線相切，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，.13.已知點(diǎn)P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若的面積為45，則______．〖答案〗25〖解析〗設(shè)P在雙曲線右支上，則，由余弦定理得，所以，又，所以，解得，結(jié)合，則，，又，故，故.14.甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績(jī)?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)是______分，方差是______分．〖答案〗80〖解析〗甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)榉?，方差?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，b，其中，，且．（1）求的值；（2）若的外接圓半徑為5，求面積的最大值．解：（1）由題意得，，由正弦定理可知，，在中，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，又，所以；?）由正弦定理，因?yàn)?，，所以，，由，得，由基本不等式可知，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以面積的最大值為.16.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值．（1）證明：因?yàn)槿庵校仕倪呅螢榱庑?，又因，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，故，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，又底面，故.（2）解：因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設(shè)面與面夾角為，則，故，面與面夾角的正切值為.17.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓上，直線．（1）若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，記直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，而在橢圓上，故，故，故橢圓方程為：，由可得，故即即.（2）當(dāng)時(shí)，直線，故，由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè)，不妨設(shè)在直線上方，在直線的下方，當(dāng)過(guò)的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，到直線的距離最大及的面積最大，當(dāng)過(guò)的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，到直線的距離最大及的面積最大，由（1）可得相切時(shí)即，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上方，此時(shí)到的距離為，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線下方；此時(shí)到的距離為，又，故18.設(shè)函數(shù)，.（1）試判斷f'（2）證明：對(duì)任意，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（3）已知，證明：（其中）（1）解：，令，，，，故f'x在0,1（2）證明：令，則.又在0,1上單調(diào)遞増，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取最小值，即，從而，即.（3）證明：，要證，只需證，即證.（*）顯然，當(dāng)時(shí)，不等式（*）中等號(hào)成立.令，由（2）可知：成立，即：成立，即：而成立，從而成立.19.對(duì)于數(shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱(chēng)數(shù)列an是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)數(shù)列an為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.（1）若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)滿足條件的的值；（2）若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；（3）證明：不論為何值，總存在使得．（1）解：因?yàn)閷?duì)任意整數(shù)都有，所以取，則，不符合題意；取，，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；取，，，不符合題意；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；所以滿足條件的三個(gè)的值為,,；（2）解：取，，，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，則，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，，，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；根據(jù)上述計(jì)算得出猜想，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列也純周期數(shù)列，下面進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列；（3）證明：首先，根據(jù)（2）的分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列，滿足題意；接下來(lái)證明，當(dāng)時(shí)，也存在使得；因?yàn)?，所以只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項(xiàng)即可，當(dāng)時(shí)，顯然存在值為1的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時(shí)，則，，所以，所以無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且