人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）-重難點(diǎn)題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）-重難點(diǎn)題型精講1．實(shí)際問題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).

一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=SKIPIF1<0+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數(shù)模型.4．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.5．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.6．“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ停斡洿祟惡瘮?shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+SKIPIF1<0(a>0,b>0)，當(dāng)x>0時，在(0,SKIPIF1<0]上遞減，在(SKIPIF1<0,+SKIPIF1<0)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象解題時，應(yīng)注意一次函數(shù)有單調(diào)遞增（一次項系數(shù)為正）和單調(diào)遞減（一次項系數(shù)為負(fù)）兩種情況.【例1】（2021秋?通州區(qū)期中）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ） B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ） C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ） D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式的變化得出圖象的變化即可．【解答過程】解：設(shè)目前車票價格為k1，支出費(fèi)用為b1，則y＝k1x﹣b1，對于建議（I），設(shè)建議后的支出費(fèi)用為b2（b2＜b1），則y＝k1x﹣b2，顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對于建議（II），設(shè)建議后的車票價格為k2（k2＞k1），則y＝k2x﹣b1，顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．【變式1-1】（2022?曲靖模擬）某大型家電商場，在一周內(nèi)，計劃銷售A、B兩種電器，已知這兩種電器每臺的進(jìn)價都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進(jìn)貨B的臺數(shù)不高于A的臺數(shù)的2倍，且進(jìn)貨B至少2臺，而銷售A、B的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進(jìn)貨A、B的總資金為6萬元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售A、B電器的總利潤（利潤＝售價﹣進(jìn)價）的最大值為（）A．1.2萬元 B．2.8萬元 C．1.6萬元 D．1.4萬元【解題思路】設(shè)該賣場在一周內(nèi)進(jìn)貨B的臺數(shù)為x臺，則一周內(nèi)進(jìn)貨A的臺數(shù)為（6﹣x），根據(jù)已知條件，先求出x的取值范圍，再寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答過程】解：設(shè)該賣場在一周內(nèi)進(jìn)貨B的臺數(shù)為x臺，則一周內(nèi)進(jìn)貨A的臺數(shù)為（6﹣x），由題意可得，x≥2x≤2(6?x)，解得2≤x≤4，且x∈N，y＝0.2（6﹣x）+0.25x＝0.05函數(shù)y＝0.05x+1.2隨著x的增大而增大，故y的最大值為0.05×4+1.2＝1.4（萬元）．故選：D．【變式1-2】某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y＝6x+30000．而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（）A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套【解題思路】設(shè)利潤為z，則z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z≥0求解一元一次不等式得答案．【解答過程】解：設(shè)利潤為z，則z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z＝6x﹣30000≥0，得x≥5000．∴要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒5000套．故選：D．【變式1-3】（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）某醫(yī)院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產(chǎn)，其中外購的單價是每個1.2元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產(chǎn)一個口罩還需要材料費(fèi)和勞務(wù)費(fèi)共0.8元，設(shè)該醫(yī)院每月所需口罩n（n∈N*）個，則自己生產(chǎn)口罩比外購口罩較合算的充要條件是（）A．n＞800 B．n＞5000 C．n＜800 D．n＜5000【解題思路】根據(jù)已知條件，可得關(guān)于n的不等式，求解后可得正確的選項．【解答過程】解：由已知條件可得，0.8n+2000＜1.2n，即n＞5000，故自己生產(chǎn)口罩比外購口罩較合算的充要條件是n＞5000．故選：B．【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時，不能簡單套用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，因為拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不一定是實(shí)際問題的最值，一定要注意自變量的取值范圍，特別注意隱含條件，如：月份、天、周、商品件數(shù)等應(yīng)為正整數(shù).【例2】（2021秋?新鄉(xiāng)期末）某燈具商店銷售一種節(jié)能燈，每件進(jìn)價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關(guān)系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（）A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【解題思路】先建立二次函數(shù)模型，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．【解答過程】解：設(shè)燈具商店每月的利潤為z元，則z＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10（x﹣30）2+4000≤4000，故選：B．【變式2-1】（2021秋?浙江期末）某公司在甲、乙兩地銷售同一種產(chǎn)品，利潤（單位：萬元）分別為L1＝0.506x﹣0.0015x2，L2＝0.2x，其中x（單位：件）為在當(dāng)?shù)氐匿N量．若該公司在甲、乙兩地共銷售該產(chǎn)品150件，則公司能獲得的最大利潤為（）A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56萬元 D．45.51萬元【解題思路】設(shè)該公司在甲地銷x輛，那么乙地銷150﹣x輛，根據(jù)條件列出關(guān)于利潤的函數(shù)，求可借助二次函數(shù)求其最值．【解答過程】解：設(shè)該公司在甲地銷x輛，x∈[0，150]，那么乙地銷150﹣x輛，利潤L（x）＝0.506x﹣0.0015x2+0.2（150﹣x）＝﹣0.0015x2+0.306x+30，為開口向下的拋物線，對稱軸方程為x＝102，∴x＝102時，L（x）取到最大值，這時最大利潤為45.606萬元，故選：A．【變式2-2】（2021秋?南昌期末）一般來說，產(chǎn)品進(jìn)入市場，價格越高，銷量越?。抽T店對其銷售產(chǎn)品定價為p元/件，日銷售量為q件，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可近似認(rèn)為p，q滿足關(guān)系q＝200﹣p（80≤p≤150），如當(dāng)定價p＝90元，毛收入為9900元．為了追求最大利潤，不會無限提高售價，根據(jù)信息推測每天最少毛收入為（）A．7500元 B．9600元 C．9900元 D．10000元【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答過程】解：設(shè)每天的毛收入為y元，單價為p元/件，則y＝pq＝（200﹣p）p＝﹣p2+200p，由對稱軸為p＝100，開口向下，故當(dāng)p＝150時，毛收入y有最小值，（200﹣150）×150＝7500元．故選：A．【變式2-3】（2021秋?廬江縣期中）某種商品進(jìn)價為4元/件，當(dāng)零售價為6元/件時，日均銷售100件，銷售數(shù)據(jù)表明，單個每增加1元，日均銷量減少10件．該商家銷售此商品每天固定成本為20元，若要利潤最大，則該商品每件的價格應(yīng)該定為（）A．8元 B．9元 C．10元 D．11元【解題思路】由題意，列出利潤關(guān)于商品定價的函數(shù)關(guān)系f（x）＝（x﹣4）[100﹣10（x﹣6）]﹣20，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最大值．【解答過程】解：由題意，設(shè)該商品定價為x元，利潤為f（x），故f（x）＝（x﹣4）[100﹣10（x﹣6）]﹣20＝﹣10x2+200x﹣660，為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為x＝10，故當(dāng)x＝10時，f（x）取得最大值，因此若要利潤最大，則該商品每件的價格應(yīng)該定為10元，故選：C．【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【例3】（2022?廣西模擬）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y＝kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（）A．14 B．12 C．23 【解題思路】設(shè)初始狀態(tài)為（x1，y1），變化后為（x2，y2），根據(jù)x1，x2，y1，y2的關(guān)系代入后可求解．【解答過程】解：設(shè)初始狀態(tài)為（x1，y1），變化后為（x2，y2），則x2＝16x1，y2＝8y1，又∵y1=kx1α，∴8＝16α，即α＝log168=log24【變式3-1】（2021秋?南充期末）今年中國“芯”掀起研究熱潮，某公司已成功研發(fā)A、B兩種芯片，研發(fā)芯片前期已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)A芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元：生產(chǎn)B芯片的凈收入y（千萬元）是關(guān)于投入的資金x（千萬元）的冪函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產(chǎn)A、B兩種芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時生產(chǎn)A、B兩種芯片．設(shè)投入x千萬元生產(chǎn)B芯片，用f（x）表示公司所獲利潤，求公司最大利潤及此時生產(chǎn)B芯片投入的資金．（利潤＝A芯片凈收入+B芯片凈收入﹣研發(fā)耗費(fèi)資金）【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，分別設(shè)出正比例函數(shù)，以及冪函數(shù)，通過代入對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．（2）由題意可知，f（x）＝0.25（40﹣x）+x12【解答過程】解：（1）設(shè)芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，∵已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元，∴k＝0.25，故y＝0.25x，生產(chǎn)B芯片的凈收入y（千萬元）是關(guān)于投入的資金x（千萬元）的冪函數(shù)關(guān)系式為y＝xα，由圖象可知，y＝xα的圖象過點(diǎn)（4，2），即2＝4α，解得α=12，故所求函數(shù)的關(guān)系式為（2）由題意可知，f（x）＝0.25（40﹣x）+x12故當(dāng)x12=2，即x＝4時，f（x故公司最大利潤為9千萬元，此時生產(chǎn)B芯片投入的資金為4千萬元．【變式3-2】（2021秋?深圳期中）某家庭進(jìn)行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益f（x）與投資額x成正比，且投資1萬元時的收益為18萬元；投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益g（x）與投資額x的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬元時的收益為0.5（Ⅰ）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？【解題思路】（Ⅰ）設(shè)f（x）＝kx，g（x）＝mx，代入已知數(shù)據(jù)解出k和m的值即可；（Ⅱ）設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為（20﹣x）萬元，故收益y＝f（x）+g（20﹣x）（0≤x≤20），然后結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解答過程】解：（Ⅰ）設(shè)f（x）＝kx，g（x）＝mx，則f（1）＝k?1=18，g（1）＝m?1=0.5，∴k=1∴f（x）=18x（x≥0），g（x）=12x（Ⅱ）設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為（20﹣x）萬元，∴收益y＝f（x）+g（20﹣x）=18x+1220?x令t=20?x∈[0，25]，則y=18（20﹣t2）+12t=?1∴當(dāng)t＝2，即x＝16時，收益最大，為3萬元．故投資債券類產(chǎn)品16萬元，投資股票類產(chǎn)品4萬元時，其收益最大，為3萬元．【變式3-3】（2020秋?鄒城市期中）近年來，我國積極參與國際組織，承擔(dān)國際責(zé)任，為國家進(jìn)步、社會發(fā)展、個人成才帶來了更多機(jī)遇，因此，面臨職業(yè)選擇時，越來越多的青年人選擇通過創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實(shí)現(xiàn)人生價值．其中，某位大學(xué)生帶領(lǐng)其團(tuán)隊自主創(chuàng)業(yè)，通過直播帶貨的方式售賣特色農(nóng)產(chǎn)品，下面為三年來農(nóng)產(chǎn)品銷售量的統(tǒng)計表：年份201620172018銷售量/萬斤415583結(jié)合國家支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)政策和農(nóng)產(chǎn)品市場需求情況，該大學(xué)生提出了2019年銷售115萬斤特色農(nóng)產(chǎn)品的目標(biāo)，經(jīng)過創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊所有隊員的共同努力，2019年實(shí)際銷售123萬斤，超額完成預(yù)定目標(biāo)．（Ⅰ）將2016、2017、2018、2019年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現(xiàn)有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型為f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；冪函數(shù)模型為g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．請你通過計算分析確定：選用哪個函數(shù)模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系；（Ⅱ）依照目前的形勢分析，你能否預(yù)測出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊在2020年度的農(nóng)產(chǎn)品銷售量嗎？【解題思路】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法分別求出二次函數(shù)模型f（x）和冪函數(shù)模型g（x）的解析式，再分別計算與2019年實(shí)際銷量的誤差，選誤差較小的模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知選用二次函數(shù)模型f（x）＝7x2﹣7x+41進(jìn)行預(yù)測，計算f（5）即可預(yù)測出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊在2020年度的農(nóng)產(chǎn)品銷售量．【解答過程】解：（Ⅰ）若選擇二次函數(shù)模型：依題意，將前三年數(shù)據(jù)分別代入f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），得f(1)=41f(2)=55f(3)=83，即a+b+c=414a+2b+c=559a+3b+c=83，解得a=7b=?7c=41，所以f（x）＝7x將x＝4代入f（x），得f（4）＝7×42﹣7×4+41＝125，所以，此與2019年實(shí)際銷售量誤差為125﹣123＝2（萬斤），若選擇冪函數(shù)模型：依題意，將前三年數(shù)據(jù)分別代入g（x）＝kx3+mx+n（k≠0），得g(1)=41g(2)=55g(3)=83，即k+m+n=418k+2m+n=5527k+3m+n=83，解得k=76m=將x＝4代入g（x），得g（4）=76所以，此與2019年銷售量的實(shí)際誤差為132﹣123＝9（萬斤），顯然2＜9，因此，選用二次函數(shù)f（x）＝7x2﹣7x+41模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系．（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ），選用二次函數(shù)模型f（x）＝7x2﹣7x+41進(jìn)行預(yù)測，得f（5）＝7×52﹣7×5+41（萬斤），即預(yù)測該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊在2020年的農(nóng)產(chǎn)品銷售量為181萬斤．【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】涉及分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.【例4】（2022秋?平遙縣校級月考）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗，已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量y（微克）隨著時間x（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=2?x8?x(0≤x≤6)（1）若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？（2）某次實(shí)驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實(shí)驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？【解題思路】（1）根據(jù)y≥4，代入第一段解析式中求不等式即可．（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可．【解答過程】解：（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克，可得0≤x≤所以163（2）設(shè)經(jīng)過x小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；若0＜x≤6，藥物濃度2x8?x≥4，解得若6＜x≤12，藥物濃度(12?x)+2(x?6)8?(x?6)≥4，化簡得x2﹣20x+100≥0，所以6若12＜x≤18，藥物濃度12﹣（x﹣6）≥4，解得x≤14，所以12＜x≤14；綜上x∈[163，14]【變式4-1】（2022秋?襄都區(qū)校級月考）第四屆中國國際進(jìn)口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進(jìn)博會有4000多項新產(chǎn)品、新技術(shù)、新服務(wù)．某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)計劃在2022年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào)．生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計全年需投入固定成本260萬元，生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且R=10x2+ax，0≤x＜40901（1）求2022年該企業(yè)年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤＝銷售額﹣成本．【解題思路】（1）由題意可知x＝10時，R＝4000，代入函數(shù)中可求出a，然后由年利潤等于銷售總額減去投入資金，再減去固定成本，可求出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別當(dāng)0≤x＜40和x≥40求出函數(shù)的最大值，比較即可得答案．【解答過程】解：（1）由題意知，當(dāng)x＝10時，R（x）＝10×102+10a＝4000，所以a＝300．當(dāng)0≤x＜40時，W＝900x﹣（10x2+300x）﹣260＝﹣10x2+600x﹣260；當(dāng)x≥40時，W=900x?所以W=?10（2）當(dāng)0≤x＜40時，W＝﹣10（x﹣30）2+8740，所以當(dāng)x＝30時，W有最大值，最大值為8740；當(dāng)x≥40時，W=?當(dāng)且僅當(dāng)x=10000x，即x＝100時，W有最大值，最大值為因為8740＜8990，所以當(dāng)2022年產(chǎn)量為100千臺時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元．【變式4-2】（2022?南京模擬）某電子廠生產(chǎn)某電子元件的固定成本是4萬元，每生產(chǎn)x萬件該電子元件，需另投入成本f（x）萬元，且f(x)=14x（1）求該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該電子廠這種電子元件利潤的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤等于總收入減去總成本，即可求解．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分類討論求得兩段函數(shù)的最值，通過比較大小，即可求解．【解答過程】解：（1）當(dāng)0＜x≤6時，y=8x?當(dāng)6＜x≤20時，y=8x?故該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為y=?（2）當(dāng)0＜x≤6時，函數(shù)y=?14x2所以y=?14x2+5x?4在（當(dāng)6＜x≤20時，因為x+64x≥264=16所以y=?x?64x+34≤?16+34=18，即當(dāng)x＝因為17＜18，所以當(dāng)x＝8時，y取得最大值18，則利潤的最大值為18萬元，故該電子廠這種電子元件利潤的最大值18萬元．【變式4-3】（2021秋?武城縣校級月考）2020年初新冠肺炎襲擊全球，嚴(yán)重影響人民生產(chǎn)生活．為應(yīng)對疫情，某廠家擬加大生產(chǎn)力度．已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每年生產(chǎn)x千件，需另投入成本C（x）．當(dāng)年產(chǎn)量不足50千件時，C(x)=12x2+20x（萬元）；年產(chǎn)量不小于50（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤＝銷售額﹣成本公式，分類討論，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：（1）∵每千件商品售價為50萬元，∴x千件產(chǎn)品銷售額為50x，當(dāng)0＜x＜50時，L（x）＝50x?(當(dāng)x≥50時，L（x）＝50x?(51x+綜上所述，L（x）=?（2）當(dāng)0＜x＜50時，L（x）=?12(x?30)2+250，則L（x）當(dāng)x≥50時，L（x）=400?(x+3600x)≤400?2x?當(dāng)且僅當(dāng)x=3600x，即x＝60時，等號成立，由于280＞則當(dāng)年產(chǎn)量為60千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是280萬元．【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合實(shí)際問題，構(gòu)建“對勾函數(shù)”模型，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行解題，注意取值要滿足實(shí)際情況.【例5】（2022秋?太原月考）物聯(lián)網(wǎng)（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能行使獨(dú)立功能的普通物體實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò)．其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運(yùn)輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境（家庭、辦公、工廠）等，具有十分廣闊的市場前景．現(xiàn)有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費(fèi)y1（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，x＞0），其中y1與x+1成反比，每月庫存貨物費(fèi)y2（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則y1和y2分別為2萬元和7.2萬元．（1）求出y1與y2的解析式；（2）這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費(fèi)用之和最小？最小費(fèi)用是多少？【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出y1，y2的解析式，再結(jié)合在距離車站9千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和7.2萬元，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：（1）設(shè)y1=kx+1(k≠0)，y2＝mx（m≠0當(dāng)x＝9時，y1=k9+1=2，y2＝9m＝7.2，解得k＝20，m＝0.8，故y1=（2）設(shè)兩項費(fèi)用之和為z，則z＝y(tǒng)1+y2=20x+1當(dāng)且僅當(dāng)20x+1=0.8(x+1)，即x＝故這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站4千米處，才能使兩項費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用是7.2萬元．【變式5-1】（2022?二七區(qū)校級開學(xué)）鄭州市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足2≤t≤20，t∈N*，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)10≤t≤20時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)2≤t＜10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與（10﹣t）的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為p（t）．（1）求p（t）的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為Q=6p(t)?3360t【解題思路】（1）先分別寫出分段函數(shù)，再結(jié)合p（2）＝560，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，分段求出凈收益Q，再通過比較大小，即可求解．【解答過程】解：（1）當(dāng)2≤t＜10時，p（t）＝1200﹣k（10﹣t）2，當(dāng)10≤t≤20時，p（t）＝1200，∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝1200﹣64k＝560，∴k＝10，∴p（t）=?10（2）Q=6p(t)?3360t?360（元），當(dāng)2≤tQ=6(?10t2+200t+200)?3360t?360=840?60(t+36t)≤840﹣60×2t?36t當(dāng)10≤t≤20時，Q=7200?3360t?360≤384﹣360＝24，當(dāng)t綜上所述，當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大．【變式5-2】（2022春?愛民區(qū)校級期末）已知快遞公司要從A地往B地送貨，A，B兩地的距離為100km，按交通法規(guī)，A，B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60～120km/h（含端點(diǎn)），假設(shè)汽車的油耗為（42+7x2400）元/時，司機(jī)的工資為（1）試建立行車總費(fèi)用y元關(guān)于車速x的函數(shù)關(guān)系；（2）若不考慮其他費(fèi)用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？【解題思路】（1）依題意設(shè)車速為xkm/h，即可得到函數(shù)解析式；（2）利用基本不等式求最值，即可得解．【解答過程】解：（1）設(shè)車速為xkm/h，則時間為100x依題意可得y=100x(42+7x2400（2）y=7x4+11200x≥27所以以80km/h車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為280元．【變式5-3】（2022?浙江開學(xué)）某地中學(xué)生社會實(shí)踐小組為研究學(xué)校附近某路段的交通擁堵情況，經(jīng)實(shí)地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上的平均行車速度v（單位：km/h）與該路段上的行車數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：v=600n+10，n≤933000該路段上每日t時的行車數(shù)量n＝﹣2（|t﹣12|﹣5）2+100，t∈[0，24）．已知某日17時測得的平均行車速度為3km/h．（注：3.16＜（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅱ）定義車流量q＝nv（單位：輛?km/h），求一天內(nèi)車流量q的最大值（結(jié)果保留整數(shù)部分）．【解題思路】（Ⅰ）根據(jù)題意把17時測得的平均行車速度為3km/h代入函數(shù)解析式即可求出k；（Ⅱ）根據(jù)分段函數(shù)求最值的方法，分別利用函數(shù)單調(diào)性求每段的最值，即可得出函數(shù)q＝nv的最大值．【解答過程】解：（Ⅰ）由17時測得的平均行車速度為3km/h，代入v=600n+10，n≤933000n2（Ⅱ）①當(dāng)n≤9時，q＝nv=600nn+10=6001+②當(dāng)n≥10時，q＝nv=33000n由函數(shù)f（x）＝n+1000n在（0，1000）上遞減，在（1000，+且1000∈（31，32），知q=33000n+1000n，當(dāng)n＝31，n＝代入n＝31，32計算，結(jié)果均為522，故qmax≈522．綜上可知，一天內(nèi)車流量q的最大值為522輛?km/h．【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)①認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；②根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(2)利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗.【例6】（2022秋?余姚市校級月考）經(jīng)長期觀測得到：在某地交通繁忙時段內(nèi)，公路汽車的車流量y（單位：千輛/h）與汽車的平均速度v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為y=910vv2+11v+1600（（1）若要求在該時段內(nèi)車流量超過9.1千輛/h，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大的車流量為多少？【解題思路】（1）由條件得910vv2+11v+1600（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：（1）由條件得910vv2+11v+1600＞9.1，解得25所以汽車的平均速度應(yīng)大于25km/h且小于64km/h．（2）由已知得y=91011+v+1600v≤91011+2所以汽車的平均速度為40km/h時車流量最大，最大的車流量為10千輛/h．【變式6-1】（2022秋?中原區(qū)校級月考）.某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以成都大運(yùn)會為主題的文化衫進(jìn)行銷售文化衫的進(jìn)價為每件30元，當(dāng)銷售單價定為70元時，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺管理費(fèi)2元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕担畠r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價不低于進(jìn)價），若設(shè)這款文化衫的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）．（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？【解題思路】（1）由題意可知，y關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)y＝kx+b，將對應(yīng)的點(diǎn)代入，即可求解．（2）設(shè)銷售這款文化衫每天所獲得的利潤為p元，則p＝y(tǒng)（x﹣32），再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答過程】解：（1）由題意可知，y關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)y＝kx+b，則70k+b=2069k+b=22，解得k=?2b=160，故y＝﹣2x+160（（2）設(shè)銷售這款文化衫每天所獲得的利潤為p元，則p＝y(tǒng)（x﹣32）＝﹣2（x﹣80）（x﹣32）＝﹣2（x2﹣112x+2560），當(dāng)x=?112?2=56（元）時，p取得最大值﹣2×（2560﹣56故當(dāng)銷售單價為56元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為1152元．【變式6-2】（2022?興縣校級開學(xué)）如圖，某農(nóng)業(yè)研究所要在一個矩形試驗田ABCD內(nèi)種植三種農(nóng)作物，三種農(nóng)作物分別種植在并排排列的三個形狀相同、大小相等的小矩形中，試驗田四周和三個種植區(qū)域之間均設(shè)有1米寬的非種植區(qū)．已知種植區(qū)的占地面積為200平方米．（1）設(shè)小矩形的寬為x米，試驗田ABCD的面積為S平方米，求函數(shù)S＝f（x）的解析式；（2）求試驗田ABCD占地面積的最小值．【解題思路】（1）設(shè)小矩形的長為y米，則3xy=200，（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：（1）設(shè)小矩形的長為y米，則3xy=200，試驗田ABCD的面積S=(3x+4)(y+2)=(3x+4)(200故f(x)=6x+800（2）∵x＞0，∴6x+8003x≥26x?800∴當(dāng)x=203時，f（x）取最小值288，此時AB＝3x+4＝24，AD＝y(tǒng)+2＝12，故試驗田ABCD的長與寬分別為24米、12米時，試驗田ABCD的占地面積取最小值，最小值是【變式6-3】（2021秋?石鼓區(qū)校級月考）如圖，計劃在一面墻進(jìn)行粉刷與裝飾．墻長為18m．用彩帶圍成四個相同的長方形區(qū)域．（1）若每個區(qū)域的面積為24m2，要使圍成四個區(qū)域的彩帶總長最小，則每個區(qū)域長和寬分別是多少米？求彩帶總長最小值？（2）若每個區(qū)域矩形長為x（m）如圖，寬為長的一半．每米彩帶價格為5元，墻的粉刷與裝飾費(fèi)用每平方米為10元．總費(fèi)用不超過180元．問每個區(qū)域應(yīng)如何設(shè)計？【解題思路】（1）設(shè)每個區(qū)域的長和寬分別為x（m）和y（m），由題意可知，xy＝24，再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．（2）先求出總費(fèi)用f（x），再結(jié)合總費(fèi)用不超過180元，即可求解．【解答過程】解：（1）設(shè)每個區(qū)域的長和寬分別為x（m）和y（m），由題意可知，xy＝24，則彩帶總長為l＝4x+6y≥224xy=48，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝6y，即x＝6且y故每個區(qū)域長和寬分別是6（m）和4（m）時，彩帶總長最小，且最小值為48（m）．（2）由題意可知，每個區(qū)域矩形長為x（m），寬為x2（m），0＜x≤9則長方形區(qū)域的面積為4x?x2=2x則總費(fèi)用f（x）＝10×2x2+5×7x＝20x2+35x，∵總費(fèi)用不超過180元，∴20x2+35x≤180，又0＜x≤9，∴0＜故每個區(qū)域矩形長不超過94（m），費(fèi)用不超過180故應(yīng)該設(shè)計為每個區(qū)域矩形長為94（m），寬為98（專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）-重難點(diǎn)題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?惠城區(qū)校級期中）某地的水電資源豐富，并且得到了較好的開發(fā)，電力充足．某供電公司為了鼓勵居民用電，采用分段計費(fèi)的方法來計算電費(fèi)．月用電量x（度）與相應(yīng)電費(fèi)y（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)月用電量為300度時，應(yīng)交電費(fèi)（）A．130元 B．140元 C．150元 D．160元【解題思路】先求出x＞100時函數(shù)解析式，然后根據(jù)當(dāng)月用電量為300度時，代入解析式即可求出所求．【解答過程】解：當(dāng)x＞100時，設(shè)y＝kx+b，∵圖象過點(diǎn)（100，60），（200，110），∴60=100k+b110=200k+b解得k=12，b＝10，∴y=∵x＝300＞100，∴y=12×300+10＝1602．（3分）（2021秋?新鄉(xiāng)期末）某燈具商店銷售一種節(jié)能燈，每件進(jìn)價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關(guān)系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（）A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【解題思路】先建立二次函數(shù)模型，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．【解答過程】解：設(shè)燈具商店每月的利潤為z元，則z＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10（x﹣30）2+4000≤4000，故選：B．3．（3分）（2022春?衢州期末）隨著社會的發(fā)展，小汽車逐漸成了人們?nèi)粘５慕煌üぞ撸⊥踉谀扯螘r間共加92號汽油兩次，兩次加油單價不同．現(xiàn)在他有兩種加油方式：第一種方式是每次加油200元，第二種方式是每次加油30升．我們規(guī)定這兩次加油哪種加油方式的平均單價低，哪種就更經(jīng)濟(jì)，則更經(jīng)濟(jì)的加油方式為（）A．第一種 B．第二種 C．兩種一樣 D．不確定【解題思路】設(shè)第一次的油價為x1，第二次的油價為x2，且x1≠x2，計算出兩種加油方式的平均油價，比較大小后可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)第一次的油價為x1，第二次的油價為x2，且x1≠x2，第一種加油方式的平均油價為y1=400第二種加油方式的平均油價為y2=30(因為y2﹣y1=x1+x22?2因此，更經(jīng)濟(jì)的加油方式為第一種．故選：A．4．（3分）（2022?浙江開學(xué)）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時段進(jìn)行分時計價．高峰時間段用電價格表：高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668低谷時間段用電價格表：低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388若某家庭7月份的高峰時間段用電量為250千瓦時，低谷時間段用電量為150千瓦時，則該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為（）A．200.7 B．207.7 C．190.7 D．197.7【解題思路】根據(jù)已知條件，分段求解電費(fèi)，并求和，即可求解．【解答過程】解：高峰時段電費(fèi)為50×0.568+150×0.598+50×0.668＝151.5元，低谷時段電費(fèi)為50×0.288+100×0.318＝46.2，故該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為151.5+46.2＝197.7．故選：D．5．（3分）（2022春?上海期末）數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題．小明和他的數(shù)學(xué)建模小隊現(xiàn)有這樣一個問題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個關(guān)系，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明，當(dāng)x∈[20，200]時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．問：當(dāng)車流密度多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達(dá)到最大？（）A．60 B．100 C．200 D．600【解題思路】首先求得函數(shù)的解析式，然后分類討論求解不等式即可確定車流密度的取值．【解答過程】解：當(dāng)20≤x≤200時，設(shè)v＝kx+b，則60=20k+b，0=200k+b，于是v=60，0≤x≤20，當(dāng)0≤x≤20時，q＝60x，此時，函數(shù)在區(qū)間[0，20]上是增函數(shù)，恒有q≤1200，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝20；當(dāng)20≤x≤200時，q=?13x2+2003x，此時函數(shù)在區(qū)間[20，100]上是增函數(shù)，在區(qū)間[100，200]是減函數(shù)，因此恒有q≤100003，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)6．（3分）（2022?廣西模擬）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y＝kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（）A．14 B．12 C．23 【解題思路】設(shè)初始狀態(tài)為（x1，y1），變化后為（x2，y2），根據(jù)x1，x2，y1，y2的關(guān)系代入后可求解．【解答過程】解：設(shè)初始狀態(tài)為（x1，y1），變化后為（x2，y2），則x2＝16x1，y2＝8y1，又∵y1=kx1α，∴8＝16α，即α＝log168=log247．（3分）（2022春?自貢期末）某班計劃在勞動實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形、三角形、弓形這三種方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【解題思路】畫出圖形，結(jié)合二次函數(shù)及基本不等式判斷方案1、2；利用半圓面積判斷方案3．【解答過程】解：方案1：設(shè)AD＝x米，則AB＝（8﹣2x）米，則菜園面積S＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，當(dāng)x＝2時，此時菜園最大面積為8m2；方案2：依題意AB+AC＝8，則8＝AB+AC≥2AB?所以AB?AC≤16，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC＝4時取等號，所以S△ABC=12AB?AC?sinA≤8sinA≤即（S△ABC）max＝8當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC＝4，∠BAC＝90°時取等號；方案3：若弓形為半圓，則半圓的半徑為8π米，此時菜園最大面積π?(8π)22=32π8．（3分）（2022?淮南一模）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）（x∈[120，500]）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=13xA．120 B．200 C．240 D．400【解題思路】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分x∈[120，144）和x∈[144，500]討論求出函數(shù)的最小值即可．【解答過程】解：由題意可得二氧化碳每噸的平均處理成本為S=1當(dāng)x∈[120，144）時，S=13x2﹣80x+5040=13（x﹣120）2+240，當(dāng)x＝120時，當(dāng)x∈[144，500]時，S=12x+80000x?200≥2當(dāng)且僅當(dāng)12x=80000x，即x＝400時取得等號，此時S綜上可得，當(dāng)每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本的最低為200元．故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022?連云區(qū)校級開學(xué)）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（km）與甲車行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論正確的是（）A．甲車出發(fā)2h時，兩車相遇 B．乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km C．乙車出發(fā)257h時，兩車相遇D．甲車到達(dá)C地時，兩車相距40km【解題思路】A觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝2時，兩函數(shù)圖象相交，結(jié)合交點(diǎn)代表的意義，即可得出結(jié)論A錯誤；B根據(jù)速度＝路程÷時間分別求出甲、乙兩車的速度，再根據(jù)時間＝路程÷速度和可求出乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km，結(jié)論B正確；C據(jù)時間＝路程÷速度和可求出乙車出發(fā)257h時，兩車相遇，結(jié)論C正確；D結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)甲到C地時，乙車離開C地0.5小時，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出結(jié)論D【解答過程】解：A觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝2時，兩函數(shù)圖象相交，∵C地位于A、B兩地之間，∴交點(diǎn)代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論A錯誤；B甲車的速度為240÷4＝60（km/h），乙車的速度為200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km，結(jié)論B正確；C∵(240+200?60)÷(60+80)=257(?)D∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲車到達(dá)C地時，兩車相距40km，結(jié)論D正確；故選：BCD．10．（4分）（2021秋?黃梅縣校級期末）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y（km）與時間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60min B．甲從家到公園的時間是30min C．當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為y=1D．當(dāng)30≤x≤60時，y與x的關(guān)系式為y=【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答過程】解：由圖象可知，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，故A錯誤，由題中圖象可知，甲從家到公園的時間是30min，故B正確，當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k=115，故當(dāng)30≤x≤60時，設(shè)y＝kx+b，直線過點(diǎn)（40，2），（50，3），則40k+b=250k+b=3，解得k=110b=?2，故y與x的關(guān)系式為故選：BCD．11．（4分）（2022?連城縣校級開學(xué)）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為3km（不超過3km按起步價付費(fèi)）；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．下列結(jié)論正確的是（）A．出租車行駛4km，乘客需付費(fèi)9.6元 B．出租車行駛10km，乘客需付費(fèi)25.45元 C．某人乘出租車行駛5km兩次的費(fèi)用超過他乘出租車行駛10km一次的費(fèi)用 D．某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了9km【解題思路】根據(jù)已知條件，依次求出分段函數(shù)，再結(jié)合分段函數(shù)，即可求解．【解答過程】解：當(dāng)0＜x≤3時，f（x）＝8+1＝9，當(dāng)3＜x≤8時，f（x）＝8+1+（x﹣3）×2.15＝2.15x+2.55，當(dāng)x＞8時，f（x）＝8+1+5×2.15+（x﹣8）×2.85＝2.85x﹣3.05，對于A，當(dāng)x＝4時，f（4）＝11.15，故A錯誤，對于B，當(dāng)x＝10時，f（10）＝25.45，故B正確，對于C，當(dāng)x＝5時，f（5）＝13.3，2f（5）＞f（10），故C正確，對于D，當(dāng)x＝8時，f（8）＝19.75，所以當(dāng)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則2.85x﹣3.05＝22.6，解得x＝9，故D正確．故選：BCD．12．（4分）（2021秋?福州期末）邊際函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個基本概念，在國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用．函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生產(chǎn)75臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺（x∈N*）的收入函數(shù)R（x）＝3000x﹣20x2（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）＝500x+4000（單位，元），利潤是收入與成本之差，設(shè)利潤函數(shù)為P（x），則以下說法正確的是（）A．P（x）取得最大值時每月產(chǎn)量為63臺 B．邊際利潤函數(shù)的表達(dá)式為MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*） C．利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值 D．邊際利潤函數(shù)MP（x）說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少【解題思路】求出函數(shù)P（x），MP（x）的解析式，即可求解A，B，求出利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）的最大值，即可求解C，結(jié)合MP（x）的單調(diào)性，即可求解D．【解答過程】解：對于A，P（x）＝R（x）﹣C（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，二次函數(shù)P（x）的圖象開口向下，對稱軸為直線x=2500∵x∈N*，∴P（x）取得最大值時每月產(chǎn)量為63臺或62臺，故A錯誤，對于B，MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝[﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000]﹣（﹣20x2+2500x﹣4000）＝2480﹣40x（x∈N*），故B正確，對于C，P（x）max＝P（62）＝P（63）＝74120，∵函數(shù)MP（x）＝2480﹣40x為減函數(shù)，則MP（x）max＝MP（1）＝2440，故C正確，對于D，因為函數(shù)MP（x）＝2480﹣40x為減函數(shù)，說明邊際函數(shù)MP（x）說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少，故D正確．故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?浦東新區(qū)校級期末）要建造一個高為3米，容積為48立方米的無蓋長方體蓄水池．已知池底的造價為每平方米1500米，池壁的造價為每平方米1000元．該蓄水池的總造價y（元）關(guān)于池底一邊的長度x（米）的函數(shù)關(guān)系為：y＝6000（x+16x）+1500×16，x＞0【解題思路】根據(jù)條件便可得到池底面積為4平方米，底面的另一邊長16x，從而便可得到總造價y與x【解答過程】解：根據(jù)條件，該蓄水池的總造價y元，池底一邊的長度x米，底面另一邊長為16x∴長方體的底面積為16，側(cè)面積為3×2（x+16y＝6000（x+16x）+1500×16，x＞0；故答案為：y＝6000（x+16x）+1500×16，14．（4分）（2022?連云區(qū)校級開學(xué)）一天，小明從家出發(fā)勻速步行去學(xué)校上學(xué)．幾分鐘后，在家休假的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘帶數(shù)學(xué)書，于是爸爸立即勻速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到書后以原速的54快步趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)后23分鐘到校（小明被爸爸追上時交流時間忽略不計）．兩人之間相距的路程y（米）與小明從家出發(fā)到學(xué)校的步行時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明家到學(xué)校的路程為2080【解題思路】設(shè)小明原速度為x每分鐘，則拿到書后的速度為1.25x米/分鐘，家校距離為11x+（23﹣11）×1.25x＝26x．設(shè)穿行進(jìn)速度為y米/分鐘，由題意及圖形得：11x=(16?11)y(16?11)×(1.25x+y)=138C'，求出x【解答過程】解：設(shè)小明原速度為x（米/分鐘），則拿到書后的速度為1.25x（米/分鐘），則家校距離為11x+（23﹣11）×1.25x＝26x，設(shè)爸爸行進(jìn)速度為y（米/分鐘），由題意及圖形得：11x=(16?11)y(16?11)×(1.25x+y)=138C，解得：x＝80，y∴小明家到學(xué)校的路程為：80×26＝2080（米），故答案為：2080．15．（4分）（2022春?重慶月考）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量y（單位：mg）與時間x（單位：h）的關(guān)系是：當(dāng)0＜x＜113時，y=?27011x2+108011x；當(dāng)x≥【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和反比例函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答過程】解：當(dāng)0＜x＜當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最大值108011所以當(dāng)0＜x＜113時，飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量小于當(dāng)當(dāng)x≥113時，函數(shù)y=110x單調(diào)遞減，令y=110x=20?x=5.5，因此飲酒后5.5小時體內(nèi)每100ml16．（4分）（2022春?慈溪市月考）能源是國家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣．又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬元）與隔熱層厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：N(?)=m3?+4(0≤?≤10)，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元人民幣．設(shè)F（h）為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使F（h）達(dá)到最小值時，隔熱層厚度h【解題思路】由已知求得m值，可得N（h），寫出隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和F（h），再由基本不等式求最值求解．【解答過程】解：由N（h）=m3?+4，結(jié)合題意可得N（0）=m4=10，即m＝40，∴N隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和F（h）＝30N（h）+9h=12003?+4當(dāng)且僅當(dāng)12003?+4=3(3?+4)，即h=16四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022?衡山縣校級開學(xué)）家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了PTC發(fā)熱材料，它的電阻R（kΩ）隨溫度t（℃）（在一定范圍內(nèi)）變化的大致圖象如圖所示．通電后，發(fā)熱材料的溫度在由室溫10℃上升到30℃的過程中，電阻與溫度成反例關(guān)系，且在溫度達(dá)到30℃時，電阻下降到最小值；隨后電阻承溫度升高而增加，溫度每上升1℃，電阻增加415kΩ（1）求R和t之間的關(guān)系式；（2）家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內(nèi)時，發(fā)熱材料的電阻不超過4kΩ．【解題思路】（1）分段討論電阻與溫度的解析式即可；（2）把R＝4代入R=415t﹣【解答過程】解：（1）∵溫度在由室溫10℃上升到30℃的過程中，電阻與溫度成反比例關(guān)系，∴當(dāng)10≤t≤30時，設(shè)關(guān)系為R=kt，將（10，6）代入上式中得：6=k10，解得故當(dāng)10≤t≤30時，R=60t；將t＝30℃代入上式中得：R=6030=2，∴溫度在30℃時，電阻R＝∵在溫度達(dá)到30℃時，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升1℃，電阻增加415kΩ∴當(dāng)t≥30時，R＝2+415（t﹣30）=415t﹣6，故R和t（2）把R＝4代入R=415t﹣6，得t＝37.5，把R＝4代入R=60t，得所以，溫度在15℃～37.5℃時，發(fā)熱材料的電阻不超過4kΩ．18．（6分）（2022?衡山縣校級開學(xué)）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號召，從百貨商場購進(jìn)了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴50元，用4000元購買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用3000元購買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？（2）若該中學(xué)決定再次準(zhǔn)備用不超過6000元購進(jìn)A，B兩種品牌垃圾桶共50個，恰逢百貨商場對兩種品牌垃圾桶的售價進(jìn)行調(diào)整：A品牌按第一次購買時售價的九折出售，B品牌比第一次購買時售價提高了20%，那么該學(xué)校此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？【解題思路】（1）根據(jù)題意，列出方程，分別解出購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元即可；（2）根據(jù)題意，列出不等式，求得m的最值即可．【解答過程】解：（1）設(shè)購買一個A品牌垃圾桶需x元，則購買一個B品牌垃圾桶需（x+50）元，依題意，得：4000x=3000x+50×2，解得：x＝100∴x+50＝150．答：購買一個A品牌垃圾桶需100元，購買一個B品牌垃圾桶需150元．（2）設(shè)該學(xué)校此次購買m個B品牌垃圾桶，則購買（50﹣m）個A品牌垃圾桶，依題意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，解得：m≤16因為m是正整數(shù)，所以m最大值是16．答：該學(xué)校此次最多可購買16個B品牌垃圾桶．19．（8分）（2022?洪山區(qū)校級開學(xué)）某店購進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷售，飾品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件60元，每月可賣出300件，市場調(diào)查反映：調(diào)整價格時，售價每漲1元每月要