2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易混易錯(cuò)專項(xiàng)復(fù)習(xí)一一數(shù)列

【易混點(diǎn)梳理】

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：??=?,+(?-W.

2.等差中項(xiàng)公式：2an=an_x+an+x(neN*,H>2).

3.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：5,=幽歲=叫+若1(

4.等差數(shù)列的性質(zhì)：

已知數(shù)列｛??｝是等差數(shù)列，S“是｛??｝的前n項(xiàng)和.

(1)若根+"=p+qlmnaeN*),貝I］有4,=%,+%.

(2)等差數(shù)列｛4｝的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，｛q｝是遞增函數(shù)；當(dāng)d<0時(shí)，｛q｝是遞減函數(shù);

當(dāng)d=0時(shí)，｛可｝是常數(shù)歹!J.

(3)若｛4｝是等差數(shù)列,公差為",則為，4+?,,怎+2〃”…伏，根eN")是公差為md的等差數(shù)列.

(4)若｛。〃｝是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與｛4｝的首項(xiàng)相同，其公差是｛4｝的

n

公差的;.

(5)若｛%｝是等差數(shù)列，黑,邑?,,邑?,分別為｛q｝的前m項(xiàng)，前2機(jī)項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則

S,”,邑m-5,”,53,“-反?!成等差數(shù)列，公差為m2d(d為數(shù)列｛4｝的公差).

nx

5.等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an=axq-.

6.等比中項(xiàng)公式：a；=an_1-an+l(n&N*,n>2).

nax(q=1)

7.等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式：Sn=<^(1-q")_ax-anq.

-■=-：(q豐D

I"qi-q

8.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：

(I)當(dāng)"1(或4=-1且左為奇數(shù))時(shí),SHSL-&,S3/-S凝，…是等比數(shù)歹!).

(2)若4?的?…?4=4，則&$,+'一?成等比數(shù)列.

4，2n

s

（3）若數(shù)列｛4｝的項(xiàng)數(shù)為2〃，S偶與S奇分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和，則造=心若項(xiàng)數(shù)為%+1,

3奇

則一^\心

3偶

【易錯(cuò)題練習(xí)】

2

1.記正項(xiàng)等差數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為S“，S2n=（a?+1）,a2=3,則生=（）

A.23B.24C.25D.26

2.已知數(shù)列｛4｝滿足a“+]=2ajc%=4,則數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)和等于（）

A.16B.24C.30D.62

v

3.記S"為等比數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和.若%-%=12,%-&=24,則」=（）

A.2"-1B.2-2~

C.2—2”TD.21"-1

4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn.若區(qū)—44—3（4+24-8%=0，54=15,貝I]S2023=

()

2022

A.22023-lB.22022-1C22。23D,2

5.已知等差數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“，a5+a^-2a10,4+%=-26,則滿足勾心用＜0的〃

的值為（）

A.14B.15C.16D.17

6.（多選）設(shè)S“是公比為正數(shù)的等比數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和.若出=La3a5=—,則（）

264

A19

A.——B.S,=-

834

C.a“+S”為常數(shù)D.--2｝為等比數(shù)列

7.（多選）若｛%｝為等差數(shù)列，6%=11,%=5則下列說(shuō)法正確的是（）

A.an=15-2n

B.-20是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)

C.數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減

D.數(shù)列｛%｝前7項(xiàng)和最大

8.記S”為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和.若%+%=7，3%+%=5，則耳。=

9.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$4=3,58=51,則為。23=

10.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足4+1=0，neN*,%=9.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知也=（%+%+）2",求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

答案解析

1.答案：A

解析:設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d.令n=l,得S2=（[+1）2,即q+3=（弓+以，（6+2）（q-1）=0,

解得％=1或q=—2（不符合題意，舍去），貝Ud=出一%=3—1=2,貝！J/=%+1Id=23,故

選A.

2.答案：C

解析：由已知可得，當(dāng)〃=1時(shí)，a”]=g=2q=>q=2;

當(dāng)兒=2時(shí)，%+i=%=2/n%=8；當(dāng)〃=3時(shí)，%+1=%=2%=%=16;

所以數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和等于2+4+8+16=30,故選：C.

3.答案：B

解析：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則由七一%=。￡-?！?12,解得卜=1,所以

[a6-a4=axq-axq'-24,[q二2.

n｝

%（1-4J、—],an=axq-=2"-',所以&=^1=2—2「"，故選B.

x

1—qanT-

4.答案：A

解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為4（夕>0）,,??〃：—4。：—3的6+2%-8%=。，

(4—4%)(4+/+2)=。.:>0，??4+a4+2w。%—4%=。，??~~—4,解得q=2

。4

a,(1-q4)a,(1-24)i-22023

(負(fù)值舍去)，.-.S=^------1=；2』5〃]=15,，4=1,.?.邑023=]2=223_1.故

4

選A.

5.答案：B

解析：由4+%=-26,得。5=-13.設(shè)｛%｝的公差為d,則由%+。8=-2〃io,可得

%+。5+3d=—2(%+5d),得d=4,所以Q〃=4〃—33,則S八=2/—31〃=〃(2〃—31),當(dāng)〃<15

時(shí)，Sn<0,當(dāng)〃N16時(shí)，Sn>Q,貝!J當(dāng)〃<14時(shí)，5n-5n+1>0,當(dāng)〃216時(shí)，5n-5n+1>0,當(dāng)〃=15

時(shí),S屋S〃+i<0,(另解=(2"-31〃)[2(〃+1)2-31(〃+1)]=(2"-31〃)(2/-27〃-

=”("+1)(2"—31)?(2〃-29),易矢口當(dāng)寸<〃<：時(shí),S〃S“+i<0,又“cN*,所以當(dāng)九=15時(shí),

S￡+i<0)故選B.

6.答案：ACD

解析：設(shè)｛?！保墓葹閝(q>0),則aq-aq3=—,解得q，故=aqn~，則q=1,

2264222”

1_—

1111小17

S.------=2------■.對(duì)于A,。4=~?二—，故A正確；對(duì)于B,邑=2—-——故B錯(cuò)誤;

112〃T42383224

1—

2

對(duì)于C,a“+S〃=二+2=2為常數(shù)，故C正確；對(duì)于D,由3―2=—工，5二冬=工

〃〃2〃一12〃一1n2〃一1S—22

n>2,可得⑸-2｝為等比數(shù)列，故D正確.故選ACD.

7.答案：ACD

解析：因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且4=11，%=5則1+"=］，解得q=13,d=—2

+4d—5

%=13+5—1)x(—2)=—2/Z+15,故A選項(xiàng)正確，由—20=—2〃+15,得〃=3WN*，故B錯(cuò)誤，

2

因?yàn)閐<0,所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，故C正確，由數(shù)列通項(xiàng)公式4=15-2〃可知，前7項(xiàng)均

為正數(shù)，a8=-1,所以前7項(xiàng)和最大，故D正確.故選：ACD

8.答案：95

解析：解法一':設(shè)｛%｝的公差為d,由%+%="i+2d+a1+3d=2al+5d—7,

3a2+%=3(%+1)+%+4d=4q+7d=5,解得q=—4,d=3,則S］。=106+45d=95.

解法二：設(shè)｛a“｝的公差為d,由/+%=%+%=7，3a?+。5=5，得a2=-1,%=8，故

d=今~|1=3,a6=11,則Si。="xl0=5(%+a6)=5xl9=95.

,2022

9.答案：——

解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,由題意知q〉0且q/1,則

q(i-

—,解得.貝!

1-q_1q=2J=-^-----=15ax—3,.*.a1=—

171-q5

i—q

22022

.n_〃〃2022_J_x。2022

??^^2023ly入乙

5

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛氏｝的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得S8-54,52-Sg成公比為

二的等比數(shù)列，.“4=與&=芋=16,又等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，「.9=2,又

2022

—/)190??12

S=-----------=15tz=3,q=—,02023=—一=—*2''-=-----.

41-qi5