人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.5 三角恒等變換 重難點題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題5.5三角恒等變換（重難點題型精講）1．兩角差的余弦公式對于任意角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0.

此公式給出了任意角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的正弦、余弦與其差角SKIPIF1<0-SKIPIF1<0的余弦之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作SKIPIF1<0.

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.2．兩角和的余弦公式(1)公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“-”，兩角差時用“+”.3．兩角和與差的正弦公式(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.4．兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)-SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)；

③SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)]；

④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)]；

⑤SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)；

⑥SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0).(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應用公式SKIPIF1<0[或SKIPIF1<0將形如SKIPIF1<0(a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)SKIPIF1<0[或SKIPIF1<0].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的變形應用(1)倍角公式的逆用

①SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

②SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.

③SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.

(2)配方變形

SKIPIF1<0.

(3)因式分解變形

SKIPIF1<0.

(4)升冪公式

SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用】【方法點撥】公式運用之妙，存乎一心.使用時強調(diào)一個“活”字，而“活”的基礎來源于對公式結(jié)構(gòu)本身的深刻理解.【例1】已知α，β都為銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．?7198 C．?【變式1-1】已知α,β均為銳角，且sinα+β=2sinα?β，則A．13 B．12 C．2【變式1-2】已知cosα+π12=35，A．3?4310 B．45 C．?【變式1-3】若0<α<π2，?π2<β<0，cosπ4A．33 B．?33 C．5【題型2利用和（差）角公式求三角函數(shù)式的值】【方法點撥】解決三角函數(shù)求值的四個切入點：(1)觀察角的特點.充分利用角之間的關系，盡量向同角轉(zhuǎn)化，利用已知角構(gòu)建待求角.(2)觀察函數(shù)特點.向同名函數(shù)轉(zhuǎn)化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用輔助角公式求解.(4)觀察結(jié)構(gòu)特點，從整體出發(fā)，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.【例2】2cos10°A．1 B．2 C．3 D．2【變式2-1】sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【變式2-2】已知tanα=?3，則cosα+πA．225 B．?22 C．?【變式2-3】若cosα=35，則cosA．43100 B．11100 C．?43【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)式】【方法點撥】(1)化簡三角函數(shù)式的標準和要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)式的種數(shù)、項數(shù)及角的種類盡可能少；③使三角函數(shù)式的次數(shù)盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數(shù)式和根式.(2)化簡三角函數(shù)式的常用方法:①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.【例3】化簡：(1)sinα+βcosβ?12【變式3-1】設3π4<θ<【變式3-2】化簡下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【變式3-3】化簡：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】【方法點撥】證明條件恒等式要充分關注已知條件與待證恒等式的關系，正確運用條件并合理切入，然后用證明恒等式的一般方法處理.【例4】已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【變式4-1】已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【變式4-2】求證：（1）sin(α?β)（2）1cos【變式4-3】求證：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【題型5利用二倍角公式化簡】【方法點撥】解決三角函數(shù)式的化簡問題就是根據(jù)題目特點，利用相應的公式，對所給三角函數(shù)式進行適當變形.可從“冪”的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個方面，結(jié)合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數(shù)化為完全平方式等進行變形，同時注意公式的逆用以及“1”的恒等代換，在化簡時，要注意角的取值范圍.【例5】化簡：(1)cosπ12cos5π12；(2)cos4α2－sin4α2；【變式5-1】化簡：1+sinα+【變式5-2】化簡：(1)sinα+cosα2；(2)2tan15°(4)sin4α?cos4α；(5)1【變式5-3】化簡下列各式：（1）11?tanθ?1【題型6利用二倍角公式求值】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據(jù)式子的特點構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系對已知式進行轉(zhuǎn)化.【例6】已知tanα(1)求sinα(2)求tan(β?2α)【變式6-1】已知tan(1)求tanα(2)求1+cos【變式6-2】已知sinα=35(1)求tanα的值；(2)求sin【變式6-3】已知2sin(1)tanθ(2)3cos專題5.5三角恒等變換（重難點題型檢測）一．選擇題1．若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．252．2sin2125°?2A．?12 B．12 3．已知cosα?π3=1A．?79 B．?13 C．4．下列各式中，值為12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°?5．已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．56．若在△ABC中，sin(A+C)?sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，則C．tanα、tanβD．tan8．英國化學家、物理學家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力，由此計算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠的地方，標記下此時激光所在的點，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計算出了地球的質(zhì)量．在該實驗中，光源位于刻度尺上點P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點Q處，鏡面繞M點順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點Q'處，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3b2a+bB．tanα=3二．多選題9．已知tanα?β=?17，tanα+βA．?13 B．13 C．10．下列各式中，值為12的是（

A．1?2sin215°C．3?tan15°11．下列計算正確的是（

）A．tan15°+1tan15°?1C．sin15°sin45°12．已知函數(shù)fx=2sinA．fx的圖象關于直線x=5π8對稱 B．fC．fx在?5π8,0上單調(diào)遞減 D．對任意的m，三．填空題13．求值tan27.5°+1tan214．已知a+β=7π4，則tanα?1tan15．已知α是第四象限角，且1?cos2αcosα=1616．已知tanα=4，