2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)（八大題型）（解析版）

重難點(diǎn)突破01抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................3

題型一：一次函數(shù)模型..........................................................................3

題型二：二次函數(shù)模型..........................................................................5

題型三：幕函數(shù)模型............................................................................7

題型四：指數(shù)函數(shù)模型..........................................................................8

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型.........................................................................10

題型六：正弦函數(shù)模型.........................................................................13

題型七：余弦函數(shù)模型.........................................................................15

題圜I：正切函數(shù)模型.........................................................................18

03過關(guān)測試....................................................................19

吉法特巧與.0餞

//\\

一次函數(shù)

(1)對(duì)于正比例函數(shù)〃尤)=H(女人0),與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為"為士y)=/(x)±〃y).

(2)對(duì)于一次函數(shù)/(力=履+匕(左wO),與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為"％士y)=/(x)±/(y).0.

二次函數(shù)

(3)對(duì)于二次函數(shù)/(%)=加+bx+c(a00),與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

塞函數(shù)

(4)對(duì)于幕函數(shù)〃x)=x",與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(肛)=/(x)/(y).

(5)對(duì)于幕函數(shù)=其抽象函數(shù)還可以是了

指數(shù)函數(shù)

(6)對(duì)于指數(shù)函數(shù)/(尤)=優(yōu)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為〃%+y)=〃x)〃y).

(7)對(duì)于指數(shù)函數(shù)/(%)=，，其抽象函數(shù)還可以是/(無―y)=/*.

其中(a>0,awl)

對(duì)數(shù)函數(shù)

(8)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log/,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(xy)=/(%)+/(').

(、

⑼對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log”,其抽象函數(shù)還可以是7-=f(x)-f(y).

w7

(10)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y(x)=log/,其抽象函數(shù)還可以是/(x")=W(x).

其中m>o,Qwi)

三角函數(shù)

(11)對(duì)于正弦函數(shù)〃x)=sinx,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為〃尤+y)〃x-y)=r⑴―/(y)

22

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：sintt-sin/?=sin(a+y5)sin(a-/7)

x+y

(12)對(duì)于余弦函數(shù)/(x)=cosx,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為〃x)+〃y)=2/%一丁

22

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：cosa+cos尸=2cos皇cosp

(13)對(duì)于余弦函數(shù)/(x)=cosx,其抽象函數(shù)還可以是/(x)〃y)=g[/(x+y)+/(x—y)]

cos(or+〃)+cos(a-⑶

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦積化和差公式：cosacos/3=

2

(14)對(duì)于正切函數(shù)/(x)=tanx,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為"X土y)=

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：tan(a±；9)=tana±tan.

1-tanatan)

題型一：一次函數(shù)模型

【例1】已知〃x+y)=/(x)+〃y)-1且"1)=2,則/⑴+*2)+L+/(小不等于

A./(l)+2/(l)+LB.f+n-l

，乙

2

廠n+3〃n/,,\

C.---D.

【答案】D

【解析】Qf(x+y)=f(x)+/(y)-l,.-./(%+j)-l=[/(x)-l]+[/(^)-l].

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)T,貝1Jg(x+y)=g(x)+g(y),且g(i)=/(i)—i=i，

令%=g(")=/(")T，則q=〃1)一1=1,

令X=n,y=\,得g(“+l)=g⑺+g⑴，

%+l=".+%=a,+1，即an+i~an=1'

所以，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1,公差為1,..4=1+(〃TX1=〃，

,則〃n)=a+l.

2

/、/、/、/、〃(2+〃+1)幾(〃+3)n+3n

〃1)+〃2)+L+〃〃)=2+3+L+(H+1)=2f==

2

/、/、n(n-\\n(n+\\,、n(n-\\/、n(n-i\n+3n人y

/(l)+2/(l)+L+nf(l)--==+合乎題意;

乙乙乙乙乙

n(n+\}\n(n+\\n2+3n

fy+H-l=-^^+l+n-l=^—,合乎題意;

故選D.

【變式1-1】已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且1°，若f（x+y）+/（x）/（y）=4^,則下列結(jié)論錯(cuò)誤

是偶函數(shù)D.函數(shù)+是減函數(shù)

【答案】C

【解析】對(duì)于A,令x=g、y=0,則有/（；］+/（；］x/（0）=/（；］［l+/（0）］=0,

又故1+〃0）=0,即〃0）=-1,

令x=；、y=-p則有個(gè)一力+《卜臼=4?。ㄒ?

即〃o）+/6］m=-i,由/（O）=T,可得

又了（；>0,故/，曰=。，故A正確；

對(duì)于C,令y=\,則有+j=4xx（一m，

則/［x」］=-2x,故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,有/1x+l-gj=-2（x+l）=-2x-2,即/（x+g）=-2x-2,

則函數(shù)/（x+￡|是減函數(shù)，故D正確；

對(duì)于B,由/卜一；］=-2x,令x=l,有/［g）=-2xl=_2,故B正確.

故選：C

【變式1-2］（2024?河南新鄉(xiāng)?一模）已知定義在R上的函數(shù)/（%）滿足Vx,yeR,

“2冷—l）=〃x）"（y）+〃y）+2x-3,/（0）=-1,則不等式〃力>3—2,的解集為（）

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-00,1)D.(-oo,-l)

【答案】A

【解析】令尤=y=0,得/(-1)=/(0)"(0)+/(0)-3=-3.

令"0,得/(-l)=/(x)/(0)+/(0)+2x-3,解得/(x)=2尤一1,

則不等式/。)>3-2'轉(zhuǎn)化為2無+2,—4>0,

因?yàn)閥=2x+2'—4是增函數(shù)，且2x1+21—4=0,

所以不等式/(X)>3-2'的解集為(1,+8).

故選：A

【變式1-3】已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(x),其值域也是R,并且對(duì)于任意的x,yeR,都有

f^f(y))=xy,則|〃2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】D

【解析】由于/'(x)在R上單調(diào)，且值域?yàn)镽,則必存在%?R,使得=

令，=%得,/(V(%))=M即y(x)=%x,

于是V尤,yeR,/(對(duì)'(y))=/(孫)y)=%3()y)=y；肛=w，則％=±1,

從而〃x)=±x,有|/(2022)|=2022.

故選：D

題型二：二次函數(shù)模型

【例2】(2024?高三?河北保定?期末)已知函數(shù)/CO滿足：Vx,yeZ,

/(》+>)=，(工)+，(曠)+2町+1成立，且/(一2)=1,則〃2")(〃eN*)=()

A.4〃+6B.8〃一1C.4n2+2n-lD.8n2+2n-5

【答案】C

【解析】令尤=y=o,則/(。)="0)+/(。)+1,所以/(O)=T,

令x=y=T,則〃_2)=〃-l)+〃-l)+2+l=2〃-l)+3=l,

所以〃T)=T，

令x=l,y=-l,則/(0)=/(1)+/(-1)-2+1=/(1)-2=-1,所以"1)=1,

令x==1,”eN*,貝(]”〃+1)=/(?)+/(1)+2〃+1=/(〃)+2〃+2,

所以小+1)_小)=2〃+2,

則當(dāng)“22時(shí)，/(/?)-/(/I-l)=2n,

貝"(〃)=小)—仆—1)+〃〃一1)-〃〃—2)++/(2)-/(1)+/(1)

=2zz+(2n-2)++4+[=(2〃+?WT)+]="+“_],

當(dāng)〃=1時(shí)，上式也成立，

所以〃")=，5+"T(”?N*),

所以/(2H)=4n2+2n-l^neN*).

故選：C.

【變式2-1](2024?山東濟(jì)南?三模)已知函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,且才⑴-4'(y)=^(x-y)，則下

列結(jié)論一定成立的是()

A.41)=1B./(x)為偶函數(shù)

C.“X)有最小值D.“X)在[0』上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】由于函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,且W⑺―^(y)=/(x—y),

令'=1，則〃力―#(l)=x(x-l),得=d+

x=l時(shí)，/⑴=『+[/⑴-1]恒成立，無法確定/'(1)=1,A不一定成立；

由于/(1)=1不一定成立，故〃x)=Y+"⑴一1]無不一定為偶函數(shù)，B不確定；

由于“引=犬+[〃1)_1卜的對(duì)稱軸為工=一：["1)_1]與[0』的位置關(guān)系不確定，

故在[0』上不一定單調(diào)遞增，D也不確定，

由于〃x)=f+[/⑴_(tái)1卜表示開口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，

故選：C

【變式2-2](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,且滿足

f(x)+/(y)=/(x+y)-2盯+2J⑴=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.”4)=12B.方程〃x)=x有解

C.+是偶函數(shù)D./(了一；)是偶函數(shù)

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)AM的定義域?yàn)镽,且滿足/(尤)+/(y)=f(x+y)-2xy+2"⑴=2,

取x=y=l,#/(1)+/(1)=/(2)-2+2,則/⑵=4,

取x=y=2,得/(2)+〃2)=/(4)-8+2,則44)=14,故A錯(cuò)誤:

對(duì)于B,取y=l,得/■(尤)+f(l)=/(x+l)-2x+2,貝!]/(x+l)_f(x)=2x,

所以/W-f{x-1)=2(尤-1)-f(x-2)=2(尤—2),…J⑵—/⑴=2,

以上各式相加得/(x)-/(l)=[2(I)；2].(D=y_x,

所以/(X)=X2-X+2,

令/(%)=%2一兀+2=%,得/_2%+2=0,此方程無解，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于CD,由B知f(x)=x2-x+2,

所以=+-[x+；j+2=x2+：是偶函數(shù),

=+-2x+?不是偶函數(shù)，故c正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式2-3](2024?河南?三模)已知函數(shù)/⑺滿足：/⑴N3,且“yeR,

9

/(x+y)=/(x)+/(y)+6孫，貝的最小值是()

Z=1

A.135B.395C.855D.990

【答案】C

【解析】由/(x+y)=〃x)+/(y)+6孫,得/(x+y)—3(x+y?=〃x)-3/+〃，)-3y2,令

g(尤)=/(x)-3d,得g(x+y)=g(x)+g(y),

令彳=〃4=1,得g("+l)-g(")=g⑴，

故g(〃)=[g(〃)-g(〃T)Hg(〃T)-g(?-2)]+--+[g(2)-g6]+g6=〃g6，又g(〃)=/Gz)-3〃2,

所以“77)=g(")+3/=3n2+[/(l)-3]n,

9999

所以￡川)=3￡/+[〃1)-3]*=855+45[/⑴-3],因?yàn)?⑴、3,當(dāng)/⑴=3時(shí)，工了⑺的最小值

Z=1Z=1Z=1Z=1

為855.

故選：C.

題型三：幕函數(shù)模型

【例3】已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?y,0)U(0,4w),且例(x)=(y+l)/(y+l),則()

A./M>0B.f(l)=lC./(x)是偶函數(shù)D.7(x)沒有極值點(diǎn)

【答案】D

【解析】令g(x)=4(x),則g(y+i)=(y+i)/(y+i),

所以g(x)=g(y+i)，且％y+i為定義域內(nèi)任意值，故g(x)為常函數(shù).

令g(x)=3則/(x)=g,為奇函數(shù)且沒有極值點(diǎn)，C錯(cuò)，D對(duì)；

所以/(x)ZO不恒成立，/(1)=1不一定成立，A、B錯(cuò).

故選：D

【變式3-1](2024?河北?模擬預(yù)測)已知定義在(-”,0)U(0,+8)上的函數(shù)/(x)滿足

〃沖)=止^+止^+工，貝I」()

yxxy

A.7(x)是奇函數(shù)且在(0,+")上單調(diào)遞減

B.f(x)是奇函數(shù)且在(t,0)上單調(diào)遞增

C./(x)是偶函數(shù)且在(。,+加)上單調(diào)遞減

D./(“是偶函數(shù)且在(-8,0)上單調(diào)遞增

【答案】A

【解析】令x=y=T,則/(1)=—2/。)+1,所以

令彳=>=1,則/(1)=2/(-1)+1,所以7

令y=T,則=--：=-〃-幼-(，

所以〃一引=一(,

令、=1,貝U/(x)=/(—x)+^^+：=J__J_所以"x)=J，

3x3xx3x

因?yàn)椤═)=-*=-〃X),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù),

由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/")=?在(0,+")上單調(diào)遞減.

故選：A.

題型四：指數(shù)函數(shù)模型

【例4】(多選題)(2024?山西晉中?三模)已知函數(shù)/'(尤)的定義域?yàn)镽,滿足

〃x+y)=〃x)/(y)+/(x)+/(y)，M/(o)*-i,/(1)>-1,則下列說法正確的是(

A.〃o)=oB."X)為非奇非偶函數(shù)

C.若/(1)=1,則”4)=15D.〃句>-1對(duì)任意彳€川恒成立

【答案】ACD

【解析】我們有恒等式：/(^+y)+l=/(x)/(y)+/W+/(y)+l=(/(%)+l)(/(y)+l).

對(duì)于A,由恒等式可得〃0)+1=(/(0)+。(〃0)+1),而/(0)片一1,故〃0)+14,所以1=〃0)+1,即

/（0）=0,故A正確；

對(duì)于B,由于〃力=0滿足條件且是偶函數(shù)，所以有可能是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由恒等式可得〃x+l）+l=（〃尤）+1乂〃1）+1）,故

24

/(4)+1=(/(3)+1)(/(1)+1)=(/(2)+1)(/(1)+1)=(7(1)+1).

若"1)=1，貝ij〃4)=(〃l)+l)4-1=2J1=15,故C正確；

對(duì)于D,由恒等式可得〃尤+l)+l=(〃x)+l)(〃l)+l).

而/⑴+1>0,故/（》+1）+1和〃司+1同號(hào)（同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，或同為0）,

從而再由/■⑴+1>?？芍▁）+l>0（xwN*）,即〃x）>T（xeN*）,故D正確.

故選：ACD.

【變式4-1】已知函數(shù)“X）滿足，1（0+4）=/（°）力力/⑴=3,則

尸⑴+〃2)+/⑵+/(4)+產(chǎn)⑶+〃6)尸⑷+〃8)/⑸+〃10)

的值為（

/(1)"3)/(5)〃7)〃9)

A.15B.30C.60D.75

【答案】B

【解析】〃p+q)=/(p)―/(q),；J(〃+l)=/⑺/(l)=3.-./(n+l)=3/(n)

:./(〃)=3X3"T=3"

/⑴+/（2）產(chǎn)⑵+〃4）/⑶+〃6）/（4）+〃8）/（5）+/。0）

/（1）"3）/（5）/（7）/（9）

32+3234+3436+3638+38310+310

=-----1--;—

333+35+37+謂

=6+6+6+6+6=30

故選：B

【變式4-2】如果/（°+外=〃4）/㈤且"1）=2,貝U鎧+羽+黑=（

)

A.—B.—C.6D.8

55

【答案】C

【解析】/⑴=2,f(a+b)=f(a)f(b),

“⑵寸⑴/⑴,f(4)=f(3)f(l),f(6)=f(5)f(l),

?但=〃1)3"1)g〃l)

-/⑴小，“3)八"/⑸八"

.??里+坐+坐=3〃1)=6,

/(1)/(3)/(5)八/

故選：C.

【變式4-3】已知函數(shù)/⑴對(duì)一切實(shí)數(shù)。/滿足/(。+與=/(。)?/伍)，且"1)=2,若

%J"；]]+；2附)(〃-*卜則數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為()

A.nB.2nC.4nD.8n

【答案】C

【解析】??.函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)滿足〃a+6)=/(a>/0),且"1)=2

.-./(n+l)=/(n)./(l)=2/(n)

.??數(shù)歹U{/(〃)}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2

f[n)-T,MGN*

[/(")T+/(2W)_22"+22"

=4

~/(2n-l)-22"-1

所以數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為4〃.

故選：C.

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型

【例5】(多選題)已知函數(shù)多(X)的定義域?yàn)镽,〃沖)=y2〃x)+/〃y),則().

A.〃。)=。B./(1)=0

C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】方法一：

因?yàn)?(孫)=y"(x)+%2/(y)，

對(duì)于A,令無=y=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),貝Ijy⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,f(l)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則于-1)=0,

令y=-1,/(t)=/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以“力為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令〃x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)/(x)無極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?(個(gè))=y2f(x)+x2/(y)，

對(duì)于A,令x=y=O,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令y=-L/(-尤)=/(尤)+尤"(-1)=/(尤)，

又函數(shù)人尤)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)片。時(shí)，對(duì)/(盯)=)?/(刈+//(丫)兩邊同時(shí)除以犬必，得到《翁=￡g+岑2,

故可以設(shè)小^=111國。=。),則/(x)=<：叫""°,

x[0,x=0

當(dāng)x>0肘，/(x)=x2Inx,則/'(%)=2xln%+%2，=%(21nx+l),

x

令/。)<0,得o<x<e3令制或>°，得》>一；

故/(X)在0,e5上單調(diào)遞減，在爐,+切上單調(diào)遞增，

<1>(

因?yàn)?X)為偶函數(shù)，所以/(X)在一屋5,0上單調(diào)遞增，在-8,-3上單調(diào)遞減，

\\7

顯然，止匕時(shí)x=0是/(X)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【變式5-1】已知定義在(。,+⑹上的函數(shù)滿足/(孫)+l=〃x)+〃y),且43=0,則/(2")=

()

A.1B.11C.12D.-1

【答案】C

【解析】令x=y=i,則/(1)+1=/(1)+/(1),解得/(1)=1,

令x=2,y=g,則“l(fā))+l=/(2)+/gj,解得"2)=2,

令x=y=2,則/(22)+1=〃2)+〃2),解得/(2?)=3,

令x=22,y=2,則/(23)+l=/Q2)+/⑵，解得623)=4,

依次類推可得/(2")=12。

故選：C

【變式5-2](2024?四川涼山?三模)已知/■(%)為定義在R上且不恒為零的函數(shù)，若對(duì)V無,yeR,都有

〃孫六^^^+才⑺成立，則下列說法中正確的有()個(gè).

①/(。)=〃1)=。；

②若當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>0,則函數(shù)g")=?在(0,+“)單調(diào)遞增；

③對(duì)V〃eN*，f(x")=nr"~7(%)；

④若貝咚甲=2"一2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析]令x=y=0有"0)=0,令x=y=l有〃1)=0.所以①正確.

。"<刈因?yàn)間(x)=3,所以g(xy)=心/—+.=g(x)+g(y),

''X孫孫Xy

所以g(無2)=g[,土=g(xj+g*],又因?yàn)槿?gt;1,且當(dāng)X>1時(shí)，〃x)>。，

Vx\)(無"占

所以g(x2)-g(xj=g>0.所以②正確.

當(dāng)x=0時(shí)由①可得③成立;

當(dāng)"0時(shí)，由②得g(x")=g(x)+g(4),所以g(x)=g(x")—g(x"T),

所以g(x)=g(x")-g(x"T)=g(x"T)-g(x"-2)=……=g(%2)-g(x),

累加得g(x")=g(x)+(〃T)g(x)=〃g(x)，即,所以m=所以③正確.

xnX

令X=g,y=2,由①得;〃2)+2/[J=〃l)=0,又因?yàn)樗?2)=2,

n

由③得=x-'f(Xy所以=(2)=2"，

n

所以=Z2z=2+22+23+......+2"=2~2，，+1=2"+l-2>所以④錯(cuò)誤.

nin1—2

故選：C

【變式5-3](2024?山西?一模)已知函數(shù)〃x)是定義在何XH。｝上不恒為零的函數(shù)，若

=駕+駕，貝|()

y%

A."1)=1B.=1

C./(x)為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)

【答案】C

[解析]令x=y=i,則/(1)=2/(1),故/⑴=0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

令x=y=-l,則/⑴=2/(-1),故/(-1)=0,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

令y=T，則/(-x)=/⑴+勺憶/⑴，故"》)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確；

因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)，又函數(shù)“X)是定義在｛x|XN0｝上不恒為零的函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

題型六：正弦函數(shù)模型

【例6](多選題)(2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,且

f(x+y)f(x-y)=f\x)-f2(y),/(l)=2,f(2)=0,則下列說法中正確的是()

2024

A./⑺為偶函數(shù)B.〃3)=-2C./(-1)=/(5)D.伏)=-2

k=2

【答案】BD

【解析】令尤=y=o,貝U/2(o)=o=/(o)=o.

另令元=0,貝iJ/(y)/(-y)=—/2(y),由/(1)=2,所以/(y)三。不成立，

所以〃-y)=-/(y)，所以函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

令x=2,y=l,則〃3)/⑴=/(2)-尸⑴n/(3)=—2,故B正確；

令x=3,y=2,則f(5)〃l)=尸(3)-尸⑵=>/(5)=2,

又/(一1)=一/。)=一2,所以〃-[)=一八5),故C錯(cuò)；

令y=2得/(x+2)/(x—2)=/(耳—尸⑵且/⑴=2,〃3)=-2,/(5)=2,

所以"7)/(3)=r(5)=〃7)=-2：〃9)/(5)=/⑺=/(9)=2；/(11)/(7)=/2(9)=>/(11)=-2

L

所以〃2左+1)=(—球x2,又“0)=0,42)=2,

所以〃6)〃2)=/2(4)=/(4)=0；/(8)/(4)=/2(6)=>/(6)=0^

所以"2人)=0；

所以〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=/(5)+〃6)+/(7)+〃8)==

/(4左+1)+/(4左+2)+/(4左+3)+/(4左+4)=0

20242024

所以⑹一〃1)=°一/⑴=2故D正確.

k=2k=l

故選：BD

【變式6-1](多選題)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且

f(x+y}f{x-y)=f\x)-f2(y),/(I)=1,/(2)=0,則下列說法中正確的是()

A.7(力為偶函數(shù)B./⑶=TC./(-1)=-/(5)D.￡f(k)=l

【答案】BC

【解析】方法一：先介紹正弦平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B).

證明過程如下：

sin2A-sin2B=(sinA+sinB)(sinA-sinB)

=sin(A+B)sin(A-B).

TTTT

由題意，可以令/(x)=sin]x,因?yàn)?(x)=sin]x為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

因?yàn)?(3)=-1,故選項(xiàng)B正確.

因?yàn)閒(T)=T=—/⑸，故選項(xiàng)C正確.

因?yàn)?=4,2023+4=5053,故￡/W=/⑴+/(2)+/(3)=0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

方法二：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?(戈)的定義域?yàn)镽,

令無=y=o,則/(0)/(0)=/2(0)-72(0),故/10)=0,貝1/(。)=。,

令x=0,則/")/(一月=r(0)-r(y),

又/(>)不恒為0,故f(7)=-/"),

所以Ax)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,令尤=2,y=l,則7(3)/⑴=/(2)-產(chǎn)⑴.

而/⑴=1,『(2)=0,所以/(3)=-1,故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B可知，〃3)=-1,

令x=3,y=2,則/(5)。(1)=/(3)-尸⑵,所以了⑸點(diǎn).

又因?yàn)榘藷o)為奇函數(shù)，所以=⑴=-1,故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)B以及〃x+2)/(x-2)=r(x),可得f(7)=-l,〃9)=lj(ll)=-l,

所以“24+1)=(-1廣,同理可得/(2%)=0.

2023

因?yàn)?023+4=5053,故乞/伏)=/⑴+/(2)+/(3)=0,故D錯(cuò)誤.

k=\

故選：BC

題型七：余弦函數(shù)模型

【例7】(多選題)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足/(x+y)=/(x)"(y)-"2-x)/(2-y),且

/(0)^0,/(-2)=0,則()

A./(2)=1

B.7(尤)是偶函數(shù)

C.[/(%)]2+[/(2+X)]2=1

D./(1)+/(2)+/(3)++”2024)=1

【答案】BC

【解析】A./(x+y)=/(x)./(y)-/(2-x)-/(2-y),

令x=0,y=2,則/⑵=/(0)力2)-/(2)./(0)=0,故A錯(cuò)誤；

令尤=y=0,則〃0)=〃0).“0)—/(2).〃2)=〃0).〃0),又/(0)￥0,所以40)=1,

令y=2,則〃x+2)=/(x)力2)-/(2-x)./(0)=-/(2-x),

所以函數(shù)/(x)關(guān)于(2,0)對(duì)稱，

令x=y=2,則〃4)=/(2).〃2)-〃0)./(0)=-1,

令y=4,且〃-2)=0,則/(X+4)=〃X)"(4)-"2-2)=—/(x)=—"―"，所以

又函數(shù)〃元)的定義域R，所以函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)，故B正確；

令廣T,則〃2T)./(2+X),

又〃0)=1,/(X)=/(T)J(X+2)=-〃2-X),所以[”x)f+["2+x)]2=l,故C正確；

因?yàn)椤▁+4)=-/⑺，所以/(x+8)=T(x+4)=/(x),所以函數(shù)“X)的一個(gè)周期為8,

令x=2,y=l,則/(3)=〃2).〃1)—/(0)。(1)=—M1),所以〃3)+/(1)=0,

所以〃一3)+/(-1)=0,所以/⑸+"7)=〃一3)+〃-1)=0,

/(6)=/(-2)=/(2)=0,/(8)=/(0)=1,

所以〃1)+/(2)+〃3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+48)

=[/(1)+/(3)]+[/(5)+/(7)]+/(2)+/(4)+/(6)+/(8)=0+0+0-1+0+1=0,

所以〃1)+〃2)+/(3)++/(2024)=253x[/(l)+/(2)+/(3)++/(8)]=0,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

【變式7-1](多選題)(2024?遼寧?二模)己知定義城為R的函數(shù)/(%).滿足

/(^+y)=/(x)/(j)-/(l-x)/(l-y),且/(0)片0,“一1)=0,則()

A./(1)=0B./(x)是偶函數(shù)

2024

C.[〃x)T+[/(l+x)T=lD.S/(0=->

i

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A項(xiàng),由〃x+y)=/(x)〃y)—/(l—x)/(l—y),

令x=y=；,貝1-/(g)=。，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，令x=y=0,則〃0)=[〃0)了一口⑴了力⑼了,

因〃0)H。，故/'(Obi,

令丫=1，則/(x+l)"(x)/(l)—/。―x)/(0)=—/。―x)①,

所以函數(shù)”X)關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，

令尤=y=1,則"2)=[/(1)]2-[/(0)]2=-1,

令尸2,則/(x+2)=/(x)〃2)-/(l-x)〃-l)=-〃x)②,

由①可得：/(^+2)=-/(-%)(3),由②③可知：/(—x)=/(x),

且函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng),令〉=-%則/(O)=〃x)〃r)—〃l—x)/(l+x),

因?yàn)?0)=1,〃T)=〃X),/卜+1)=一/。_力，代入上式中得，

故得：[/(x)]2+[/(l+x)]2=l,故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由上可知:/(x+2)=-/(x),^\f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

故函數(shù)/(X)的一個(gè)周期為4,故〃4)=〃0)=1,

令x=2,y=l,貝"(3)=〃2)〃1)一/(-1)/(0)=0,

所以/。)+/⑵+/(3)+"4)=0+(-1)+0+1=0,

2024

則￡/?)=254x0=0,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

i=\

故選：ABC.

【變式7-2](2024?吉林?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),

2024

/(0)=1,/(3x+l)=-/(-3x+l),則￡/(左)=()

k=0

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】由題意知函數(shù)AM的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),/(0)=1,

令x=0,則f(y)+f(—y)=2/(y),即/(-y)=f(y),故為偶函數(shù)；

又/(3x+l)=—/(一3尤+1),令x=0,貝|/(1)=一/(1),二/(1)=0,

又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,

即/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(L0)成中心對(duì)稱，則/(2)=-/(0)=-1；

/(%+1)+/(-^+1)=0,即/(x+2)=-/(r),又結(jié)合了⑺為偶函數(shù)，

則/(x+2)=_J(x),故/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即4為f(x)的周期，

故〃3)=/(T)=/⑴=0，〃4)=/(0)=1

2024

故￡/(幻=”0)+[/(l)+/(2)+L+/(2024)]=1+506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]

攵=0

=1+506[0-1+0+1]=1,

故選：D

【變式7-3](2024?安徽?模擬預(yù)測)若定義在R上的函數(shù)/(%),滿足

2〃x+y)〃x—y)=〃2x)+〃2y),且/。)=—1,則〃0)+〃1)+〃2)+…+/(2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

【答案】D

【解析】令x=y=；,則有2〃1)〃0)=/(1)+/(1),

又〃1)=—1,...40)=1.令x=g,y=0.

則有27g/出=〃1)+〃0)=-1+1=0,”出=0.

令y=>；，則有2712x-g]/[；j=/（2x）+/（2x-l）.

=，/（2x）+“2xT）=0，???〃x）+〃xT）=O，

..?/（O）+/⑴+〃2）+…+/（2024）

=/（0）+[/（l）+/（2）]+--+[/（2023）+/（2024）]=l+1012x0=l.

故選：D.

題型八：正切函數(shù)模型

【例8】定義在（-M）上的函數(shù)滿足：“尤）一/（＞）=人共；當(dāng)xe（TO）時(shí)，有〃x）＞。，且

=1.設(shè)機(jī)=/（：）+/（：）++/（忌口）〃22,〃€M，則實(shí)數(shù)優(yōu)與-1的大小關(guān)系為（）

A.m＜-\B.m=-lC.m＞-\D.不確定

【答案】C

【解析】函數(shù)/（x）滿足〃X）-〃丫）="三彳］,令x=y=o得〃0）=0；

令x=o得-/（y）=〃-y）,

\/（火在（―1,1）為奇函數(shù)，

又xe（-l,O）時(shí)，有/（x）＞0,所以xe（O,l）時(shí)，有〃x）＜0,

所以戶＞0,

設(shè)一1＜%＜尤2＜1,所以玉%2＜L/一%＞0,

1-%2再

則/（%）-/（尤）1=/|J*|＜。，所以/（工2）-“石）＜。，即/（為）＜/（石），

\/（X）在是單調(diào)減函數(shù)，在（0,1）時(shí)，f（x）＜0,

I1_1、

乂"",二個(gè)—]

）\n+n—\）1一1]\n）<n+l）

\nn+1J

故選：c.

【變式8-1](2024?浙江?二模)已知函數(shù)“X)滿足對(duì)任意的x,ye(l,+w)且x<y都有

m若

,貝U+〃2+〃3++〃2024)

253

B.f

380

【解析】???函數(shù)〃元)滿足對(duì)任意的x,y?l,+8)且都有了HI

X—v(n+2)-(n+3)1

???令x=〃+2,y=〃+3,貝U-----