人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：點到圓的距離最值問題（解析版）

專題20點到圓的距離最值問題

1.如圖，己知空間站A與星球2距離為m信號飛船C在星球8附近沿圓形軌道行駛，B,C之間

的距離為6.數(shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是（）

A.aB.bC.a+bD.a-b

【答案】C

【分析】根據(jù)：三角形的任意兩邊的長度之和大于第三邊，可得：只有空間站A與星球8、飛船C

在同一直線上時，S取到最大值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：空間站A與星球8、飛船C在同一直線上時，S取到最大值a+b.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的

任意兩邊的長度之和大于第三邊.

2.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,3C=4.點P是線段BC上一動點，點M為線段相上一

點.ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

C.>/13——D.—2

【答案】D

【分析】證明NAM￡>=90°,得出點M在。點為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計算出答案.

【詳解】設(shè)AD的中點為。，以。點為圓心，A。為半徑畫圓

???四邊形ABCD為矩形

/.ZBAP+ZMAD=90°

ZADM=ZBAP

：.ZMAD+ZADM=90°

：.ZAMD=9Qi

.?.點M在。點為圓心，以49為半徑的圓上

連接。8交圓。與點N

???點2為圓。外一點

當(dāng)直線過圓心。時，最短

■/BO2=AB2+AO2,A0=IAD=2

2

BO2=9+4=13

/.BO=^13

'：BN=BO-AO=^fL3-2

故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識.

3.如圖，函數(shù)y=-/+12的圖象與x軸交于A,8兩點，點C是以"(0,2)為圓心，2為半徑的圓

上的動點，尸是AC的中點，連結(jié)。尸，則線段OP的最小值是()

y

A.1B.V3C.2D.77

【答案】A

【分析】連接BC、BM、CM,根據(jù)題意得OA=O8=26,然后由三角形的中位線定理，可得到

OP=^BC,從而當(dāng)BC最小時，0P最小，又由得到當(dāng)8、C、M三點共線時,

BC=BM-MC,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接8C、BM、CM,

令y=0,則-由+12=0,

解得：X=±2A/3,

:函數(shù)>=-/+12的圖象與X軸交于A,8兩點,

A（-2V3,0）,B（2瓜0）,

/.OA=OB=2>/3,

?.?尸是AC的中點，

OP^-BC,

2

...當(dāng)BC最小時，OP最小，

VBC+MC>BM,

：.BC>BM-MC,即當(dāng)2、C、M三點共線時，BC=BM-MC,

*/BM=y/OB2+OM2=+2。=4,MC=2,

.?.BC的最小值為4-2=2,

；.OP的最小值為1.

故選:A

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，線段最小值的問題，熟練掌握二次

函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，"BC中，AB=AC,3c=24,AOJ_8C于點。，AD=5,P是半徑為3的A上一動點，連

結(jié)PC,若E是PC的中點，連結(jié)DE,則。E長的最大值為()

BDC

A.8B.8.5C.9D.9.5

【答案】A

【分析】連接8P,根據(jù)三角形中位線定理可得=從而得到當(dāng)最大時，DE最大,再

由當(dāng)P8過圓心A時，尸8最大，即可求解.

【詳解】解:如圖，連接2尸，

BDC

'：AB=AC,BC=24,AO_LBC于點O,

：.BD=CD=12,

是PC的中點，

DE^-BP,

2

...當(dāng)2尸最大時，最大，

：P是半徑為3的「A上一動點，

.?.當(dāng)過圓心A時，PB最大,此時P、4、8三點共線，

'：AD=5,BD=12,

：.AB=i3,

.?.尸2的最大值為13+3=16,

.?.DE的最大值為8.

故選：A

【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理，明確

當(dāng)PB取最大值時，OE的長最大是解題的關(guān)鍵.

5.Q是半徑為3的。0上一點，點P與圓心0的距離0P=5,則PQ長的最小值是.

【答案】2

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：Q是半徑為3的。。上一點，點P與圓心0的距離0P=5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，PQ>OP-OQ（注：當(dāng)O、P、Q共線時，取等號）

；.PQ長的最小值=5-3=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查的是點與圓的位置關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系求最值是解決此題的關(guān)鍵.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P坐標(biāo)為（2,3）,點。為圖形M上一點，則我們將線段尸。長度的

最大值與最小值之間的差定義為點尸視角下圖形M的“寬度”.現(xiàn)有二。，。為原點，半徑為2,則

點尸視角下。的“寬度''為.

【答案】4

【分析】連接以，PB,連接尸。并延長，交。。于點E,F,利用圖形的“寬度”的定義分別求出這

點到圖形的長度的最大值與最小值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接B4,PB,連接尸。并延長，交。。于點E,F,如圖，

則PE,PP為點P到。。的長度的最大值與最小值，

，在點P視角下，。。的“寬度'為PF-PE=EF=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，本題是新定義型題目，熟練運用新定義是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在放反42。中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,點。是AABC內(nèi)部的一個動點，且滿足NACD=

ZCBD,則的最小值為一.

【答案】2

【分析】首先證明點。在以BC為直徑的。。上，連接。1與。。交于點。，此時D4最小，利用勾

股定理求出0A即可解決問題.

【詳解】解：：/ACB=90°,

B

：.ZBCD+ZDCA=90°,

???ZDBC=ZDCA,

：.ZCBD+ZBCD=90°,

：.ZBDC=90°,

?,?點。在以3。為直徑的。。上，連接04交。。于點。，此時。4最小,

在MAC40中，-：ZOCA=90°,AC=4,0C=-BC=3,

2

.?.0732+42=5,

：.DA=OA-OD=5-3=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查點與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是確定點尸位置,

學(xué)會求圓外一點到圓的最小、最大距離.

8..如圖，在R/AABC中，ZACB=9Q°,AC=5,8C=8,點。是邊8C的中點，點E是邊A8上的

任意一點（點E不與點2重合），沿。￡翻折△■D2E使點B落在點尸處，連接AF則線段AP長的

最小值是.

A

【答案】V41-4##-4+V41

【分析】由翻折的性質(zhì)可知。8=。區(qū)結(jié)合。是2c的中點得到。尸=8,進而得到點P在以。

為圓心，以8。為半徑的圓上，連接AO交圓于9，此時AF的值最小，求出AF即可求解.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知。8=。尸,

。是BC的中點，

:.DB=DF=CD,

點尸在以。為圓心，以80為半徑的圓上，連接AO交圓于F，此時Ak的值最小.

AC=5,BC=8,ZACB=90°,

:.CD=-BC=-x8=4,

22

AD=^AC2+CD2=A/52+42=V41,

AF'=AD-DF'=AD-CD=44l-4.

故答案為：741-4.

【點睛】本題主要考查圖形的翻折變換，勾股定理等知識，構(gòu)造圓找到AF最小時的位置是解題的

關(guān)鍵.

9.如圖，矩形A8CZ）中，AB=4,AD=6,動點E在矩形的邊48上運動，連接DE,作點A關(guān)于OE

的對稱點尸，連接3P,則3尸的最小值為.

【答案】2A/B-6##-6+2713

【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)可得尸在以。為圓心的圓上，半徑為6,連接2。，交圓。于P,然后根

據(jù)勾股定理可得問題的答案.

【詳解】解：：點A關(guān)于。石的對稱點尸，

：.DA=DP=6,

在以。為圓心的圓上，半徑為6的一段弧上，連接8。，交圓。于產(chǎn),

AD

...BP為最小值,

"：AB=4,AD=6,ZDAB=90°,

?*,BD=-y/42+62=2>/13，

;半徑為6,即。P=6,

：.BP'=2y/13-6.

故答案為：2屈6

【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握相應(yīng)性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵.

10.已知點。及其外一點C,OC=5,點A、8分別是平面內(nèi)的動點，且OA=4,BC=3,在平面

內(nèi)畫出點A、8的運動軌跡如圖所示，則長的最大值為,長的最小值為,AC長的

最大值為一，AC長的最小值為—，長的最大值為—，長的最小值為一.

【答案】829120

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行解答即可.

【詳解】解：O,C,B位于一條直線上時,

當(dāng)點C在點8左側(cè)時，0B最大,最大值為:OC+BC=8,

當(dāng)點C在點5右側(cè)時，OB最小,最小值為:OC-BC=2,

Q,C,A位于一條直線上時,

當(dāng)點A在點。左側(cè)時，AC最大，最大值為:OC+OA=9,

當(dāng)點A在點。右側(cè)時，AC最小，最小值為:OC-OA=1,

在一條直線上時，且A位于。點左側(cè)，8點位于C點右側(cè),

此時，4B最大，最大值位：AO+OC+CB=12,

當(dāng)點A3重合時，A3最小，最小值為：0,

故答案為：8,2,9,1,12,0.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意得出相應(yīng)的位置是解本題的關(guān)鍵.

11.已知，在正方形ABCD中，AB=4,點E在邊AB上，且BE=1,以點B為圓心，BE長為半

徑畫。B,點P在。B上移動，連接AP.

(1)如圖①，在點P移動過程中，AP長度的最小值是.

(2)如圖②，將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AP，連接BP，，在點P移動過程中，Bp長度的最

小值是.

D\--------------------|C?D，------------------,C

圖①圖②

【答案】3472-1

【分析】(1)當(dāng)點P在線段AB上時，AP的長度有最小值，即可求解；

(2)由“SAS”可證APAB也APAD,可得PD=PB=1,點P的運動路線為以D為圓心，以1為

半徑的圓上，則當(dāng)P'在對角線BD上時，BP最小，再利用勾股定理求對角線BD的長，則得出

BP的長.

【詳解】解：(1)??,點P在。B上移動，

當(dāng)點P在線段AB上時，AP的長度有最小值，

最小值=AB-PB=4-1=3,

故答案為：3.

(2)如圖，連接BP,

P'

A'、，

P

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP，/PAP=90。,

.\ZPAB+ZBAP,=90°,

四邊形ABCD為正方形，

；.AB=AD,ZBAD=90°,

/BAP'+NDAP'=90°,

ZPAB=ZDAP,,

在ZkpAD和APAB中，

AD=AB

<ZPAB=ZDAP'

AP=AP

...△P'AD^APAB(SAS),

PD=PB=1,

...點P在以點D為圓心，DP為半徑的圓上，

...當(dāng)P，在對角線BD上時，BP最小，

在RtAABD中，VAB=AD=4,

BD=VAS2+AD2=716+16=40，

：.BP'=BD-PD=4萬-b

即BP長度的最小值為4應(yīng)-1.

故答案為：4A5_1.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找出

線段的最小值1.

12.如圖，平面直角坐標(biāo)系X0V中，點A的坐標(biāo)是(-3,4),點8是：A上一點，A的半徑為2,連

接。8,則線段OB的最小值為.

【答案】3.

［分析］由圖可知，線段OA與圓的交點為B時，OB值最小，過點A作AE，y軸，過點B作3尸，〉

軸，根據(jù)勾股定理求出OA,即可得到結(jié)果；

【詳解】由圖可知，線段0A與圓的交點為B時，0B值最小，過點A作軸，過點B作2廠，，

軸,

?..點A的坐標(biāo)是（一3,4）,

：.AE=3,OE=4,

?-0A=^AE2+OE1=J32+4"=5,

又???半徑為2,

0B=5—2=3.

故答案是3.

【點睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)和勾股定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

13.已知P為。。外的一點，尸到0。上的點的最大距離為6,最小距離為2.若為。。內(nèi)一條

長為1的弦，則點尸到的距離的最大值為,最小值為.

【答案】4+巫0

2

【分析】根據(jù)圓外的點到圓上的點的距離性質(zhì)，以及勾股定理公式，可得所求.

【詳解】解:如圖，

由題意設(shè)直線。尸交0O于C,D,則PO=6,PC=2,CD=4,

當(dāng)線段A3,線段CD于X時，點尸到A2的距離最大,、

在RtzvlOH中，V（?A=2,AH=^,

，OH=

.??加4+.,

點P到AB的最大距離為4+巫,

2

當(dāng)A、B、尸在同一直線上時，點尸到AB的距離最小，最小值為0,

【點睛】本題考查圓外的點到圓上的點的距離性質(zhì)，以及勾股定理公式.

14.如圖，正方形A8C。的邊長為2,動點E,尸分別從。，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊

DC,上向各自終點C,2移動，連接AE和交于點P,則線段CP的最小值是.

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】證明得到推出N￡)PE=90。，貝!]NAP￡)=90°,故點尸在以

A。為直徑的圓上運動，取AO中點G,連接CG,交圓G(直徑為A8)于點P,則此時CP最小,

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???動點E,尸分別從。，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊。C,CB上向各自終點

C,8移動，

:?DE=CF,

??,四邊形ABC。是正方形，

AZADE=ZDCF=90°fAD=DCf

.MADE學(xué)ADCF(SAS),

???ZDAE=ZCDFf

ZDAE+ZDEA=90°,

：.ZPED+ZPDE=90°,

：.NDPE=90°,

：.ZAPD=90°,

...點P在以AQ為直徑的圓上運動，

取A。中點G,連接CG,交圓G（直徑為AB）于點尸，則此時CP最小,

V四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

/.DG=-AD=l,CD=2,ZADC=90°,

2

?*-CG=VCD2+DG2=A/5，

/.CP=CG-GP=^5-\,

，CP的最小值為有_1,

故答案為：75-1.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓外一點到圓上一

點的距離的最值問題，正確得到點P在以為直徑的圓上運動是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，A（2,0）、3（6,0）,以A3為直徑作射線。尸交M于E、下兩點，C為弧A3的

中點，。為E尸的中點.當(dāng)射線O尸繞。點旋轉(zhuǎn)時，8的最小值為

【答案】2忘-2##-2+20

【分析】連接如圖，利用垂徑定理得到則/O￡）M=90。，再根據(jù)勾股定理得到點。

在以A點為圓心，2為半徑的圓上，利用點與圓的位置關(guān)系可判斷當(dāng)。點為C4與。A的交點時，

CD的值最小，此時CD=AC-2=2V2-2.

【詳解】解：連接如圖,

C是A8的中點，

:.CM±AM

:.AM=CM=-AB=2,AC=2>f2

2

?.?。為跖的中點，

J.MDLEF,

：.ZODM=90°,

又，A(2,0),3(6,0),即AB=4,

...點D在以A點為圓心，2為半徑的圓，

當(dāng)。點為CA與。A的交點時，CD的值最小，

止匕時CD=AC-2=2正-2.

即CD的最小值為2&-2.

故答案為：2&-2.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧

所對的圓心角的一半.推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也

考查了垂徑定理和勾股定理.

16.如圖，拋物線y=與無軸交于A,B兩點，點尸是以點C(0,4)為圓心，1為半徑的圓

上的動點，點。是線段尸8的中點，連接O。，則線段。。的最小值是.

y

\W-

A\o~/Bx

【答案】2

【分析】連接AP，先解方程$2-3=0得A(-3,0),3(3,0),再判斷。。為&RP的中位線得到

OQ=^AP,利用點與圓的位置關(guān)系，連接AC交圓于尸時，B4最小，然后計算出AP的最小值即

可得到線段。。的最小值.

【詳解】解：連接AP.

當(dāng)y=0時，-X2-3=0

3

解得再=3,x2=-3

則A(—3,0),3(3,0)

是線段PB的中點.

二。。為/MBP的中位線.

OQ=^AP.

當(dāng)AP最小時，最小.

連接AC交圓于尸時，B4最小.

；AC=7(M2+(9C2=A/32+42=5-

的最小值：AP=AC—PC=5—1=4.

線段0。的最小值：。。=(4尸=2.

故答案為2.

【點睛】本題考查了中位線、二次函數(shù)與圓的綜合題，解題的關(guān)鍵在于連接圓心C所得的AP最小.

17.RtAABC,AB=AC=6,點。在斜邊上，尸為平面內(nèi)一動點，且滿足口=3,則尸。的最小值

是.

【答案】372-3.

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊BC=6應(yīng)，由已知條件得到點尸在以A為圓心，PA

為半徑的圓上，當(dāng)點尸在斜邊2c的中線上時，P。的值最小，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：：直角三角形ABC,AB=AC=6,

斜邊BC=6后，

:點P為該平面內(nèi)一動點，且滿足以=3,

.,.點P在以A為圓心，B4為半徑的圓上，

當(dāng)點P在斜邊BC的中線上時，尸。的值最小，

「△ABC是直角三角形，AB=AC=6,BQ=CQ,

：.AQ=^BC=3y/2,

'：PA=3,

：.PQ=AQ-AP=3y/2-3,

故答案為：3^2-3-

【點睛】本題考查了等腰直角三角形，最短路線問題，圓的基本性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)

鍵.

18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為(T,-3),A的半徑為1,點p坐標(biāo)為(2,0),點M是:A

上一動點，則尸M+的最小值為_.

【答案】3君

【分析】由點M是CA上一動點，當(dāng)A,M,P三點共線時，即+有最小值，連接AP交

于點過點A作無于點E,利用勾股定理求解外即可解答.

【詳解】解：點M是A上一動點，當(dāng)A,M,P三點共線時，PM+AM有最小值，

;.AE=3,EP=OE+OP=4+2=6,

AP=dAE。+EP，=732+62=3A/5-

:.PM+AM的最小值為3亞.

故答案為：3下.

【點睛】本題考查求一點與圓上點距離的最值、兩點之間線段最短、坐標(biāo)與圖形、勾股定理，會利

用兩點之間線段最短解決最值問題是解答的關(guān)鍵.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，點C（2,2）,圓C與x軸相切于點A,過A作一條直線與圓交于A,8兩

點，AB中點為M,則的最大值為.

【答案】V5+l##l+75

【分析】連接CM、CA,取AC的中點。，以AC為直徑作0D,如圖，則點M在。。上，連接。。

并延長，當(dāng)點M在。。的延長線與。。的交點處（圖中的點M1處）時，0M的值會最大，根據(jù)圓周

角定理和切線的性質(zhì)得出AC=2,0A=2,則AO=/AC=1,DM'=^AC=\,利用勾股定理求出02

由OM=OZ）+OAf即可求解.

【詳解】解:連接CM、CA,

0C與x軸相切于點A,C（2,2）,

；.AC_Lx軸，AC=2,04=2,

為弦A8的中點，

：.CM±AB,

：.ZAMC=90°,

取AC的中點。，以AC為直徑作。。，如圖，則點〃在。。上，

連接。。并延長，當(dāng)點M在的延長線與0。的交點處（圖中的點M處）時，的值會最大,

在中，AD=~AC=\,OA=2,

?-0D=yj+AD2=V22+12=A/5,

V￡）Af=|AC=l,

/.OM=OD+DM=75+1,即。Af的最大值為亞+1

故答案為：\/5+1

【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，一點到圓上一點的距離得到最小值，兩點距離公式，三角形

中位線定理，把求出的最小值轉(zhuǎn)換成求2D的最小值是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，菱形ABC。中，ZA=60°,AB=3,OA,