2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《橢圓》測試卷及答案解析

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《橢圓》測試卷

（本卷共19道題；總分：150分；考試時間：120分鐘）

姓名：成績:

單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程表示橢圓的是（）

22

xyyz

A.一+一=1B.---=1

259259

22

C.—+—=1D./+2/=8

99

%2y2

2.橢圓二+彳=1上一點尸到左焦點八的距離為2,M是線段尸為的中點，則M到原點。的距離等于（）

259

A.2B.6C.4D.8

3.已知橢圓二十二=1上一點尸到橢圓一個焦點的距離是6,則尸點到另一個焦點的距離為（）

2516

A.2B.3C.4D.5

XV

4.兩個焦點分別為尸2的橢圓-7+77=1（〃>。>0）上有一點尸，若△?人"是邊長為2的等邊三角形，則

azbz

橢圓的方程為（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.=1

169163

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

4341

汽2y2

5.橢圓一+=1的一個焦點坐標(biāo)為（0,-1）,則實數(shù)m的值為（）

3-m

A.2B.4C.-4D.-2

x2y2

6.直線mx-y-2m+l=0（mGR）與橢圓一+—=1的位置關(guān)系是（）

83

A.相離

B.相切

C.相交

D.隨著血的取值變化而變化

7.已知橢圓二+二=1（a>6>0）的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)1,右頂點為4上頂點為8,若河|=苧乃放|,

a2b2z

則橢圓的離心率為（）

V21V262

A.—B.一C.---D.—

221313

%2y2q2

8.若橢圓于+㈢=1（a>b>0）的中心和兩個焦點將兩條直線龍=土一廣間的距離四等分，則它的一個焦點

azbz\a2-b2

與短軸兩個端點連線的夾角為（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

x2y2

（多選）9.已知橢圓C：一+—=1的焦點分別為A,F1,尸為C上一點，貝1J（）

94

A.C的焦距為2逐

_V5

B.C的禺心率為三

C.△尸1PP2的周長為3+備

D.△■F1PR面積的最大值為2遍

（多選）10.如果方程丁+27=1表示焦點在X軸上的橢圓，則實數(shù)〃的取值范圍可以是（）

a+6

A.（-8,-2）B.（3,+8）c.（-6,-2）D.（-3,+°°）

（多選）H.已知橢圓E：A=l（a〉6>。）的左、右焦點分別為尸1，F(xiàn)i,左、右頂點分別為A,B,尸是E上

異于A,8的一個動點.若3|4八|=|8尸i|,則下列說法正確的有（）

1

A.橢圓后的禺心率為5

B.若尸尸i_L小尸2,貝kos乙PF2&=5

C.直線PA的斜率與直線PB的斜率之積等于-反

4,

—>—>

D.符合條件P6?PF2=0的點P有且僅有2個

三.填空題（共3小題）

久2y2

12.設(shè)橢圓7=l（a〉b〉0）的焦距為2c,若廿=〃c,則橢圓的離心率為.

13.經(jīng)過點M（遮，-2）,N（-2V3,1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

r2

14.橢圓一+y2=1上的一點尸到左焦點的距離為1,則點尸到橢圓右準(zhǔn)線的距離為________________.

4

四.解答題(共5小題)

XVL

15.已知橢圓丁+77=1(。>6>0)的半焦距為c,點(2,-V3)在橢圓上.

azbz

(1)若a=41c,求橢圓的方程；

(2)若c=&，求橢圓的方程.

XV

16.設(shè)橢圓>+「=1(a>b>0)的兩個焦點分別為/2,點尸在橢圓上，且尸尸△尸尸2,若△尸為尸2的周長

和面積均為24,求橢圓的方程.

17.已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0,-3）和（0,3）,且橢圓經(jīng)過點（0,4）,求

（1）該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

4

（2）求過點（3,0）且斜率為g的直線被C所截線段的中點坐標(biāo).

XV-T

18.設(shè)橢圓方+—=1（。〉次）的左、右焦點分別為尸1）2,上頂點為A,在無軸負(fù)半軸上有一點8,滿足=F#2,

az3

5.AB1AF2.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線3x-4y+3=0與橢圓交于M,N兩點，點P在橢圓上，求△PMN面積的最大值和此時點P的坐標(biāo).

xy

19.已知尸1,尸2為橢圓一+7=M0V6V10)的左、右焦點，P是橢圓上一點.

100bT2

(1)求|尸乃|?『/2|的最大值；

64A/3

(2)若/6尸尸2=60°且92的面積為三一，求b的值.

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《橢圓》測試卷

參考答案與試題解析

單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程表示橢圓的是（）

%y

C.一+——=1D.x92+2y92=8

99

解：A選項的方程是直線方程；8選項的方程是雙曲線方程；。選項的方程是圓的方程；。選項的方程是橢圓方

程.故選：D.

%2y2

2.橢圓二+—=1上一點尸到左焦點八的距離為2,M是線段尸為的中點，則M到原點。的距離等于（）

259

A.2B.6C.4D.8

x2y2

解：???橢圓去+3=1中，〃=5,???|尸"+|尸尸2|=2〃=10,

11

結(jié)合|PA|=2,得|PF2|=2a-|PPi|=10-2=8,；是△尸8尸2的中位線，|。加|=/尸/2|=/x8=4.

故選：C.

3.已知橢圓1+77=1上一點P到橢圓一個焦點的距離是6,則尸點到另一個焦點的距離為（)

A.2B.3C.4D.5

第2丫2

解：：橢圓于+T--1上一點P到橢圓一個焦點的距離為6,

2516

.,.|PFI|+|PF2|=10,即尸到另一個焦點的距離為10-6=4.故選:C.

XV

4.兩個焦點分別為人，尸2的橢圓和十==1（〃〉/?〉0）上有一點P，若△尸尸聲2是邊長為2的等邊三角形，則

橢圓的方程為（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

169163

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

4341

解：因為△尸尸1尸2是邊長為2的等邊三角形，由橢圓定義和對稱性可知，|尸乃|+|尸尸2|=2+2=2〃,

LXV

又尸1尸2|=2=2C,故。=2,c=l,：.b=V3,所以橢圓的方程為一+二=1,故選：C.

43

xy、

5.橢圓工+-=1的一個焦點坐標(biāo)為(0,-1),則頭數(shù)機(jī)的值為()

3-m

A.2B.4C.-4D.-2

解：根據(jù)焦點坐標(biāo)可知，橢圓焦點在y軸上，所以有-根-3=1,解得m=-4.故選：C.

6.直線mx-y-2m+l=0(mGR)與橢圓一+—=1的位置關(guān)系是()

83

A.相離B.相切C.相交D.隨著根的取值變化而變化

解:由線--廠2%+1=0,得〃z(x-2)-y+l=O,聯(lián)立咚解得

X2y241115

二?直線mx-y-2m+l=0(mGR)過定點(2,1),代入一+—=1,有一+-=一+-=一<1.

8383236

%2y2

???點(2,1)在橢圓七+一=1的內(nèi)部，

83

%2y2

則直線如-y-2m+1=0(meR)與橢圓一+—=1的位置關(guān)系是相交.故選：C.

83

7.已知橢圓-7+77=1(〃>6>0)的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)1,右頂點為A,上頂點為5,若|AB|=浮下由2|,

azbzN

則橢圓的離心率為()

V21V262

A.—B.-C.-----D.—

221313

%?y2

解：已知橢圓二+77=1(a>6>0)的左、右焦點分別為A,F2,右頂點為A,上頂點為8,

a2b2

則A(a,0),B(0,b),Fi(-c,0),Fi(c,0),則網(wǎng)=加+爐,|FIF2|=2C,

又???明=卓|尸典,.?./+廬=302,.\2a2-C2=3C2,即J=2C2,即2=立，故選:A.

na2

汽2y2q2

8.若橢圓方+方=1(〃>/?>0)的中心和兩個焦點將兩條直線l=土下^^間的距離四等分，則它的一個焦點

azbz\a2-b2

與短軸兩個端點連線的夾角為()

A.45°B.60°C.90°D.120°

%2y2Q2

解：己知橢圓一7+七=1(a>b>0)的中心和兩個焦點將兩條直線尤=±7^^間的距離四等分，

a2b27az—t)z

貝圾(--1=,0),尸2(忙—，0),由/=k+02可得為尸2詹，0),

2ja2—b22ja2—b2

又Fl(-c,0),貝!]_，=一c,即/=2C2,即。=/6=魚的設(shè)上頂點為A,則tern乙4&。=9=1，

即/4為。=45°,則它的一個焦點與短軸兩個端點連線的夾角為90°,故選：C.

二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

x2y2

(多選)9.已知橢圓C二十丁=1的焦點分別為A,Fi,尸為。上一點，貝U()

94

「__V5

A.C的焦距為2而B.C的禺心率為

C.△乃尸尸2的周長為3+痛D.△為尸尸2面積的最大值為2西

XV

解：設(shè)橢圓C一十-二1的長軸長為2〃，短軸長為24焦距為2c,

94

則〃2=9,廿=4,<?=9-4=5,故a=3,b=2,c=V5,所以。的焦距為2遮，故A正確；

c

C的離心率為一=77，故3正確；的周長為|P6|+IPF2I+1641=2a+2c=6+2遮，故C錯誤;

a3

對于。，當(dāng)點尸位于橢圓的上下頂點時，△尸1尸尸2的面積最大,

1

最大值為5x2X2遮=2遮，故。正確.故選：ABD.

（多選）io.如果方程/+￡=】表示焦點在'軸上的橢圓,則實數(shù)。的取值范圍可以是（

A.(-8,-2)B.(3,+8)C.(-6,-2)D.(-3,+8)

解：..?方程f+-----=1表示焦點在工軸上的橢圓，.??〃2>Q+6>0,即/-〃-6>0且a>-6,

解得：-6V〃V-2或〃>3..??實數(shù)〃的取值范圍是（-6,-2）U（3,+8）.故選：BC.

（多選）11.已知橢圓E：冒+、=l（a>6>0）的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)1,左、右頂點分別為A,B,P是E上

異于A,8的一個動點.若31Abi|=|3尸1],則下列說法正確的有（）

A.橢圓E的離心率為一B.若貝1JCOSNPF20=1

23

C.直線PA的斜率與直線PB的斜率之積等于-反

4,

—>—>

D.符合條件P&?PF?=0的點P有且僅有2個

C1.

解：由3HAi=|5川，可得3（Q-c）=a+c,即a=2c,可得e=g=），故A正確；

設(shè)〃=2/,貝Uc=bb=V3r,r>0,

22

若尸為J_乃尸2,可得|P尸i|=",\PF2\=2a-—,cos/P/S=二^=二^==故8錯誤；

CLac卜/4f--tb

設(shè)pGn,6可得泉+器=1,即〃2=-A"貝值線B4的斜率與直線PB的斜率之積為高?高

—>—>

由c<b,可得以。為圓心，C為半徑的圓與橢圓沒有交點，則符合條件PF1?PF2=0的點P不存在，故。錯誤.

故選：AC.

三.填空題（共3小題）

汽2y2A/5-1

12.設(shè)橢圓一;■+77=l（a>b>O）的焦距為2c,若房=〃的則橢圓的離心率為—-----

az_2

解：在橢圓中，a2=b2+c2,因為。2=〃c,所以d+w-〃2=o.

又0=能（0,1）,所以e2+e-l=0,解得e=與］或e=3|二（舍），

■^5^_1^5_1

所以橢圓的離心率為一^.故答案為：——.

22

_工2y2

13.經(jīng)過點M（遮，-2）,N（-2V3,1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是—+-=1.

—155----

解：設(shè)橢圓方程為（m>0,n>0,二:，解得根=白，n=

x2y2x2y2

，橢圓方程為T十二=1.故答案為：—+—=1.

155155

x2_

14.橢圓一+y2=1上的一點尸到左焦點的距離為1,則點尸到橢圓右準(zhǔn)線的距離為2V3.

4----------

x2

解：設(shè)尸Go,yo）,由橢圓工+丫2=1上一點尸到左焦點為的距離為1,即|尸歷|=〃+的=1,

2+~^~XQ—19解得％o=—

；.尸到右準(zhǔn)線的距離1=《-&=竽+竽=2V3.

故答案為：2回

四.解答題（共5小題）

久2y2

15.已知橢圓丁+匕=1（a>b>0）的半焦距為c,點（2,-V3）在橢圓上.

azbz

（1）若〃=V^c,求橢圓的方程；

（2）若c=VL求橢圓的方程.

解：（1）Va=42c,a2=2c2,a2=2（/-廿），）=2儕,

y243

二?橢圓方程為B=1，?二點（2，—V3）在橢圓上.r+77=^,

2b2b22b2b2

%2-y2

.??廿=5,???〃2=10,.,?橢圓的方程為一+—=1；

105

（2）Vc=V2,：.a2-b2=2@,

43

?點（2,—V3）在橢圓上.?,?厄■+記=1②，

由①②解得a=2近,b=V6,

、x2y2

二?橢圓的方程為+—=1.

86

x2y2

16.設(shè)橢圓于+77=1（。>匕>°）的兩個焦點分別為人，/2,點。在橢圓上，且尸尸」尸尸2,若△尸尸汨2的周長

azbz

和面積均為24,求橢圓的方程.

解：-：PF11PF2,.1.|PFI|2+|PF2|2=（2C）2,

由橢圓定義可知|PFl|+|PF2|=2a,

(|PF1|+|PF2|)2-2|PFI||PF2|=4C2,

從而得4a2-2|PFI||PF2|=4C2,：.\PFi\\PF2\=2b2,

2

'-ShPF1F2=^x2\PFi\\PF2\=b=24,

;△尸為尸2的周長24,；.2a+2c=24,；.a+c=12,

由廬=24,可得/-c?=24,(a+c)(a-c)=24,

?*ci~c=2,

x2y2

，橢圓方程為：—+—=1.

4924

17.已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0,-3)和(0,3),且橢圓經(jīng)過點(0,4),求

(1)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

4

(2)求過點(3,0)且斜率為g的直線被。所截線段的中點坐標(biāo).

解：(1)由題意可知：橢圓焦點為(0,-3)和(0,3),可知橢圓的焦點在y軸上，

一、、汽2y2

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+—=1(a>b>0),c=3,

bzaz

由題意可知：橢圓經(jīng)過點(0,4),即點(0,4)為橢圓的上頂點，

即〃=4,

由b2=a2-。2=7,

化2丫2

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：—+-=1；

716

(2)依題意可得，直線方程為(x-3),設(shè)直線被C所截線段的中點坐標(biāo)尸(x,y).

笠+V=1

貝耳716,整理得16?-21x+28=0；

j=弓Q-3)

設(shè)直線與橢圓的兩個交點坐標(biāo)為A(xi,yi),B(%2,”)，

則由韋達(dá)定理得：Xl+X2=

中點橫坐標(biāo)為x="耍”=裝,代入直線方程得y=4(|1-3)=一半

...中點坐標(biāo)為(||,—券).

X2V21—TT

18.設(shè)橢圓7+—=l(a>百)的左、右焦點分別為人，放，上頂點為A,在x軸負(fù)半軸上有一點8,滿足B&=FF,

az3r2

MAB±AF2.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線3x-4y+3=0與橢圓交于M,N兩點，點尸在橢圓上，求△「阿面積的最大值和此時點尸的坐標(biāo).

解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,c=V^~,

Fi(-c,0),Fi(