專題4.5 一次函數(shù)的應(yīng)用（5種方法7類題型）（知識點(diǎn)梳理與題型分類講解）（北師大版）（原卷版）

第頁專題4.5一次函數(shù)的應(yīng)用（5種方法7類題型）（知識點(diǎn)梳理與題型分類講解）第一部分【知點(diǎn)梳理與題型目錄】【知識點(diǎn)1】利用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟審—仔細(xì)審題理解題意；找—找出實(shí)際問題中的變量和常量，明確它們之間的關(guān)系；列—建立一次函數(shù)表達(dá)式，弄清自變量的取值范圍；解—根據(jù)題目中的已知條件，由一個變量求另一個變量，也就是解方程的過程；驗(yàn)—檢驗(yàn)結(jié)果，得出符合實(shí)際的結(jié)論.【知識點(diǎn)2】一次函數(shù)模型的應(yīng)用方法函數(shù)應(yīng)用題是以貼近現(xiàn)實(shí)生活的話題為背景運(yùn)用函數(shù)知識來解決的一類問題這類問題也是中考的熱點(diǎn)，要求能依據(jù)問題的特點(diǎn)建立函數(shù)模型，收集信息，并加以解決.【知識點(diǎn)3】選取合適的一次函數(shù)解決方案問題方案的選取就是在自變量的不同取值范圍內(nèi)比較多個函數(shù)值的大小，同時也是利用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的典型題目，它的實(shí)質(zhì)是將比較函數(shù)值大小的問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式的問題.【知識點(diǎn)4】利用一次函數(shù)最值解決最優(yōu)化問題的方法最值問題是中考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題我們知道，一次函數(shù)()中的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),其圖象是一條直線所以函數(shù)既沒有最大值，也沒有最小值，但由于在實(shí)際問題中，所列函數(shù)表達(dá)式中自變量的取值范圍往往有一定的限制，所以函數(shù)圖象為線段或射線，故函數(shù)就有了最值在求函數(shù)的最值時，我們應(yīng)先求出函數(shù)的表達(dá)式，并確定其增減性，再根據(jù)題目條件確定出自變量的取值范圍，然后結(jié)合增減性確定出最大值或最小值.【知識點(diǎn)5】構(gòu)造一次函數(shù)模型解決動態(tài)幾何問題的方法在圖形運(yùn)動變化過程中，往往伴隨著圖形位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系的變化，有些能夠用一次函數(shù)來反映圖形運(yùn)動的變化規(guī)律解決動態(tài)幾何問題，要動中有靜、動靜結(jié)合，在運(yùn)動變化中提高學(xué)生的想象能力、綜合分析能力.題型目錄【題型1】利用一次函數(shù)解決最優(yōu)方案問題2;【題型2】利用一次函數(shù)最值解決最優(yōu)化問題3；【題型3】一次函數(shù)與幾何問題3；【題型4】一次函數(shù)與行程問題4；【題型5】利用一次函數(shù)解決其他問題5；【題型6】直通中考6；【題型7】拓展延伸7.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用一次函數(shù)解決最優(yōu)方案問題【例1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）周末，張洋去某楊梅園摘楊梅，已知該楊梅園內(nèi)的楊梅單價是每千克40元．為滿足客戶需求，該楊梅園現(xiàn)推出兩種不同的銷售方案：甲方案：游客進(jìn)園需購買30元的門票，采摘的楊梅按原價的七折收費(fèi)；乙方案：游客進(jìn)園不需購買門票，采摘的楊梅在10千克以內(nèi)按原價收費(fèi)、超過10千克后，10千克部分按原價收費(fèi)，超過部分按原價的五折收費(fèi)．設(shè)張洋的采摘量為千克，按甲方案所需總費(fèi)用為元，按乙方案所需總費(fèi)用為元．（1）當(dāng)采摘量超過10千克時，分別求出、關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若張洋的采摘量為30千克，選擇哪種方案更劃算？請說明理由．【變式1】某游泳館新推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，設(shè)游泳次數(shù)為時兩種消費(fèi)卡所需費(fèi)用分別為，元，，與的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)游泳次數(shù)為30次時選擇哪種消費(fèi)卡更合算（

）A．甲種更合算 B．乙種更合算 C．兩種一樣合算 D．無法確定【變式2】．（2021·浙江杭州·二模）A城有種農(nóng)機(jī)30臺，B城有該農(nóng)機(jī)40臺，現(xiàn)要將這些農(nóng)機(jī)全部運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)，調(diào)運(yùn)任務(wù)承包給某運(yùn)輸公司．已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)34臺，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)36臺，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為250元/臺和200元/臺，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為150元/臺和240元/臺．設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)該農(nóng)機(jī)x臺，運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用為W元，則W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．【題型2】利用一次函數(shù)最值解決最優(yōu)化問題【例2】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）2023山東國際農(nóng)業(yè)博覽會于2023年12月22-24日在山東國際會展中心舉辦，本屆農(nóng)博會以“聚焦新機(jī)遇·共謀新發(fā)展”為主題，致力打造從田間到餐桌，全鏈條創(chuàng)新發(fā)展商貿(mào)服務(wù)平臺，全面展示現(xiàn)代農(nóng)業(yè)、農(nóng)業(yè)全產(chǎn)業(yè)鏈新產(chǎn)品、新技術(shù)、新成就，擴(kuò)大內(nèi)外市場、促進(jìn)交流合作．打造農(nóng)、食、餐、飲產(chǎn)品主題特色展覽展示盛會．展會上，某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產(chǎn)每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元．由于受有關(guān)條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸．（1）若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？（2）求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤．【變式1】（23-24八年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）在期中考試總結(jié)會議上，學(xué)校決定購買A，B兩種獎品共120件，對表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行獎勵．已知A種獎品的價格為32元/件，B種獎品的價格為15元/件．（1）請直接寫出購買兩種獎品的總費(fèi)用y（元）與購買A種獎品的數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式；（2）當(dāng)購買了30件A種獎品時，總費(fèi)用是多少元？（3）若購買的A種獎品不多于50件，則總費(fèi)用最多是多少元？【變式2】（23-24八年級下·河北唐山·期末）某商場計劃購進(jìn)兩種服裝共100件，甲種服裝進(jìn)價160元/件，售價元/件；乙種服裝進(jìn)價元/件，售價160元/件．設(shè)購進(jìn)甲種服裝件，兩種服裝全部售完，商場獲利最大利潤為4950元，則的值為．(其中)【題型3】一次函數(shù)與幾何問題【例3】（24-25九年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）如圖①，一次函數(shù)的圖象分別交軸、軸于點(diǎn)A，B，正比例函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)．（1）求的值并直接寫出正比例函數(shù)的解析式；（2）如圖②，點(diǎn)在線段上，且與點(diǎn)O，C不重合，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．若是直線上的一點(diǎn)，的面積為面積的3倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式1】（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·三模）如圖，從光源發(fā)出的一束光，遇到平面鏡（軸）上的點(diǎn)后，反射光線交軸于點(diǎn)，若光線滿足的函數(shù)關(guān)系式為：，則的值為（）A． B． C．1 D．﹣1【變式2】（24-25九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）一次函數(shù)的圖象交軸、軸分別于點(diǎn)，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若是上一動點(diǎn)．當(dāng)周長最小時，的坐標(biāo)是．【題型4】一次函數(shù)與行程問題【例4】（23-24八年級下·河南信陽·期末）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現(xiàn)有兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費(fèi)（元）與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費(fèi)方式對應(yīng)，品牌的收費(fèi)方式對應(yīng)，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）說出圖中函數(shù)交點(diǎn)表示的實(shí)際意義；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇______品牌共享電動車更省錢？（填“”或“”）【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某中學(xué)在體育課中加強(qiáng)了學(xué)生的長跑訓(xùn)練．在一次女子800米耐力測試中，小靜和小茜在校園內(nèi)400米的環(huán)形跑道上同時起跑，同時到達(dá)終點(diǎn)．所跑的路程s（米）與所用的時間t（秒）之間的函數(shù)圖象如圖所示，則她們第一次相遇的時間是起跑后的第（

）A．80秒 B．105秒 C．120秒 D．150秒【變式2】（23-24八年級下·全國·單元測試）摩托車甲、汽車乙從相距的A、B兩地相向而行，圖中、分別表示甲、乙兩車離A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時，汽車乙離A地的距離不小于摩托車甲離A地的距離的時間范圍是．【題型5】利用一次函數(shù)解決其他問題【例5】（23-24八年級下·全國·期末）為預(yù)防流行病毒，某校對教室進(jìn)行消毒．設(shè)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量為，從開始消毒計時為（分鐘）．前10分鐘為藥物釋放階段，與成正比例關(guān)系；10分鐘以后，與成一次函數(shù)關(guān)系，測得10分鐘時，室內(nèi)含藥量為；30分鐘時，室內(nèi)含藥量為．根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每立方米空氣中含藥量不低于持續(xù)40分鐘消毒才有效，此次消毒是否有效？【變式1】（24-25九年級上·北京·開學(xué)考試）小明同學(xué)在一次學(xué)科綜合實(shí)踐活動中發(fā)現(xiàn)，某品牌鞋子的長度與鞋子的碼數(shù)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表給出與的一些對應(yīng)值：根據(jù)小明的數(shù)據(jù)，可以得出該品牌38碼鞋子的長度為（

）碼數(shù)x26303442長度y18202226A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級下·湖南長沙·期末）某醫(yī)院研究所開發(fā)了一種新藥，在實(shí)驗(yàn)藥效時發(fā)現(xiàn)：如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中含藥量y（微克）隨時間x（小時）的變化情況如圖所示，如果每毫升血液中的含藥量3微克或3微克以上時，治療疾病最有效，那么這個最有效的時間共有小時．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】【題型6】直通中考【例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）領(lǐng)航無人機(jī)表演團(tuán)隊(duì)進(jìn)行無人機(jī)表演訓(xùn)練，甲無人機(jī)以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機(jī)從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機(jī)同時勻速上升，6秒時甲無人機(jī)到達(dá)訓(xùn)練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲、乙無人機(jī)按照訓(xùn)練計劃準(zhǔn)時到達(dá)距離地面的高度為96米時，進(jìn)行了時長為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機(jī)所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機(jī)飛行的時間x(秒)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請結(jié)合圖象解答下列問題：（1）(1)______米/秒，______秒；（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（3）兩架無人機(jī)表演訓(xùn)練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購進(jìn)甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價和售價如表所示：水果種類進(jìn)價（元/千克）售價（元/千克）甲22乙25該超市購進(jìn)甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進(jìn)甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．（1）求的值；（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種水果共150千克進(jìn)行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于50千克，且不大于120千克．實(shí)際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當(dāng)天銷售完這兩種水果獲得的利潤（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進(jìn)貨方案以及最大利潤．【題型7】拓展延伸【例1】．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【例2】（2023·江蘇蘇州·中考真題）某動力科學(xué)研究院實(shí)驗(yàn)基地內(nèi)裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點(diǎn)重