數(shù)學(xué)人教A版選修4-4第二講參數(shù)方程

一曲線的參數(shù)方程1參數(shù)方程的概念2圓的參數(shù)方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解曲線參數(shù)方程的有關(guān)概念.2.掌握?qǐng)A的參數(shù)方程.3.能夠根據(jù)圓的參數(shù)方程解決最值問題.[知識(shí)鏈接]曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)是否一定具有某種實(shí)際意義？在圓的參數(shù)方程中，參數(shù)θ有什么實(shí)際意義？提示聯(lián)系x，y的參數(shù)t(θ，φ，…)可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是無實(shí)際意義的任意實(shí)數(shù).圓的參數(shù)方程中，其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過的角度.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t）,y＝g（t）))①，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系的方程叫做普通方程.2.圓的參數(shù)方程(1)如圖所示，設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn)M從初始位置M0開始出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓O上作均速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)M(x，y)，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是θ，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r·cosθ，,y＝r·sinθ))(θ為參數(shù))，這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程.(2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的普通方程與參數(shù)方程普通方程參數(shù)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù))要點(diǎn)一參數(shù)方程的概念例1已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(t為參數(shù)，a∈R)，點(diǎn)M(－3，4)在曲線C上.(1)求常數(shù)a的值；(2)判斷點(diǎn)P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲線C上？解(1)將M(－3，4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝1＋2t，,4＝at2，))消去參數(shù)t，得a＝1.(2)由(1)可得，曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2，))把點(diǎn)P的坐標(biāo)(1，0)代入方程組，解得t＝0，因此P在曲線C上，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3，－1)代入方程組，得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝1＋2t，,－1＝t2，))這個(gè)方程組無解，因此點(diǎn)Q不在曲線C上.規(guī)律方法點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系滿足某種約束條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成曲線，點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在曲線上、點(diǎn)不在曲線上.(1)對(duì)于曲線C的普通方程f(x，y)＝0，若點(diǎn)M(x1，y1)在曲線上，則點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若點(diǎn)N(x2，y2)不在曲線上，則點(diǎn)N(x2，y2)的坐標(biāo)不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)對(duì)于曲線C的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))(t為參數(shù))，若點(diǎn)M(x1，y1)在曲線上，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝f（t），,y1＝g（t）))對(duì)應(yīng)的參數(shù)t有解，否則參數(shù)t不存在.跟蹤演練1已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π).判斷點(diǎn)A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))是否在曲線C上？若在曲線上，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值.解把點(diǎn)A(2，0)的坐標(biāo)代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝3sinθ))，得cosθ＝1，且sinθ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此點(diǎn)A(2，0)在曲線C上，對(duì)應(yīng)參數(shù)θ＝0，同理，把Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))代入?yún)?shù)方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)＝2cosθ，,\f(3,2)＝3sinθ.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(\r(3),2)，,sinθ＝\f(1,2).))又0≤θ＜2π，∴θ＝eq\f(5,6)π，所以點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))在曲線C上，對(duì)應(yīng)θ＝eq\f(5,6)π.要點(diǎn)二圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用例2設(shè)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為eq\f(7\r(10),10)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3 D.4解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ.))得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲線C表示以(2，－1)為圓心，以3為半徑的圓，則圓心C(2，－1)到直線l的距離d＝eq\f(7,\r(10))＝eq\f(7\r(10),10)＜3，所以直線與圓相交.所以過圓心(2，－1)與l平行的直線與圓的2個(gè)交點(diǎn)滿足題意，又3－d＜eq\f(7\r(10),10)，故滿足題意的點(diǎn)有2個(gè).答案B規(guī)律方法1.本題利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)；數(shù)形結(jié)合，判定直線與圓的位置關(guān)系.2.參數(shù)方程表示怎樣的曲線，一般是通過消參，得到普通方程來判斷，特別要注意變量的取值范圍.跟蹤演練2已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.解由已知，可把點(diǎn)(x，y)視為圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上的點(diǎn)，設(shè)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ為參數(shù)).則x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，∴11－6eq\r(2)≤x2＋y2≤11＋6eq\r(2).∴x2＋y2的最大值為11＋6eq\r(2)，最小值為11－6eq\r(2).要點(diǎn)三參數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用例3某飛機(jī)進(jìn)行投彈演習(xí)，已知飛機(jī)離地面高度為H＝2000m，水平飛行速度為v1＝100m/s，如圖所示.(1)求飛機(jī)投彈ts后炸彈的水平位移和離地面的高度；(2)如果飛機(jī)追擊一輛速度為v2＝20m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？(g＝10m/s2)解(1)如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)炸彈投出機(jī)艙的時(shí)刻為0s，在時(shí)刻ts時(shí)其坐標(biāo)為M(x，y)，由于炸彈作平拋運(yùn)動(dòng)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－\f(1,2)gt2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)，所以飛機(jī)投彈ts炸彈的水平位移為100tm，離地面的高度為(2000－5t2)m，其中，0≤t≤20.(2)由于炸彈水平分運(yùn)動(dòng)和汽車的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，以汽車參考系.水平方向S相對(duì)＝v相對(duì)t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600(m).規(guī)律方法本題通過點(diǎn)的坐標(biāo)的參數(shù)方程利用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)使問題得解.由于水平拋出的炸彈做平拋運(yùn)動(dòng)，可以分解為在水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，炸彈飛行的時(shí)間也就是它作自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.跟蹤演練3如果本例條件不變，求：(1)炸彈投出機(jī)艙10s后這一時(shí)刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飛機(jī)迎擊一輛速度為v2＝20m/s相向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？解(1)將t＝10代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1000，,y＝1500，))所以炸彈投出機(jī)艙10s后這一時(shí)刻的水平位移和高度分別是1000m和1500m.(2)由于炸彈水平分運(yùn)動(dòng)和汽車的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，以汽車為參考系.水平方向s相對(duì)＝v相對(duì)t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2400(m).1.曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x、y間的間接聯(lián)系.在具體問題中的參數(shù)可能有相應(yīng)的幾何意義，也可能沒有什么明顯的幾何意義.曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式，任意給定一個(gè)參數(shù)的允許取值就可得到曲線上的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，反過來，對(duì)于曲線上的任一點(diǎn)也必然對(duì)應(yīng)著參數(shù)相應(yīng)的允許取值.2.求曲線參數(shù)方程的主要步驟第一步，畫出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).畫圖時(shí)要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系.第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)唯一確定.第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略.1.下列方程：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝m))(m為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝n))(m，n為參數(shù))；(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2；))(4)x＋y＝0中，參數(shù)方程的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4解析由參數(shù)方程的概念知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m,y＝m))是參數(shù)方程，故選A.答案A2.當(dāng)參數(shù)θ變化時(shí)，由點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)所確定的曲線過點(diǎn)()A.(2，3) B.(1，5)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.(2，0)解析當(dāng)2cosθ＝2，即cosθ＝1，3sinθ＝0.∴過點(diǎn)(2，0).答案D3.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝2))(t為參數(shù))表示的曲線是()A.兩條直線 B.一條射線C.兩條射線 D.雙曲線解析當(dāng)t＞0時(shí)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,y＝2，))是一條射線；當(dāng)t＜0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－2，,y＝2，))也是一條射線，故選C.答案C4.已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1,y＝t2))(t為參數(shù))，若y＝1，則x＝________.解析當(dāng)y＝1時(shí)，t2＝1，∴t＝±1，當(dāng)t＝1時(shí)，x＝2；當(dāng)t＝－1時(shí)，x＝0.∴x的值為2或0.答案2或05.已知直線y＝x與曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，))(α為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B，求弦長(zhǎng)|AB|.解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝2cosα，,y－2＝2sinα.))∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1，2)，半徑r＝2，則圓心(1，2)到直線y＝x的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(14).一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知O為原點(diǎn)，參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))上的任意一點(diǎn)為A，則|OA|＝()A.1 B.2C.3 D.4解析|OA|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1，故選A.答案A2.已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，曲線C不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a≥2 B.a＞3C.a≥1 D.a＜0解析∵曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，∴化為普通方程為(x－a)2＋y2＝4，表示圓心為(a，0)，半徑等于2的圓.∵曲線C不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)a滿足a≥2，故選A.答案A3.圓心在點(diǎn)(－1，2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5－cosθ，,y＝5＋2sinθ))(0≤θ＜2π)B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋5cosθ，,y＝－1＋5sinθ))(0≤θ＜2π)C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜π)D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜2π)解析圓心在點(diǎn)C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ，))(θ∈[0，2π)).故圓心在點(diǎn)(－1，2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜2π).答案D4.將參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ為參數(shù))化為普通方程為()A.y＝x－2 B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)解析將參數(shù)方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3].答案C5.若點(diǎn)(－3，－3eq\r(3))在參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ))(θ為參數(shù))的曲線上，則θ＝________.解析將點(diǎn)(－3，－3eq\r(3))的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ))(θ為參數(shù))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(1,2)，,sinθ＝－\f(\r(3),2)，))解得θ＝eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z.答案eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z6.已知圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________.解析由圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα.))可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為x2＋(y－1)2＝1，由直線l的極坐標(biāo)方程ρsinθ＝1可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為y＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x2＋（y－1）2＝1))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝±1，,y＝1.))所以直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1，1)，(1，1).答案(－1，1)，(1，1)7.已知曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ))(θ為參數(shù))，如果曲線C與直線x＋y＋a＝0有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ，))∴x2＋(y＋1)2＝1.∵圓與直線有公共點(diǎn)，則d＝eq\f(|0－1＋a|,\r(2))≤1，解得1－eq\r(2)≤a≤1＋eq\r(2).二、能力提升8.若P(2，－1)為圓O′：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋5cosθ，,y＝5sinθ))(0≤θ＜2π)的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線l的方程是()A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0解析∵圓心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.∴直線l方程為x－y－3＝0.答案A9.如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________.解析將x2＋y2－x＝0配方，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，∵圓的直徑為1.設(shè)P(x，y)，則x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，∴圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數(shù)).答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數(shù))10.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝sint＋1))(t為參數(shù))與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.解析∵sint∈[－1，1]，∴y∈[0，2].∵方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝sint＋1))表示的曲線是線段x＝1(0≤y≤2).令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，∵0≤y≤2，∴y＝eq\r(3).答案(1，eq\r(3))11.設(shè)點(diǎn)M(x，y)在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)，求點(diǎn)P(x＋y，xy)的軌跡.解設(shè)點(diǎn)M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，點(diǎn)P(x′，y′).則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝cosθ＋sinθ，①,y′＝cosθsinθ，②))①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y′＋\f(1,2))).∴所求點(diǎn)P的軌跡為拋物線x2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))的一部分eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\r(2)，|y|≤\f(1,2))).12.已知點(diǎn)M(x，y)是圓x2＋y2＋2x＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若4x＋3y－a≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又點(diǎn)M在圓上，∴x＝－1＋cosθ，且y＝sinθ(θ為參數(shù))，因此4x＋3y＝4(－1＋cosθ)＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tanφ＝eq\f(4,3)確定)∴4x＋3y的最大值為1.若4x＋3y－a≤0恒成立，則a≥(4x＋3y)max，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).三、探究與創(chuàng)新13.已知圓系方程為x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0(a＞0，且為已知常數(shù)，φ為參數(shù))(1)求圓心的軌跡方程；(2)證明圓心軌跡與動(dòng)圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為定值.(1)解由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－acosφ)2＋(y－asinφ2)＝a2(a＞0).設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝asinφ))(φ為參數(shù))，消參數(shù)得圓心的軌跡方程為x2＋y2＝a2.(2)證明由方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0,x2＋y2＝a2))得公共弦的方程：2axcosφ＋2aysinφ＝a2，即xcosφ＋ysinφ－eq\f(a,2)＝0，圓x2＋y2＝a2的圓心到公共弦的距離d＝eq\f(a,2)為定值.∴弦長(zhǎng)l＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)a(定值).3參數(shù)方程和普通方程的互化[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解參數(shù)方程化為普通方程的意義.2.掌握參數(shù)方程化為普通方程的基本方法.3.能夠利用參數(shù)方程化為普通方程解決有關(guān)問題.[知識(shí)鏈接]普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式是否唯一？提示不一定唯一.普通方程化為參數(shù)方程，關(guān)鍵在于適當(dāng)選擇參數(shù)，如果選擇的參數(shù)不同，那么所得的參數(shù)方程的形式也不同.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]參數(shù)方程與普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致.要點(diǎn)一把參數(shù)方程化為普通方程例1在方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ,y＝b＋tsinθ，))(a，b為正常數(shù))中，(1)當(dāng)t為參數(shù)，θ為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？(2)當(dāng)t為常數(shù)，θ為參數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？解方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ，①,y＝b＋tsinθ，②))(a，b是正常數(shù))，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同時(shí)為零，∴方程表示一條直線.(2)(i)當(dāng)t為非零常數(shù)時(shí)，原方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－a,t)＝cosθ，③,\f(y－b,t)＝sinθ.④))③2＋④2得eq\f(（x－a）2,t2)＋eq\f(（y－b）2,t2)＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一個(gè)圓.(ii)當(dāng)t＝0時(shí)，表示點(diǎn)(a，b).規(guī)律方法1.消去參數(shù)的常用方法：將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法.如果參數(shù)方程是分式方程，在運(yùn)用代入消元或加減消元之前要做必要的變形.另外，熟悉一些常見的恒等式至關(guān)重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k2,1＋k2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋k2)))eq\s\up12(2)＝1等.2.把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響.本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線.跟蹤演練1參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))化成普通方程為________.解析∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα，))cos2α＋sin2α＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝1要點(diǎn)二把普通方程化成參數(shù)方程例2求方程4x2＋y2＝16的參數(shù)方程：(1)設(shè)y＝4sinθ，θ為參數(shù)；(2)若令y＝t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？若令x＝2t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？解(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.∴4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))(2)將y＝t代入橢圓方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，則x2＝eq\f(16－t2,4).∴x＝±eq\f(\r(16－t2),2).因此，橢圓4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(16－t2),2),y＝t))，和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(16－t2),2)，,y＝t))(t為參數(shù)).同理將x＝2t代入橢圓4x2＋y2＝16，得橢圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4\r(1－t2)))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝－4\r(1－t2)))(t為參數(shù)).規(guī)律方法1.將圓的普通方程化為參數(shù)方程(1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))；(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù)).2.普通方程化為參數(shù)方程關(guān)鍵是引入?yún)?shù)(例如x＝f(t)，再計(jì)算y＝g(t))，并且要保證等價(jià)性.若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x＝f(t)，y＝g(t)，調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的過程中，x，y的取值范圍保持一致.跟蹤演練2設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________.解析把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝eq\f(4t,1＋t2)，y＝eq\f(4t2,1＋t2)，∴參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2).))(t為參數(shù)).答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2).))(t為參數(shù))要點(diǎn)三參數(shù)方程的應(yīng)用例3已知x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.解由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ.))(θ∈[0，2π)).(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝eq\f(3,4)，且φ的終邊過點(diǎn)(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ).其中tanφ＝－eq\f(3,4).且φ的終邊過點(diǎn)(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16.規(guī)律方法1.運(yùn)用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇.選擇參數(shù)時(shí)，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系.由于三角函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)，若軌跡與運(yùn)動(dòng)有關(guān)，常選擇時(shí)間為參數(shù).2.解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問題，常常設(shè)圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題.3.注意運(yùn)用三角恒等式求最值：asinθ＋bcosθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)，且φ的終邊過點(diǎn)(a，b).跟蹤演練3如圖，已知點(diǎn)P是圓x2＋y2＝16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(12，0)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用參數(shù)方程求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡.解因?yàn)閳Ax2＋y2＝16的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，所以可設(shè)點(diǎn)P(4cosθ，4sinθ)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4cosθ＋12,2)，,y＝\f(4sinθ,2)))(θ為參數(shù))，即點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋6，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)(6，0)為圓心、2為半徑的圓.1.參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程化為普通方程，可通過代入消元法和三角恒等式消參法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型.由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當(dāng)?shù)膮?shù)，尋求曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y和參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問題的要求，我們可以選擇時(shí)間、角度、線段長(zhǎng)度、直線的斜率、截距等作為參數(shù).2.同一道題參數(shù)的選擇往往不是唯一的，適當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，可以簡(jiǎn)化解題的過程，降低計(jì)算量，提高準(zhǔn)確率.求軌跡方程與求軌跡有所不同，求軌跡方程只需求出方程即可，而求軌跡往往是先求出軌跡方程，然后根據(jù)軌跡方程指明軌跡是什么圖形.3.參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性把參數(shù)方程化為普通方程后，很容易改變了變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性.1.與普通方程x2＋y－1＝0等價(jià)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝cos2t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cost,y＝sin2t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t),y＝t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tant,y＝1－tan2t))解析A化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].C化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.答案D2.將參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t2＋\f(1,t2)))(t為參數(shù))化為普通方程為________.解析由x＝t＋eq\f(1,t)得x2＝t2＋eq\f(1,t2)＋2，又y＝t2＋eq\f(1,t2)，∴x2＝y(tǒng)＋2.∵t2＋eq\f(1,t2)≥2，∴y≥2.答案x2－y＝2(y≥2)3.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝sinθ＋cosθ))(θ為參數(shù))表示的曲線的普通方程是________.解析y2＝(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝1＋x，又x＝sin2θ∈[－1，1]，∴曲線的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1).答案y2＝x＋1(－1≤x≤1)4.已知某條曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(其中t是參數(shù)，a∈R)，點(diǎn)M(5，4)在該曲線上.(1)求常數(shù)a；(2)求曲線C的普通方程.解(1)由題意，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2t＝5，,at2＝4，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,a＝1，))所以a＝1.(2)由已知及(1)可得，曲線C的方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2，))由第一個(gè)方程，得t＝eq\f(x－1,2)，代入第二個(gè)方程，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))eq\s\up12(2)，即(x－1)2＝4y為所求.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝|sinθ|，,y＝cosθ))(θ為參數(shù))的方程等價(jià)于()A.x＝eq\r(1－y2) B.y＝eq\r(1－x2)C.y＝±eq\r(1－x2) D.x2＋y2＝1解析由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故選A.答案A2.已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝－2－t))(t為參數(shù))與圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋1，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標(biāo)分別是()A.eq\f(π,4)，(1，0) B.eq\f(π,4)，(－1，0)C.eq\f(3π,4)，(1，0) D.eq\f(3π,4)，(－1，0)解析直線消去參數(shù)得直線方程為y＝－x，所以斜率k＝－1即傾斜角為eq\f(3π,4).圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(1，0).答案C3.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(2t,1＋t2)))(t為參數(shù))化為普通方程為()A.x2＋y2＝1B.x2＋y2＝1去掉(0，1)點(diǎn)C.x2＋y2＝1去掉(1，0)點(diǎn)D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)點(diǎn)解析x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))eq\s\up12(2)＝1，又∵x＝－1時(shí)，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉點(diǎn)(－1，0).答案D4.若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋eq\r(3)y的最大值為()A.1 B.2C.3 D.4解析由于圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ，))(θ為參數(shù))，則x＋eq\r(3)y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，故x＋eq\r(3)y的最大值為2.故選B.答案B5.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4的直線與曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.解析由ρcosθ＝4，知x＝4.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))∴x3＝y(tǒng)2(x≥0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x3＝y(tǒng)2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8.))∴|AB|＝eq\r(（4－4）2＋（8＋8）2)＝16.答案166.在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋acosθ，,y＝－1＋asinθ))(θ為參數(shù))，若圓C1與C2相切，則實(shí)數(shù)a＝________.解析圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x＋4y，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心為(2，2)，半徑長(zhǎng)為2eq\r(2)，圓C2的圓心坐標(biāo)為(－1，－1)，半徑長(zhǎng)為|a|，由于圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝2eq\r(2)＋|a|＝3eq\r(2)或|C1C2|＝|a|－2eq\r(2)＝3eq\r(2)?a＝±eq\r(2)或a＝±5eq\r(2).答案±eq\r(2)或±5eq\r(2)7.已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，))(t為參數(shù)，t＞0).求曲線C的普通方程.解由x＝eq\r(t)－eq\f(1,\r(t))兩邊平方得x2＝t＋eq\f(1,t)－2，又y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，則t＋eq\f(1,t)＝eq\f(y,3)(y≥6).代入x2＝t＋eq\f(1,t)－2，得x2＝eq\f(y,3)－2.∴3x2－y＋6＝0(y≥6).故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6).二、能力提升8.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ為參數(shù))，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝0，則圓C截直線所得弦長(zhǎng)為()A.eq\r(2) B.2eq\r(2)C.3eq\r(2) D.4eq\r(2)解析圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ,y＝1＋3sinθ))的圓心為(eq\r(3)，1)，半徑為3，直線普通方程為ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,6)－sinθsin\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)y＝0，即eq\r(3)x－y＝0，圓心C(eq\r(3)，1)到直線eq\r(3)x－y＝0的距離為d＝eq\f(|（\r(3)）2－1|,\r(3＋1))＝1，所以圓C截直線所得弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).答案D9.過原點(diǎn)作傾斜角為θ的直線與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosα，,y＝2sinα))相切，則θ＝________.解析直線為y＝xtanθ，圓為(x－4)2＋y2＝4，直線與圓相切時(shí)，易知tanθ＝±eq\f(\r(3),3)，∴θ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).答案eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)10.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝1－2t))(t為參數(shù))與曲線C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asinθ,y＝3cosθ))(θ為參數(shù)，a＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則a＝________.解析曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2的普通方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1，直線2x＋y＝3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，故曲線eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1也經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，代入解得a＝eq\f(3,2)(舍去－eq\f(3,2)).答案eq\f(3,2)11.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ為參數(shù)).(1)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.解(1)由題意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).又P為線段MN的中點(diǎn)，從而點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，故直線OP的平面直角坐標(biāo)方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.(2)因?yàn)橹本€l上兩點(diǎn)M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以直線l的平面直角坐標(biāo)方程為x＋eq\r(3)y－2＝0.又圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－eq\r(3))，半徑為r＝2，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2－3－2|,2)＝eq\f(3,2)＜r，故直線l與圓C相交.12.已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，曲線C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù)).(1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2.寫出C′1，C′2的參數(shù)方程.C′1與C′2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由.解(1)C1是圓，C2是直線.C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心C1(0，0)，半徑r＝1.C2的普通方程為x－y＋eq\r(2)＝0.因?yàn)閳A心C1到直線x－y＋eq\r(2)＝0的距離為1，所以C2與C1只有一個(gè)公共點(diǎn).(2)壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝\f(1,2)sinθ))(θ為參數(shù))，C′2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),4)t))(t為參數(shù))，化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(2),2)，聯(lián)立消元得2x2＋2eq\r(2)x＋1＝0，其判別式Δ＝(2eq\r(2))2－4×2×1＝0，所以壓縮后的直線C′2與橢圓C′1仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同.三、探究與創(chuàng)新13.已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0，0≤θ＜2π).解(1)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，∴C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0；(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))∴C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).二圓錐曲線的參數(shù)方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用.2.了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程.3.能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點(diǎn)的軌跡問題.[知識(shí)鏈接]1.橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)φ是OM的旋轉(zhuǎn)角嗎？提示橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))中的參數(shù)φ不是動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的旋轉(zhuǎn)角，它是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角，稱為離心角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角.2.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)secφ的意義是什么？提示secφ＝eq\f(1,cosφ)，其中φ∈[0，2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f(3,2)π.3.類比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的參數(shù)方程嗎？提示eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt，,y＝2pt2))(p＞0，t為參數(shù)，t∈R.)[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.橢圓的參數(shù)方程普通方程參數(shù)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝bcosφ,y＝asinφ))(φ為參數(shù))2.雙曲線的參數(shù)方程普通方程參數(shù)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ為參數(shù))3.拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t∈R，t為參數(shù)).(2)參數(shù)t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).

要點(diǎn)一橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1已知A、B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心G的軌跡的普通方程.解由題意知A(6，0)，B(0，3).由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cosθ，3sinθ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6＋0＋6cosθ,3)，,y＝\f(0＋3＋3sinθ,3)))(θ為參數(shù))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ.))故重心G的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù)).規(guī)律方法本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性.運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡(jiǎn)單，運(yùn)算更簡(jiǎn)便.跟蹤演練1已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數(shù))，曲線C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.(1)化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說明它們分別表示什么曲線？(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cost＝x＋4，,sint＝y(tǒng)－3.))∴曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓.曲線C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.其參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ為參數(shù))(2)依題設(shè)，當(dāng)t＝eq\f(π,2)時(shí)，P(－4，4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ)).又C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|5cos(θ＋φ)－13|，從而當(dāng)cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ由sinφ＝\f(3,5)，cosφ＝\f(4,5)確定))，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值eq\f(8\r(5),5).要點(diǎn)二雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用例2求證：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積是一個(gè)定值.證明由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(asecφ，btanφ)，它到兩漸近線的距離分別是d1和d2，則d1·d2＝eq\f(|absecφ＋abtanφ|,\r(b2＋a2))·eq\f(|absecφ－abtanφ|,\r(b2＋（－a）2))＝eq\f(|a2b2（sec2φ－tan2φ）|,a2＋b2)＝eq\f(a2b2,a2＋b2)(定值).規(guī)律方法在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問題時(shí)，使用曲線的參數(shù)方程非常簡(jiǎn)捷方便，其中點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)參數(shù)形式的點(diǎn)的坐標(biāo)仍適用，另外本題要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的應(yīng)用.跟蹤演練2如圖，設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，證明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.證明設(shè)P(secφ，tanφ)，∵F1(－eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(eq\r(2)，0)，∴|PF1|＝eq\r(（secφ＋\r(2)）2＋tan2φ)＝eq\r(2sec2φ＋2\r(2)secφ＋1)，|PF2|＝eq\r(（secφ－\r(2)）2＋tan2φ)＝eq\r(2sec2φ－2\r(2)secφ＋1)，|PF1|·|PF2|＝eq\r(（2sec2φ＋1）2－8sec2φ)＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.要點(diǎn)三拋物線參數(shù)方程的應(yīng)用例3設(shè)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，P為拋物線上任一點(diǎn)，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2pt2，2pt)(t為參數(shù))，當(dāng)t≠0時(shí)，直線OP的方程為y＝eq\f(1,t)x，QF的方程為y＝－2teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，它們的交點(diǎn)M(x，y)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,t)x,y＝－2t\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))確定，兩式相乘，消去t，得y2＝－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，∴點(diǎn)M的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0).當(dāng)t＝0時(shí)，M(0，0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0.規(guī)律方法1.拋物線y2＝2px(p＞0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))，參數(shù)t為任意實(shí)數(shù)，它表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).2.用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量，使動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程.跟蹤演練3已知拋物線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))，其中p＞0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E，若|EF|＝|MF|，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________.解析根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2px，所以yeq\o\al(2,M)＝6p，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，±\r(6p)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以eq\f(p,2)＋3＝eq\r(p2＋6p)，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去).答案21.圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))中的參數(shù)θ是半徑OM的旋轉(zhuǎn)角，橢圓參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))中的參數(shù)φ是橢圓上點(diǎn)M的離心角.2.橢圓eq\f(（x－m）2,a2)＋eq\f(（y－n）2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋acosφ，,y＝n＋bsinφ))(φ為參數(shù)).3.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)cotφ、secφ、cscφ的意義分別為cotφ＝eq\f(1,tanφ)，secφ＝eq\f(1,cosφ)，cscφ＝eq\f(1,sinφ).4.拋物線y2＝2px的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))，由于eq\f(y,x)＝eq\f(1,t)，因此t的幾何意義是拋物線的點(diǎn)(除頂點(diǎn)外)與拋物線的頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).5.利用圓錐曲線的參數(shù)方程，可以方便求解一些需要曲線上點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)獨(dú)立表示的問題，如求最大值、最小值問題、軌跡問題等.1.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,y＝2（et－e－t）))(t為參數(shù))的普通方程是()A.拋物線 B.一條直線C.橢圓 D.雙曲線解析由參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝2et＋2e－t，,y＝2（et－e－t）))平方相減可得4x2－y2＝16，即eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，故答案為D.答案D2.橢圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cosφ，,y＝3sinφ))(φ為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)解析利用平方關(guān)系化為普通方程：eq\f(（x－4）2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.∴焦點(diǎn)(0，0)，(8，0).答案D3.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)，,y＝\r(2＋sinα)))(α為參數(shù))表示的普通方程是________.解析因x2＝1＋sinα，y2＝2＋sinα，所以y2－x2＝1，又因x＝sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4)))，所以答案為y2－x2＝1(|x|≤eq\r(2)且y≥1).答案y2－x2＝1(|x|≤eq\r(2)且y≥1)4.點(diǎn)P(1，0)到曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(參數(shù)t∈R)上的點(diǎn)的最短距離為()A.0 B.1C.eq\r(2) D.2解析d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴deq\o\al(2,min)＝1，∴dmin＝1.答案B5.已知點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：x＋2y＝0的距離的最大值.解因?yàn)镻為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，2π).又直線l：x＋2y＝0.因此點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))),\r(5)).又θ∈[0，2π)，∴dmax＝eq\f(2\r(2),\r(5))＝eq\f(2\r(10),5)，即點(diǎn)P到直線e：x＋2y＝0的距離的最大值為eq\f(2\r(10),5).一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))化為普通方程為()A.x2＋eq\f(y2,4)＝1 B.x2＋eq\f(y2,2)＝1C.y2＋eq\f(x2,4)＝1 D.y2＋eq\f(x2,4)＝1解析易知cosθ＝x，sinθ＝eq\f(y,2)，∴x2＋eq\f(y2,4)＝1，故選A.答案A2.方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xcosθ＝a，,y＝bcosθ))(θ為參數(shù)，ab≠0)表示的曲線是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一部分解析由xcosθ＝a，∴cosθ＝eq\f(a,x)，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲線應(yīng)為雙曲線的一部分.答案D3.若點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t為參數(shù))上，則|PF|等于()A.2 B.3C.4 D.5解析拋物線為y2＝4x，準(zhǔn)線為x＝－1，|PF|為P(3，m)到準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為4.答案C4.當(dāng)θ取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.直線 D.線段解析設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ，即eq\f(x,2)＝sinθ－cosθ，eq\f(y,3)＝sinθ＋cosθ，兩式平方相加，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝2，是橢圓.答案B5.實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，則2x＋eq\r(3)y的最大值是________.解析因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，所以設(shè)x＝2cosα，y＝eq\r(3)sinα，則2x＋eq\r(3)y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(4,5)，cosφ＝eq\f(3,5).當(dāng)sin(α＋φ)＝1時(shí)，2x＋eq\r(3)y有最大值為5.答案56.拋物線y＝x2－eq\f(2x,t)的頂點(diǎn)軌跡的普通方程為________.解析拋物線方程可化為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,t2)，∴其頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，－\f(1,t2)))，記M(x，y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,t)，,y＝－\f(1,t2)，))消去t得y＝－x2(x≠0).答案y＝－x2(x≠0)7.如圖所示，連接原點(diǎn)O和拋物線y＝eq\f(1,2)x2上的動(dòng)點(diǎn)M，延長(zhǎng)OM到點(diǎn)P，使|OM|＝|MP|，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明是什么曲線？解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2y，其參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝2t2.))得M(2t，2t2).設(shè)P(x，y)，則M是OP中點(diǎn).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t＝\f(x＋0,2)，,2t2＝\f(y＋0,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t,y＝4t2))(t為參數(shù))，消去t得y＝eq\f(1,4)x2，是以y軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)為(0，1)的拋物線.二、能力提升8.若曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ－1))(θ為參數(shù))與直線x＝m相交于不同兩點(diǎn)，則m的取值范圍是()A.R B.(0，＋∞)C.(0，1) D.[0，1)解析將曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ－1))化為普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1).它是拋物線的一部分，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合知0≤m＜1.答案D9.圓錐曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.解析將參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，表示開口向右，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).答案(1，0)10.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________.解析eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))化為普通方程為y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，所以化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.答案ρcos2θ－sinθ＝011.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα，))(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα).因?yàn)镃2是直線，所