江西省五市九校協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省五市九校協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知是實系數(shù)方程的一個根．則（）A.4 B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗因為是關(guān)于的方程的一個根，則也是關(guān)于的方程的一個根．可得，解得，，所以．故選：C.2.設(shè)集合，．則（）A. B.C.x-1≤x≤3 D.〖答案〗B〖解析〗集合，，則．故選：B.3.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，且，則（）A.17 B.34 C.51 D.68〖答案〗C〖解析〗設(shè)公差為d，則，即，則，故選：C.4.若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的2倍．則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗已知拋物線的方程為，可得．所以焦點為，準(zhǔn)線為：．拋物線上一點Ax0,y0即，又∵A到x軸的距離為，由已知得，解得．故選：D．5.將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，共有種，其中，2個1不相鄰的情況有種，故所求概率為．故選：A.6.已知函數(shù)圖象的對稱軸方程為，．則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，，又函數(shù)對稱軸為，，則函數(shù)周期，，函數(shù)，對稱軸為，，與題干不符；當(dāng)時，，其中，由函數(shù)圖象的對稱軸方程為，得的最小正周期，所以，所以，由函數(shù)圖象的對稱軸方程為，得，令，得，即，得，所以，則．故選：C．7.已知正四面體棱長為4，半徑為的球與側(cè)面、、都相切，則該球心到棱的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中心為點Q，連接，則平面，連接并延長交于點D，連接，可知點D為的中點，因為球與側(cè)面、、都相切，所以球心O在線段上，記球O與平面的切點為點M，可知點M在線段上，，由正四面體棱長為4，球的半徑為，可得，，，，由，可得，在平面內(nèi)，過點O作于點N，可知球心O到棱的距離即為的長，球心O到棱的距離等于球心O到棱的距離，由，可得，所以該球心到棱的距離為．故選：B.8.若點既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點分別為，，且的平分線與垂直，則的長軸長為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗過點、分別作、垂直直線于點、，作的平分線與軸交于，由，故F1-1,0、F則，，由且為的平分線，故，故，又、，故與相似，故，由，令，則，故直線與軸交于點，故，，故，由，故，，故，，由橢圓定義可知，，故，即的長軸長為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知、是夾角為的單位向量，．下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.在方向上的投影數(shù)量為〖答案〗AD〖解析〗對于A，，是夾角為的單位向量，則，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由A得，，所以，又，所以，C錯誤；對于D，在上的投影數(shù)量為，D正確．故選：AD．10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2，0），B（4，0），點P滿足．設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.軌跡C的方程為B.在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得C.當(dāng)A，B，P三點不共線時，射線PO是的角平分線D.在C上存在點M，使得．〖答案〗BC〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2，0），B（4，0），點P滿足，設(shè)，則，化簡得，所以A錯誤；作圖如下：假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得，設(shè)，，則，化簡得，由軌跡C的方程為，可得，，解得，或，（舍去），即在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使，所以B正確；當(dāng)A，B，P三點不共線時，由可得射線PO是的角平分線，所以C正確；若在C上存在點M，使得，可設(shè)（），則有，化簡得，與聯(lián)立，解得：，方程組無解，故不存在點M，所以D錯誤；故選：BC．11.已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A項，在中，，函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于對稱，所以，故A正確；B項，令，因為當(dāng)時，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，B正確；C項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則在取得最小值為1，所以不存在，C錯誤；D項，由函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時，令，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，則，所以，，令，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，所以，，所以與差大于與的差，因為函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為__________．〖答案〗-105〖解析〗因為，而二項式的展開式的通項，．所以的展開式中的項為，其系數(shù)為-105.13.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、．若．則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，于是，所以由，得，由正弦定理得：，于是，，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立，14.若實數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗由基本不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.設(shè)，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即，令，得，所以，解得，由，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號．故的最大值是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.從集合的所有非空子集中，等可能地取出m個.（1）若，求所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率；（2）若，記所取子集的元素個數(shù)之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）當(dāng)時，記事件A：“所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)”．則集合的非空子集數(shù)為，其中非空子集的元素全為奇數(shù)的子集數(shù)為，全為偶數(shù)的子集數(shù)為，所以；（2）當(dāng)時，的所有可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，，所以的概率分布為01234所以的數(shù)學(xué)期望16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的增區(qū)間；（2）若在上的最大值為0，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，其定義域為0,+∞，，令f'x>0函數(shù)的增區(qū)間為0,1．（2）由，得，若，則f'x>0，若，，當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，即，不滿足題意，綜上，的取值范圍是.17.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)，連接，如下圖所示：∵側(cè)面為菱形，∴，且為及的中點，又，則為直角三角形，，又，，即，而為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面.（2）解：，平面，平面，，即，從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，∴令，代入可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，代入可得，，由圖示可知二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.18.我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點分別為橢圓的左?右頂點.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于兩點，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍.解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)，直線的方程為，由，消元得.則，且，，或由韋達定理可得，即,，即與的比值為定值.（ii）方法一：設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點為雙曲線的左頂點，所以此方程有一根為，.由韋達定理得：，解得.因為點A在雙曲線的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為；方法二：由于雙曲線的漸近線方程為，如圖，過點作兩漸近線的平行線，由于點A在雙曲線的右支上，所以直線介于直線之間（含軸，不含直線），所以.同理，過點作兩漸近線的平行線，由于點在雙曲線的右支上，所以直線介于直線之間（不含軸，不含直線），所以.由（i）中結(jié)論可知，得，所以,故.19.若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足（，），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：1，2，3，8，49是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項為的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項和，，，試比較與的大小，并證明.解：（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義，則，故，因為成立，成立，不成立，所以不是“數(shù)列”.（2）由是首項為