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第十節(jié)圓錐曲線中的定值問題【原卷版】
題型歸類
題型一長(zhǎng)度或距離為定值
例1(2023?鄭州模擬)已知點(diǎn)R(0,1),直線/:y=4,P為曲線C上的任意一點(diǎn),且|尸網(wǎng)是尸到
/的距離的皮
⑴求曲線C的方程;
(2)若經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為網(wǎng)4W0)的直線交曲線C于點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平分線交y軸于
點(diǎn)、H,求證:牌為定值.
⑴解設(shè)P(x,y),由已知得7四十(丁—1)2=:牛一4|,
?2
整理得田+1=1,
此即為曲線C的方程.
⑵證明經(jīng)過點(diǎn)R且斜率為網(wǎng)上W0)的直線的方程為丁=履+1,
與曲線C方程聯(lián)立,消去y整理得(4+3產(chǎn))X2+6日一9=0,
/=36F+4X9X(4+3R)=144(l+F)>0恒成立,
設(shè)A/(xi,yi),N(X2,yi),
則=W+的xi一羽|=3+4X4*后=12;二^),%]+^2=-J,,
%]-1-X23k4
設(shè)線段AfN的中點(diǎn)為T(xo,yo),則xo=―入一=一了而層,加=入。+1=413產(chǎn),
線段MN的中垂線的斜率為一J,
其方程為廠房=./在.
令冗=0,解得1=4+3.,
即為點(diǎn)H的縱坐標(biāo),
.13(1+F)
?.|陽(yáng)=1—4+37=4+3左2’
3(1十一)
\FH\4+3后1,、,。
,麗i=TT7]+左2)=7為定值).
~4+3--
感悟提升探求圓錐曲線中的定線段的長(zhǎng)的問題,一般用直接求解法,即先利用弦長(zhǎng)公式把要
探求的線段表示出來,然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長(zhǎng)表達(dá)式中的相關(guān)量
之間的關(guān)系式,把這個(gè)關(guān)系式代入弦長(zhǎng)表達(dá)式中,化簡(jiǎn)可得弦長(zhǎng)為定值.
訓(xùn)練1已知拋物線C:y2=2px(p>0),其焦點(diǎn)為E。為坐標(biāo)原點(diǎn),直線/與拋物線C相交于
不同的兩點(diǎn)A,B,M為A3的中點(diǎn).
(1)若夕=2,“的坐標(biāo)為(1,1),求直線/的方程.
⑵若直線/過焦點(diǎn)EA3的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證:犒^為定值.
(1)解由題意知直線/的斜率存在且不為0,
故設(shè)直線I的方程為x-l=t(y-l)
即%=)+1—乙設(shè)A(%i,yi),B(X29yi).
[x=ty~\~1一t
由J.9得y2—4/y—4+4/=o,
V9=4x,
???/=16於+16—16%=16(於一/+l)>0,
yi+>2="/.4r=2,即t=^.
二?直線l的方程為2x~y—1=0.
2
(2)證明???拋物線Cy=2px(p>0)9
...焦點(diǎn)R的坐標(biāo)為g,o).
由題意知直線I的斜率存在且不為0,
?.?直線I過焦點(diǎn)F,故設(shè)直線I的方程為尸。+冬小0),
設(shè)A(xi,yi),5a2,yi).
%=(y+與
由<2得J—2〃9一,2=0,
2
y=2px9
,yi+y2=2m,4=4p2p+4P2>0.
?\xi-\-X2=t(yi~\-y2)~\~p=2pi2-\-p,
p“
.'.AfN的方程為y—pt=—^x—pi2—^].
令解得:2+乎
y=0,x0,小e+琴o],
22
\MN\=p2+p20,[FN\=pt+當(dāng)一?=2戶+p,
.2|“Vp2(p2+p2p)
**\FN\=—p"p—=2p,為定值.
題型二斜率或代數(shù)式為定值
例2如圖,橢圓E:,+,=l(a泌>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,—1)且離心率為坐.
(1)求橢圓E的方程;
⑵經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。(均異于點(diǎn)A),證明:直線
AP與AQ的斜率之和為定值.
(1)1?由題設(shè)知:=亭,b=l,
結(jié)合/=廬+》,解得。=爽,
2
所以橢圓E的方程為5r+>2=1.
⑵證明由題設(shè)知直線PQ的方程為
y=6x—1)+1(左W2),代入了+丁2=1,
得(1+2/)江一4左(左一l)x+2%(左一2)=0,
由已知/>0,設(shè)尸(xi,yi),2(x2,yi),
4k(左——1)2k(左一2)
X1X2WO,則Xl-\-X2=
1+2/2X1X2-1+2產(chǎn),
從而直線AP,AQ的斜率之和為AAP+左AQ="丑+匕」
kn+2——左,kxi+2—k,(1?,%1+尤2
=--------+--------=2k+(2—幻一+—=2k+(2-k)-----
XIXI'7\X1X1J'/X1X2
4k(左——1)
=2k+Q—k)2k(左_2)=2左一2(左一1)=2(即為定值).
感悟提升在證明一條直線斜率或兩條直線斜率和,差或者積與商為定值的問題中,我們需要
先將斜率表示出來,然后利用相關(guān)量之間的關(guān)系式化簡(jiǎn)即可.
訓(xùn)練2(2023?武漢模擬)已知橢圓C:2+奈=1(。>5>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2,過點(diǎn)八
的直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)若尸1人|=2,△A3R2的周長(zhǎng)為8.
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)MA=AF^A,MB=fiF\B,試分析4+〃是否為定值,若是,求出這個(gè)定值,否則,說明理由.
解(1)因?yàn)椤鰽BB的周長(zhǎng)為8,
所以4〃=8,解得〃=2,
2
由的刑=2,得2商一接=2yj4-b=2,
所以尻=3,
72
因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為§+5=1.
(2)由題意可知直線/的斜率存在,
設(shè)直線I的方程為y=k(x+l),
y=k(x+1),
由
整理得(3+4左2)<+8/%+4爛—12=0,
顯然/>0,
設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),
r.8后
制+尤2=一干詁
D1l|<
4MT2
「1x2=3+43,
設(shè)M(0,k),又為(-1,0),
所以跖4=(%i,yi~k)9FiA=(xi+1,yi),
貝1丸=號(hào)不
XI+1
同理可得M5=(x2,yi-k)9FIB=(X2~\~19yi)9
則u=X2
人〃%2+r
濟(jì)/_XI_LX2_XI(%2+1)+%2(X1+1)
"XI+1X2~\~1(X1+1)(X2+1)
4^—128一
2%LX2+XI+122*3+4R3+4爐
XIX2+X1+X2+14k2—128A2
3+4左2—3+4—+1
8戶一24—8后一248
二4左2—12—8左2+3+4妤=—9='
所以7+〃為定值方.
題型三幾何圖形的面積為定值
一%2
例3在平面直角坐標(biāo)系X。》中,已知橢圓C:w+V=l,點(diǎn)P(XLVl)-Q(X2,丁2)是橢圓C上
的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線。P,OQ的斜率分別為M,ki,若m=&,yi),〃=悖券),mn=Q.
1
-
⑴求證:ki-k2=4
(2)試探求△OPQ的面積S是不是定值,并說明理由.
(1)證明?依,左2存在,.?.X1X2W0,
.mn—0,..~^~+yiy2—0,
???7ki';ki—V1V2—一1.
X1X24A
(2)解是.理由:當(dāng)直線PQ的斜率不存在,
WXI-X2,yi=一丁2時(shí),
4皿1用行2A
由京_一/傳4一貫=6
Y?
由P(?,”)在橢圓。上,得號(hào)+/=1,
/.|XI|=A/2,,
???SAOPQ=^\xi\'\yi—y?\=l.
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),易知直線PQ的斜率不為0,
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b(k^0).
y=kx~\~b,
由,得(4/+1)必+8姑x+4"2—4=0,
a+>1,
—8kb4Z;2-4
Xl+X2=4廬+i'XU2=4^+r
..X1X2._
?4+yi>2—n。,
xiX?
/.~^―+(丘1+b)(kx2+Z?)=0,
得2〃一4產(chǎn)=1,
滿足/=64M廿-4(4M+1)(4廿—4)=16(4層+1—〃)>0,
i聞1---------------、/43+1—房
**-SKPQ=]^^^PQI(xi+及)2—4XIX2=2|〃C41+]-=1-
:.^OPQ的面積S為定值.
感悟提升探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題,一般用直接求解法,即可先利用三角
形面積公式(如果是其他凸多邊形,可分割成若干個(gè)三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面
積表示出來,然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式,把這
個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中,化簡(jiǎn)即可.
%2
訓(xùn)練3(2023?重慶診斷節(jié)選)已知橢圓E:§+尸=1.若直線/交橢圓后于航,N兩點(diǎn),直線0M
的斜率為上,直線ON的斜率為左2,且左戊2=—今證明:△OMN的面積是定值,并求此定值.
證明當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),
設(shè)直線I:x=t(-3<t<3且fWO),
得9=1—3
一§一§19
則k\ki=——=—p=-^解得好學(xué)
2
所以SOMW=1X2Xt3
A1—制4=1
當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)M(xi,州),N(X2,yi),直線/:y=日+機(jī)(機(jī)20),
y=kx-\-m9
由,2_i消去y并整理,
9+,-]
得(9F+l)f+18Ag;+9/n2—9=0.
J=(18M2-4(9^+l)(9m2-9)=36(9^-m2+l)>0,
18km9m2-9
Xl+%29必+1'"13=9標(biāo)+1'
(依i+加)(te+m)-9左2十加21
3*
X1X29m2—99,
化簡(jiǎn)得93+1=2機(jī)2,滿足/>0.
\MN\=w+妁xi—X2\=yi+py(X1+X2)2—4XIX2
18km)29療一96、1+游79游一席+1
=、1+H9^+1J-4X
9F+1—9lc-\-l
又原點(diǎn)。到直線/的距離d=
、1+廬
所以SAOMN=^-\MN\-d=3\11+—\{9卜2—渥+1|詞31mH2m之一m23
9廬+1y/l+k2~2加2-
3
綜上可知,△OMN的面積為定值京
題型四圓錐曲線中的伴侶點(diǎn)問題
在圓錐曲線的很多性質(zhì)中,常常出現(xiàn)一對(duì)活躍的點(diǎn)4加,0)和0),這一對(duì)點(diǎn)總是同時(shí)出
現(xiàn)在圓錐曲線的對(duì)稱軸上,形影不離,相伴而行,我們把這一對(duì)特殊點(diǎn)形象地稱作圓錐曲線的
r2V2
“伴侶點(diǎn)”.已知M>,0),即,0)02=居)是雙曲線”—右=13>0">0)的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”,
過點(diǎn)〃作與坐標(biāo)軸不平行的直線與雙曲線相交于43兩點(diǎn),則直線⑷V和3N與x軸成等角.
可得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一和諧性質(zhì)如下:
已知M,N是圓錐曲線的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”,
過點(diǎn)〃作與坐標(biāo)軸不平行的直線與曲線相交于A,3兩點(diǎn),則直線A7V和3N與x軸成等角.
例已知點(diǎn)昭>,0),N(-m,0)(機(jī)W0)是拋物線>2=22式/?>0)的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”,過點(diǎn)M作
與x軸不平行的直線交拋物線于A,3兩點(diǎn),證明:直線AN和3N與x軸成等角.
證明因直線AB過點(diǎn)M(m,0),
故可設(shè)直線A3的方程為x=m+ny,
將其代入拋物線方程得,y2—2pny-2pm=0,
設(shè)A(xi,yi),B(X2,yi),
則yi+y2=2/w,yiy2=~2pm,
又點(diǎn)A,3在直線A3上,
所以xi=/n+〃yi,X2=m-\-ny2,
yi+>2yiX2+y2%i+/n(yi+y?)
所以kAN~\-kBN
xi+m(xi+m)(X2+根)
又y\xi-\-yix\-\-m(y\+")=yi(m+ny2)+y2(m+nyi)+m(yi+*)
=2ny\yi+2m(yi+?)=2〃?(-2pm)+2m-2pn=0,
所以fcw+%BN=0,
即直線AN和BN關(guān)于x軸對(duì)稱,
所以直線AN和3N與x軸成等角.
r2
訓(xùn)練設(shè)橢圓C:5+丁=1的右焦點(diǎn)為R過歹的直線/與C交于A,3兩點(diǎn),點(diǎn)般的坐標(biāo)為
(2,0).
⑴當(dāng)/與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;
(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:ZOMA=ZOMB.
⑴解由已知得"1,0),/的方程為尤=1.
把x=l代入橢圓方程與+y2=i,
可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為11,坐)或[1,一半].
又M2,0),
所以AM的方程為y=—乎x+6或y=^x—y[2.
(2)證明當(dāng)/與x軸重合時(shí),ZOMA=ZOMB=0°.
當(dāng)/與x軸垂直時(shí),為A5的垂直平分線,
所以NOMA=NOMB
當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí),
設(shè)/的方程為丁=左。一1)(左WO),A(xi,yi),3(x2,yi),
則%1<隹,X2<?直線MA,M3的斜率之和為左MA+左
Ji1乙
,2/aiX2-3k(xi+%2)+4左
由yi=kx\~k,yi—kxi-kICMA+kMB—(?一?)(.—2),
將y=Z(x—l)代入日+y2=l得(2F+l)%2—4女2冗+2女2-2=0.
所以Xl+X2=£g,X1X2=||^|.
4廬一4Z—12/+8K+4左
則2Axi%2—3%(11+冗2)+4左=2—+1=0-
從而左MA+左ws=0,故A£4,MB的傾斜角互補(bǔ),
所以NOM4=NOMB
綜上,ZOMA=ZOMB.
課時(shí)作業(yè)
一、多選題
1.在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-A4G,中,。為正方形的中心,P為線段co上的一點(diǎn),則下列說
法正確的是()
A.存在點(diǎn)P,使得PA=PB
B.三棱錐a-BDP的體積為定值
C.的面積的最小值為6
D.線段48上存在點(diǎn)Q,使得且PQJLOC
2.已知點(diǎn)A,8在圓。:V+寸=4上,點(diǎn)尸在直線/:2x+y-5=0上,貝I]()
A.直線/與圓。相離
B.當(dāng)48=2逝時(shí),慳+尸耳的最大值是2行+2
C.當(dāng)E4,PB為圓。的兩條切線時(shí),(OA+O8AOP為定值
D.當(dāng)B4,尸8為圓O的兩條切線時(shí),直線過定點(diǎn)
二、解答題
3.已知橢圓C:5+]=1(〃>6>0)的離心率e=g,且經(jīng)過點(diǎn)人(一1,一£|.
⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果斜率為1的直線所與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F,試判斷直線AE、AF的斜率之和是否為定值,
若是請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
⑶試求三角形AEF面積S取得最大值時(shí),直線所的方程.
22
4.已知拋物線a:/=4x-4與雙曲線=J=l(l<o<2)相交于兩點(diǎn)A3,產(chǎn)是C?的右焦點(diǎn),直線
U.4—Q.
AF分別交GC于CQ(不同于A,8點(diǎn)),直線3c皿分別交x軸于P,。兩點(diǎn).
⑴設(shè)4(苞,/),。(%2,為),求證:是定值;
⑵求W■的取值范圍.
FP
22
5.已知月是雙曲線=-4=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,3)在雙曲線上且雙曲線的離心率為2.
ab
⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵若P是雙曲線在第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),3(1,0),記/P與8的內(nèi)角平分線所在直線斜率為耳,直線外斜率為
K,求證:h+k3是定值.
6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:U=l(a>6>°)過點(diǎn),且橢圓的離心率為孝.直
線/:y=x+f與橢圓E相交于兩點(diǎn),線段A3的中垂線交橢圓E于兩點(diǎn).
⑴求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求線段C。長(zhǎng)的最大值;
⑶證明:AC.AO為定值,并求此定值.
22
7.已知橢圓加:谷+4=13>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為與、尸2,斜率不為0的直線/過點(diǎn)耳,與橢圓交
于A,8兩點(diǎn),當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí),|AB|=3,橢圓的離心率e=1.
⑴求橢圓M的方程;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)尸,使得尸從尸8為定值?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
22
8.己知雙曲線C:土-1=l(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《,工,A在雙曲線C上,且秋,x軸,月耳=30.
4b
⑴求雙曲線C的漸近線方程;
⑵設(shè)。為雙曲線C的右頂點(diǎn),直線/與雙曲線C交于不同于。的E,歹兩點(diǎn),若以斯為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D,
且。GLEF于G,證明:存在定點(diǎn)使|GH|為定值.
22
9.已知橢圓C:=+M=l(a>b>0)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,且右焦點(diǎn)為(1,0).
ab
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A,3分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn)(不與A3重合),直線AR3尸分別與直線x=4相
交于點(diǎn)“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:以為直徑的圓截x軸所得的弦長(zhǎng)為定值.
10.已知在平面內(nèi),點(diǎn)A(-應(yīng),0),B(A/I,0),點(diǎn)尸為動(dòng)點(diǎn),滿足直線R4與直線尸3的斜率之積為1.
⑴求點(diǎn)P的軌跡方程,并說明表示什么曲線;
⑵若直線/為上述曲線的任意一條切線,證明:點(diǎn)。(-2,0),£>(2,0)分別到直線/的距離之積為定值,并求出
該定值.
221
11.已知橢圓C:1r+:=1(a>8>0)的右頂點(diǎn)(2,0),離心率e=5.
⑴求曲線C的方程;
(2)設(shè)斜率為4的直線/交x軸于T,交曲線C于A,8兩點(diǎn),是否存在左使得+忸邛為定值,若存在,
求出左值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
22
12.已知雙曲線cj-弧=1(。>0/>0)的漸近線方程為>=±瓜,過其右焦點(diǎn)廠且垂直于無軸的直線與
C交于A,B兩點(diǎn),M|AB|=6.
⑴求C的方程.
(2)設(shè)尸(%,%)為C上的動(dòng)點(diǎn),直線/:誓-咨=1與直線A3交于點(diǎn)與直線x=f(與直線A3不重合)
ab
\MF\
交于點(diǎn)N.是否存在r,使得島為定值?若存在,求f的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
13.在平面直角坐標(biāo)系xOx中,P,。是拋物線C:Y=y上兩點(diǎn)(異于點(diǎn)。),過點(diǎn)尸且與C相切的直線/
交x軸于點(diǎn)且直線。。與/的斜率乘積為-2.
⑴求證:直線尸。過定點(diǎn),并求此定點(diǎn)。的坐標(biāo);
⑵過M作/的垂線交橢圓?+y2=i于A,8兩點(diǎn),過O作/的平行線交直線A3于H,記△。尸。的面積為
S,△ABD的面積為T.
①當(dāng)「取最大值時(shí),求點(diǎn)P的縱坐標(biāo);
②證明:存在定點(diǎn)G,使IGH|為定值.
14.己知橢圓C:三+y2=i,A,8是橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),A0,8三點(diǎn)不共線,記AOB
的面積為SAOB
⑴若OA=(外,乂),。3=(無2,%),求證:SAOB=;憂%-%%|;
(2)記直線04,08的斜率為匕&,當(dāng)左心=-;時(shí),試探究S九B是否為定值并說明理由.
第十節(jié)圓錐曲線中的定值問題【解析版】
題型歸類
題型一長(zhǎng)度或距離為定值
例1(2023?鄭州模擬)已知點(diǎn)尸(0,1),直線/:y=4,尸為曲線C上的任意一點(diǎn),
且|尸用是P到/的距離的;.
⑴求曲線C的方程;
(2)若經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為網(wǎng)上W0)的直線交曲線C于點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平
分線交y軸于點(diǎn)H,求證:㈱為定值.
⑴解設(shè)尸(x,y),由已知得N%2+(y—1)2=1jy—4|,
22
整理得點(diǎn)十1=1,
此即為曲線C的方程.
⑵證明經(jīng)過點(diǎn)R且斜率為如two)的直線的方程為y=kx+\,
與曲線C方程聯(lián)立,消去y整理得(4+3/)/+6右一9=0,
/=36/+4X9X(4+3R)=144(1+R)>O恒成立,
設(shè)M(xi,"),N(X2,yi),
則,》1+%2=一了若后,
%-1-%23k4
設(shè)線段MN的中點(diǎn)為T(%o,yo),則xo~=一4?3Pyo=fcw+1=4?3記,
線段MN的中垂線的斜率為一J,
K
其方程為y—春=—1》+7事),
令x=0,解得[=4+37,
即為點(diǎn)H的縱坐標(biāo),
.13(1+R)
?.尸”|=1—4+3產(chǎn)=4+3左2
3(1+后)
\FH\4+3R1,、d
,而切=返亙王互=a(為定值)?
-4+3產(chǎn)-
感悟提升探求圓錐曲線中的定線段的長(zhǎng)的問題,一般用直接求解法,即先利用
弦長(zhǎng)公式把要探求的線段表示出來,然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)
得到弦長(zhǎng)表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式,把這個(gè)關(guān)系式代入弦長(zhǎng)表達(dá)式中,化
簡(jiǎn)可得弦長(zhǎng)為定值.
訓(xùn)練1已知拋物線C:y2=2px(p>0),其焦點(diǎn)為R。為坐標(biāo)原點(diǎn),直線/與拋
物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為A3的中點(diǎn).
(1)若p=2,〃的坐標(biāo)為(1,1),求直線/的方程.
⑵若直線/過焦點(diǎn)RA3的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證:號(hào)鬻為定值.
(1)解由題意知直線/的斜率存在且不為0,
故設(shè)直線/的方程為x—1=0一1)
即設(shè)A(%i,yi),B(%2,/).
x=ty~\~1一t,
由彳9得;49一4+由=0,
l/=4x,
:.A=16116-16t=16(1+1)>0,
丁1+券=4%,/.4/=2,即
???直線l的方程為2x~y—1=0.
(2)證明???拋物線C:y2=2px(p>0),
...焦點(diǎn)R的坐標(biāo)為g,0).
由題意知直線I的斜率存在且不為0,
,直線I過焦點(diǎn)F,故設(shè)直線/的方程為》=什+宗樣0),
設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi).
由,"2得,2一22"一^2=0,
y=2px,
.".yi-\-y2=2pt,J=4/?2?+4/?2>0.
.,.xi+x2=(yi+y2)+p=2pF+p,
'.N/^pt1+^,ptj.
...MN的方程為y~pt=—^x—pi2—^.
令y=0,解得%二0戶+乎,°),
\MN\2=p2+p2t2,|川=夕尸+當(dāng)一^=夕尸十夕,
.21MM22(p2+p2p)
**\FN\=—pfi+p—=2p,為定值.
題型二斜率或代數(shù)式為定值
例2如圖,橢圓E:2+%=1(。>°>°)經(jīng)過點(diǎn)A(0,—1)且離心率為坐.
(1)求橢圓E的方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。(均異于點(diǎn)
A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為定值.
⑴解由題設(shè)知:半,b=l,
結(jié)合/=〃+C2,解得。=近,
所以橢圓E的方程為,+產(chǎn)=1.
(2)證明由題設(shè)知直線PQ的方程為
%2
y=k(x—1)+1(^2),代入爹+丁=1,
得(1+2F)——4k(k—1)x+2-左一2)=0,
由已知/>0,設(shè)尸(xi,yi),2(x2,丁2),
4k(左一1)2k(左一2)
X1X2W0,則Xl+x2=
1+2MX1X2=]+2如,
從而直線AP,AQ的斜率之和為履P+乂0=上丑+型斗
JC1JC2,
kx\-\-2—k,kx2-\-2—k,(1?,xi-\-X2
=------------+-------------=2k+(2-ki-+-\=2k+(2~k)--------
XIXI7\X1W'7X1X2
4k(左一1)
=2左+(2一左)。/7/、-=2左一2/—1)=2(即為定值).
ZK—1)
感悟提升在證明一條直線斜率或兩條直線斜率和,差或者積與商為定值的問題
中,我們需要先將斜率表示出來,然后利用相關(guān)量之間的關(guān)系式化簡(jiǎn)即可.
訓(xùn)練2(2023?武漢模擬)已知橢圓C:3+5=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,
F2,過點(diǎn)后的直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)膽,若尸1刑=2,AABF2
的周長(zhǎng)為8.
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)M4=Am,MB=nF\B,試分析丸+〃是否為定值,若是,求出這個(gè)定值,否
則,說明理由.
解(1)因?yàn)椤鰽BB的周長(zhǎng)為8,
所以4a=8,解得〃=2,
由尸匹|=2,得27a2—。2=2y4—廿=2,
所以b2=3,
?2
因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為作+5=1.
(2)由題意可知直線/的斜率存在,
設(shè)直線I的方程為y=k(x+l),
y=k(x+1),
由
整理得(3+4F)N+8左2%+4產(chǎn)—12=0,
顯然/>0,
設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),
(,8心
項(xiàng)+股=一而F'
則q
4MT2
X1X2=I+4F-
設(shè)M(0,k),又0),
所以M4=(xi,yi-k),FiA=(xi+1,yi),
則f
同理可得Af3=(x2,y2-k),FIB=(X2-\-1,yi),
X2
則
XI.X2XI(X2+1)+%2(XI+1)
所以2+〃=
XI+1X2~\-1(XI+1)(X2+1)
4左2—128s
2x1x2+xi+l23+4F3+4左2
xix2+xi+x2+14k2—128k2
1
3+4產(chǎn)3+41c
8^—24—8產(chǎn)-248
—4F—12—8/+3+4產(chǎn)—-9—3'
所以7+〃為定值/
題型三幾何圖形的面積為定值
一X2
例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:1+>2=1,點(diǎn)尸(xi,yi),2(X2,
XI)
>2)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線OP,0Q的斜率分別為ki,ki,若m=5,切,
n=~2~9TTl'Tl~0.
⑴求證:krk2=一占;
(2)試探求△OPQ的面積S是不是定值,并說明理由.
⑴證明':ki,匕存在,??.X1X2W0,
?〃/?〃=(),??一1一+,1,2=0,
1
“5方4,
⑵解是.理由:當(dāng)直線PQ的斜率不存在,
即xi=x2,yi=—"時(shí),
由煎__不得4—尤一°,
Y?
由P(xi,yi)在橢圓。上,得號(hào)+才=1,
??S/\OPQ=~^\xi\t\yi_*1=1.
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),易知直線PQ的斜率不為0,
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b(k^0).
y—kx~\~b,
由得(4F+l)f+8她x+4〃一4=0,
%+y=i,
~8kb4尻一4
Xl+%2=41+1'丁丁=4尸+「
..XIX2,
-4+yi>2—0,
X]X2
/.+(kxi+b)(kx2+/?)=0,
得2反一4標(biāo)=1,
滿足/=64於反一4(4標(biāo)+1)(4廿一4)=16(4上2+1—〃)〉(),
1IAI1-------A/4A;2+1——b2
SA0PQ=1^^^|PQI=/N(X1+X2)2—4XIX2=2瓦Y4左2+1-=1.
...△OPQ的面積S為定值.
感悟提升探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題,一般用直接求解法,即
可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形,可分割成若干個(gè)三角形分別求
解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來,然后利用題中的條件得到幾何圖形的
面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式,把這個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式
中,化簡(jiǎn)即可.
訓(xùn)練3(2023?重慶診斷節(jié)選)已知橢圓E:g+f=i.若直線/交橢圓石于MN兩
點(diǎn),直線0M的斜率為直線ON的斜率為左2,且依近=—今證明:叢OMN
的面積是定值,并求此定值.
證明當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),
設(shè)直線/:x=t(-3<t<3且f關(guān)0),
.戶1’得41苔,
由,
i9
則kiki=g,解得/=£.
,r,,3
所以SZ\OMN=1X2Xl-g-\t\=2-
當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)M(%i,yi)9Ng聞,直線/:y=kx+m(m^0)9
y=kx-\-m9
由行消去y并整理,
j+/=1
得(9廬+l)x2+lSkmx-\-9m2—9=0.
J=(18M2-4(9Jt2+l)(9m2-9)=36(9^-m2+l)>0,
18km9m2—9
Xl+%2
9^+r尤1X2=9左2+1,
yi.2(履1+加)(丘2+加)-9、+加2工
所近xiX2xix29m2-99'
化簡(jiǎn)得93+1=2機(jī)2,滿足/>0.
\MN\=d1+/由一九2|=^1+^2-^/(Xl+x2)2—4x1X2
_]8版)29/一96,1+一々9左2——2+1
―9一+”—4Mg廬+廣9^+1
又原點(diǎn)。到直線/的距離d=
41+盧
2——2
缶z。13:1+——9/一謁+1\m\3|列42冽3
所以S⑻N(yùn)=]WAM=n—Q-----------r=^=一黃一=2.
3
綜上可知,△OMN的面積為定值].
題型四圓錐曲線中的伴侶點(diǎn)問題
在圓錐曲線的很多性質(zhì)中,常常出現(xiàn)一對(duì)活躍的點(diǎn)4機(jī),0)和3吟,0),這一對(duì)
點(diǎn)總是同時(shí)出現(xiàn)在圓錐曲線的對(duì)稱軸上,形影不離,相伴而行,我們把這一對(duì)特
殊點(diǎn)形象地稱作圓錐曲線的“伴侶點(diǎn)”.已知〃(機(jī),0),N(〃,0)(加〃=次)是雙曲
線,一,=1(。>0,6>0)的一對(duì)"伴侶點(diǎn)”,過點(diǎn)M作與坐標(biāo)軸不平行的直線
與雙曲線相交于A,3兩點(diǎn),則直線A7V和3N與x軸成等角.
可得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一和諧性質(zhì)如下:
已知M,N是圓錐曲線的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”,
過點(diǎn)”作與坐標(biāo)軸不平行的直線與曲線相交于A,3兩點(diǎn),則直線AN和3N與
x軸成等角.
例已知點(diǎn)MO,0),N(—加0)(mW0)是拋物線y2=2Qxg>0)的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”,
過點(diǎn)M作與x軸不平行的直線交拋物線于A,3兩點(diǎn),證明:直線AN和3N與
x軸成等角.
證明因直線過點(diǎn)Mg,0),
故可設(shè)直線的方程為x=m+ny,
將其代入拋*物線方程得,y2—2pny—2pm=0,
設(shè)A(?,yi),B(X29yi)9
則丁1+丁2=2〃〃,yiy2=-2pm9
又點(diǎn)A,5在直線AB上,
所以xi=m+nyi,X2=m-\-ny2,
yi+券yu:2+y2Xi+M(yi+y2)
所以kAN~\~kBN
xi+mX2-\-m(xi+m)(x2+m)
又y1X2+yix\+m(yi+y2)=yi(m+nyi)+”(加+“yi)+m(yi+”)
=i,2+2m(yi+y2)=2n-(一2pm)-\-2m-2pn=0,
所以fcw+左BN=O,
即直線AN和BN關(guān)于x軸對(duì)稱,
所以直線AN和BN與x軸成等角.
訓(xùn)練設(shè)橢圓C:弓+f=i的右焦點(diǎn)為R過R的直線/與C交于A,3兩點(diǎn),
點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).
(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;
(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:ZOMA=ZOMB.
(1)解由已知得網(wǎng)1,0),/的方程為x=l.
r2
把X=1代入橢圓方程,十丁=1,
可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為[1,坐)或11,一半)
又M2,0),
所以AM的方程為y=—乎》+啦或y=^x—\/2.
(2)證明當(dāng)/與x軸重合時(shí),ZOMA=ZOMB=0°.
當(dāng)/與x軸垂直時(shí),。“為A5的垂直平分線,
所以NOMA=NOMB.
當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí),
設(shè)/的方程為y=k(x—1)(左WO),A(xi,yi),3(x2,斐),
則》〈也,X2<?直線的4,MB的斜率之和為歷必+依〃=/+言.
,2kxixi—3k(xi+%2)+4左
=
由yi=kxi—k,yz=kx2—k得KMA+KMB(刈―?)一(X2—2),
將丁=網(wǎng)1一1)代入:|_+歹2=1得(2左z+Df—dFx+ZF—ZuO.
止2-一2
所以Xl+X2=
21^+VX1X2=2^+r
e,4R—4左一12R+8R+4左
則2kx1X2—3^(xi+x2)+4k=21c+1=。
從而上MA+左MB=O,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),
所以NOMA=NOMB
綜上,ZOMA=ZOMB.
課時(shí)作業(yè)
一、多選題
I.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABGA中,。為正方形421G2的中心,尸為線段co上的
一點(diǎn),則下列說法正確的是()
A.存在點(diǎn)尸,使得出=尸8
B.三棱錐A3。尸的體積為定值
C.的面積的最小值為百
D.線段48上存在點(diǎn)Q,使得尸且尸QLOC
【答案】ABC
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,選項(xiàng)A,根據(jù)P為線段CO上的一點(diǎn),設(shè)CP=/IC。得P點(diǎn)坐
標(biāo),
選項(xiàng)A判斷pA|=|P,成立時(shí)尸是否存在即可;
選項(xiàng)B因.A3。面積不變,只需判斷P到平面34。的距離是否為定值即可;
選項(xiàng)C因A18的長(zhǎng)度不變,要求的面積的最小值,只需求尸到48的距離的最小值即
可;
選項(xiàng)D可類似P點(diǎn)坐標(biāo)的求法,先設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0,判斷P點(diǎn)、。點(diǎn)
是否存在即可.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
選項(xiàng)A:r>(0,0,0),a(2,0,2),5(2,2,0),C(0,2,0),0(1,1,2)
若存在P點(diǎn),因P為線段CO上,可設(shè)CP=2CO=2(L-l,2)=(4T,24),2e[0,l]
故P點(diǎn)坐標(biāo)為(42-幾24),
2
^PAl=PB,貝!|(4_2)2+(2-2)+(24-2)2予―2)?+(-^
得故存在尸點(diǎn),A正確;
選項(xiàng)B:
取30的中點(diǎn)a,則a(i』,o),
AO1=(-1,1,-2),OC=(-l,l,-2),所以Aa=OC,
故aa〃OC,又A01U平面BAQ,0cz平面BA。,
所以O(shè)C〃平面54Q,
因P為線段CO上,故P到平面BAQ的距離不變,
故三棱錐\-BDP的體積為定值,B正確.
選項(xiàng)C:
由選項(xiàng)A知2尸=(幾一2,-A,22),g=(0,-2,2),
.2J~________________
P到”的距離為:"=卜『-年『水-2)2+(-行+(2行*+4
PA3的面積的最小時(shí),d取最小值,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)a=1時(shí),d取最小值為邁,
2
此時(shí)的面積為:X|A@X,=;X2忘x,=6,故C正確
選項(xiàng)D:
若Q存在,設(shè)臺(tái)。:〃%:^。,-2〃,?"),z/e[O,l]
則。(2,2—2〃,2〃),
則PQ=(2—4,4—2//,2〃一22),
因PQLA/,PQYOC
PQAiB=O
所以
PQOC^O
12(2-2〃)-2(2〃-2幻=。
?[-(2-2)+(2-2//)+2(2//-2A)=0,
(A=-4
[〃=一3,
不合題意,故D錯(cuò)誤.
故選:ABC
2.已知點(diǎn)A,B在圓O:Y+y2=4上,點(diǎn)尸在直線/:2x+y-5=0上,則()
A.直線/與圓。相離
B.當(dāng)AB=2指時(shí),國(guó)+畫的最大值是2石+2
C.當(dāng)以,PB為圓。的兩條切線時(shí),(。4+。8)。尸為定值
D.當(dāng)小,依為圓。的兩條切線時(shí),直線A8過定點(diǎn)。J
【答案】AC
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離判斷A;取A8中點(diǎn)。,由線段長(zhǎng)判斷B;由Rt△240中,
|OP|cosZPOA=|。4],同理如cosZPOB=網(wǎng),結(jié)合數(shù)量積的定義可判斷C;求出直線A8
的方程判斷D作答.
一|-5|I-
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤5街本€/的距離)==下>2,即直線/與圓。相離,A正確;
V22+l2
對(duì)于B,令A(yù)B的中點(diǎn)為則OD_LAB,|0D|==5與=1,
點(diǎn)。在以。為圓心,1為半徑的圓上,
\PA+PB\=\2PD\=2.\PD\,顯然當(dāng)P在/上運(yùn)動(dòng)時(shí),|尸。無最大值,B不正確;
對(duì)于C,當(dāng)尸AP2為切線時(shí),PALOA,PBrOB,
所以在RtAPAO中,|oP|cosNPOA=|Q4],
同理]。尸|cosZPOB=|OB|,
(CM+OB)-OP=|OA|?|(?p|cosZPOA+|(?B|-|OP|COSZPOB
=|OA|-104cosZPOA+\OB\.|6>P|COSNPOB=+\OB^=8,故C正確.
對(duì)于D,設(shè)尸(。,5-2°),當(dāng)尸4尸8為切線時(shí),PA±OA,PB±OB,
點(diǎn)A,8在以O(shè)P為直徑的圓上,
此圓的方程為x(x-a)+>(y-5+2a)=0,于是直線A8為ax+(5-2“)y=4,
即a(x-2y)+5y-4=0,
所以直線A3過定點(diǎn)D不正確.
故選:AC.
二、解答題
3.已知橢圓C:+,=1(。>6>0)的離心率e=;,且經(jīng)過點(diǎn)41-1,一"|
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵如果斜率為1的直線EF與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F,試判斷直線AE、的斜率之
和是否為定值,若是請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
⑶試求三角形A"面積S取得最大值時(shí),直線EF的方程.
22
【答案】(1)?+(=1
⑵直線AE、AF的斜率之和是為定值0
.1「1+后
【分析】(1)由題意可得e=£=〈,(-1)2,/=/+°2,求解即可;
a2b2
(2)設(shè)£&,芳),網(wǎng)孫%),直線班1的方程為:y=g尤+根,聯(lián)立橢圓方程消元,結(jié)合韋
(M+%)=-m/、
達(dá)定理可得一2°,設(shè)A5,%),代入
[玉/=m—3/
七+加=皿+上^=5一%”2一玄(%7嚴(yán)一%)整理可得;
玉一百)X2-XQ(玉一式0)(%2一%0)
(3)利用弦長(zhǎng)公式求得國(guó)司=日112-31,利用點(diǎn)線距離求得點(diǎn)A到直線E尸的距離
l+m1._______339
dJ非\,從而求得S=—J12—3機(jī)2|加+1,設(shè)/(機(jī))=—=——機(jī)4——m3+_加2+6根+3,求
導(dǎo)判斷單調(diào)性,從而可求得最大值,即可求解.
【詳解】(1)由題意,e=£==,
a2
橢圓c經(jīng)過點(diǎn)/一1,一小,H(-I)21一£|
12)2-+U=1
ab
22
又°2=/+°2,解得/=3,/=4,所以橢圓方程為L(zhǎng)+匕=1.
43
(2)設(shè)以百,%),尸(無2,%),直線所的方程為:y=;尤+根,
22
代入土+匕=1,得:X2+mx+m2—3=0.
43
A=療-4(療-3)>0即一2<利<2,且卜十*;二.
\)[玉兀2=根
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