2024-2025學年北京某中學九年級（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年北京四中九年級（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）

A./4B.77C.<20D."

2.以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.72,74,y/~7C.5,6,7D.5,12,13

3.如圖，在口4BCD中，由尺規(guī)作圖的痕跡，判斷下列結論中不一定成立的是（）

A.ADAE=乙BAE

B.AD=DE

C.DE=BE

D.BC=DE

4.某運動品牌專營店店主對上一周新進的某款T恤衫銷售情況統(tǒng)計如下:

尺碼39404142434445

平均每天銷售數(shù)量/件1023303528218

該店主決定本周進貨時，增加一些42碼的T恤衫，影響該店主決策的統(tǒng)計量是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.眾數(shù)

5.已知關于久的一次函數(shù)y=（m-2）久+3,y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（）

A.m<2B.m>2C.m>0D.m<0

6.如圖所示，DE為△ZBC的中位線，點F在。E上，且乙=90。，若45=

6,BC=8,貝！JEF的長為（）

A.1B.2C.1.5D.2.5

7.如圖，正比例函數(shù)%=左6和反比例函數(shù)丫2=當?shù)膱D象交于4（-1,2）、

8（1,—2）兩點，若、1<丫2,貝卜的取值范圍是（）

A.%<—1或%>1

B.%<-1或0V%V1

C.-1<%<0或%>1

D.-1<%<0或0<%<1

8.若關于久的一元二次方程Ze/一6%+9=0有實數(shù)根，貝必的取值范圍是（）

A.k<lB.fc<1C.fc<1且/cWOD.fc<1且/cH0

9.保障國家糧食安全是一個永恒的課題，任何時候這根弦都不能松.某農(nóng)科實驗基地，大力開展種子實驗，

讓農(nóng)民能得到高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子.該農(nóng)科實驗基地兩年前有81種農(nóng)作物種子，經(jīng)過兩年不斷的努力培育新

品種，現(xiàn)在有100種農(nóng)作物種子.若這兩年培育新品種數(shù)量的平均年增長率為％,則根據(jù)題意列出的符合題

意的方程是（）

A.100(1-2x)=81B.100(1+2x)=81

C.81(1-x)2=100D.81(l+x)2=100

10.把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發(fā)熱，存在安全

隱患.數(shù)學興趣小組對這種現(xiàn)象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流/與使用電器的總功率P

的函數(shù)圖象（如圖1）,插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與/的函數(shù)圖象（如圖2）.下列結論中錯誤的是（）

440P/W

A.當P=440勿時，I=2A

B.Q隨/的增大而增大

C」每增加14Q的增加量相同

D.P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

11.一次函數(shù)y-kx+b（k力0）中兩個變量x,y的部分對應值如下表所示:

X-4-3-2-10

y97531

那么關于％的不等式依+b>7的解集是.

12.若反比例函數(shù)y=七也豐0）的圖象經(jīng)過點4（a,2）和B（b,-2）,則a+b的值為.

13.某招聘考試分筆試和面試兩部分，按筆試成績占80%,面試成績占20%計算應聘者的總成績.小明筆試

成績?yōu)?0分，面試成績?yōu)?5分，那么小明的總成績?yōu)榉?

14.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為4的正方形4BCD的邊48在軸X

上，4B的中點是坐標原點0,固定點4B,把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D'處，則

點C的對應點C'的坐標為

15.如圖，正方形2BCD的中心在原點。上，且正方形2BCD的四個頂點分別

位于兩個反比例函數(shù)y=|和y=?的圖象上的四個分支上，則幾=.

16.已知實數(shù)x,y滿足/+3x+y-3=0,貝1Jx+y的最大值為.

17.如圖，四邊形4BHK是邊長為12的正方形，點C、。在邊48上，且4C=

DB=2,點P是線段CD上的動點，分別以4P、P8為邊在線段A8的同側作正方

形2MNP和正方形BRQP,E、F分別為MN、QR的中點，連接EF,設EF的中點

為G,則當點P從點C運動到點。時，點G移動的路徑長等于.

18.甲乙兩人玩一個游戲：將九(幾為奇數(shù))個數(shù)排成一列，記作［的,a2，…,a^,甲，乙輪流從這一列數(shù)中刪除

兩個相鄰的數(shù)，剩余的數(shù)成為一列新的數(shù).甲先開始操作，直至這列數(shù)被刪到只剩下一個數(shù).每次操作時，

甲的原則是使最后剩下的數(shù)最大化，乙的原則是使最后剩下的數(shù)最小化.

(1)對于［123,4,5］,被刪除一次后可以成為［3,4,5］或［1,4,5］以及一些其他情況，寫出未列舉的其他情況

(2)對于［2,9,1,7,3,4,5,8,6］,最后剩下的數(shù)為

三、解答題：本題共11小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題6分)

解方程：

(l)x2-6x+l=0；

(2)(久一2)2=3(%-2).

20.（本小題6分）

某數(shù)學興趣小組同學定期進行課外擴展討論，并發(fā)現(xiàn)了一些有趣的結論.其中他們發(fā)現(xiàn)，任意一個AABa

三邊均不相等），以一邊的端點B為頂點在三角形外作角NC8F,使其等于這條邊另一端點C為頂點的三角形

的內(nèi)角乙4CB,射線BF與這條邊上的中線4。的延長線相交于一點E,則以4、B、C、E四個點為頂點的四

邊形是平行四邊形.基本思路就是利用三角形全等和平行四邊形平行線的判定加以解決.請根據(jù)這個思路完

成作圖和填空.

如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接4D.

（1）尺規(guī)作圖：在下方作射線8F,使得=且射線交4。的延長線于點E（不要求寫作法，

保留作圖痕跡）；

（2）在（1）所作的圖中，連接CE,求證：四邊形4BEC是平行四邊形.（請補全下面的證明過程）

證明：?.,點。為8c邊上的中點，

DC=DB,在△ADC和AEDB中，

'/-ACD=乙EBD

DC=DB

.Z-ADC=Z.EDB

??.△ADg（ASA）,

???AC=,

???Z-CBF=Z-ACB,

???四邊形ABEC是平行四邊形.

興趣小組進一步研究發(fā)現(xiàn)，作了上述的相等角之后，當三角形有兩邊相等時，必然會形成一個特殊的四邊

形，請根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)完成以下命題：

以等腰三角形底邊的一個端點為頂點向外作角，使其等于底角，且與底邊上中線的延長線相交于一點，以

則該點和三角形的三個頂點為頂點的特殊四邊形是.

21.（本小題8分）

如圖，在△28C中，NC4B=90。，點D,E分別是BC,AC的中點.連接DE并延長至點F,使得EF=DE.連

接2F,CF,AD.

(1)求證：四邊形ADCF是菱形；

(2)連接BF,若乙4cB=60。，AF=2,求BF的長.

22.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=依+6的圖象與x軸交于點4(-3,0),與y軸交于點8,且與正比

例函數(shù)y="的圖象交點為C(a,4),求：

(1)求a的值與一次函數(shù)y=kx+b的解析式；

(2)求4BOC的面積；

(3)在y軸上求一點「使4POC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.

23.(本小題7分)

在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx+b(k*0)的圖象經(jīng)過點4(1,3)和8(-1,一1),與過點(一2,0)且平行

于y軸的直線交于點C.

(1)求該函數(shù)的表達式及點C的坐標；

(2)當％<-2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=40)的值大于函數(shù)y=kx+6(kK0)的值且小于一2,

直接寫出門的取值范圍.

24.(本小題8分)

如圖，利用一面墻(墻EF最長可利用28米)，圍成一個矩形花園ZBCD.與墻平行的一邊BC上要預留2米寬的

入口(如圖中MN所示，不用砌墻).用砌60米長的墻的材料.

（1）當矩形花園的面積為300平方米時，求力8的長；

（2）能否圍成500平方米的矩形花園，為什么？（計算說明）

28m

E

M

25.（本小題5分）

商品成本影響售價，為避免因成本波動導致售價劇烈波動,需要控制售價的漲跌幅.下面給出了商品售價和

成本（單位：元）的相關公式和部分信息：

a.計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為:

售價漲跌幅=Wx】。。％，成本漲跌*豈端-x］。。％；

b.規(guī)定當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半;

C.甲、乙兩種商品成本與售價信息如下:

甲商品的成本與售價信息表

第一周第二周第三周第四周第五周

成本2550254020

售價40m45nP

乙商品的成本與售價統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)甲商品這五周成本的平均數(shù)為,中位數(shù)為;

(2)表中小的值為,從第三周到第五周，甲商品第周的售價最高；

(3)記乙商品這40周售價的方差為*,若將規(guī)定“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”更改為“當

周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，記這40周新售價的方差為s/,則呼

s在填“>”或“<”).

26.(本小題8分)

如圖，某校研學小組在博物館中看到了一種“公道杯”，在這種杯子中加水超過一定量時，水會自動排

盡，體現(xiàn)了“滿招損，謙受益”的寓意.該小組模仿其原理，自制了一個圓柱形簡易“公道杯”，確保向杯

中勻速注水和杯中水自動向外排出時，杯中的水位高度的變化都是勻速的,向此簡易“公道杯”中勻速注入

清水，一段時間后停止，再等水完全排盡.在這個過程中，對不同時間的水位高度進行了記錄，部分數(shù)值如

下:

時間(t/s)12345678

水位高度(/i/czn)2465.755.53

根據(jù)以上信息，解決下列問題：

(1)描出以表中各組已知對應值為坐標的點；

(2)當1=s時，杯中水位最高，是cm；

(3)在自動向外排水開始前,杯中水位上升的速度為cm/s-,

(4)求停止注水時t的值；

(5)從開始注水，到杯中水完全排盡，共用時cm/s.

■■———i—1

h'c—

-

6

5

———l——r

4

j

3

L...-___i.一<Ju..d___...J___j..j

2

i

__、

0i.234561g9IQ廣

______i.__I_I...L----?

27.(本小題8分)

如圖，在RtA/lBC中，乙B=90。,NBC4=a，點。為線段BC的延長線上一點，將線段BD繞點D順時針旋

轉2a得到線段ED.

(1)如圖1,當a=30。，且點8與點D關于點C對稱時，求證：EC1BD；

(2)如圖2,若點C關于點。的對稱點為點F,連結EF,依題意補全圖形，求證：AE1EF.

28.(本小題3分)

232

有如下的一列等式：To—a0,7\=arx—a0,T2—a2x—arx+a0,T3—a3x—a2x+a±x—a0,

若將7。+71+72+73+-+%記為41，其中幾為正整數(shù)，%的各項系數(shù)均不為0.那么以下說法正確的是

①若x=1,貝!M4=a4+a2+a0；

②若圖=(2x-I)4,那么北的所有系數(shù)之和為1；

-++-1.+310

③若&n-々n-l=(2乂-1)2",那么當72=5時，臼。+Cig++44+口2+%=—5—?

29.(本小題7分)

對于平面直角坐標系xOy中的點p(x1,yi)和(2。2，月)，我們稱do(P,Q)=咫—久2I+為尸和Q兩點的

“亞距離”,進一步，對于平面中的點R和圖形。，W,我們給出如下定義：點R到圖形中上各點的最短亞距

離為d,點R到圖形W上各點的最短亞距離為d',若d=d',則稱點R為圖形?,下的一個“亞等距點”.

如圖，已知4(—4,4),B(—8,0),C(-4,-4),D(-2,0),點4、C、。關于y軸的對稱點分別為點4、C'、

D',將正方形。4BC向上平移4個單位得到正方形4EFG.

(1)①d°(4B)=;

②在點R(2,2),PA-2,2),P3(7,8),24(-5,-1)中，哪個點是點力和點C'的亞等距點；

(2)在坐標系中，畫出正方形。4BC和正方形力EFG的亞等距點所組成的圖形；

⑶已知線段y=kx+b(：O<y<4)上恰好存在3個線段44和線段0D'的亞等距點，直接寫出k的取值范

圍.

備用圖

參考答案

1.B

2.D

3.C

4.0

5.B

6.A

l.C

8.0

9.D

10.C

11.x<—3

12.0

13.81

14.(4,20

15.-3

16.4

17.4

18.[1,2,5]和[1,2,3]3

19.解：(l)x2-6x+1=0,

x2—6x=—1,

久2—6x+9=—1+9,

Q—3)2=8,

則x-3=±2y/l,

所以Xi=3+2/2,x2=3-2\<2.

(2)(x—27=3(x-2),

(x-2)2-3(x-2)=0,

(x—2)(x—2—3)=0,

(%-2)(%-5)=0,

則I-2=0或％-5=0,

所以％1=2,犯=5.

20.(1)解由：如圖NCB尸即為所求作的角;

(2)證明：?.?點。為邊上的中點，

DC=DB,

在△ADC和AEDB中，

\LACD=乙EBD

DC=DB,

.Z-ADC=Z-EDB

??.△ZDCaEDB(ZSZ),

AC=EB,

Z.CBF=Z.ACB,

AC//BE,

???四邊形4BEC是平行四邊形.

21.(1)證明：???點E是AC的中點，

???AE=EC.

EF=DE,

.??四邊形4DCF是平行四邊形.

在AABC中，Z_C48=90。，點。是BC的中點,

AD=BD=DC.

???四邊形力DCF是菱形；

?.?四邊形4DCF是菱形,ACB=60°,AF=2,

CFDC=AF=2,^ACF=/.ACD=60°,

???乙FCG=180°-Z.ACF-AACD=60°,

??.Z.GFC=90°-ZFCG=30°,

在△CFG中，^CGF=90°,^GFC=30°,

...CG=^CF=1,

??.FG=yjCF2-CG2=V3，

vBD=CD=2.

???BG—BD+CD+CG=5.

在△BFG中，A.BGF=90°

BF=VBG2+GF2=277.

22.解：(1)???點C在正比例函數(shù)圖象上,

???|a=4,解得：a=3,

???點C(3,4),4(—3,0)在一次函數(shù)圖象上,

代入一次函數(shù)解析式可得｛1：；匕：°,解這個方程組得仁I,

b=2

二.一次函數(shù)的解析式為y=|x+2;

(2)在y=|x+2中，令x=0,解得y=2,

.-.8(0,2)

1

SABOC=]X2x3=3；

(3)???點C(3,4),

OC=,32+42=5,

當OP=OC時,

???OP=oc=5,

???「的坐標為(0,5)或(0,—5),

當CP=C。時，作CK1y軸垂足為K,

CP=CO,CKly軸，

PK=OK,

;點C(3,4),

OK=4,

PK=OK=4,

...P的坐標是(0,8),

當PO=PC時，作CK1y軸垂足為K,

設P的坐標為，(0,t)

在RtAPCK中，PC=OP=t,PK=4—t,KC=3,

(4-t)2+32=/解得”等,

P的坐標是(0,令

綜上可知，P的坐標為(0,5)或(0,-5)或(0,8)或

O

23.解：(1)將力(1,3),B(-1,一1)代入y=kx+b(k-0)中,

得色江片一1

.??函數(shù)的表達式為y=2%+l,

??,過點(一2,0)且平行于y軸的直線為第=-2,

???點C的橫坐標為一2,

在y=2久+1中，令％=—2得y=-3,

???點C的坐標為(-2,-3)；

(2),??當先<一2時，對于％的每一個值，函數(shù)y=nx(n。0)的值大于函數(shù)y=2%+1的值且小于-2,

2x(-2)+14-2幾4—2,

解得1<n<-

n的取值范圍是1<n<|.

24廨：(1)設矩形花園BC的長為無米，則其寬為區(qū)60-％+2)米，依題意得：

1

久60-%+2)%=300,

X2—62x+600=0,

解得：勺=12,&=50,

28<50,

x2=50(不合題意，舍去)，

?*,x—12,

(60-12+2)=25(米)，

答:4B的長為25米；

(2)不能圍成500平方米的矩形花園，理由如下：

若矩形花園面積為500平方米，貝|：

1

j(60-x+2)x=500,

化簡得：%2-62%+1000=0,

21=622-4000=-156<0,

;該方程無解，

???不能圍成500平方米的矩形花園.

25.(1)32,25；

(2)60,四；

(3)解：由題意知，改規(guī)定前“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”，改規(guī)定后“當周售價漲跌幅

為當周成本漲跌幅的四分之一”，

改規(guī)定后售價的波動比改規(guī)定前的售價波動小，

26.(1)

(2)3；6.

(3)2.

(4)設從開始向外排水到停止注水，八關于t的函數(shù)表達式為h=kt+b,

把(3,3),(5,5.5)代入，

gnf3=3k+b

15.5=5k+b'

ffc=

解得：J,

44

由表格知，排水的速度為2+(5.75-5.5)+1=2.25(cm/s),

「當t=7時，h—3,

當t=8時，h=0.75,

可求得,停止注水后,八關于t的函數(shù)表達式為八=

h=——t-

可得方程組《:工，

h=T+?

I44

解得：

S=5.25

t=6s時，停止注水.

(5)由(4)知，第6s停止注水，此時水位的高度為5.25cm,

所以從開始注水，到杯中水完全排盡，共用時5.25+2.25+6=?(s).

27.證明：(1)如圖，連接BE,

??.Z.BDE=2a=60°,

,?漩轉，

DB=DE,

??.△BEO為等邊三角形，

???點B與點。關于點C對稱，

BC=DC,

???EC1BD.

(2)方法一：補全圖形如圖所示,

連接2F,取4F中點連接BH、EH、DH,

??,點C關于點D的對稱點為點F，

。為CF中點,

???//為4F中點，

??.是△ACF的中位線，

??.DH//AC,

??.Z.BDH=Z.ACB=a,

???Z-BDE=2a,

??.Z,EDH=乙BDE-(BDH=a,

在△8?！焙汀鱁D"中，

DB=DE

Z-BDH=乙EDH,

、DH=DH

.?△BDH"AEDH(SAS),

??.BH=EH,

vZ.ABC=90°,”為ZF中點，

.?.BH=AH=FH,

.?.EH=AH=FH,

Z.AEH=LEAH,乙FEH=乙EFH,

根據(jù)三角形內(nèi)角和得NAEF+^EAF+乙EFH=180°,

???^AEF=/.AEH+^LFEH,

??.2/.AEF=180°,

???/-AEF=90°,

即AE1EF.

方法二：補全圖形如圖所示，

M

連接FE延長到點M,使FE=EM,連接AM、AF.MC,延長CB=8Q,連接4Q,

???點C關于點O的對稱點為點F,

??.O為CF中點，

FE=EM,

E是MF中點，

.-.DEMAMCF的中位線，

1

/.DE//CM,DE=^CM,

???Z-MCB=Z-BDE=2a,

Z.ACB=a,

???/.ACM=乙BCM-Z.ACB=a,

AB1BC,BC=BQ,

???48垂直平分CQ,

???AQ—AC,

Z.Q=Z,ACB=a,

Z.Q=Z.ACM,

vBC=BQ,CD=DF,

1

??.BD=BC+CD=1QF，

???旋轉，

BD=ED,

QF=CM,

在△ZQF和△ACM中，

AQ=AC

^AQF=/.ACM,

、QF=CM

AM=AF,

EF=EM,

AE1EF.

28.(J)若％=1,A4=+A+72+73+n=a。+-a0)+(。2-a1+a。)+(。3—。2+—口。)+

(a4—%+。2-%.+劭)=。4+。2+劭，故①正確；

32

②若^=(2%一1)4則Q4%4-a3x+a2x-arx+a0=(2%-1)，令％=1,則北的所有系數(shù)之和為1.故②

正確；

③若力2n-4271-1=(2乂-1產(chǎn)，

那么當九=5時，4A2rl-i42n-i=A10—&=(2%—1)1°,

(To++72+…+79+710)—(To+71+72+…+79)=(2%—I)10，

???T10=(2%-1)1。，

10987210

???a10x—a9x+a8x—a7x+...+a2%—arx+a0=(2%—l),

令X—1得，。10_CLg+CLQ_(Z7+...+。2―+CL?！?2—1)10—1,

令久=—1得%_+的+。8+@7+…+口2+=1+=(-1—2)"=31°,

兩式相加的2(的0+他+。6+。4+。2+。0)=1+31°,

1+310

%_o+CLQ+為+。4+。2+。0=—2—,

則③正確；

故答案為：①②③.

29.(1)根據(jù)“亞距離”的定義可知：

①：71(-4,4)-5(-8,0),

do(4B)=I-4-(-8)1+|4-0|=4+4=8；

②A，P3；

(2)如圖1所示，分別取叭―4,8),N(—4,0),連接MN,設點P為MN上一點，作PQ〃x軸交4B于Q,則點P

到正方形A8CD上一點T的“亞距離”最小時，點T一定會在AQ或4。上，當在4Q上時，過點T作TS1QP于

S,

???將正方形。ABC向上平移8個單位得到正方形力EFG,

???E(0,8),

???8(8,0),

OB=OE=8,

OBE是等腰直角三角形，

.-.乙OBE=45°,

■-PQ//OB,

■■■乙TQS=4OBE=45°,

又???TS1QP,

.?.△rsQ是等腰直角三角形，

QS=TS,

d0(T,P)=\xT—xP\+\yT—yP\=TS+PS—QS+PS=PQ,

.??點P到線段4B上一點的“亞距離”等于PQ,即點P到正方形力BCD的“亞距離”的最小值即為PQ的長，

同理可證明△4PQ為等腰直角三角形，

PQ=PA,

又???點尸到正方形4EFG上一點的“亞距離”的最小值即為P力的長，

點P即為正方形。力BC和正方形4EFG的亞等距點，

.??線段4N上的點都是正方形OABC和正方形2EFG的亞等距點，

???由對稱性可知線段4M上的點都是正方形04BC和正方形4EFG的亞等距點；

由對稱性可知，過點4且平行于x軸的直線上的點都是正方形。ABC和正方形4EFG的亞等距點；

綜上所述，正方形Q4BC和正方形4EFG的亞等距點組成的圖形為線段MN(M(-4,8),N(-4,0)),直線y=

(3)解:見圖2所示，

■?-4(-4,4),。(一2,0),點4和點。關于y軸對稱的點分另?。轂?,D'

4'(4,4),。'(2,0)；

設線段44和線段DD'的亞等距點的坐標為K(m,n),

當-2<m<2時,do(K,AA')最個值=|4-n|,d0(K,DD')最小值=|n|d0(K,DD')塞〃、獴=\n\

???|4-n|=|n|,

4—n=九或4—n=-n,

解得九=2,

???此時點K在直線y=2上，且一24m42；

y八

A

DD，