專題03多面體與旋轉(zhuǎn)體（原卷版）

【原卷版】專題03多面體與旋轉(zhuǎn)體本章將討論柱體、錐體及球體等常見的空間幾何體的形狀、性質(zhì)和度量；對簡單幾何體的研究有許多實際的應(yīng)用；從粉墻黛瓦的傳統(tǒng)民居到高聳入云的摩天大樓，各式建筑雖然千姿百態(tài)，但它們往往都是由簡單幾何體組合而成的．因此，簡單幾何體的研究自古以來就是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，《九章算術(shù)》中的“塹堵”、“陽馬”、“鱉”等幾何體就是一些特殊的柱體和錐體；本教材延續(xù)了“二期課改”教材的內(nèi)容編排順序：先學(xué)習(xí)空間點、線、面的基本位置關(guān)系（第10章），再學(xué)習(xí)本章的簡單幾何體；這樣編排的意圖：一是通過第10章的學(xué)習(xí)，為本章理解幾何體各個元素之間的位置關(guān)系提供邏輯基礎(chǔ)；二是利用簡單幾何體模型，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握空間圖形的位置關(guān)系．，與全國其他一些版本的教材不同．【本章教材目錄】11.1柱體11.1.1棱柱與圓柱；11.1.2柱體的體積；11.1.3柱體的表面積；11.2錐體11.2.1棱錐與圓錐；11.2.2錐體的體積；11.2.3錐體的表面積；11.3多面體與旋轉(zhuǎn)體11.3.1多面體；11.3.2旋轉(zhuǎn)體；11.4球11.4.1球；11.4.2球的體積；11.4.3球的表面積【本章內(nèi)容提要】1、多面體與旋轉(zhuǎn)體是兩類重要的幾何體（1）多面體：由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體稱為多面體；（2）旋轉(zhuǎn)體：一個平面封閉圖形繞其所在平面上的一條直線在空間旋轉(zhuǎn)一周所得到的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；2、本章所討論的“簡單幾何體”有：（1）柱體（包括棱柱和圓柱），其中棱柱是多面體，而圓柱是旋轉(zhuǎn)體；（2）錐體（包括棱錐和圓錐），其中棱錐是多面體，而圓錐是旋轉(zhuǎn)體；（3）球，它是一個旋轉(zhuǎn)體；3、我們主要關(guān)注所涉及幾何體的體積和表面積的計算（1）柱體的體積和表面積：柱體的體積：V柱＝S底h(S底為底面面積，h為高)；直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的表面積：S表＝ch＋2S底；圓柱的表面積：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2；其中，S底，h與c分別是柱體的底面積、高與底面周長，r是圓柱的底面半徑;（2）錐體的體積和表面積：錐體的體積：V錐＝eq\f(1,3)S底h(S底為底面面積，h為高)；正棱錐（底面為正三角形或正多邊形且高通過底面中心的棱錐）的表面積：S表＝eq\f(1,2)ch′＋S底；圓錐的表面積：S表＝eq\f(1,2)cl＋S底＝πrl＋πr2；其中，S底、h與犮分別是錐體的底面積、高與底面周長，h′是正棱錐的斜高，r與l是圓錐的底半徑和母線長；（3）球的體積和表面積：球的體積：V球＝eq\f(4,3)πR3：球面面積：S球＝4πR2；其中，R是球的半徑；1、多面體的定義由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體；如：棱柱、棱錐、棱臺等幾何體都是多面體；2、多面體的分類多面體可以用它的面的數(shù)量進(jìn)行命名，有幾個面的多面體就叫做幾面體；例如，三棱錐有一個底面和三個側(cè)面，所以是四面體；長方體（四棱柱）有六個面，是六面體．一般地，一個n棱錐,有一個底面和n個側(cè)面，所以是n＋１面體；n棱柱或n棱臺有兩個底面和n個側(cè)面，所以是n＋2面體;由此可見，面數(shù)最少的多面體是四面體，即三棱錐;3、基本多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形4、四面體四面體在立體幾何中的作用相當(dāng)于三角形在平面幾何中的作用；5、正多面體與平面上的正多邊形類比，在空間中可以考慮正多面體．如果一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這個多面體就叫做正多面體；6、旋轉(zhuǎn)體的定義及其相關(guān)概念由一個平面封閉圖形繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；這條直線叫做該旋轉(zhuǎn)體的軸；與旋轉(zhuǎn)體類似地可以定義空間中的旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線（包括直線、折線等）繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)面；7、基本旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)題型1、有關(guān)多面體的概念及結(jié)構(gòu)特點例1、（1）判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯誤的打“×”）①多面體至少有四個面；（）②九棱柱有9條側(cè)棱,9個側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形；（）③長方體、正方體都是棱柱；（）④三棱柱的側(cè)面為三角形；（）⑤等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相同；（）【說明】本題主要考查多面體與特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺 B．四棱錐C．四棱柱 D．三棱柱題型2、有關(guān)簡單多面體的結(jié)構(gòu)特點及截面例2、（1）已知正四棱錐中，底面面積為，側(cè)棱的長為，則該棱錐的高是.

【說明】對于棱錐的計算，關(guān)鍵還是抓住“特殊”的直角三角形；（2）、如圖，四邊形AA1B1B為邊長為3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，請你判斷這個幾何體是棱柱嗎？若是棱柱，指出是幾棱柱；若不是棱柱，請你試用一個平面截去一部分，使剩余部分是一個側(cè)棱長為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征．在立體圖中畫出截面；【說明】本題考查了簡單多面體的結(jié)構(gòu)特點及截面的知識交匯；認(rèn)識一個幾何體，需要看它的結(jié)構(gòu)特征，并且要結(jié)合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關(guān)系，分析它是由哪些幾何體組成的組合體，并能用平面分割開；題型3、有關(guān)簡單多面體的平面展開圖例3、（1）畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖（畫出其中一種即可）；（2）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線長；【說明】1、多面體的展開與折疊：（1）由多面體畫平面展開圖，一般要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖；（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推；2、求從幾何體的表面上一點，沿幾何體表面運(yùn)動到另一點，所走過的最短距離，常將幾何體的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點間的最短距離問題；題型4、有關(guān)簡單多面體的高考真題體驗例4、（2019·全國Ⅱ卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一；印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）；半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體；半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.（圖2）是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1；則該半正多面體共有個面，其棱長為；【說明】本題考查學(xué)生的空間想象能力，抽象概括能力，解題關(guān)鍵是從“半正多面體”中作出一個截面為正八邊形且正八邊形的八個頂點都在邊長為1的正方形上，由此易得棱長；題型5、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的概念及結(jié)構(gòu)特點例5、（1）下列說法正確的是（）A．矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周其余三邊形成的面所圍成的幾何體是圓柱B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．用一個平面去截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺D．圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；【說明】本題考查了特殊旋轉(zhuǎn)體的定義與結(jié)構(gòu)特征（2）、給出以下四個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是__________．【說明】本題主要考查了準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的生成過程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵．要注意定義中的關(guān)鍵字眼，對于似是而非的問題，可以通過動手操作來解決；題型6、有關(guān)簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征例6、（1）如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()（2）、已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰(如圖)．分別以AB，BC，CD，DA為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？【說明】關(guān)于平面圖形繞固定軸旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體的組成問題，可采用如下方法解決：1、引線分割：由平面圖形的各定點向旋轉(zhuǎn)軸引垂線，將平面圖形分割成不同的直角三角形或直角梯形或矩形；2、旋轉(zhuǎn)成體：將上述分割的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)形成不同的柱、錐、臺體解之；題型7、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的計算問題例7、（1）一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為________．（2）圓臺的上、下底面半徑分別為6和12，平行于底面的截面自上而下分母線為2∶1的兩部分，求截面的面積．【說明】對于此類問題，特別注意：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；圓柱、圓錐、圓臺問題要抓住它們的軸截面及其中線段與底面半徑、高、母線之間的關(guān)系，構(gòu)造矩形、直角三角形求解；題型8、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖問題例8、（1）如圖所示，有一個底面半徑為1，高為2的圓柱體，在A點處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱表面一周且由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？【說明】本題考查了有關(guān)旋轉(zhuǎn)體“面上的最短問題“，一般”展開“往往是有效的方法；（2）、如圖所示，圓柱側(cè)面上有兩點B，D，在D處有一只蜘蛛，在B處有一只蒼蠅，蜘蛛沿怎樣的路線行走才能以最短的路程抓住蒼蠅？最短路程是多少？【說明】1、用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，得到的截面與底面全等或相似，常結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的軸截面的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組來解決問題；2、幾何體表面上兩點間的最短距離問題，都應(yīng)該將幾何體的表面展開，畫出展開圖，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的線段長的計算問題；題型9、將多面體的問題轉(zhuǎn)化為平面問題例9、（1）在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，沿AE，AF，EF將其折成一個多面體，則此多面體是________．（2）如圖所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC上有一動點P，則△APC1周長的最小值是________．題型10、有關(guān)多面體的綜合題例10、（1）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________．（2）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分別是CE和CF的中點．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）求證：平面BDGH∥平面AEF；（3）求多面體ABCDEF的體積．題型11、有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖問題例11、（1）某市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，某市公園數(shù)量累計達(dá)到1025個．下圖為某市某公園供游人休息的石凳，它可以看作一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的棱長為20eq\r(2)cm，則石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的表面積為cm2.（2）如圖1，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖2，已知圓柱的底面直徑AB＝16m，母線長AD＝4m，圓錐的高PQ＝6m，則該蒙古包的側(cè)面積約為m2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))【答案】144π；題型12、有關(guān)幾何體的與其他知識的交匯問題例12、已知圓錐SO的底面半徑為1，若其底面圓周上存在兩點A，B，使得∠ASB＝90°，則該圓錐側(cè)面積的最大值為eq\r(2)π.（2）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′＝3，O′C′＝1，（1）判斷平面四邊形OABC的形狀并求周長；（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．1、面數(shù)最少的多面體有________個面.2、棱柱的側(cè)棱最少有________條，棱柱的側(cè)棱長之間的大小關(guān)系是________．3、如圖所示，不是正四面體的展開圖的是________．①②③④4、如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是5、若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是________.6、下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說法正確的序號是________．7、下列四個命題中正確的是（）A．棱柱的底面一定是平行四邊形B．棱錐的底面一定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱8、下列說法中，正確