人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊 直線和圓的方程 章末測試卷（含解析）

第二章直線和圓的方程章末測試卷（原卷版）

[時間：120分鐘滿分：150分]

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.已知過點M（—2,a）,N（a,4）的直線的斜率為一看則陷川=（）

A.10B.180

C.D.6小

2.圓心在y軸上，半徑為1,且過點（1,2）的圓的方程為（）

A.2>=1B.x2+（y+2）2=l

C.（LIA+Q—3尸=1D.（X-2）2+（J-3）2=1

3.過點尸（2,3）,且與x軸的正半軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于12的直線的

方程是（）

A.3x—2y+12=0B.3x+2y—12=0

C.2x+3y—13=0D.lx—3y+13=0

4.若點尸（3,—1）為圓（x—2>+y2=25的弦AB的中點，則直線A3的方程是（）

A.尤+y—2=0B.2x—y—7=0

C.2尤+y—5=0D.x—y—4=0

5.已知直線/過點（一2,0）,當直線/與圓/+產(chǎn)=2%有兩個交點時，其斜率上的取值范圍

是（）

A.（—2啦，2^2）B.（一巾,也）

c（-李宇）D（T，

6.已知圓G：爐+產(chǎn)一日一>=0和圓。2：必+產(chǎn)一29一1=0的公共弦所在的直線恒過定點

M,且點Af在直線盯=2上，則#源+層的最小值為（）

A.|B坐

D

55

7.己知P,。分別為圓M：。-6）2+3—3）2=4與圓N：（x+4）2+（y—2>=1上的動點，A

為x軸上的動點，則|AP|十|AQ的最小值為（）

A.5小—3B，VTOT-3

C.7小一3D.5^3-3

8.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，也就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，

即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長.先作出圓f+y2=2的一個內(nèi)

接正八邊形，使該八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該八邊形的一

條邊所在直線的為（）

A.x+（y[2-l）y~y[2=QB.（1—也）x—y+陋=0

C.尤一（陋+Dy+也=0D.（啦一l）x—y+/=0

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）

9.若直線過點(1,2),且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能為()

A.%—y+l=OB.x+y—3=0

C.2x~y=0D.x—y—1=0

10.己知點M(3,1),圓C：(X—1)2+。-2)2=4,過點M的圓C的切線方程可能為()

A.x—3=0B.x—2=0

C.3x—4y—5=0D.3x+4y—5=0

11.已知圓G：x1+y2=r2(r>0),圓C2：(x—")2+(y—/?)2=』交于不同的A(xi，yi),5a2，

")兩點，則下列結(jié)論正確的是()

A.a(xx-X2)+b(y\—yi)=0B.2axi+2byi=a2+b2

C.%1+冗2=〃D.yi+y2=2Z?

12.(2021?新高考I卷)已知點尸在圓(x—5)2+。-5產(chǎn)=16上，點A(4,0),5(0,2),則()

A.點尸到直線A5的距離小于10

B.點尸到直線的距離大于2

C.當/PBA最小時，|P8|=3也

D.當NPB4最大時，\PB\=3y[2

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)

13.若直線(a+l)x+2y+l=0與直線(〃一1)彳一1=0平行，則。的值為.

14.已知圓C：(尤+5)2+產(chǎn)=/&>0)和直線/：3x+y+5=0.若圓C與直線/沒有公共點，則

r的取值范圍是.

15.已知直線/：>=網(wǎng)尤+4)與圓。+2)2+丁=4相交于A,B兩點，M是線段AB的中點，則

點M的軌跡方程為；點M到直線3x+4y—6=0的距離的最小值為.(本

題第一空2分，第二空3分)

16.2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖，2(0,

—3)是圓。的圓心，圓。過坐標原點。，點、L,S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2,

圓S、圓L均與圓Q外切.已知直線/過點O.若直線/截圓工、圓S、圓。所得弦長均等于

d,則d—.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(10分)已知直線/經(jīng)過直線2x+y—5=0與尤-2y=0的交點.

(1)若點4(5,0)到直線/的距離為3,求直線/的方程；

(2)求點4(5,0)到直線I的距離的最大值.

18.(12分)已知①經(jīng)過直線/i：x—2y=0與直線82尤+>—1=0的交點；②圓心在直線2x

—y=0上;③被y軸截得弦長13=2啦.從上面這三個條件中任選一個,補充在下面問題中，

若問題中的圓存在，求圓的方程；若問題中圓不存在，請說明理由.問：是否存在滿足條件

的圓0，使得點4—2,-1),B(l,—1)均在圓上？

19.(12分)求以圓G：%2+》2-12尤一2丫-13=0和圓。2：f+V+12尤+16y—25=0的公共

弦為直徑的圓的方程.

20.(12分)已知圓心為C的圓經(jīng)過點4(0,2)和2(1,1),且圓心C在直線/：尤+y+5=0

上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若P(x,y)是圓C上的動點，求3x—4y的最大值與最小值.

21.(12分)為更好地了解鯨的生活習性，某動物保護組織在某頭鯨身上安裝了電子監(jiān)測設(shè)備,

從海岸線放歸點。處把它放歸大海，并沿海岸線由西到東不停地對其進行跟蹤觀測.在放

歸點。的正東方向有一觀測站C,可以對鯨的生活習性進行詳細觀測.己知0C=15km,

觀測站C的觀測半徑為5km.現(xiàn)以點。為坐標原點，以由西向東的海岸線所在直線為無軸建

立平面直角坐標系，如圖所示，測得鯨的行進路線近似滿足曲線y=h&(QO).

⑴若測得鯨的行進路線上一點41,1),求上的值；

⑵在⑴問的條件下，貝U：

①當鯨運動到何處時，開始進入觀測站C的觀測區(qū)域內(nèi)？(計算結(jié)果精確到0.1)

②當鯨運動到何處時，離觀測站C最近(觀測最便利)？(計算結(jié)果精確到0.1)

(參考數(shù)據(jù)：如心6.4,V113?3.4,^58^7.6)

22.(12分)已知圓C：4盧=4,直線/：(3根+1)尤+(1—機?—4=0.

(1)求直線/所過定點A的坐標；

(2)求直線/被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；

(3)如圖，已知點M(—3,4),在直線上(C為圓心)，存在一定點N(異于點")，滿足對

于圓C上任一點P,都有崗為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù).

|備選題|

1.己知4—2,1),B(l,2),點C為直線x—3y=0上的動點，則|AC|十|2C|的最小值為()

A.2^2B.2小

C.2小D.2巾

3

2.圓心在曲線丁=9d0)上，且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為()

A.(X一5)2+(y—5)2=9B.(x-3)2+(y-l)2=(Jy)

C.@-1)2+(廠3)2=彥|D.(x-2)2+Q-1)=9

3.已知直線/經(jīng)過兩條直線/i：x+y—2,li：2x—y=l的交點，且直線/的一個方向向量v

=(—3,2),則直線/的方程為()

A.-3元+2y+l=0B.3無-2y+l=0

C.2x+3y—5=0D.lx—3y+l=0

4.已知圓Ci：(x+“)2+(y—2)2=l與圓C2：。一%)2+。-2)2=4外切，a,。為正實數(shù)，則

ab的最大值為()

9

A.2小RB4

c.|

5.若過定點M(—1,0)且斜率為左的直線與圓C：/+4x+y2—5=0在第一象限內(nèi)的部分有

交點，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.(0,小)B.(一小，0)

C.(0,V13)D.(0,5)

6.已知在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是A(0,3),8(3,3),CQ,0),若直

線x=a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實數(shù)。的值是()

A幣

7.【多選題】已知兩圓方程為^+V二建與(x—4)2+。+3)2=3(r>0),則下列說法正確的是

()

A.若兩圓外切，則/'=1

B.若兩圓公共弦所在的直線方程為8x—6y—37=0,則r=2

C.若兩圓在交點處的切線互相垂直，則r=3

D.若兩圓有三條公切線，則r=2

8.【多選題】已知△ABC的三個頂點坐標分別為4(-2,3),B(-2,-1),C(6,—1),以

原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則該圓的方程為()

A./+尸=1B.<+尸=37

C.爐+9=4D.x1+y2=^-

9.己知過點P(4,1)的直線/與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點，。為坐標原點，

當△AOB的面積最小時，直線/的方程為.

10.曲線y=l+#9—在與直線目=6尤―3)+5有兩個交點,則實數(shù)左的取值范圍是.

11.在平面直角坐標系。孫中，已知點4(一1,0),2(5,0).若圓M：(無-4)2+。一加產(chǎn)=4

上存在唯一的點P,使得直線外，PB在y軸上的截距之積為5,則實數(shù)m的值為.

12.已知圓C的圓心在直線/：x+y+l=0上且經(jīng)過點4(-1,2),B(l,0).

⑴求圓C的方程；

⑵若過點。(0,3)的直線/i被圓C截得的弦長為2小，求直線/i的方程.

13.如圖，在平面直角坐標系。孫中，過點尸(0,1)且互相垂直的兩條直線分別與圓。：%2

+y2=4交于點A,B,與圓M：(X—2)2+(y—1)2=1交于點c,D.

(1)若|AB|=乎，求C。的長;

(2)若線段C。的中點為E,求△A2E面積的取值范圍.

14.已知圓C：f+y2+2x—4y+m=0與y軸相切，。為坐標原點，動點尸在圓外，過尸作

圓C的切線，切點為

(1)求圓C的圓心坐標及半徑；

⑵求滿足1PM=2|尸。|的點P的軌跡方程.

15.已知圓r+Q—4)2=4,點P是直線/：x—2y=0上的一動點，過點尸作圓M的切

線B4,PB,切點分別為A,B.

⑴當切線PA的長度為2s時，求點P的坐標；

⑵若4M的外接圓為圓N,試問：當尸在直線/上運動時，圓N是否過定點？若過定點,

求出所有定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

(3)求線段AB長度的最小值.

第二章直線和圓的方程章末測試卷(解析版)

[時間：120分鐘滿分：150分]

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的)

1.已知過點M(—2,a),N(a,4)的直線的斜率為一；，則|MN]=()

A.10B.180

C.6A/3D.6^5

答案D

(2—41

解析kMN==f解得a=10,即M(—2,10),N(10,4),所以|政V|=

乙a乙

7(一2—10)2+(10—4)2=6小.故選D.

2.圓心在y軸上，半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為()

A._?+。一2)2=1B.f+S+2)2=l

C.(x—1>+3—3)2=1D.(無一2)2+&_3>=1

答案A____________________

解析方法一(直接法)：設(shè)圓心坐標為(0,b),則由題意知—(0—1)2+(6—2)2=1,解

得6=2,故圓的方程為f+。一2>=1.故選A.

方法二(數(shù)形結(jié)合法)：根據(jù)點(1,2)到圓心的距離為1,作圖易知圓心為(0,2),故圓的方程

為f+G—2)2=l.故選A.

方法三(驗證法)：將點(1,2)代入四個選項中，可排除B、D,又圓心在y軸上，所以排除

C.故選A.

3.過點P(2,3),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于12的直線的

方程是()

A.3x-2y+12=0B.3尤+2y—12=0

C.2x+3y—13=0D.2r-3y+13=0

答案B

解析本題主要考查直線的截距式方程及三角形面積的計算.依題意，設(shè)直線方程為葉點=

氏=12，,=4,

130,6>0),所以代。所以，,于是所求直線的方程為升即3x+2y—12

2+3=]g=6,40

【。十61'

=0.故選B.

4.若點P(3,—1)為圓(x—2)2+丁=25的弦AB的中點，則直線A8的方程是()

A.x+y~2=0B.2x—y—7=0

C.2x+y—5=0D.x一廠4=0

答案D

解析設(shè)圓心為C(2,0),所以—1,所以kAB=l,所以加：x—廠4=0.故選

D.

5.已知直線/過點(一2,0),當直線/與圓/+產(chǎn)=本有兩個交點時，其斜率左的取值范圍

是（）

A.（-2^2,2MB.（一啦，y/2）

一用D（~8'I）

答案C

解析易知圓心坐標是(1,0),半徑是1,直線/的斜率存在.設(shè)直線/的方程為y=-x+2),

即依一y+2Z=0,由點到直線的距離公式，得即Sv：,解得一米＜衣乎.

6.已知圓G：爐+產(chǎn)一日一y=0和圓。2：必+產(chǎn)一26一1=0的公共弦所在的直線恒過定點

M,且點M在直線盯=2上，則層的最小值為()

A.|B坐

。5D5

答案C

解析由圓Cl：d+y2—丘一y=0和圓Q：x2+/-2^y-l=0,可得圓G和。2的公共弦所

[x—2y=0,[x=2,

在的直線方程為依C—2y)+(j—1)=0,聯(lián)立■解得即點M(2,1),又因為

〔廠1=0,[y=l.

2

點M在直線mx+ny=2上，即2根+〃=2,又由原點到直線2x+y=2的距離為

2^,即+層的最小值為"A

7.已知P,。分別為圓M：(x—6)2+。-3產(chǎn)=4與圓M(》+4)2+。-2)2=1上的動點，A

為x軸上的動點，則|AP|十|AQ的最小值為()

A.5小—3B，V1OT-3

C.74一3D.5^3-3

答案A

解析圓N：(x+4)2+(y—2p=l關(guān)于x軸對稱的圓M：(%+4)2+(y+2)2=l,則|AP|+|AQ|

的最小值為|A/N'|一1一2=，1西子一3=5于一3.故選A.

8.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，也就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，

即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長.先作出圓f+產(chǎn)=2的一個內(nèi)

接正八邊形，使該八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該八邊形的一

條邊所在直線的為()

A.x~\~(y[2—l)y—A/2=0B.(1—y[2)x—y-\-y[2=0

C.無一(也+l)y+也=。D.(也一l)x—y+也=0

答案C

解析本題在數(shù)學文化背景下考查直線方程.如圖所示，可知A0),

8(1,1),C(0,柩,0(-1,1),E(一地，0),所以AB,BC,CD,DE所

1—0

在直線的方程分別為過(冗一陋)，y=(l—y/2)x+y/29y=(yf2—l)x+

y[29y=g[[Q+V^),整理為一般式即工+(、E一l)y—也=0,(l-y/2)x

—y+也=0,(y[2-l)x~y+y[2=09%—十一l)y+也=0.故選C.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9.若直線過點(1,2),且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能為()

A.x—y+l=0B.x+y—3—O

C.2x—y=0D.x—y—1=0

答案ABC

解析當直線過原點時，設(shè)直線的方程為》=丘，把點(1,2)代入，得左=2,所以此時直線

的方程為2x—y=0；當直線斜率左=1時，設(shè)直線的方程為y=x+b,把點(1,2)代入，得b

=1,所以此時直線的方程為x—y+l=0；當直線斜率上=—1時，設(shè)直線的方程為了=一光

+b,把點(1,2)代入，得b=3,所以此時直線的方程為x+y—3=0.

10.已知點M(3,1),圓C：(x—1)2+。-2產(chǎn)=4,過點M的圓C的切線方程可能為()

A.%—3=0B.x—2=0

C.3x—4y—5=0D.3x+4y—5=0

答案AC

解析由題意得圓心為C(l,2),半徑r=2.；(3—1)2+(1—2尸=5>4,...點M在圓C外部.當

過點M的直線的斜率不存在時，直線方程為尤=3,即％—3=0.又點C(l,2)到直線3=0

的距離d=3-l=2=r,...直線x-3=0是圓C的切線；當過點M的圓C的切線的斜率存

在時，設(shè)切線方程為y—1—k{x—3),即kx—y+1-34=0,則圓心C到切線的距離d—

\k-2+1-3用33

=2解得女胃,廠.切線方程為y—l=w(%—3),即3元一4y—5=0.綜上可得,

過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3%—4丫-5=0.故選AC.

11.已知圓G：x2+y2=r2(r>0),圓C2：。一〃產(chǎn)+?一份2=戶交于不同的人⑶，為)，B(m，

")兩點，則下列結(jié)論正確的是()

A.a(xi—X2)+b(yi—y2)=0B.2axi+2by\=a2+b2

C.X\~\~X2~ciD.yi+y2=2Z?

答案ABC

222

解析因為圓Cl：/+產(chǎn)=/①，圓C2：(X—a)+(y—Z?)=r@,交于不同的A(xi,yi),B(x2,

>2)兩點，所以①一②得到直線AB的方程為2QX+2勿二層+尻，分別把A(xi,yi),B(X2,yi)

22

兩點代入直線AB的方程可得2QXI+2勿1=/+廬③，2ax2+2by2=a+b@,故B正確；③

一④得到2〃(為一九2)+2。(%—》2)=0,即a(xi—X2)+b(yi-y2)=0,故A正確；由圓的性質(zhì)可

知，線段與線段GC2互相平分，所以丐這=?，丐四=號

即xi+x2=a,州+

”=b,故C正確，D錯誤.故選ABC.

12.(2021?新高考I卷)已知點尸在圓(無-5)2+。-5)2=16上，點4(4,0),2(0,2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當/PBA最小時，\PB\=3y[2

D.當NPBA最大時，\PB\=3-42

答案ACD

解析設(shè)圓(L5)2+(J—5產(chǎn)=16的圓心為M5,5),由題易知直線A8的方程為升l=1,

即x+2y—4=0,則圓心M到直線A8的距離d=叵土笑所以直線AB與圓/

相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4+d=4+1,而4+(<5+?*10,故

A正確.

易知點P到直線AB的距離的最小值為d—4=&一4,

—4=1,故B不正

確.

過點2作圓M的兩條切線，切點分別為N,Q,如圖所示，連接MB,MN,MQ,則當NPA4

最小時，點P與N重合，此時|尸8|=3反那一|加2=四52+(5-2)2-42=3?當NPBA

最大時，點P與。重合，此時|P8|=3媳，故C、D都正確.綜上，選ACD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)

13.若直線(a+l)x+2y+l=0與直線(/—1)*—1=0平行，則。的值為.

答案兼T

解析本題主要考查兩直線的平行關(guān)系.當a=—1時，兩直線方程分別為2y+l=0,y—1

=0,顯然兩直線平行；當aw—1時，由匕F=一廣￥一廠，得。號.故。的值為緘T.

〃十12135

14.已知圓C：(尤+5)2+丁=/&>0)和直線/：3x+y+5=0.若圓C與直線/沒有公共點，則

r的取值范圍是.

答案0<r<y[Td

解析因為圓心C(~5,0)到直線I：3x+y+5=0的距離為1^3=湍=亞所以要

使圓c與直線/沒有公共點，則廠的取值范圍是0<r<#5.

15.己知直線/：>=%(尤+4)與圓(元+2)2+產(chǎn)=4相交于A,B兩點,M是線段AB的中點，則

點M的軌跡方程為；點M到直線3x+4y—6=0的距離的最小值為.(本

題第一空2分，第二空3分)

答案(^+3)2+/=1(%#-4)2

解析直線/：y=A(x+4)過定點(-4,0),且點(一4,0)在圓(x+2)2+y2=4上，不妨設(shè)人(一

■—2x+4,

4,0),M(x,y)(無W—4),B(xi,力)，貝(I二'將(2x+4,2y)代入(x+2)2+V=4,得(x

Uy,

+3)2+V=1(XW—4),所以點M的軌跡是以(一3,0)為圓心，以1為半徑的圓(除去點4(一

4,0)),則點〃到直線3x+4y—6=0的距離的最小值為^1=2.

16.2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖，2(0,

—3)是圓。的圓心，圓。過坐標原點。，點L,S均在x軸上，圓工與圓S的半徑都等于2,

圓S、圓心均與圓Q外切.已知直線/過點O.若直線/截圓工、圓S、圓。所得弦長均等于

d,則d=.

1?

答案y

解析由題意圓工與圓S關(guān)于原點對稱，設(shè)S(a,0),a>Q,則#1+32=2+3,解得。=4,

即5(4,0),所以工(一4,0).

由題意知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為了=區(qū)(左/0),則三個圓心到該直線的距離分

別為：

,1一4川,|例|3|

"尸石k石點,f3二石寶，

則心=4(4—42)=4(4—辦2)=4(9—%2),

即有4一(石~4k磊Y=4—(M4kNV=9一(石花3尸，解得F4

2114412

則/=44—=后，即d=3".

I1+2lJ

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(10分)已知直線/經(jīng)過直線2x+y—5=0與無-2y=0的交點.

⑴若點45,0)到直線/的距離為3,求直線/的方程；

⑵求點4(5,0)到直線I的距離的最大值.

2x+y—5=0,x=2,

解析⑴由得

x—2y=0)=1，

所以交點坐標為(2,1).

當直線/的斜率存在時，設(shè)/的方程為>-1=網(wǎng)尤-2),即日一丫+1—24=0,

\5k+l-2k\.

則點A到直線/的距離為VFH=3

4

解得人=§,所以/的方程為4x—3y—5=0；

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=2,符合題意.

故直線/的方程為4.r—3y—5=0或x—2.

(2)設(shè)直線2x+y—5=0與x—2y=0的交點為尸，由(1)可知尸(2,1),過點尸任意作直線/(如

圖所示)，設(shè)d為點A到直線/的距離，則dW|E4|(當時，等號成立)，

由兩點間的距離公式可知I/HI=，T5.

即所求的距離的最大值為也.

18.(12分)已知①經(jīng)過直線/i：x—2y=0與直線氏2尤+>—1=0的交點；②圓心在直線2x

—y=0上;③被y軸截得弦長|。|=25.從上面這三個條件中任選一個,補充在下面問題中，

若問題中的圓存在，求圓的方程；若問題中圓不存在，請說明理由.問：是否存在滿足條件

的圓。，使得點4(-2,-1),B(l,—1)均在圓上？

思路分析由點4(—2,—1),B(1,一1)均在圓上，可知圓心在線段的垂直平分線x=

T上，設(shè)圓心坐標為(一g,b),半徑為r,若選①，求出直線/i和b的交點為(|，1｝再利

用兩點之間的距離公式求出半徑，即可求得圓的方程；若選②，由已知圓心(一3，—1),再

利用兩點之間的距離公式求出半徑，即可求得圓的方程；若選③，由弦長|CO|=2吸，可得

半徑及圓心，即可求出圓的方程.

解析因為點4(—2,-1),B(l,—1)均在圓上，所以圓心在線段的垂直平分線上，

又線段A8的垂直平分線所在直線方程為彳=二^4=—則可設(shè)圓心坐標為(一看4圓

的半徑為r,

若選①，存在圓。，使得點A(—2,-1),B(l,—1)均在圓上.

由仁°解得|j即直線/i和L的交點為佟g),則圓Q過點修D(zhuǎn)，

所以+(》_§+S+1)2,解得6=—1,則戶號

即存在圓°,且圓°的方程為G+02+(y+l)2=*

若選②，存在圓°,使得點4(—2,-1),B(l,—1)均在圓上.

由圓心在直線2x—y=0上可得2x(—3)—6=0,則6=—1,所以產(chǎn)=(一^一十(-l+D?

_9

一不

即存在圓Q,且圓。的方程為G+3j+(y+l)2=*

若選③，存在圓。，使得點A(—2,-1),B(l,—1)均在圓上.

若圓被y軸截得弦長|8|=2\「，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，3=6)+吁j=*

由戶=(—1)+S+1>=*解得b=—L

即存在圓Q,且圓。的方程為G+3j+(y+i)2=*

19.(12分)求以圓G：%2+》2-12尤一2丫-13=0和圓。2：f+V+12尤+16y—25=0的公共

弦為直徑的圓的方程.

解析因為圓Ci可化為(x—6)2+(y—1>=50,所以Ci的坐標為(6,1),半徑n=5啦，同

理可得C2的坐標為(一6,-8),半徑廠2=5小.所以G,C2所在的直線方程為3x—4y—14=

0.又因為公共弦所在直線的方程為4x+3y-2=0,

f3x—4y—14=0,|x=2,

由得

[4x+3y—2=0,ly=-2,

即所求圓的圓心為C(2,-2),半徑r=7(5巾)2—|Gq2=5.

所以圓的方程為(x—2)2+(y+2)2=25.

20.(12分)已知圓心為C的圓經(jīng)過點4(0,2)和3(1,1),且圓心C在直線/：尤+y+5=0

上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若P(x,y)是圓C上的動點，求3%一4y的最大值與最小值.

解析(1)線段AB的中點為|),又kAB=—l,

所以線段A8的垂直平分線方程為廠l=lxQ—，，即x—y+l=0.

(x-y+l=0,-3,

由I-八解得。所以圓心c(—3,-2).

Lx+y+5=0[y=-2,

圓C的半徑r=CC|=y(0+3)2+(2+2)2=5,

故圓C的標準方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

(2)令z=3尤一4丫，即3尤一4y—z=0.

當直線3x—4y—z=0與圓C相切于點尸時，z取得最值，

圓心C(—3,—2)到直線3x—4y—z=0的距離d^-F===^=5,

一十(—4)/

解得z=-26或z=24.

故3x~4y的最大值為24,最小值為一26.

21.(12分)為更好地了解鯨的生活習性，某動物保護組織在某頭鯨身上安裝了電子監(jiān)測設(shè)備,

從海岸線放歸點。處把它放歸大海，并沿海岸線由西到東不停地對其進行跟蹤觀測.在放

歸點。的正東方向有一觀測站C,可以對鯨的生活習性進行詳細觀測.己知OC=15km,

觀測站C的觀測半徑為5km.現(xiàn)以點。為坐標原點，以由西向東的海岸線所在直線為無軸建

立平面直角坐標系，如圖所示，測得鯨的行進路線近似滿足曲線y=h&(Q0).

(1)若測得鯨的行進路線上一點4(1,1),求上的值；

(2)在⑴問的條件下,則:

①當鯨運動到何處時，開始進入觀測站C的觀測區(qū)域內(nèi)？(計算結(jié)果精確到0.1)

②當鯨運動到何處時，離觀測站C最近(觀測最便利)？(計算結(jié)果精確到0.1)

(參考數(shù)據(jù)：y/41^6.4,V113?3.4,，八七7.6)

解析(1)將A(l,1)代入y=9，可得上=1.

(2)①以C為圓心，5為半徑的圓的方程為(x—15)2+丁=25,

上b=市，

由3

〔(x-15)2+/=25,

得/-zgx+zoouo,

/.x=~,/.xi^ll.3,X2^17.7,

,當鯨運動到點(11.3,MTiW)即(11.3,3.4)處時，開始進入觀測站C的觀測區(qū)域內(nèi).

②鯨與點C的距離為：

d=、(x—15)2+/

=、(x-15)2+無

=、/-29尤+225

=\Q-空+225一崖),

當尤=當時d最小.

故當鯨運動到點仔，亭)即(14.5,3.8)處時，鯨離觀測站C最近.

22.(12分)已知圓C：r+Q—4)2=4,直線/：(3m+l)x+(l—m)j—4=0.

(1)求直線/所過定點A的坐標；

(2)求直線/被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；

(3)如圖，已知點M(—3,4),在直線MC上(C為圓心)，存在一定點N(異于點")，滿足對

于圓C上任一點P,都有需為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù).

解析(1)依題意，得相(3尤一y)+(x+y—4)=0,

j3x-y=0,尤=1,

令《解得,二直線/過定點A(l,3).

〔尤+y—4=0,=3,

(2)當AC，/時，所截得的弦長最短.

由題知C(0,4),圓C的半徑廠=2,

.4-3..3m+l..

??k^Acz~\11,??ki1,??1I,??tnI.

0-Im~I

..?圓心C到直線/的距離為d=\AC\=y[2,

最短弦長為2'r2'一次=

(3)由題意知直線MC的方程為y=4.

\PM\

設(shè)定點N?,4)(諸—3),P(x,y),扁=犯＞0),則伸=乃1尸川2,

/.(x+3)2+Cy-4)2=/l2(x-r)2+A2Cy-4)2,

.?.(x+3)2+4-x2=A2(x-r)2+^2(4-x2),

整理得(6+2沈2口一(下產(chǎn)+4M—13)=0,

此式對任意的xG[—2,2丁恒成立，

4

t=

J6+2加2=0,-y'=一予t——3,

［八2產(chǎn)+4萬-13=0,一3（舍去）或(舍去).

A—±1

A

2

綜上，滿足條件的點N的坐標為（一*4）,且耨為常數(shù)*

I備選題I

1.已知4—2,1）,5（1,2）,點C為直線X—3y=0上的動點，則|AC|+|8C|的最小值為（）

A.2^2B.2小

C.2小D.2幣

答案C

解析設(shè)點A（—2,1）關(guān)于直線無一3尸0的對稱點為。（°,6）,貝叫,解

a—2b-v1

\a=~\,

得。所以。（一1,-2）,所以|AC|+|8C|=|DC|+|3C|,當B,D,C共線時，|AC|十|BC|

[b=-2,

取最小值，最小值為（1+1）2+（2+2）2=24.

3

2.圓心在曲線y=qx>0）上，且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為（）

=傳)

A.（X—小產(chǎn)+?一小）2=9B.(x-3>+(y-1)2

C.(x-l)2+(y-3)2=(^y)D.(x-2)2+Q-1)=9

答案D

\3a+4b+3\

解析設(shè)圓心為（a,V）,半徑為r,則滿足條件的圓面積最小即r最小,

|3〃+4/?+3|、2\/3aX4/7+3,313日方—

----M-----------M-----,因為圓6)在y=;(x>0)上，所以即。6=3,所以七加

DJJi01

=2弋12；3+3=3,當且僅當3a=仍，即a=2,b=|時取等號，所以此時圓的方程為（x—

2）2+（廠1）=》

3.已知直線/經(jīng)過兩條直線/i：x+y=2,h：2x—y=l的交點，且直線/的一個方向向量?

=（—3,2）,則直線/的方程為（）

A.-3x+2y+1=0B.3x—2y+1=0

C.2x+3y—5=0D.2x—3y+1=0

答案C

ix~\~y=2,（x=1,9

解析方法一：由得由題意，知直線/的斜率左=號，所以直線/的方

[2x~y=l,〔尸1,3

程為y—1=一；(x—1),即2x+3y—5=0.故選C.

方法二：由題意設(shè)直線/：x+y—2+4(2龍一y—l)=0(2￡R),即(1+24)尤+(1—X)y—2—4=0,

又直線/的一個方向向量v=(—3,2),所以3(1+24)=2(1T),解得力=—3,所以直線/

的方程為2x+3y-5=0.故選C.

4.已知圓Ci：(x+a)2+(y—2產(chǎn)=1與圓。2：(無一6)2+0—2)2=4外切,a,6為正實數(shù),則

ab的最大值為()

A.2小B.

C.|D坐

答案B

解析因為圓G：(尤+a)2+(y—2)2=1的圓心為Ci(—°,2),半徑n=1,圓C2：(x—

。-2)2=4的圓心為C2(b,2),半徑冷=2,所以|CIC2|=N(一。-6)?+(2—2)2=舊+臼

Q(a—h)2Q

=1+2,所以02+62+2m=9,所以(°—6)2+4a6=9,所以----------W不即當a

9

=6時，取得最大值，最大值為不

5.若過定點M(—1,0)且斜率為左的直線與圓C：^+以+9一5=0在第一象限內(nèi)的部分有

交點，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.(0,3)B.(一小，0)

C.(0,V13)D.(0,5)

答案A

解析圓C的方程/+4x+y2—5=0可化為(X+2)2+J?=9,則圓C與無軸正半軸交于點4(1,

0),與y軸正半軸交于點8(0,小)，如圖所示，因為過定點M(—1,0)且斜率為/的直線與

圓C：/+4工+廿一5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點，所以如所以0＜衣小.

6.已知在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是4(0,3),3(3,3),C(2,0),若直

線x=a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實數(shù)。的值是()

答案A

解析如圖所示，易知直線AB的