高考數(shù)學(xué)（理）一輪講義第50講橢圓

第50講橢圓考綱要求考情分析命題趨勢1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)．2．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用，了解橢圓的實際背景．3．理解數(shù)形結(jié)合的思想.2017·全國卷Ⅲ，102017·浙江卷，22016·江蘇卷，101.求解與橢圓定義有關(guān)的問題，利用橢圓的定義求軌跡方程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓焦點的位置．2．求解與橢圓的范圍、對稱性有關(guān)的問題；求解橢圓的離心率，求解與橢圓的焦點三角形有關(guān)的問題.分值：5～12分1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點的軌跡叫做__橢圓__．這兩個定點叫做橢圓的__焦點__，兩焦點間的距離叫做橢圓的__焦距__．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若__a＞c__，則集合P為橢圓；(2)若__a＝c__，則集合P為線段；(3)若__a＜c__，則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍__－a__≤x≤__a__，__－b__≤y≤__b____－b__≤x≤__b__，__－a__≤y≤__a__對稱性對稱軸：__坐標(biāo)軸__，對稱中心：__(0,0)__頂點A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__，B1__(0，－b)__，B2__(0，b)__A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__，B1__(－b,0)__，B2__(b,0)__軸長軸A1A2的長為__2a__，短軸B1B2的長為__2焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝__2c__離心率e＝__eq\f(c,a)__，e∈__(0,1)__a，b，c的關(guān)系c2＝__a2－b2__1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)．(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(×)(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．((3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×)(4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(√)解析(1)錯誤．由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))時，不存在圖形．(2)正確．由橢圓的定義得，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2a＋2c.(3)錯誤．因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，則eq\f(b,a)越小，橢圓就越扁．(4)正確．由橢圓的對稱性知，其關(guān)于原點中心對稱也關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱．2．(2017·浙江卷)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是(B)A．eq\f(\r(13),3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,9)解析根據(jù)題意知，a＝3，b＝2，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故選B．3．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝(C)A．4 B．8C．6 D．18解析依定義知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝6.4．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓，則m的范圍是(C)A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)解析由方程表示橢圓知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m＞0，,m＋3＞0，,5－m≠m＋3，))解得－3＜m＜5且m≠1.5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的左，右焦點，點P在橢圓上，且滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為__eq\f(\r(3),3)__.解析在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝eq\f(π,2)，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝1，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F2F1))＝eq\r(3)，所以離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3),3).一橢圓的定義橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是確認平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，通過整體代入可求其面積等．【例1】(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(A)A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝__3__.解析(1)由折疊過程可知點M與點F關(guān)于直線CD對稱，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PO))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PO))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OM))＝r，由橢圓的定義可知，P點的軌跡為橢圓．(2)設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝r1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2.又∵S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，∴b＝3.二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量．即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【例2】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點；(2)已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5,3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點；(3)經(jīng)過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))．解析(1)橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42).解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)設(shè)橢圓的長半軸長，短半軸長，焦距分別為2a,2b,2由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,2c2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.故橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(3)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.三橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c，從而求解e，通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e，由已知條件得出a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過特殊值或特殊位置，求出離心率．【例3】(1)(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2)已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的兩個焦點，P在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，且滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是(C)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析(1)以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點到直線bx－ay＋2ab＝0的距離eq\f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選A．(2)由橢圓的定義得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a，平方得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝4a2.①又∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos∠F1PF2＝c2.②由余弦定理得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos∠F1PF2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))2＝4c2.③由①②③，得cos∠F1PF2＝eq\f(c2,2a2－3c2).又∵0＜cos∠F1PF2≤1，∴e≤eq\f(\r(2),2).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)),2)))2＝a2，∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥eq\f(\r(3),3)，故橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，故選C．四直線與橢圓的綜合問題直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1)求直線方程．可依題設(shè)條件，尋找確定該直線的兩個條件，進而得到直線方程．(2)求面積．先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進而得出面積的值．(3)判斷圖形的形狀．可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系．(4)弦長問題．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解．(5)中點弦或弦的中點．一般利用點差法求解，注意判斷直線與橢圓是否相交．【例4】已知點A(0，－2)，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3)，O為坐標(biāo)原點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．解析(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．將y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當(dāng)Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞eq\f(3,4)時，x1,2＝eq\f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1)，從而eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝eq\r(k2＋1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又點O到直線PQ的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，所以△OPQ的面積S△OPQ＝eq\f(1,2)d·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1)，設(shè)eq\r(4k2－3)＝t，則t＞0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t))，因為t＋eq\f(4,t)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)時等號成立，且滿足Δ＞0，所以當(dāng)△OPQ面積最大時，l的方程為y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.1．已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為eq\f(\r(2),2)，則實數(shù)m＝(D)A．2 B．2或eq\f(8,3)C．2或6 D．2或8解析顯然m＞0且m≠4，當(dāng)0＜m＜4時，橢圓長軸在x軸上，則eq\f(\r(\f(1,m)－\f(1,4)),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝2；當(dāng)m＞4時，橢圓長軸在y軸上，則eq\f(\r(\f(1,4)－\f(1,m)),\r(\f(1,4)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝8.2．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的一條漸近線與橢圓C交于A，B兩點，且AF⊥BF，則橢圓C的離心率為__eq\r(3)－1__.解析不妨取雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的一條漸近線的方程為y＝eq\r(3)x，則∠AOF＝60°，記橢圓C的左焦點為F1(－c,0)，依題意得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OA))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OF1))＝c，所以四邊形AFBF1為矩形，△AFO是正三角形，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＝c，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝eq\r(3)c，則橢圓C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1)))＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.3．(2018·甘肅蘭州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為eq\f(\r(2),2).直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為eq\f(\r(10),3)時，求k的值．解析(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝eq\r(2)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－4,1＋2k2)，所以|MN|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2).又因為點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，所以△AMN的面積為S＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq\f(\r(10),3)，解得k＝±1.4．(2018·湖北武漢起點調(diào)研)如圖，已知橢圓Γ：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1，F(xiàn)2分別作兩條平行直線AB，CD交橢圓Γ于點A，B，C，D.(1)求證：|AB|＝|CD|；(2)求四邊形ABCD面積的最大值．解析(1)設(shè)直線AB的方程為：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將x＝my－1代入3x2＋4y2＝12中得(3m2＋4)y2－6my－9＝0設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，∵AB∥CD，∴CD的方程為x＝my＋1，代入3x2＋4y2＝12中得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0由①②知|y1－y2|＝|y3－y4|，∵|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|，|CD|＝eq\r(1＋m2)|y3－y4|，∴|AB|＝|CD|.(2)由(1)知四邊形ABCD是平行四邊形，∴S?ABCD＝4S△AOB，S△AOB＝eq\f(1,2)·|OF1|·|y1－y2|，∴S?ABCD＝2·|y1－y2|＝2eq\r(y1＋y22－4y1·y2)＝24eq\r(\f(1＋m2,3m2＋42))＝24eq\r(\f(1,91＋m2＋\f(1,1＋m2)＋6))，設(shè)t＝1＋m2，f(t)＝9t＋eq\f(1,t)＋6(t≥1)，則f′(t)＝9－eq\f(1,t2)＝eq\f(9t2－1,t2)>0，∴f(t)在[1，＋∞)上遞增，f(t)min＝f(1)＝16，故m＝0時，四邊形ABCD面積取最大值6.易錯點忽略橢圓中x，y的取值范圍錯因分析：忽略橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的點P(x，y)的坐標(biāo)滿足－a≤x≤a，－b≤y≤b這一條件可能致錯．【例1】設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))到這個橢圓上的點的最遠距離是eq\r(7)，求這個橢圓的方程．解析依題意，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b.設(shè)橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d，則d2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq\f(9,4)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3.由于點(x，y)在橢圓上，所以有－b≤y≤b，若b＜eq\f(1,2)，則當(dāng)y＝－b時，d2有最大值，于是(eq\r(7))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3,2)))2，從而解得b＝eq\r(7)－eq\f(3,2)＞eq\f(1,2)，與b＜eq\f(1,2)矛盾，所以必有b≥eq\f(1,2)，此時當(dāng)y＝－eq\f(1,2)時，d2有最大值，所以4b2＋3＝(eq\r(7))2，解得b2＝1，a2＝4，于是所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.【跟蹤訓(xùn)練1】(2018·湖北黃岡高三調(diào)考)若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為(C)A．2 B．3C．6 D．8解析由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可得點F(－1,0)，設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.課時達標(biāo)第50講[解密考綱]對橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的考查，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．如果x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是(A)A．(0,1) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)解析x2＋ky2＝2轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，∴eq\f(2,k)>2，解得0<k<1.故選A.∴實數(shù)k的取值范圍是(0,1)．故選A．2．(2018·山東濟南質(zhì)檢)已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為eq\f(1,2)，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a所以a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，則b2＝a2－c2＝3.因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.3．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝eq\f(3a,2)上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)解析由題意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－c))＝2c，所以3a＝4c，所以e＝eq\f(3,4).4．(2018·福建廈門模擬)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的右焦點為F，直線y＝x＋m與橢圓E交于A，B兩點，若△FAB的周長的最大值是8，則m＝(B)A．0 B．1C．eq\r(3) D．2解析設(shè)橢圓的左焦點為F′，則△FAB的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a＝8，所以a＝2，當(dāng)直線AB過焦點F′(－1,0)時，△FAB的周長取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故選B5．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C上點A滿足AF2⊥F1F2.若點P是橢圓C上的動點，則eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))的最大值為(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(9,4) D．eq\f(15,4)解析設(shè)向量eq\o(F1P,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))的夾角為θ.由條件知|AF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，則eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)|eq\o(F1P,\s\up6(→))|cosθ，于是eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))要取得最大值，只需eq\o(F1P,\s\up6(→))在向量eq\o(F2A,\s\up6(→))上的投影值最大，易知此時點P在橢圓短軸的上頂點，所以eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)|eq\o(F1P,\s\up6(→))|cosθ≤eq\f(3\r(3),2).故選B．6．從橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是(C)A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析由題意可設(shè)P(－c，y0)(c為半焦距)，kOP＝－eq\f(y0,c)，kAB＝－eq\f(b,a)，由于OP∥AB，∴－eq\f(y0,c)＝－eq\f(b,a)，y0＝eq\f(bc,a)，把Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(bc,a)))代入橢圓方程得eq\f(－c2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))2,b2)＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故選C．二、填空題7．若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為__x2＋eq\f(3y2,2)＝1__.解析設(shè)點A在點B上方，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝eq\r(1－b2)，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2c＝3x0＋c，,－b2＝3y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2，))代入橢圓方程可得eq\f(251－b2,9)＋eq\f(1,9)b2＝1，解得b2＝eq\f(2,3)，故橢圓方程為x2＋eq\f(3y2,2)＝1.8．已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點的弦所在直線方程是__x＋2y－3＝0__.解析設(shè)過點M(1,1)的方程為y＝kx＋(1－k)，代入x2＋2y2－4＝0得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1,2)·eq\f(4k2－4k,1＋2k2)＝1，解得k＝－eq\f(1,2)，故所求直線方程為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，即x＋2y－3＝0.9．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別為F1，F(xiàn)2，延長B1F2與A2B2交于P點，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))__.解析設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∠B1PA2為鈍角，即eq\o(B2A2,\s\up6(→))，eq\o(F2B1,\s\up6(→))所夾的角為鈍角，∴(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1>0，即e2＋e－1>0，e>eq\f(\r(5)－1,2)或e<eq\f(－\r(5)－1,2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(5)－1,2)<e<1.三、解答題10．(2018·河南洛陽一模)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點坐標(biāo)．解析(1)將(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設(shè)直線與橢圓C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)．將y＝eq\f(4,5)(x－3)代入橢圓C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即線段AB的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).11．(2018·廣州五校聯(lián)考)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，且經(jīng)過點(eq\r(6)，1)，O為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x＝－4在x軸上方的一點，過M作圓O的兩條切線，切點分別為P，Q，當(dāng)∠PMQ＝60°，求直線PQ的方程．解析(1)∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a2＝2c2，a2＝2b2，又橢圓E經(jīng)過點(eq\r(6)，1)，∴eq\f(6,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a＝2eq\r(