2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：冪函數(shù)

第五節(jié)黑函數(shù)

■課程標(biāo)準(zhǔn)

1.通過(guò)具體實(shí)例，理解塞函數(shù)的概念.

2.結(jié)合y=x,y=§,y=f,y=瓜,丁=好的圖象，理解它們的變化規(guī)律.

口------------必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)-----------課前自修

LI_—____知___識(shí)____?_逐____點(diǎn)___夯____實(shí)_______________________________________________________________1__________

知識(shí)梳理

1.幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=『叫做黑函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

提醒幕函數(shù)的特征：①自變量無(wú)處在賽底數(shù)的位置，氟指數(shù)a為常數(shù)；②犬的系數(shù)為1;③只有一項(xiàng).

2.常見(jiàn)的五種幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

i

函數(shù)y=X2y=x~x

斗/\斗/I

圖象為小

~7T

性定義域RRR{x1x20}lx1xWO}

質(zhì)值域R{y1y20}R{y1y20}{y1yWO}

1

函數(shù)y=X2尸尤-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

性在（-8,0）和

在（-8,0］上單調(diào)遞減；

質(zhì)單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)（0,+8）上單調(diào)遞

在（0,+8）上單調(diào)遞增

減

對(duì)點(diǎn)自測(cè)

1判斷正誤.（正確的畫(huà)“4”，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”）

1

（1）函數(shù)y=2短是幕函數(shù).（x）

（2）當(dāng)〃>0時(shí)，幕函數(shù)y=M農(nóng)（0,+8）上單調(diào)遞增.（Y）

（3）若幕函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn).（4）

2.已知幕函數(shù)y=/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,（J,則〃4）=（）

A.-B.4C.—D.V2

42

解析：A設(shè)/(x)=K，?.?圖象過(guò)點(diǎn)(2,3，(2)=2。=],解得a=-1,(4)=4-1=[.

3.已知幕函數(shù)/(x)=段，貝!|/(x)()

A.是偶函數(shù)，目在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

1

解析：D因?yàn)?(x)=%3,故/(%)是奇函數(shù)，且在(0,+oo)上單調(diào)遞增，故選D.

4.已知底｛-2,-1,|,1,2,3｝若幕函數(shù)〃尤)=^為奇函數(shù)，目在(0,+8)上單調(diào)遞減，則.

解析：由丫=犬為奇函數(shù)，知a取-1,1,3.又y=x。在(0,+°°)上單調(diào)遞減，；.a<0,故a=-1.

常用結(jié)論

嘉函數(shù)y=K在第一象限的兩個(gè)重要結(jié)論

(1)恒過(guò)點(diǎn)(1,1)；

(2)當(dāng)尤G(0,1)時(shí)，a越大，函數(shù)值越??；當(dāng)正(1,+8)時(shí)，a越大，函數(shù)值越大.

E應(yīng)用

函數(shù)y=x2-1的圖象大致是()

解析：A由結(jié)論知，函數(shù)>=蓊的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1),則y=x5-1的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)且為增函數(shù).故選A.

L考點(diǎn)?分類(lèi)突破口-------精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

I___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)一

(師生共研過(guò)關(guān))

【例1】(1)若幕函數(shù)y=『i,y=/與y=x"在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則，"與〃的取值情況為

(D)

A.-l<m<O<n<lB.-l<n<O<m<-

2

i

C.-l<m<O<n<-D.-l<n<O<m<l

2

(2)幕函數(shù)/(工)=(根2一3加+3)/的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)加==.

解析：(1)倦函數(shù)丁=/,當(dāng)。>0時(shí)，y=f在(0,+°°)上單調(diào)遞增，且0<a<l時(shí)，圖象上凸，.,?()<根<1.

當(dāng)a<0時(shí)，在(0,+°°)上單調(diào)遞減.不妨令x=2,由圖象得2」<2〃，則T<幾<0.綜上可知，

<m<1.

(2)由募函數(shù)定義，知/-3根+3=1,解得根=1或根=2,當(dāng)根=1時(shí)，f(x)=x的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，舍

去，當(dāng)機(jī)=2時(shí)，/(X)=元2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此加=2.

解題技法

幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)特征的關(guān)系

(1)森函數(shù)的形式是>=靖(aER),其中只有一個(gè)參數(shù)％因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式；

(2)判斷森函數(shù)>=犬(a￡R)的奇偶性及求定義域時(shí)，當(dāng)。是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷；

(3)若蒸函數(shù)y=K在(0,+°°)上單調(diào)遞增，則。>0,若在(0,+°°)上單調(diào)遞減，則a<0.

6訓(xùn)練

1

有四個(gè)幕函數(shù)：①/'(X)="；②/(無(wú))=獷2；③/(x)=/；◎(x)=短.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，他給

出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：(1)偶函數(shù)；(2)值域是{yIy￡R,且戶(hù)0}；(3)在(-8,o)上單調(diào)遞增.如果

他給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是f(x)=，2.

1

解析：/(x)=x-i只滿足性質(zhì)(2),/(x)=x3只滿足性質(zhì)(3),/(X)=箱只滿足性質(zhì)(3)./(X)=尤-2是偶

函數(shù),在(-8,0)上單調(diào)遞增，但是其值域是{yIy>0}.

幕函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

考點(diǎn)二

(師生共研過(guò)關(guān))

232

【例2】(1)若。=(|丫，6=(|丫/=(|%則°,八°的大小關(guān)系是(B)

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

(2)已知幕函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-8,-2)，且〃。+1),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

8,1].

222

解析：(1)因?yàn)閥=我在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以a=(J>c=(|F，因?yàn)閥=(|)”是減函數(shù)，所以c=(|1>

3

人=(|)5,所以a>c>b.

(2)設(shè)/(x)=當(dāng)則(-8)。=-2,解得a=￡所以/(x)=/，則”無(wú))在R上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，

所以/(a+1)W-/(a-3)等價(jià)于/(a+1)W/(3-a),則a+lW3-a,解得aWl.

解題技法

比較幕值大小的策略

(1)同底不同指的幕值大小比較：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；

(2)同指不同底的森值大小比較：利用賽函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；

(3)既不同底又不同指的森值大小比較：常找到一個(gè)中間值，通過(guò)比較氟值與中間值的大小來(lái)進(jìn)行比較.

G訓(xùn)練

1.若(山+1)-1<(3-2加)-1,則實(shí)數(shù)相的取值范圍是()

72

A.(--)B.(-8?1)

3z2\/

C.(-oo-1)UD.0

''z732

m+1>0zm+1<0,

解析：C分三種情況考慮：①,3-2G>0,解得|<加<|;②3-2m<0,此時(shí)無(wú)解;

jn+1>3-2m,m+1>3-2m,

m+1<0,22

③(解得加<-1.綜上可得，加￡(-8,-1)U.故選C.

3-2m>0,32

2.(多選)幕函數(shù)〃x)=(浮-5楊+7)久--6在(0,十8)上單調(diào)遞增，則以下說(shuō)法正確的是()

A.m=3

B.函數(shù)/(無(wú))在(-8,0)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)〃無(wú))是偶函數(shù)

D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

解析：ABD因?yàn)槟己瘮?shù)/(x)=(浮-5初+7)比想飛在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以｛解

\m2-6>0,

得優(yōu)=3,所以/(無(wú)),所以/(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故/(x)=xi為奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增.

一課時(shí)跟蹤檢測(cè)口-------關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升——T課后練習(xí)

I____________?_____________________________________________________________________________________

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.若/(尤)是幕函數(shù)，且滿足9=3,則/弓)=()

f(2)2

A.3B.-3

解析：C設(shè)/（x）=爐,則竟=2。=3,（|）=G）"=（?故選C.

2.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A.y=x5B.y=31x1

i

C.y=X2D.y=log3X

解析：A對(duì)于A選項(xiàng)，>=爐為R上的奇函數(shù)，且為R上的增函數(shù)，A選項(xiàng)符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，y=3#為

1

偶函數(shù)，B選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，y=顯的定義域?yàn)椋?,+8）,為非奇非偶函數(shù)，C選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，y=log3X的定義域?yàn)椋?,+8）,為非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)不符合題意.故選A.

3.已知常數(shù)aGQ,如圖為幕函數(shù)y=犬的圖象，則a的值可以為（）

yi

2

-

AC.3

解析：C由能函數(shù)y=V的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)知，函數(shù)>=爐是偶函數(shù)，排除B、D選項(xiàng)；再根據(jù)塞函數(shù)y=爐的

圖象在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，可得a<0,排除A選項(xiàng).故選C.

4.若幕函數(shù)〃x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,V2），則函數(shù)尸+1-尤的最大值為（）

A.lB.-

4

C.2D.-

3

解析：B設(shè)/（%）=^,V/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,V2）,.*./（2）=2。=或，則。=?,

.*.y=Vx+l-x=-（U-工）2+三，.??所求最大值為士故選B.

5.已知函數(shù)/（x）=x-3,若（7=/（0.6。6）,/?=/（O.60-4）,c=/（0.4°6）,則“，b,。的大小關(guān)系是（）

\.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

解析：B因?yàn)?.40?6<O.6S6<0.6。"，又>=/（%）=%-3在（0,4-oo）上單調(diào)遞減，所以。

6.（多選）已知函數(shù)g（無(wú)）=42_，°>0且61）的圖象過(guò)定點(diǎn)A,幕函數(shù)〃x）=/的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則

（）

A./（無(wú)）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

B〃無(wú)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）

C〃x）是奇函數(shù)

D〃x）的定義域是R

解析：BC由x-2=0,得尤=2,可得g（2）=1-|=|,故函數(shù)g（尤）—ax'2-]（a>0且a#l）的圖象過(guò)定點(diǎn)

A（2,1）,則/（2）=2fe=|,解得6=-1,則/'（X）=i,所以/（x）的定義域?yàn)閧xIxWO},且/（x）為奇函

數(shù)，函數(shù)/（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,十8）上單調(diào)遞減，但/（X）在其定義域內(nèi)不單調(diào).因?yàn)樾?/p>

（1）=1,所以函數(shù)/（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）.故選B、C.

7.（多選）已知幕函數(shù)“X）=（%+9/，則（）

A"一32）=表

B〃x）的定義域是R

C/（x）是偶函數(shù)

D不等式〃尤-1）河（2）的解集是[-1,1）U（1,3]

解析：ACD因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是嘉函數(shù)，所以m+~l,得m--即/（尤）—x-=,/（-32）=[（-2）

41

5]飛=（-2）-4=尚，故A正確；函數(shù)的定義域是{xlxWO},故B不正確；因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，/（-x）

16

4

=/（%）,所以函數(shù)/（無(wú)）是偶函數(shù),故C正確；易知函數(shù)/（無(wú)）=x空在（0,+8）上單調(diào)遞減，不等式/（無(wú)

-1）之（2）等價(jià)于Ix-1IW2,解得-2Wx-1W2,且尤-1#0,解得-1WXW3,且x#l,即不等式的解集

是[-1,1）U（1,3],故D正確.

8.已知函數(shù)〃x）為黑函數(shù)，且"4）=；,則當(dāng)/（a）=毋（a+3）時(shí)，實(shí)數(shù)。=2_.

ZJ

1

解析：設(shè)/（x）=K,則4a=],所以a=-].因此/（X）=X-2,從而晨5=4（°+3）\解得。=巳.

9.幕函數(shù)尸一+E（wGN）的圖象一定經(jīng)過(guò)第一、三象限.

解析：因?yàn)椤樽匀粩?shù)，所以〃（w+l）為偶數(shù)，則/+〃+1為奇數(shù)，所以y=x"2+"+i（〃CN）是奇函數(shù)，且函

數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1,1）,/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以塞函數(shù)y="2+n+i（〃GN）的圖

象一定經(jīng)過(guò)第一、三象限.

10.已知函數(shù)/（尤）=Y+2x（a?。），且/（4）=10,則a=[，若/（："）>/（-m+1），則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是弓，I】.

解析：/（4）=4G+2X4=10,即4。=2,所以a=],所以龍）=x2+2x=yjx+2x,其定義域?yàn)閇0,+°°）,且

m>0,

/（X）在[0,+8）上是增函數(shù).由/（機(jī)）>/（-m+1）可得<-爪+120,解得|<%W1,故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

jn>-m+1,

為（1,1].

B級(jí)?綜合應(yīng)用

n.已知幕函數(shù)y=a(p,qGN*,“1且p,q互質(zhì))的圖象如圖所示，貝U()

A.p,q均為奇數(shù)，目51

B.q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，國(guó)>1

D.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且0<：<1

P

解析：D由易函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可知該函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù),則q為奇數(shù).因?yàn)橐缀瘮?shù)y=癡的

圖象在第一象限內(nèi)向上凸起，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以o<e<i.