2024-2025學(xué)年浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：絕對值的化簡7大壓軸題（解析版）

絕對值的化簡

目錄

解題知識必備....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、根據(jù)數(shù)軸位置化簡絕對值................................................................2

類型二、根據(jù)字母取值范圍化簡求值..............................................................3

類型三、利用非負(fù)性化簡絕對值..................................................................4

類型四、定義新運算的絕對值化簡................................................................5

類型五、絕對值方程.............................................................................7

類型六、分類討論化簡絕對值....................................................................9

類型七、幾何意義的絕對值化簡.................................................................11

壓軸能力測評...................................................................15

X解題知識必備8

1.絕對值的意義

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做。的絕對值，記作時.

2.絕對值的性質(zhì)

a,a>0

絕對值表示的是點到原點的距離，故有非負(fù)性同NO,即：同=0,4=0.

-a,a<0

互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等.

3.絕對值與數(shù)的大小

1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù).

2）理解：絕對值是指距離原點的距離.

所以：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。粌蓚€正數(shù)，絕對值大的大.

??壓軸題型講練”

類型一、根據(jù)數(shù)軸位置化簡絕對值

例1.如圖，將實數(shù)a、6表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是()

-----1--------1---1----->

a0b

A.\a\=aB.\b\=—bC.\b-a\=b-aD.\a+b\=ab

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)軸上點的特點；熟練掌握絕對值的意義和數(shù)軸上點的特征是解題的關(guān)鍵.

a<0,b>0,\a\>\b\,^\b-a>0,a+b<0,；結(jié)合選項即可求解.

【詳解】解：從圖可知avo,6>o,\a\>\b\

：.b-a>0,a+b<0,\a\=—a,網(wǎng)=b,故A、B錯誤；

??\b-a\=b—a,\a+b\=—a—b,故C正確，D錯誤，

故選C.

變式有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+c|—|a-b|—

]___?__?___?.

abQc

【答案】-2c

【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸上的點判斷式子的正負(fù)、化簡絕對值，由數(shù)軸得出a<b<0<c,|b|<|c|<

|a|,從而得到a+c<0,a-b<0,c-b>0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：a<b<0<c,|b|<|c|<|a|,

???a+c<0,a—b<0,c—b>0,

|a+c|—|a—b|—|c—b|

=-a—c+(a—b)—(c—b)

=-a—c+a—b—c+b

=-2c.

變式1-2.已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c|+|b-c|—|a—b|+2b.

I1I_____I>

baQc

【答案】2c+2b

【分析】

此題考查絕對值，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸和絕對值化簡解答.先根據(jù)各點在數(shù)軸上的位置，確定它們所表示的數(shù)

的和的大小關(guān)系，再根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷正負(fù)，利用絕對值的意義化去絕對值符號，加減得結(jié)論.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：c>0>a>b,

???a+c>0,b—c<0,a—b>0,

???|a+c|+|b-c|-|a-b|+2b=a+c+c-b-(a-b)+2b

=a+c+c—b—a+b+2b

=2c+2b.

類型二、根據(jù)字母取值范圍化簡求值

例2.已知9WaW10,3<b<4,代數(shù)式|x—a|+的最小值為.

【答案】5

【分析】本題考查絕對值的幾何意義，理解|x—a|+|x—b|的幾何意義是數(shù)軸上一點到點a和點b的距離之和

是解題關(guān)鍵.

根據(jù)|x—a|+|x—b|的幾何意義是數(shù)軸上一點到點a和點b的距離之和，結(jié)合9<a<10,3<b<4計算求

值.

【詳解】解：|x—a|+|x—b|的幾何意義是數(shù)軸上一點到點a和點b的距離之和，

???9<a<10,3<b<4,

.?.當(dāng)4<x<9時，|x-a|+|x-b|的最小是9-4=5,

故答案為：5.

變式2-1.若3<a<10,那么|3—可+|a—10|=.

【答案】7

【分析】首先根據(jù)a的取值范圍確定3—a和a-10的符號，然后去絕對值計算即可.

【詳解】解：???3<a<10,

3—a<0,a—10<0,

?e?|3—a|+|a-10|=a—3+10—a=7,

故答案為:7.

【點睛】本題考查了絕對值的知識，解題關(guān)鍵是確定絕對值里面的代數(shù)式的符號.

變式2-2.已知有理數(shù)a<—1,則化簡|a+l|+|l—可的結(jié)果是.

【答案】-2a

【分析】先根據(jù)已知條件判斷每個絕對值里邊的代數(shù)式的值是大于0還是小于0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉

絕對值符號，最后去括號，合并同類項即可.

【詳解】

???a+1<0,1-a>0,

|a+11+11-a|

=(-a-1)+(1-a)

=-a-1+1-a

=-2a,

故答案為：-2a.

【點睛】本題考查了絕對值和相反數(shù)的性質(zhì)，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕

對值還是0,掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

類型三、利用非負(fù)性化簡絕對值

例3.若〃、b、c是整數(shù)，且+c|=1,則|Q—c|=.

【答案】1

【分析】本題考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的非負(fù)性，以及采用分類討論的思想，根據(jù)絕

對值的非負(fù)性以及題意，可知當(dāng)|a+b|=0時，則|b+c|=L當(dāng)|a+b|=l時，則|b+c|=0,分類討論計

算即可.

【詳解】解：??F、b、c是整數(shù)，

a+b,b+c是整數(shù)，

v|a+b|+|b+c|=1,

又??,|a+b|>0,|b+c|>0,

???|a+b|=0時,則|b+c|=1或|a+b|=1時，則|b+c|=0,

???當(dāng)a+b=0,b+c=1時，

則a=—b,c=1—b,

|a—c|=|—b—1+b|=1；

當(dāng)a+b=0,b+c=—1時，

則a=—b,c=—1—b,

|a—c|=|—b+1+b|=1；

???當(dāng)a+b=1,b+c=0時，

則a=1—b,c=—b,

|a—c|=|1—b+b|=1

???當(dāng)a+b=—1,b+c=0時，

則a=—1—b,c=—b,

*',|a_c|=|-1-b+b|=1,

綜上可得：|a—c|=1,

故答案為：1.

變式3?1.已知整數(shù)％、y、z滿足—+憶一％|3=i,則|%—z|一憶一yl—|y—的值為.

【答案】0或—2

【分析】本題考查了絕對值的意義，整數(shù)的意義，分類計算即可.

【詳解】vlx-yl2+|z-x|3=1,且整數(shù)x、y、z,

.,.x—y=0,z—x=1或x—y=l,z—x=0,或x—y=—l,z—x=0

???|x-z|—|z—y|—|y—x|=1-1-0=0；

或|x一z|一|z—y|一|y—x|=0—1—1=-2；

或|x一z|一|z—y|一|y—x|=0—1—1=—2；

綜上，|x—2|一憶一丫|一卜一乂|的值為0或一2.

故答案為：0或—2.

變式3?2.已知m,幾，p為有理數(shù)，若|zn—7i+p|=瓶+九+p,且九。0,則|租+幾+p+4|—|—2—川的

值為.

【答案】2

【分析】由題意得m+p=0,n>0,得|m+n+p+4|—|—2—n|=n+4—2—n=2.

【詳解】解：|m—n+p|=m+n+p,且nW0,

m+p=0,|—n|=n>0,

m+n+p+4=n+4>0,—2—n<0,

???|m+n+p+4|—|-2—n|=n+4—(2+n)=n+4—2—n=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查了絕對值性質(zhì)的應(yīng)用能力，解題關(guān)鍵是根據(jù)絕對值性質(zhì)的得出m+p=0,

|—n|=n>0,從而得出m+n+p+4=n+4>0,—2—n<0.

類型四、定義新運算的絕對值化簡

例4.數(shù)形結(jié)合是解決一些數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，比如,1—亞|在數(shù)軸上表示數(shù)尤I，*2對應(yīng)的點之間的

距離.現(xiàn)定義一種“以運算”，對于若干個數(shù)，先將每兩個數(shù)作差，再將這些差的絕對值進(jìn)行求和.例如：對

-1,1,2進(jìn)行“H運算”，得|一1一1|+|一1一2|+|1-2|=6.下列說法：

①對—1進(jìn)行“H運算”的結(jié)果是3,則小的值是一4；

②對九，-3,5進(jìn)行“H運算”的結(jié)果是16,則ri的取值范圍是一3<n<5；

③對a,a,b,c進(jìn)行“H運算”，化簡后的結(jié)果可能存在6種不同的表達(dá)式.

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值的意義及化簡，根據(jù)“H運算”的定義及絕對值的性質(zhì)逐項運算即可判斷求解，掌

握絕對值的意義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①???對m,—1進(jìn)行“H運算”的結(jié)果是3,

???|m+1|=3,

???m=2或m=-4,故①錯誤；

②?.?對n,—3,5進(jìn)行“H運算”的結(jié)果是16,

.'.|n-(-3)|+|n—5|+|—3—5|=16,

?■?|n—(—3)|+|n—5|=8,

即數(shù)n對應(yīng)的點到一3和5對應(yīng)的點的距離之和等于8,

?■?5-(-3)=8,

.?.數(shù)n在—3和5之間，且可以和一3、5重合,

.■--3<n<5,故②錯誤；

③對a,a,b,c進(jìn)行“H運算”得，

|a—a|+|a—b|+|a—c|+|a—b|+|a—c|+|b—c|=2|a—b|+2|a—c|+|b—c|,

當(dāng)a>b>c時,原式—2a—2b+2a—2c+b—c—4a—b—3c；

當(dāng)a>c>b時,原式—2a—2b+2a—2c+c—b=4a—3b—c；

當(dāng)b>a>c時,原式—2b—2a+2a—2c+b—c=3b—3c；

當(dāng)b>c>a時,原式—2b—2a+2c—2a+b—c=—4a+3b+c；

當(dāng)c>a>b時,原式——2a—2b+2c—2a+c—b———3b+3c；

當(dāng)c>b>a時,原式2b—2a+2c—2a+c—b=—4a+b+3c；

???化簡后的結(jié)果可能存在6種不同的表達(dá)式，故③正確;

???正確的個數(shù)是1個,

故選：B.

變式4-1.在多項式a—b—c—d(a<6<c<d<0)中，先將其中任意兩個減號變?yōu)榧犹?，再對相鄰的?/p>

個字母間任意添加絕對值符號(不存在添加雙重絕對值的情況)，然后進(jìn)行去絕對值運算，稱此為“雙加絕

對操作”，例如：\a-b\+c+d=-a+b+c+d,|a+—|c+磯=—a—b+c+d…下列說法中正確的

有()

①存在“雙加絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

②存在“雙加絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；

③所有“雙加絕對操作”共有7種不同的結(jié)果.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】本題考查了化簡絕對值.熟練掌握化簡絕對值是解題的關(guān)鍵.

由題意知,a—b—c—d(a<b<c<d<0)先將其中任意兩個減號變?yōu)榧犹?，有a+b+c—d,a+b—c+d,

a-b+c+d,然后進(jìn)行“雙加絕對操作”，化簡絕對值，進(jìn)行判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，a—b—c—d(a<b<c<d<0)先將其中任意兩個減號變?yōu)榧犹枺?/p>

a+b+c—d,a+b—c+d,a—b+c+d,

①a+b+c—d"雙加絕對操作"后|a+b|+c—d=—a—b+c—d,|a+b|+|c—d|=—a—b—c+d,

a+|b+c|—d=a—b—c—d,a+b+|c—d|=a+b—c+d；

②a+b—c+d"雙加絕對操作”后|a4-b|—c+d=—a—b—c+d,|a+b|—|c4-d|=—a—b+c+d,

a+|b—c|+d=a—b+c+d,a+b—|c+d|=a+b+c+d；

③a—b+c+d”雙加絕對操作"后|a-b|+c+d=-a+b+c+d,|a-b|+|c4-d|=-a+b-c-d,

a—|b+c|+d=a+b+c+d,a—b+|c+d|=a—b—c—d；

當(dāng)a+|b+c|—d=a—b—c—d時，運算結(jié)果與原多項式相等，①正確，故符合要求；

當(dāng)|a—b|+c+d=—a+b+c+d時，其運算結(jié)果與原多項式之和為0,②正確，故符合要求；

所有“雙加絕對操作”共有9種不同的結(jié)果，③錯誤，故不符合要求；

故選：C.

變式4-2.在多項式a—b+c—d+e（其中a>b>c>d>e>0）中，任意添加絕對值符號且絕對值符號

內(nèi)至少包含兩項（不可絕對值符號中含有絕對值符號），添加絕對值符號后仍只有加減法運算，然后進(jìn)行去

絕對值符號運算，稱此運算為“對絕操作\a-b+c\+\-d+e\=a-b+c+d-e,a-b+\c-d\

+e=a—b+c—d+e...,下列說法正確的個數(shù)是（）

①存在，，對絕操作，,，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；

②共有8種“對絕操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

③所有的“對絕操作”共有7種不同運算結(jié)果.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查新定義題型及絕對值計算和分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)題目所給的定義，舉出符合條件

的代數(shù)式進(jìn)行情況討論求解即可得到答案

【詳解】解：由題意可得，

va>b>c>d>e>0,

??.a去絕對值操作后還是它本身，

二不存在“對絕操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0,故①錯誤，

存在|a—b+c—d+e|,|a—b|+c—d+e,a—b+|c—d+e|,a—b+|c—d|+e,|a—b+c|—d+e,

|a—b+c—d|+e,|a-b|+|c—d|+e,|a—b|+|c—d+e|8種情況使其運算結(jié)果與原多項式相等，故②

正確，

總共有：a—b+c—d+e,a+b—c—d+e,a—b+c+d—e,a+b—c+d—e,a+b—c+d+e,

a—b+c+d—e6種結(jié)果，故③錯誤，

B故選:.

類型五、絕對值方程

例5.適合|3a+7|+|3a—5|=12的整數(shù)a的值有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題考查解絕對值方程，|3a+7|+|3a-5|可理解為3a到一7和5的距離的和，由此可得出3a的值，

進(jìn)而可得出答案.

【詳解】解：|3a+7|+|3a-5|=|3a-（-7）|+|3a-5|=12,

該方程表示3a到一7和5的距離的和為12,

5—(—7)=5+7=12,

—7V3a<5?

二整數(shù)a的值有-2,-1,0,1,共4個，

故選C.

變式5-1.若方程|x+2|+|—%—4|=小無解，則加的取值范圍是()

A.m>2B.m>2C.—4<m<—2D.m<2

【答案】D

【分析】本題主要考查了絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是注意分類討論.分三種情況：當(dāng)x<-4時，當(dāng)

—4WxW—2時，當(dāng)x>—2時，分別求出m的范圍，即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)x<—4時，原方程可變?yōu)椋阂粁—2—x—4=m,

即m=—2x—6,

;此時—2x—6>2,

.,.當(dāng)mW2時，方程無解；

當(dāng)一4WXM—2時，原方程可變?yōu)椋?x—2+x+4=m,

即m=2,

二當(dāng)m力2時,方程無解；

當(dāng)x>—2時，原方程可變?yōu)椋簒+2+x+4=m,

即m=2x+6,

:此時m>2,

二當(dāng)mW2時，方程無解；

綜上分析可知：當(dāng)m<2時，方程無解；

故選：D.

變式5-2.若關(guān)于x的方程|x—3|—比一5|=a有唯一解，貝必的取值范圍是.

【答案】-2WaW2

【分析】分別討論當(dāng)x>5時，當(dāng)x<3時，當(dāng)3WxW5時，方程的解的情況，然后找到符合題意的的情況進(jìn)

行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)x>5時，

?-,|x—3|—|x—5|=a,

??.X—3—(x—5)=a,即a=—8,

此時方程有無數(shù)解，不符合題意；

當(dāng)x<3時，

?-?|x—3|—|x—5|=a,

:3一x—(5—x)=a,BPa——2,

此時方程有無數(shù)解，不符合題意；

當(dāng)3WxW5時,

??,|x—3|—|x—5|=a,

???x-3-(5-x)=a,即x=等，

此時方程有唯一解，符合題意；

??.3W等W5,

解得一2<a<2,

故答案為：-2WaW2.

【點睛】本題主要考查了絕對值方程，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意討論x的取值范圍進(jìn)行去絕對值進(jìn)行

求解.

變式5-3.已知a,6,c都為整數(shù),K|a-d|2012+|c-a|2013=1,則方程因=x+|a—b|+|a—c|+—c|

的解為.

【答案】x=-l

【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，代數(shù)式求值，絕對值方程，根據(jù)題意得到|a—b|=0,|c—a|=l或

|a—b|=1,|c—a|=0,分了討論|b—c|的值，再代入|x|=x+|a—b|+|a—c|+|b—c|中求解絕對值方

程即可.

【詳解】解：由題意，|a—b|=0,|c-a|=1或|a—b|=1,|c-a|=0,

當(dāng)|a—b|=0,|c—a|=l時，貝!|a=b,c—a=1,

b—c=-1,BP|b—c|=1

-,-|a—b|+|a—c|+|b—c|=2,

當(dāng)|a—b|=L|c—a|=0時，貝!Ja-b=±l,c=a,

b—c=±1,即|b—c|=l,

??-|a—b|+|a—c|+|b—c|=2,

|x|=x4-2,

解得x=-1.

類型六、分類討論化簡絕對值

例6.若1<尤<2,求代數(shù)式區(qū)I1—爐+螞=

【答案】1

【分析】本題考查了絕對值的定義，代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的定義.根據(jù)絕對值的定義求解即

可.

【詳解】解：???1<X<2,

x—2<0,x—1>0,x>0,

|x—2|——(x—2)>|x-1|=x—1,|x|-x,

|x-2|Ix-lljxl

x—21—xx

—(x—2)x—1x

=----------------------F—

x—21—xx

=-1+1+1

=1,

故答案為：1

變式6-1.已知a為任意有理數(shù)，則|Q+3|+3|a+5|+2|q—71的最小值為.

【答案】26

【分析】|a+3|+3|a+5|+2|a—7|表示a到一3距離加上3倍a到—5的距離再加上2倍a到7的距離，由此可得

a在aV—5,—5<a<—3,—3<a<7,a>7的范圍內(nèi)分別求代數(shù)式的值，比較即可求解.

【詳解】解：當(dāng)aV-5時，

|a+3|+3|a+5|+2|a—7|

=-a—3+3(—a—5)+2(7—a)

=—a—3—3a—15+14—2a

=—6a—4>26；

當(dāng)一54a工一3時，

|a+31+3|a+51+21a—71

=-a—3+3(a+5)+2(7-a)

=-a—3+3a+15+14—2a

=26；

當(dāng)一3Va<7時，

|a+31+3|a+51+21a—71

=a+3+3(a+5)+2(7—a)

=a+3+3a+15+14—2a

=2a+32>26；

當(dāng)a>7時,

|a+3|+3|a+5|+2|a-7|

=a+3+3(a+5)+2(a—7)

=a+3+3a+15+2a—14

=6a+4>46；

故答案為：26

【點睛】本題考查了數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)，理解數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關(guān)鍵.

變式6-2.若ab力。，a+b^O,則㈣+塔+怨+怨=

ababa+b-----

【答案】-2或0或4

【分析】對a和b,以及a+b的正負(fù)進(jìn)行分類討論，然后去絕對值求出對應(yīng)的值.

【詳解】解：①當(dāng)a>0,b>0時，ab>0,a+b>0,

原式=；+?+*+冬=1+1+1+1=4；

②當(dāng)aV0,bV0時，ab>0,a+b<0,

原式=T+?+M+—(a+b)=-1-1+1-1=-2；

a+b

③當(dāng)a>0,b<0,且a+b>0時，ab<0,

原式=；+m+F+當(dāng)=1—I—1+1=0；

④當(dāng)a>0,b<0,且a+b<0時，ab<0,

原式=?+x+一(a+b)

a+b

⑤當(dāng)a〈0,b>0,且a+b>0時，ab<0,

原式=9+2+彳+當(dāng)=—1+1—1+1=0；

⑥當(dāng)aVO,b>0,且a+b<0時，ab<0,

-a一

e#,b,-ab,(a+b)=-l+l-l-l=-2.

原式="+N+』T+a+b

故答案是：-2或0或4.

【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想去化簡絕對值.

類型七、幾何意義的絕對值化簡

例7.數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的

內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).我們知道，|可可以理解為|a—。］,它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點

的距離，這是絕對值的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個點2、B,分別用數(shù)a、b表示，那么4B兩點之

間的距離為AB=|a—川，反過來，式子|a-加的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點和表示數(shù)b的點之間的距

離.

若數(shù)軸上點4表示數(shù)a,請回答下列問題：

(1)如果|a|=5,那么a的值是；

(2)如果|a—3|=5,那么a的值是；

(3)滿足|a+2|+|a—3|=5整數(shù)a有個；

(4)如果|a+2|+|a-3|=8,那么a的值是；

(5)|a+l|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的最小值是.

【答案】⑴±5；

⑵—2或8；

(3)6；

(4)—3.5或4.5；

⑸6.

【分析】(1)根據(jù)絕對值的定義求解可得；

(2)根據(jù)絕對值的定義求解可得；

(3)根據(jù)絕對值的幾何意義可知，-2WaW3時，求出符合條件a的值即可；

(4)根據(jù)絕對值的幾何意義進(jìn)行當(dāng)a<-2時和a>3時兩種情況討論即可；

(5)表示數(shù)軸上到表示-1、-2、-3、-4、-5的點的距離之和，根據(jù)兩點之間線段最短和絕對值的幾

何意義可知，當(dāng)x=-3時值最小，然后去掉絕對值符號，再利用求和公式列式計算即可得解；

本題考查絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的意義和性質(zhì)，逐步探索變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解:若|a|=5,那么a的值為5或-5,

故答案為：士5；

(2):|a—3|=5,

a—3—5a—3——5,

???a=8或—2,

故答案為：—2或8；

(3)T|a+2|+|a—3|=5,且3—(—2)=5

—2<aV3.

??,a是整數(shù)，

??.a的值有-2,-1,0,1,2,3,共6個，

故答案為:6；

(4)由(3)可得①當(dāng)一2WaW3時，|a+2|+|a-3|=5,不符合題意；

②)當(dāng)a<—2時,—a—2—a+3=8,解得：a=—3.5；

③當(dāng)a>3時，a+2+a—3=8,解得：a=4.5；

故答案為：一3.5或4.5；

(5)r|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5]的中間一項是|a+3|,

?■.a=—3時，

原式有最小值，|a+l|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|=2+1+0+1+2=6,

故答案為：6.

變式7-1.同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所

對應(yīng)的兩點之間的距離.

試探索：

(1)求[5—(—2)|=.

(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|久+5|+|%-2|=7這樣的整數(shù)是.

(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x,|x+3|+|x—6|是否有最小值？如果有寫出最小值(請寫清楚過程),

如果沒有說明理由.

【答案】⑴7；

⑵一5、一4、一3、一2、-1、0、1、2；

(3)有最小值，最小值是9.

【分析】本題考查了數(shù)軸與絕對值，數(shù)軸上兩點間的距離，理解用絕對值表示兩點間的距離是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；

(2)由|x+5|+|x—2|=|x-(-5)|+|x—2|可得|x+5|+|x-2|表示x到一5的距離與x到2的距離之和,

根據(jù)2-(-5)=7即可得至ijx一定在一5至|2之間，進(jìn)而可求解；

(3)由|x+3|+|x—6|=|x-(-3)|+-一6|可得慎+3|+|x—6|表示的是x到一3的距離與x到6的距離之

和，進(jìn)而可得當(dāng)x位于-3和6之間時，|x—(―3)|+|x—6|的值最小，即為-3到6的距離,即可求解；

【詳解】(1)解：|5-(-2)|=|5+2|=7,

故答案為:7；

(2)解：?；|x+5|+|x—2|=|x—(—5)|+|x-2|,

.?.|x+5|+|x-2|表示x到一5的距離與x到2的距離之和，

???2-(-5)=7,

??.x一定在一5到2之間，

.?.符合條件的整數(shù)x有一5、一4、一3、一2、一1、0、1、2,

故答案為：—5、—4、—3、—2、—1、0、1、2；

(3)解：|x+3|+|x—6|有最小值，最小值是9.

理由如下：

"|x+3|+|x-6|=|x—(―3)|+|x—6|?

.?.|x+3|+|x-6|表示的是x到一3的距離與x到6的距離之和，

當(dāng)x位于一3和6之間時，|x—(―3)|+|x—6|的值最小，即為一3到6的距離，

二|x+3|+|x—6|有最小值為6—(―3)=9.

變式7-2.數(shù)學(xué)實驗室：定義：點4、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4B兩點之間的距離表示為4B,在

數(shù)軸上4、B兩點之間的距離48=\a-b\

AB

—1---------1----------------------L——

a0b

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示1和一4的兩點之間的距離是；

(2)若x表示一個有理數(shù)，則,一2|+|%+3|的最小值=.

(3)若x表示一個有理數(shù)，且|x++|久—3|=8,則滿足條件的x的值為；

【答案】(1)5

⑵5

(3)—3或5

【分析】(1)本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，利用數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為AB=|a—b|,即可解題.

(2)本題考查去絕對值，根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為AB=|a—b|,理解|x—2|表示x到2之間的距

離，理解|x+3|表示x到一3之間的距離，而|x—2|+|x+3|表示x到2之間的距離和x到一3之間的距離之和,

再分以下三類情況討論，①x<—3,@-3<x<2,③x>2,結(jié)合絕對值的運算法則，即可解題.

(3)本題解法與(2)類似，根據(jù)題干的式子|x+l|+|x—3|=8分x的三類情況，去絕對值即可.

【詳解】(1)解：4—1|=5,

故答案為:5.

(2)解：???|x-2|+|x+3|表示x至U2之間的距離和x到一3之間的距離之和，

①當(dāng)x<—3時，則|x—2|+|x+3|=2—x—x—3=-2x—1,

x<—3,

—2x>6,

?*?—2x—1>5,

②當(dāng)一3WxW2時，則|x—2|+|x+3|=2—x+x+3=5,

③當(dāng)x>2時，則|x—2|+|x+3|=x—2+x+3=2x+l,

x>2,

???2x>4,

2x+1>5,

綜上所述，|x—2|+|x+3|的最小值為5.

故答案為:5.

(3)解:|x+1|+|x—3|=8表示x到一1之間的距離和x到3之間的距離之和等于8,

①當(dāng)X<—1時，貝U|x++|x—3|=—X—1—x+3=—2x+2,

—2x+2=8,解得x——3,

②當(dāng)一1WxW3時，貝!J|x+1|+|x—3|=x+l—x+3=4,

???478,

???x不能取—1WxW3,

③當(dāng)x>3時，貝1］區(qū)+1|+恒_3|=*+1+*—3=2*—2,

2x—2=8,解得x=5，

綜上所述，當(dāng)|x++|x—3|=8時，x=—3或x=5.

故答案為：-3或5.

??壓軸能力測評??

1.在多項式a+b+c+d中添加1個絕對值符號，使得絕對值符號內(nèi)含有k(2WkW4)項，并把絕對值符

號內(nèi)最右邊項的“+”改為“一”，稱此為“添加操作”，最后將絕對值符號打開并化簡，得到的結(jié)果記為「例

如：將原多項式添加絕對值符號后，可得|a+b|+c+d,此時k=2.再將“+6”改為“一6"，可得|a—b|

+c+d.于是同一種“添加操作”得到的7有2種可能的情況：T=a-6+c+d或7=-a+b+c+d.下列

說法：①若k=4,7=0,則d=a+6+c；②共有3種“添加操作”，可能得到丁=a+b—c+d；③有且僅

有一個人值，使7中可能有2個“一”，其中正確的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題時注意結(jié)合分類討論是關(guān)鍵.

【詳解】依據(jù)題意，分別分析如下：

①k=4,即T=|a+b+c—d|=0

又0的絕對值是0,

.-.a+b+c—d=0.

.-.a+b+c=d.

二①正確.

②k=2時，T=a+|b-c|+d,則可能T=a+b—c+d,這是一種絕對操作

T=a+b+|c—d|,則可能T=a+b—c+d,這是第二種絕對操作；

k=3時,T=|a+b—c|+d,則可能T=a+b—c+d+e.這是第三種絕對操作，

?,?共有三種絕對操作故②正確：

③k=2時只有1個“一”，k=3時，有2個或1個“一”，k=4時，有3個或1個“一

??.③正確.

故選:D.

2.在a,b,c,d,e,f,g,h中，每個字母的值恰好是一3,0,1這三個數(shù)值中的一個，若

a+b+c+d+e+/+g+h=—2,JH!]|a|+|b|+|c|+|c?|+|e|+\f\+|^|+|/i|—.

【答案】4或10

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是分析判斷5個字母的值的和為0時，這5個字母

可能是什么數(shù).根據(jù)已知條件a,b,c,d,e,f,g,h中，每個字母的值恰好是一3,0,1這三個數(shù)值中的一個，

a+b+c+d+e+f+g+h=—2,求出其中5個字母的值的和為0,進(jìn)行推導(dǎo)即可.

【詳解】解：；413,(;石?￡記,11中，每個字母的值恰好是一3,0,1這三個數(shù)值中的一個，

a+b+c+d+e+f+g+h=-2,—3+0+1=—2,

有3個字母的值分別為一3,0,1,另5個字母的值的和為0,

二這5個字母的值分別為:0,0,0,0,0或1,1,1,-3,0,

.??這8個字母的值分別為一3,0,1,1,1,1,-3,0或-3,0,1,0,0,0,0,0,

|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|=|-3|+|0|+|1|+|1|+|1|+|1|+|-3|+|0|,

=3+1+14-1+1+3,

=10；

或|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|=|-3|+|0|+|1|+|0|+|0|+|0|+|0|+|0|

=3+1,

=4；

故答案為：10或4.

3.已知|a|+a=0*=—l,|c|=c,化簡：|a+26|-|c—a|+|—6—a\=..

【答案】-a-3b-c

【分析】先確定a、b、c的正負(fù)，然后再去絕對值，最后化簡求值即可.

【詳解】解：■?■|a|+a=0,^=-l,|c|=c,

.t.a<0,b<0,c>0

???a+2b<0,c-a>0,-b-a>0

???|a+2b|—|c—a|+|—b—a|="(a+2b)-(c-a)+(-b-a)=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c

故答案為-a-3b-c.

【點睛】本題考查了絕對值的相關(guān)知識，牢記非負(fù)數(shù)得絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值為其相反數(shù)，是解

答本題的關(guān)鍵.

4.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：|b|—|c+b|+|b-a尸.

___IIII〉

cb0a

【答案】a—b+c

【詳解】先根據(jù)各點在數(shù)軸上的位置判斷出其符號，再去絕對值符號，合并同類項即可，即可由圖可知，c

<b<0<a,可求c+bVO,b-a<0,因此原式二-b+c十b+a-b=a+c-b.

故答案為a+c-b.

點評：本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項是解答此題的關(guān)鍵.

5.閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：

x(%>0)

0；(x=0)現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，

{—x,(x<0)

如化簡代數(shù)式1%+1|+|%—2|時,可令%+1=0和%-2=0,分別求得%=—1,%=2(稱一1,2分別為+1|

與氏一2|的零點值).在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值％=—1和，％=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如

下3種情況：(2)-1<%<2(3)%>2.從而化簡代數(shù)式|%+1|+|%—2|可分以下3種情況：

(1)當(dāng)久<—1時，原式=—(%+1)—(%—2)=-2%+1；

(2)當(dāng)一14%V2時，原式=%+1—(%—2)=3；

(—2.x+1,(%〈—1),

(3)當(dāng)X之2時，原式=%+1+%—2=2久一1.綜上所述，原式={3,(—1<%<2),

I2%—1,(x>2).

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

(1)分別求出|%+2|和—4|的零點值;

(2)化簡代數(shù)式|久+2|+|%-4|；

(3)求方程：|x+2|+|x—引=6的整數(shù)解；

【答案】(l)x=—2和x=4

(2)見解析

(3)-2,-1,0,1,2,3,4

【分析】本題考查了絕對值的化簡，解題關(guān)鍵是“分類討論思想”.

(1)由x+2=0,x—4=0即可求解.

(2)分三種情況討論當(dāng)x<—2時，當(dāng)一2Wx<4時，當(dāng)x24時化簡即可.

(3)根據(jù)(2)中化簡結(jié)果即可求解.

【詳解】(1)解：???醫(yī)+2|=0和區(qū)一4|=0

???x+2=0,x—4=0

???x=—2和x=4.

(2)當(dāng)xV—2時,|x+21+|x—4|=-2x+2；

當(dāng)一2<x<4時，|x+2|+|x-4|=6；

當(dāng)x>4時，|x+2|+|x-4|=2x—2.

(3),.>|x+2|+|x—4|=6,

???—2<x<4,

整數(shù)解為：—2,—1,0,1,234.

6.(1)探索材料(填空)：

數(shù)軸上表示數(shù)冽和數(shù)〃的兩點之間的距離等于|加一九|.例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點距離為|2—5|=3；

__?________?_____

AB

圖1

]________I_______I____

ABC

圖2

IIII

ABCD

圖3

①數(shù)軸上表示數(shù)3和一1的兩點距離為|3—(—1)|=_；

②則|尤+4]的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)_和_這兩點的距離.

(2)實際應(yīng)用(填空)：

①如圖1,在工廠的一條流水線上有兩個加工點/和8,要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點尸往兩個加工點

輸送材料一才能使P到A的距離與P到B的距離之和最?。?/p>

②如圖2,在工廠的一條流水線上有三個加工點B,C,要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往三個加工

點輸送材料.才能使尸到B,C三點的距離之和最?。?/p>

③如圖3,在工廠的一條流水線上有四個加工點B,C,D,要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點尸往四個

加工點輸送材料.才能使尸到B,C,。四點的距離之和最小.

（3）結(jié)論應(yīng)用（填空）；

①代數(shù)式|x+3|+|x-4|的最小值是_；

②代數(shù)式|x+6|+|%+3|+|x-2|的最小值是「

③代數(shù)式|x+7|+|x+4|+7-2|+|x-5|的最小值是

【答案】（1）①4；②x,-4；（2）①點A、點B之間；②點B；③點B、點C之間；（3）①7；②8；

③18

【分析】（1）①按照化簡絕對值的求法即可；

②|x+4|=|x—（—4）］,根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的意義可知表示哪兩個點之間的距離；

（2）①通過觀察，比較可得點P在點A、B之間時，可使P到A的距離與P到B的距離之和最小，為線段AB長;

②通過觀察，比較可得點P在點B處時，P到A,B,C三點的距離之和最小，為線段AB的長；

③通過觀察，比較可得點P在點B、C之間，才能使P到A,B,C,D四點的距離之和最小，為AD+BC的長；

（3）①結(jié)合（2）中的①，可得最小距離為4和一3之間的距離；

②結(jié)合（2）中的②，可得最小距離為一6和2之間的距離；

③結(jié)合（2）中的③，可得最小距離為一7和5,—4和2的距離之和.

【詳解】解:⑴①|(zhì)3-（―1）|=|3+1|=|4|=4；

故答案為：4；

@v|x+4|=|x-（-4）|,

■?.|x+4］的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)x和一4這兩點的距離；

故答案為：X,-4；

（2）①點P可能在點A的左邊，點A和點B之間，點B的右邊；

當(dāng)點P在點A的左邊或點B的右邊時，PA+PB的長度均大于AB的長度；

當(dāng)點P在點A和點B之間時，PA+PB的長度等于AB的長度.

當(dāng)材料供應(yīng)點P在點A和點B之間時，P到A的距離與P到B的距離之和最小.

故答案為：點A、點B之間；

②當(dāng)點P在點B處時，P到A,B,C三點的距離之和為AB的長度；

當(dāng)點P在除點B外的任意位置時，P到A,B,C三點的距離之和均大于AB的長度.

???材料供應(yīng)點P應(yīng)設(shè)在點B,才能使P到A,B,C三點的距離之和最?。?/p>

故答案為：點B；

③當(dāng)點P在點B、C之間時，P到A,B,C,D四點的距離之和為AD+BC的長度；

當(dāng)點P在除點B、C之間的任意位置時，P到A,B,C,D四點的距離之和均大于AD+BC的長度；

材料供應(yīng)點P應(yīng)設(shè)在點B、C之間，才能使P到A,B,C,D四點的距離之和最??；

故答案為：點B、點C之間；

(3)①|(zhì)x+3|+|x—4|=|x—(―3)|+|x—4|,

x在點一3和4之間.代數(shù)式|x+3|+|x—4|的最小值=4-(-3)=4+3=7；

故答案為：7；

@|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x—(—6)|+|x—(—3)|+|x—2|,

x=-3時.代數(shù)式|x+6|+|x+3|+|x—2|的最小值=2—(—6)=2+6=8；

故答案為：8；

(3)1--|x+7|+|x+4|+|x—21+|x—51—|x—(—7)|+|x—(—4)|+|x—2|+|x—51,

x在2和一4之間，代數(shù)式|x+7|+|x+4|+|x—2|+|x—5|的最小值

=5—(-7)+2—(-4)=12+6=18；

故答案為：18.

【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離的意義；通過數(shù)形結(jié)合，分別得到數(shù)軸上有2個點，3個點，4個點

時，動點P在什么位置，到這幾個點的距離之和最小，并會求最小的距離之和是解決本題的關(guān)鍵.

7.閱讀信息：

信息一：|x—y|的幾何意義是x與y兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離.例如|3—1］的幾何意義是3

與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離.

信息二：對于有理數(shù)a,b,n,d,若|a—2九|+—2n|=d,則稱。和6關(guān)于〃的“雙倍關(guān)系直，為d.例

如，|6-2|+|3-2|=5,則6和3關(guān)于1的“雙倍關(guān)系值”為5.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

⑴一3和5關(guān)于2的“雙倍關(guān)系值”為.

⑵若。和3關(guān)于1的“雙倍關(guān)系值”為4,求。的值；

(3)若劭和的關(guān)于1的“雙倍關(guān)系值”為2,的和a?關(guān)于2的“雙倍關(guān)系值”為