專題03 分式方程（九大類型）（解析版）

第頁(yè)專題03分式方程（九大類型）【題型1分式方程定義】【題型2分式方程的解】【題型3解分式方程】【題型4分式方程的增根】【題型5分式方程應(yīng)用-工程問(wèn)題】【題型6分式方程應(yīng)用-行程問(wèn)題】【題型7分式方程應(yīng)用-銷售問(wèn)題】【題型8分式方程應(yīng)用-方案問(wèn)題】【題型9分式方程應(yīng)用-其他問(wèn)題】【題型1分式方程定義】1．（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）下列式子中是分式方程的是（）A． B． C． D．x2+1＝0【答案】B【解答】解：A、不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意；C、是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)月考）下列方程不是分式方程的是（）A．+x＝2+3x B．＝ C．﹣＝4 D．+＝1【答案】C【解答】解：A、方程分母中含未知數(shù)x，故A是分式方程；B、方程分母中含未知數(shù)x，故B是分式方程；C、方程分母中不含未知數(shù)，故C不是分式方程；D、方程分母中含未知數(shù)x，故D是分式方程；故選：C．3．（2022秋?巴彥縣校級(jí)期末）下列關(guān)于x的方程中，不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符題意；B、分母中不含有未知數(shù)，是整式方程，故本選項(xiàng)符合題意；C、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符題意；D、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符題意．故選：B．4．（2021秋?遜克縣期末）有下列方程：①；②；③；④．屬于分式方程的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【解答】解：①2x+＝10是整式方程，②x﹣＝2是分式方程，③﹣3＝0是分式方程，④+＝0是整式方程，所以，屬于分式方程的有②③．故選：B．【題型2分式方程的解】5．（2023秋?東營(yíng)區(qū)期中）若方程的根為x＝6，則m的值是（）A．0 B．3 C． D．1【答案】C【解答】解：∵方程的根為x＝6，∴將x＝6代入得，，解得．故選：C．6．（2023?槐蔭區(qū)模擬）若關(guān)于x的方程+＝2的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【答案】C【解答】解：原方程化為整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因?yàn)殛P(guān)于x的方程+＝2的解為正數(shù)，可得：，解得：m＜6，因?yàn)閤＝2時(shí)原方程無(wú)解，所以可得，解得：m≠0．故選：C．7．（2022秋?朔城區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故選：A．8．（2023秋?海門市校級(jí)期中）關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)＞﹣1且a≠﹣ C．a(chǎn)≠﹣ D．a(chǎn)＞﹣1且a≠0【答案】B【解答】解：分式方程去分母得：x﹣a＝2x+1，解得：x＝﹣a﹣1，根據(jù)分式方程解為負(fù)數(shù)得：﹣a﹣1＜0且﹣a﹣1≠﹣，解得：a＞﹣1且a≠﹣．故選：B．9．（2023?美蘭區(qū)一模）下列分式方程中，解為x＝﹣1的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，A．中，左邊＝﹣2，右邊＝﹣1，A不符合題意；B．中，x2﹣1＝0，分母等于0，分式無(wú)意義，B不符合題意；C．中，左邊＝﹣1+1＝0＝右邊，C符合題意；D．中，分母x+1＝0，D不符合題意．故選：C．10．（2022秋?南昌期末）若關(guān)于x的分式方程的解為x＝2，則m值為（）A．2 B．0 C．6 D．4【答案】C【解答】解：∵分式方程的解為x＝2，∴，解得m＝6．故選：C．11．（2023春?偃師市校級(jí)期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則k的取值范圍為（）A．﹣3＜k＜0 B．k＞﹣3且k≠﹣1 C．k＞﹣3 D．k＜3且k≠1【答案】B【解答】解：關(guān)于x的分式方程化為整式方程為x﹣3（x﹣1）＝﹣k，解得x＝，∵關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，∴＞0，即k＞﹣3，而分式方程有增根x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，k＝﹣1，∴k的取值范圍為k＞﹣3且k≠﹣1，故選：B．12．（2023春?建平縣期末）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則k的值為（）A． B．k＝1 C．或2 D．k＝0【答案】C【解答】解：，kx+2k﹣1＝2（x﹣1），（2﹣k）x＝2k+1，∵關(guān)于x的分式方程無(wú)解，∴分兩種情況：當(dāng)2﹣k＝0時(shí)，k＝2，當(dāng)x﹣1＝0時(shí)，x＝1，把x＝1代入kx+2k﹣1＝2（x﹣1）中可得：k+2k﹣1＝0，∴k＝，綜上所述：k的值為：2或，故選：C．【題型3解分式方程】13．（2022秋?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）解分式方程：（1）；（2）+1．【答案】（1）x＝；（2）無(wú)解．【解答】解：（1）原方程去分母得：（x+1）2＝x2﹣1+5，整理得：x2+2x+1＝x2﹣1+5，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：2x＝3，系數(shù)化為1得：x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是分式方程的解，故原方程的解為x＝；（2）原方程去分母得：3x＝2x﹣1+3x+3，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：﹣2x＝2，系數(shù)化為1得：x＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣1是分式方程的增根，故原方程無(wú)解．14．（2023秋?東城區(qū)校級(jí)期中）解分式方程：．【答案】x＝3．【解答】解：原方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣2）（2x﹣3），去分母得：2x﹣3＝3（x﹣2），去括號(hào)得：2x﹣3＝3x﹣6，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：﹣x＝﹣3，系數(shù)化為1得：x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入最簡(jiǎn)公分母（x﹣2）（2x﹣3）得：1×3＝3≠0，故x＝3是原方程的解．15．（2023春?歷下區(qū)期中）解方程：（1）．（2）．【答案】（1）x＝4；（2）原方程無(wú)解．【解答】解：（1），方程兩邊都乘x（x+2），得2（x+2）＝3x，解得：x＝4，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4時(shí)，x（x+2）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4；（2），方程兩邊都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原方程無(wú)解．16．（2023秋?東營(yíng)區(qū)期中）解分式方程．（1）；（2）．【答案】（1）x＝3；（2）無(wú)解．【解答】解：（1），解：方程兩邊同乘（4﹣x），得x﹣3﹣4+x＝﹣1，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得2x＝6，解得x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，4﹣x＝4﹣3＝1≠0，所以x＝3是原分式方程的解．（2），解：方程兩邊同乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x＝x+5，去括號(hào)得3x﹣3+6x＝x+5，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得8x＝8，解得x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，原分式方程無(wú)解．17．（2023秋?隆回縣期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝﹣1．（2）x＝0．【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，去括號(hào)得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：2x＝﹣2，系數(shù)化1得：x＝﹣1．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2﹣4＝﹣3≠0，∴分式方程的解為x＝﹣1．（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝1，去括號(hào)得：2x﹣2+3x+3＝1，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：5x＝0，系數(shù)化1得：x＝0．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝0時(shí)，x2﹣1＝﹣1≠0，∴分式方程的解為x＝0．18．（2023秋?昆明期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝5；（2）無(wú)解．【解答】解：（1），x﹣2（x﹣1）＝﹣3，解得：x＝5，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時(shí)，x﹣1≠0，∴x＝5是原方程的根；（2），5（x﹣1）+4x＝x+3，解得：x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x（x﹣1）＝0，∴x＝1是原方程的增根，∴原方程無(wú)解．19．（2023秋?肥城市期中）解方程（1）；（2）．【答案】（1）無(wú)解；（2）x＝6．【解答】解：（1）解：，去分母得：11x﹣22＝﹣3（x﹣2），去括號(hào)，移項(xiàng)得：11x+3x＝6+22，合并同類項(xiàng)得：14x＝28，系數(shù)化為1得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，原方程無(wú)意義，∴原方程無(wú)解．（2）解：，去分母得：x﹣2＝4，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：x＝6，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝6時(shí)，原分式方程有意義，∴原分式方程的解是x＝6．20．（2023秋?樂亭縣期中）已知分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的數(shù)為6，求分式方程的解；（2）小華說(shuō)“我看到答案是原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“▲”代表的數(shù)．【答案】（1）x＝5；（2）原分式方程中“▲”代表的數(shù)為2．【解答】解：（1），方程兩邊同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3，解得：x＝5，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時(shí)，x﹣3≠0，所以x＝5是原分式方程的解；（2）設(shè)▲＝m，，方程兩邊同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3，把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得：m﹣2＝0，解得：m＝2，∴原分式方程中“▲”代表的數(shù)為2．【題型4分式方程的增根】21．（2023秋?來(lái)賓期中）已知關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值為（）A．﹣5 B．2 C．﹣2 D．5【答案】A【解答】解：去分母得：k+5＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+5＝x﹣2得：k+5＝2﹣2，解得：k＝﹣5．故選：A．22．（2023春?秦都區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【答案】D【解答】解：，3﹣（x+m）＝x﹣4，解得：x＝，∵分式方程有增根，∴x＝4，把x＝4代入x＝中得：4＝，解得：m＝﹣1，故選：D．23．（2023春?滕州市期末）已知關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【答案】C【解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故選：C．24．（2023春?碭山縣期末）若分式方程＝2+有增根，則a的值為（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【解答】解：已知方程去分母得：x＝2（x﹣4）+a，解得：x＝8﹣a，由分式方程有增根，得到x＝4，即8﹣a＝4，則a＝4．故選：A．25．（2023春?南明區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵方程有增根，∴當(dāng)x﹣4＝0時(shí)符合題意，即x＝4是方程的增根，∴m+1﹣x＝x﹣4，∴m＝3．故選：D．26．（2023春?通川區(qū)校級(jí)期末）若方程有增根，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【答案】C【解答】解：方程變形得：﹣＝0，去分母得：m﹣x+1＝0，解得：x＝m+1，由方程有增根，得到m+1＝4，即m＝3，則m的值為3．故選：C【題型5分式方程應(yīng)用-工程問(wèn)題】27．（2023春?錦州期末）為了改善錦州的交通狀況，政府投資修建北外環(huán)公路．某筑路工程公司中標(biāo)了一段3000m公路的路基工程，計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間完成．為了向“七，一”獻(xiàn)禮，公司決定加快工程進(jìn)度實(shí)際平均每天完成的工程量是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，那么該筑路工程公司實(shí)際每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【答案】60米．【解答】解：設(shè)該筑路工程公司實(shí)際每天完成路基x米，由題意得：，解得x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60是分式方程的解，答：設(shè)該筑路工程公司實(shí)際每天完成路基60米．28．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）六年1班承擔(dān)了學(xué)校操場(chǎng)的清掃工作，計(jì)劃每天清掃200平方米，30天可以清掃完．（1）若學(xué)校要求25天清掃完，每天應(yīng)清掃多少平方米？（2）若實(shí)際每天清掃的面積比計(jì)劃每天清掃的面積提高了，實(shí)際多少天能清掃完整個(gè)學(xué)校操場(chǎng)？（3）若六年1班按照（2）的速度完成一半時(shí)，學(xué)校要求此計(jì)劃提前8天完成，提速后每天清掃面積是多少平方米？【答案】（1）若學(xué)校要求25天清掃完，每天應(yīng)清掃240平方米；（2）實(shí)際24天能清掃完整個(gè)學(xué)校操場(chǎng)；（3）提速后每天清掃面積是300平方米．【解答】解：（1）設(shè)若學(xué)校要求25天清掃完，每天應(yīng)清掃x平方米，由題意可得：25x＝30×200，解得x＝240，答：若學(xué)校要求25天清掃完，每天應(yīng)清掃240平方米；（2）設(shè)實(shí)際y天能清掃完整個(gè)學(xué)校操場(chǎng)，由題意可得：200（1+）y＝30×200，解得y＝24，答：實(shí)際24天能清掃完整個(gè)學(xué)校操場(chǎng)；（3）設(shè)提速后每天清掃面積是m平方米，由題意可得：+＝30﹣8，解得m＝300，經(jīng)檢驗(yàn)：m＝300是原分式方程的解，答：提速后每天清掃面積是300平方米．29．（2023?南崗區(qū)模擬）盛夏來(lái)臨之際，服裝加工廠甲、乙兩個(gè)車間共同加工一款亞麻休閑裝，且每人每天加工的件數(shù)相同，甲車間比乙車間少10人，甲車間每天加工服裝400件，乙車間每天加工服裝600件．（1）求甲、乙兩車間各有多少人；（2）甲車間更新了設(shè)備，平均每人每天加工的件數(shù)比原來(lái)多了10件，乙車間的加工效率不變，在兩個(gè)車間總?cè)藬?shù)不變的情況下，加工廠計(jì)劃從乙車間調(diào)出一部分人到甲車間，使每天兩個(gè)車間加工的總數(shù)不少于1300件，求至少要從乙車間調(diào)出多少人到甲車間？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)甲車間有x人，乙車間有（x+10）人，由題意得＝，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝20是原分式方程的解，且符合題意，則x+10＝30，答：甲車間有20人，乙車間有30人；（2）設(shè)要從乙車間調(diào)出y人到甲車間，由題意得（20+y）（+10）+（30﹣y）≥1300，解得：y≥10．答：至少要從乙車間調(diào)出10人到甲車間．30．（2023?丹東）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長(zhǎng)度為36米的橋梁進(jìn)行重新改造．為了盡快通車，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了50%，結(jié)果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造多少米？【答案】施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米．【解答】解：設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造x米，根據(jù)題意得：＝+2，解得x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，答：施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米．31．（2022秋?海興縣期末）為了盡快建一條全長(zhǎng)11000米的道路，安排甲乙兩隊(duì)合作完成任務(wù)，最終乙隊(duì)所修的道路比甲隊(duì)所修的道路的兩倍少1000米．（1）甲乙兩隊(duì)各修道路多少米？（2）實(shí)際修建過(guò)程中，乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多20米，最終乙隊(duì)完成任務(wù)時(shí)間是甲隊(duì)完成任務(wù)時(shí)間的倍，乙隊(duì)每天修建道路多少米？【答案】（1）甲隊(duì)修道路4000米，乙隊(duì)修道路7000米；（2）乙隊(duì)每天修建道路70米．【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)修道路x米，則乙隊(duì)修道路（2x﹣1000）米，由題意得：x+2x﹣1000＝11000，解得：x＝4000，則2x﹣1000＝7000，答：甲隊(duì)修道路4000米，乙隊(duì)修道路7000米；（2）設(shè)乙隊(duì)每天修建道路x米，則甲隊(duì)每天修建道路（x﹣20）米，由題意得：＝×，解得：x＝70，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝70是原方程的解，且符合題意，答：乙隊(duì)每天修建道路70米．【題型6分式方程應(yīng)用-行程問(wèn)題】32．（2023秋?延慶區(qū)期中）列方程解應(yīng)用題：小東一家自駕車去某地旅游，手機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)為他們推薦了兩條路線方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽車在方案二行駛的平均速度是在方案一行駛的平均速度的1.8倍，預(yù)計(jì)在方案二行駛的時(shí)間比方案一行駛的時(shí)間少半小時(shí)，求汽車在方案一行駛的平均速度．【答案】汽車在方案一行駛的平均速度為50km/h．【解答】解：設(shè)汽車在方案一行駛的平均速度為xkm/h，則在方案二行駛的平均速度為1.8xkm/h，由題意得：＝+，解得x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的根，答：汽車在方案一行駛的平均速度為50km/h．33．（2023?邗江區(qū)一模）學(xué)校組織學(xué)生到距離為15千米的公園參加露營(yíng)活動(dòng)，一部分同學(xué)騎自行車先走，40分鐘后其余同學(xué)乘坐大巴前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，如果大巴士的平均速度是自行車平均速度的3倍，問(wèn)：大巴士與自行車的平均速度分別是每小時(shí)多少千米？【答案】自行車的平均速度是每小時(shí)15千米，大巴士的平均速度是每小時(shí)45千米．【解答】解：設(shè)自行車的平均速度是每小時(shí)x千米．則大巴士的平均速度是每小時(shí)3x千米．由題意：﹣＝，解得：x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，且符合題意，∴3x＝3×15＝45，答：自行車的平均速度是每小時(shí)15千米，大巴士的平均速度是每小時(shí)45千米．34．（2023秋?肇源縣期中）甲、乙兩城間的鐵路路程為1600千米，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造，列車實(shí)施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/時(shí)，列車從甲城到乙城行駛時(shí)間減少4小時(shí)，這條鐵路在現(xiàn)有條件下安全行駛速度不得超過(guò)140千米/時(shí)，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明在這條鐵路的現(xiàn)有條件下列車是否還可以再次提速．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)提速前的列車速度為xkm/h．則：＝+4．解之得：x＝80．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原方程的解．所以，提速前的列車速度為80km/h．因?yàn)?0+20＝100＜140．所以可以再提速．35．（2023?邗江區(qū)二模）某校甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)以班級(jí)為單位分別乘坐大巴車去某基地參加研學(xué)活動(dòng)，此基地距離該校90千米，甲班的甲車出發(fā)10分鐘后，乙班的乙車才出發(fā)，為了比甲車早到5分鐘，乙車的平均速度是甲車的平均速度的1.2倍，求乙車的平均速度．【答案】乙車的平均速度是72千米/時(shí)．【解答】解：設(shè)甲車的平均速度是x千米/時(shí)，則乙車的平均速度是1.2x千米/時(shí)，根據(jù)題意，得＝+，解得x＝60．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，此時(shí)1.2x＝72．答：乙車的平均速度是72千米/時(shí)．36．（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）小穎乘公共汽車從甲地到相距40千米的乙地辦事，然后乘出租車原路返回，出租車的平均速度比公共汽車多20千米/時(shí)，若小穎回來(lái)路上所花的時(shí)間比去時(shí)所用時(shí)間節(jié)省了，求公共汽車的平均速度．【答案】60千米/時(shí)．【解答】解：設(shè)公共汽車的平均速度為x千米/時(shí)，則出租車的平均速度為（x+20）千米/時(shí)，根據(jù)題意得：×（1﹣）＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是所列方程的解，且符合題意．答：公共汽車的平均速度為60千米/時(shí)．【題型7分式方程應(yīng)用-銷售問(wèn)題】37．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）多多果品店在批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種水果銷售，第一次用1200元購(gòu)進(jìn)若干千克，由于水果暢銷，很快售完，第二次用1430元購(gòu)買了一批水果，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了10%，所購(gòu)買的水果的數(shù)量比第一次多20千克，求第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？【答案】第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克5元．【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克x元，則第二次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克（1+10%）x元，依題意得：﹣＝20，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解，且符合題意，答：第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克5元．38．（2023春?舞鋼市期末）某服裝店老板到廠家選購(gòu)甲、乙兩種品牌的童裝準(zhǔn)備進(jìn)行銷售．每套甲品牌的童裝比乙品牌的童裝進(jìn)價(jià)多25元，用2000元購(gòu)進(jìn)甲種品牌的童裝數(shù)量是用750元購(gòu)進(jìn)的乙種品牌的童裝數(shù)量的2倍．（1）求甲、乙兩種品牌的童裝每套進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若甲品牌童裝每套的售價(jià)為130元，乙品牌童裝每套售價(jià)為95元，服裝店老板去進(jìn)貨時(shí)決定購(gòu)進(jìn)甲品牌的童裝數(shù)量是乙品牌童裝數(shù)量的2倍還多4套，兩種童裝全部售出后要使總利潤(rùn)不少于1230元，至少購(gòu)進(jìn)甲品牌的童裝多少套？【答案】（1）甲品牌每套進(jìn)價(jià)是100元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)75元；（2）至少購(gòu)進(jìn)甲品牌的童裝32套．【解答】解：（1）設(shè)甲品牌每套進(jìn)價(jià)是x元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)（x﹣25）元，根據(jù)題意得，，解得x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的解，100﹣25＝75（元），答：甲品牌每套進(jìn)價(jià)是100元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)75元；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲品牌童裝a套，則購(gòu)進(jìn)乙品牌童裝套，根據(jù)題意得，（130﹣100）a+（95﹣75）×≥1230，解得a≥31.75，答：至少購(gòu)進(jìn)甲品牌的童裝32套．39．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）成都大運(yùn)會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款文創(chuàng)紀(jì)念品，已知A、B兩款紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為30元/個(gè)、25元/個(gè)．（1）網(wǎng)店第一次用1400元購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50個(gè)，求A款紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)的個(gè)數(shù)；（2）大運(yùn)會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把A款紀(jì)念品降價(jià)20%銷售，則降價(jià)后銷售A款紀(jì)念品要獲得銷售額800元，比按照原價(jià)銷售要多賣4個(gè)才能獲得同樣多的銷售額，求A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)．【答案】（1）30個(gè)；（2）50元．【解答】解：（1）設(shè)網(wǎng)店第一次購(gòu)進(jìn)x個(gè)A款紀(jì)念品，則購(gòu)進(jìn)（50﹣x）個(gè)B款紀(jì)念品，根據(jù)題意得：30x+25（50﹣x）＝1400，解得：x＝30．答：網(wǎng)店第一次購(gòu)進(jìn)30個(gè)A款紀(jì)念品；（2）設(shè)A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)為y元，則降價(jià)后的售價(jià)為（1﹣20%）y元，根據(jù)題意得：﹣＝4，解得：y＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝50是所列方程的解，且符合題意．答：A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)為50元．40．（2023春?高陵區(qū)月考）教育部印發(fā)的《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》，將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)，某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A種菜苗比在菜苗基地購(gòu)買的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格．（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元，學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買A，B兩種菜苗共100捆，所花的費(fèi)用不超過(guò)2400元，求在菜苗基地購(gòu)買A種菜苗至少多少捆．【答案】（1）20元；（2）60捆．【解答】解：（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是x元，根據(jù)題意得：﹣＝5，解得x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是20元；（2）設(shè)購(gòu)買A種菜苗m捆，則購(gòu)買B種菜苗（100﹣m）捆，20m+30（100﹣m）≤2400，解得：m≥60，∴所花的費(fèi)用不超過(guò)2400元，在菜苗基地購(gòu)買A種菜苗至少60捆．答：菜苗基地購(gòu)買A種菜苗至少60捆．41．（2023春?渭濱區(qū)期末）疫情防控形勢(shì)下，人們?cè)谕獬鰰r(shí)都應(yīng)戴上口罩以保護(hù)自己免受新型冠狀病毒感染，某藥店用4750元購(gòu)進(jìn)若干包一次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購(gòu)進(jìn)第二批這種口罩，所進(jìn)的包數(shù)比第一批多50%，每包口罩的進(jìn)價(jià)比第一批每包口罩的進(jìn)價(jià)多0.5元，求購(gòu)進(jìn)的第二批醫(yī)用口罩有多少包？【答案】購(gòu)進(jìn)的第二批醫(yī)用口罩有750包．【解答】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有x包，則＝﹣0.5．解得：x＝500．經(jīng)檢驗(yàn)x＝500是原方程的根并符合實(shí)際意義．所以（1+50%）x＝750．答：購(gòu)進(jìn)的第二批醫(yī)用口罩有750包．42．（2023?禪城區(qū)校級(jí)三模）2022年10月16日，習(xí)總書記在第二十次全國(guó)代表大會(huì)上的報(bào)告中提出：“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”．某公司積極響應(yīng)節(jié)能減排號(hào)召，決定采購(gòu)新能源A型和B型兩款汽車，已知每輛A型汽車的進(jìn)價(jià)是每輛B型汽車的進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3000萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A型汽車的數(shù)量比2400萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)B型汽車的數(shù)量少20輛．（1）A型和B型汽車的進(jìn)價(jià)分別為每輛多少萬(wàn)元？（2）該公司決定用不多于3600萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A型和B型汽車共150輛，最多可以購(gòu)買多少輛A型汽車？【答案】（1）A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛30萬(wàn)元，B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛20萬(wàn)元；（2）最多可以購(gòu)買60輛A型汽車．【解答】解：（1）設(shè)B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛x萬(wàn)元，則A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛1.5x萬(wàn)元，依題意得：，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是方程的解，且符合題意，則1.5x＝1.5×20＝30，答：A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛30萬(wàn)元，B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛20萬(wàn)元；（2）設(shè)購(gòu)買輛A型汽車m輛，則購(gòu)買（150﹣m）輛B型汽車，依題意得：30m+20（150﹣m）≤3600，解得：m≤60，答：最多可以購(gòu)買60輛A型汽車．43．（2023?迎澤區(qū)校級(jí)二模）某中學(xué)開學(xué)初在商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的足球，購(gòu)買A品牌足球花費(fèi)了2500元，購(gòu)買B品牌足球花費(fèi)了2000元，且購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是購(gòu)買B品牌足球數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B品牌足球比購(gòu)買一個(gè)A品牌足球多花30元．（1）求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的足球各需多少元；（2）該中學(xué)決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌足球共50個(gè)，恰逢商場(chǎng)對(duì)兩種品牌足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%，B品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售，如果這所中學(xué)此次購(gòu)買A、B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)3060元，那么該中學(xué)此次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌足球？【答案】（1）購(gòu)買一個(gè)A品牌的足球需要50元，購(gòu)買一個(gè)B品牌的足球需要80元；（2）該中學(xué)此次最多可購(gòu)買20個(gè)B品牌足球．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌的足球需要x元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌的足球需要（x+30）元，依題意得：＝2×，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴x+30＝80．答：購(gòu)買一個(gè)A品牌的足球需要50元，購(gòu)買一個(gè)B品牌的足球需要80元．（2）設(shè)該中學(xué)此次可以購(gòu)買m個(gè)B品牌足球，則可以購(gòu)買（50﹣m）個(gè)A品牌足球，依題意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，解得：m≤20．答：該中學(xué)此次最多可購(gòu)買20個(gè)B品牌足球．【題型8分式方程應(yīng)用-方案問(wèn)題】44．（2022秋?廉江市期末）“疫情未結(jié)束，防疫不放松”某工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A和B兩種防疫用品，已知A種防疫用品每箱成本比B種防疫用品每箱成本多500元．經(jīng)計(jì)算，用6000元生產(chǎn)A種防疫用品的箱數(shù)與用4500元生產(chǎn)B種防疫用品的箱數(shù)相等．請(qǐng)解答下列問(wèn)題．（1）求A，B兩種防疫用品每箱的成本；（2）該工廠計(jì)劃用不超過(guò)90000元同時(shí)生產(chǎn)A和B兩種防疫用品共50箱，且B種防疫用品不超過(guò)25箱，該工廠有幾種生產(chǎn)方案？【答案】（1）A種防疫用品每箱的成本為2000元，B種防疫用品每箱的成本為1500元；（2）該工廠有6種生產(chǎn)方案．【解答】解：（1）設(shè)B種防疫用品每箱的成本為x元，則A種防疫用品每箱的成本為（x+500）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝1500，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1500是所列方程的解，且符合題意，∴x+500＝1500+500＝2000．答：A種防疫用品每箱的成本為2000元，B種防疫用品每箱的成本為1500元．（2）設(shè)生產(chǎn)B種防疫用品m箱，則生產(chǎn)A種防疫用品（50﹣m）箱，根據(jù)題意得：，解得：20≤m≤25，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為20，21，22，23，24，25，∴該工廠有6種生產(chǎn)方案．45．（2023?五通橋區(qū)模擬）某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，購(gòu)買1個(gè)甲商品比購(gòu)買1個(gè)乙商品多花6元，并且花費(fèi)400元購(gòu)買甲商品和花費(fèi)100元購(gòu)買乙商品的數(shù)量相等．（1）求購(gòu)買一個(gè)甲商品和一個(gè)乙商品各需多少元；（2）商店準(zhǔn)備購(gòu)買甲、乙兩種商品共40個(gè)，并要求商品個(gè)數(shù)為正整數(shù)，若甲商品的數(shù)量不少于乙商品數(shù)量的3倍，并且購(gòu)買甲、乙商品的總費(fèi)用不低于230元且不高于266元，那么超市有幾種購(gòu)買方案？哪種方案費(fèi)用少？【答案】（1）購(gòu)買一個(gè)甲商品需8元，一個(gè)乙商品需2元；（2）超市有2種購(gòu)買方案：①購(gòu)買甲商品30個(gè)，乙商品10個(gè)；②購(gòu)買甲商品31個(gè)，乙商品9個(gè)；方案①費(fèi)用最低．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲商品需x元，則購(gòu)買一個(gè)乙商品需（x﹣6）元，由題意得：＝，解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原方程的解，且符合題意，則x﹣6＝8﹣6＝2，答：購(gòu)買一個(gè)甲商品需8元，一個(gè)乙商品需2元；（2）設(shè)購(gòu)買甲種商品a個(gè)，則購(gòu)買乙種商品（40﹣a）個(gè)，由題意得：，解得：30≤a≤31，∵a為整數(shù)，∴a＝30或31．∴超市有2種購(gòu)買方案：①購(gòu)買甲商品30個(gè)，乙商品10個(gè)，費(fèi)用為：30×8+10×2＝260（元）；②購(gòu)買甲商品31個(gè)，乙商品9個(gè)，費(fèi)用為：31×8+9×2＝2