人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題2.2 基本不等式-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（原卷版）

第第頁(yè)專題2.2基本不等式-重難點(diǎn)題型精講1.兩個(gè)不等式eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．溫馨提示：“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．【題型1對(duì)基本不等式的理解】【方法點(diǎn)撥】(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【例1】對(duì)于不等式：①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正確，②錯(cuò)誤 B．②③正確，①錯(cuò)誤 C．①②錯(cuò)誤，③正確 D．①③錯(cuò)誤，②正確【變式1-1】若實(shí)數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b＞2ab B．a(chǎn)+b＜2ab C．a(chǎn)2+2b＞2ab D．a(chǎn)2+2【變式1-2】若a＞0，b＞0，a+b＝2，則（）A．a(chǎn)b≥1 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)2+b2≥2 【變式1-3】已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．0＜b＜12C．a(chǎn)b的最大值是18 D．a(chǎn)2+b2的最小值是【題型2利用基本不等式證明不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過(guò)將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果．(2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到．(3)解題時(shí)要注意技巧，當(dāng)不能直接利用不等式時(shí)，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿足能使用基本不等式的形式．【例2】已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求證：(1+1【變式2-1】已知a，b∈R+，設(shè)x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【變式2-2】已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求證：a（2）求證：a+b+1≥ab【變式2-3】設(shè)a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求證：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【題型3利用基本不等式求最值（無(wú)條件）】【方法點(diǎn)撥】(1)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，其解答技巧是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式．(2)若多次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件應(yīng)相同．【例3】已知a＞1，則a+4A．5 B．6 C．32 D．【變式3-1】y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-2】函數(shù)y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【變式3-3】若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【題型4利用基本不等式求最值（有條件）】【例4】已知a，b為正實(shí)數(shù)且a+b＝2，則baA．32 B．2+1 C．52 【變式4-1】若正實(shí)數(shù)y滿足2x+y＝9，則?1A．6+429 B．?6+429 C．【變式4-2】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4y+4=x+yA．13?2 B．2 C．2+13 D【變式4-3】已知正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b＝4，則(a+1A．22+2 B．4 C．254 【題型5利用基本不等式求參數(shù)】【例5】已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【變式5-1】已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【變式5-2】已知正實(shí)數(shù)a、b滿足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【變式5-3】設(shè)x＞0，y＞0，設(shè)2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【題型6利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題(求解)，最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答)．【例6】用一段長(zhǎng)為32m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？【變式6-1】如圖，計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為x，寬為y．（1）若菜園面積為72，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小？（2）若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30，求1x【變式6-2】迎進(jìn)博會(huì)，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左、中、右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為60000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm．（1）試用欄目高acm與寬bcm（a＞0，b＞0）表示整個(gè)矩形廣告面積Scm2；（2）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個(gè)矩形廣告面積最小，并求最小值．【變式6-3】如圖設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長(zhǎng)為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點(diǎn)P．設(shè)AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13（Ⅱ）設(shè)△ADP面積為S，求S的最大值及相應(yīng)的x的值．專題2.2基本不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．函數(shù)f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．252．若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2＝1+xy，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤23．下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+14．設(shè)a＞0，b＞0，若a+3b＝5，則(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．435．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．126．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A．a(chǎn)+b2≥ab(a＞0C．a(chǎn)+b2≤a2+7．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜28．若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8二．多選題9．下列函數(shù)最小值為2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D10．若正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則13a+2A．67 B．47 C．27 11．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，則錯(cuò)誤的是（）A．xy的取值范圍是[1，9] B．x+y的取值范圍是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是412．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm?1≤x+2yxy對(duì)任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 三．填空題13．已知x＞2，x+ax?2（a＞0）最小值為3．則a＝14．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab+a+b＝3，則2a+b的最小值為．15．直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5時(shí)，其面積有最（大或小）值，為．16．有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論：①若x＜0，則x+1x≤?2；②若x∈R，則x2+2x2+1≥2；③若x∈R，則|x+1x|≥2；④四．解答題17．已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及18．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．19．若a＞0，b＞0，a+b＝1．求證：（1）4a+1b≥9；20．如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．（1）若菜園面積為18m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最?。浚?）若使用的