2025年高考一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的定值問題【含解析】

第十節(jié)圓錐曲線中的定值問題【原卷版】

題型歸類

題型一長(zhǎng)度或距離為定值

例1(2023?鄭州模擬)已知點(diǎn)R(0,1),直線/：y=4,P為曲線C上的任意一點(diǎn)，且|尸網(wǎng)是尸到

/的距離的皮

⑴求曲線C的方程；

(2)若經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為網(wǎng)4W0)的直線交曲線C于點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平分線交y軸于

點(diǎn)、H,求證：牌為定值.

⑴解設(shè)P(x,y),由已知得7四十(丁—1)2=：牛一4|,

?2

整理得田+1=1,

此即為曲線C的方程.

⑵證明經(jīng)過點(diǎn)R且斜率為網(wǎng)上W0)的直線的方程為丁=履+1,

與曲線C方程聯(lián)立，消去y整理得(4+3產(chǎn))X2+6日一9=0,

/=36F+4X9X(4+3R)=144(l+F)>0恒成立，

設(shè)A/(xi,yi),N(X2,yi),

則=W+的xi一羽|=3+4X4*后=12；二^),%]+^2=-J，,

%]-1-X23k4

設(shè)線段AfN的中點(diǎn)為T(xo,yo),則xo=―入一=一了而層，加=入。+1=413產(chǎn),

線段MN的中垂線的斜率為一J,

其方程為廠房=./在.

令冗=0,解得1=4+3.，

即為點(diǎn)H的縱坐標(biāo),

.13(1+F)

?.|陽(yáng)=1—4+37=4+3左2’

3(1十一)

\FH\4+3后1,、，。

,麗i=TT7]+左2)=7為定值).

~4+3--

感悟提升探求圓錐曲線中的定線段的長(zhǎng)的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長(zhǎng)公式把要

探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長(zhǎng)表達(dá)式中的相關(guān)量

之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長(zhǎng)表達(dá)式中，化簡(jiǎn)可得弦長(zhǎng)為定值.

訓(xùn)練1已知拋物線C：y2=2px(p>0),其焦點(diǎn)為E。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與拋物線C相交于

不同的兩點(diǎn)A,B,M為A3的中點(diǎn).

(1)若夕=2,“的坐標(biāo)為(1,1),求直線/的方程.

⑵若直線/過焦點(diǎn)EA3的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證：犒^為定值.

(1)解由題意知直線/的斜率存在且不為0,

故設(shè)直線I的方程為x-l=t(y-l)

即%=)+1—乙設(shè)A(%i,yi),B(X29yi).

[x=ty~\~1一t

由J.9得y2—4/y—4+4/=o,

V9=4x,

???/=16於+16—16%=16(於一/+l)>0,

yi+>2="/.4r=2,即t=^.

二?直線l的方程為2x~y—1=0.

2

(2)證明???拋物線Cy=2px(p>0)9

...焦點(diǎn)R的坐標(biāo)為g,o).

由題意知直線I的斜率存在且不為0,

?.?直線I過焦點(diǎn)F,故設(shè)直線I的方程為尸。+冬小0),

設(shè)A(xi,yi),5a2,yi).

%=(y+與

由<2得J—2〃9一，2=0，

2

y=2px9

，yi+y2=2m，4=4p2p+4P2>0.

?\xi-\-X2=t(yi~\-y2)~\~p=2pi2-\-p,

p“

.'.AfN的方程為y—pt=—^x—pi2—^].

令解得：2+乎

y=0,x0,小e+琴o],

22

\MN\=p2+p20,[FN\=pt+當(dāng)一?=2戶+p,

.2|“Vp2(p2+p2p)

**\FN\=—p"p—=2p，為定值.

題型二斜率或代數(shù)式為定值

例2如圖，橢圓E：，+，=l(a泌>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,—1)且離心率為坐.

(1)求橢圓E的方程;

⑵經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。(均異于點(diǎn)A),證明：直線

AP與AQ的斜率之和為定值.

(1)1?由題設(shè)知:=亭，b=l,

結(jié)合/=廬+》,解得。=爽，

2

所以橢圓E的方程為5r+>2=1.

⑵證明由題設(shè)知直線PQ的方程為

y=6x—1)+1(左W2),代入了+丁2=1,

得(1+2/)江一4左(左一l)x+2%(左一2)=0,

由已知/>0,設(shè)尸(xi,yi),2(x2,yi),

4k(左——1)2k(左一2)

X1X2WO,則Xl-\-X2=

1+2/2X1X2-1+2產(chǎn)，

從而直線AP,AQ的斜率之和為AAP+左AQ="丑+匕」

kn+2——左,kxi+2—k,(1?,%1+尤2

=--------+--------=2k+(2—幻一+—=2k+(2-k)-----

XIXI'7\X1X1J'/X1X2

4k(左——1)

=2k+Q—k)2k(左_2)=2左一2(左一1)=2(即為定值).

感悟提升在證明一條直線斜率或兩條直線斜率和，差或者積與商為定值的問題中，我們需要

先將斜率表示出來，然后利用相關(guān)量之間的關(guān)系式化簡(jiǎn)即可.

訓(xùn)練2(2023?武漢模擬)已知橢圓C：2+奈=1(。>5>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2,過點(diǎn)八

的直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)若尸1人|=2,△A3R2的周長(zhǎng)為8.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)MA=AF^A,MB=fiF\B,試分析4+〃是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，否則，說明理由.

解(1)因?yàn)椤鰽BB的周長(zhǎng)為8,

所以4〃=8,解得〃=2,

2

由的刑=2,得2商一接=2yj4-b=2,

所以尻=3,

72

因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為§+5=1.

(2)由題意可知直線/的斜率存在，

設(shè)直線I的方程為y=k(x+l),

y=k(x+1),

由

整理得(3+4左2)<+8/%+4爛—12=0,

顯然/>0,

設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),

r.8后

制+尤2=一干詁

D1l|<

4MT2

「1x2=3+43,

設(shè)M(0,k),又為(-1,0),

所以跖4=(%i,yi~k)9FiA=(xi+1,yi),

貝1丸=號(hào)不

XI+1

同理可得M5=(x2,yi-k)9FIB=(X2~\~19yi)9

則u=X2

人〃%2+r

濟(jì)/_XI_LX2_XI(%2+1)+%2(X1+1)

"XI+1X2~\~1(X1+1)(X2+1)

4^—128一

2%LX2+XI+122*3+4R3+4爐

XIX2+X1+X2+14k2—128A2

3+4左2—3+4—+1

8戶一24—8后一248

二4左2—12—8左2+3+4妤=—9='

所以7+〃為定值方.

題型三幾何圖形的面積為定值

一%2

例3在平面直角坐標(biāo)系X。》中，已知橢圓C：w+V=l，點(diǎn)P(XLVl)-Q(X2，丁2)是橢圓C上

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線。P,OQ的斜率分別為M,ki,若m=&，yi),〃=悖券)，mn=Q.

1

-

⑴求證:ki-k2=4

(2)試探求△OPQ的面積S是不是定值，并說明理由.

(1)證明?依，左2存在，.?.X1X2W0,

.mn—0,..~^~+yiy2—0,

???7ki'；ki—V1V2—一1.

X1X24A

(2)解是.理由：當(dāng)直線PQ的斜率不存在,

WXI-X2,yi=一丁2時(shí)，

4皿1用行2A

由京_一/傳4一貫=6

Y?

由P(?,”)在橢圓。上,得號(hào)+/=1,

/.|XI|=A/2,,

???SAOPQ=^\xi\'\yi—y?\=l.

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，易知直線PQ的斜率不為0,

設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b(k^0).

y=kx~\~b,

由,得(4/+1)必+8姑x+4"2—4=0,

a+>1，

—8kb4Z;2-4

Xl+X2=4廬+i'XU2=4^+r

..X1X2._

?4+yi>2—n。,

xiX?

/.~^―+(丘1+b)(kx2+Z?)=0,

得2〃一4產(chǎn)=1,

滿足/=64M廿-4(4M+1)(4廿—4)=16(4層+1—〃)>0,

i聞1---------------、/43+1—房

**-SKPQ=]^^^PQI(xi+及)2—4XIX2=2|〃C41+]-=1-

：.^OPQ的面積S為定值.

感悟提升探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角

形面積公式（如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求解）把要探求的幾何圖形的面

積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這

個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡(jiǎn)即可.

%2

訓(xùn)練3（2023?重慶診斷節(jié)選）已知橢圓E：§+尸=1.若直線/交橢圓后于航，N兩點(diǎn)，直線0M

的斜率為上，直線ON的斜率為左2,且左戊2=—今證明：△OMN的面積是定值，并求此定值.

證明當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

設(shè)直線I：x=t（-3<t<3且fWO）,

得9=1—3

一§一§19

則k\ki=——=—p=-^解得好學(xué)

2

所以SOMW=1X2Xt3

A1—制4=1

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)M（xi,州），N（X2,yi）,直線/：y=日+機(jī)（機(jī)20）,

y=kx-\-m9

由,2_i消去y并整理,

9+，-]

得(9F+l)f+18Ag;+9/n2—9=0.

J=(18M2-4(9^+l)(9m2-9)=36(9^-m2+l)>0,

18km9m2-9

Xl+%29必+1'"13=9標(biāo)+1'

(依i+加)(te+m)-9左2十加21

3*

X1X29m2—99,

化簡(jiǎn)得93+1=2機(jī)2,滿足/>0.

\MN\=w+妁xi—X2\=yi+py(X1+X2)2—4XIX2

18km)29療一96、1+游79游一席+1

=、1+H9^+1J-4X

9F+1—9lc-\-l

又原點(diǎn)。到直線/的距離d=

、1+廬

所以SAOMN=^-\MN\-d=3\11+—\{9卜2—渥+1|詞31mH2m之一m23

9廬+1y/l+k2~2加2-

3

綜上可知，△OMN的面積為定值京

題型四圓錐曲線中的伴侶點(diǎn)問題

在圓錐曲線的很多性質(zhì)中，常常出現(xiàn)一對(duì)活躍的點(diǎn)4加，0）和0），這一對(duì)點(diǎn)總是同時(shí)出

現(xiàn)在圓錐曲線的對(duì)稱軸上，形影不離，相伴而行，我們把這一對(duì)特殊點(diǎn)形象地稱作圓錐曲線的

r2V2

“伴侶點(diǎn)”.已知M>,0）,即,0）02=居）是雙曲線”—右=13>0">0）的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”，

過點(diǎn)〃作與坐標(biāo)軸不平行的直線與雙曲線相交于43兩點(diǎn)，則直線⑷V和3N與x軸成等角.

可得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一和諧性質(zhì)如下：

已知M,N是圓錐曲線的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”，

過點(diǎn)〃作與坐標(biāo)軸不平行的直線與曲線相交于A,3兩點(diǎn)，則直線A7V和3N與x軸成等角.

例已知點(diǎn)昭＞,0),N(-m,0)(機(jī)W0)是拋物線＞2=22式/?＞0)的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”，過點(diǎn)M作

與x軸不平行的直線交拋物線于A,3兩點(diǎn)，證明：直線AN和3N與x軸成等角.

證明因直線AB過點(diǎn)M(m,0),

故可設(shè)直線A3的方程為x=m+ny,

將其代入拋物線方程得，y2—2pny-2pm=0,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,yi),

則yi+y2=2/w,yiy2=~2pm,

又點(diǎn)A,3在直線A3上，

所以xi=/n+〃yi,X2=m-\-ny2,

yi+>2yiX2+y2%i+/n(yi+y?)

所以kAN~\-kBN

xi+m(xi+m)(X2+根)

又y\xi-\-yix\-\-m(y\+")=yi(m+ny2)+y2(m+nyi)+m(yi+*)

=2ny\yi+2m(yi+?)=2〃?(-2pm)+2m-2pn=0,

所以fcw+%BN=0,

即直線AN和BN關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以直線AN和3N與x軸成等角.

r2

訓(xùn)練設(shè)橢圓C：5+丁=1的右焦點(diǎn)為R過歹的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)般的坐標(biāo)為

(2,0).

⑴當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

⑴解由已知得"1,0),/的方程為尤=1.

把x=l代入橢圓方程與+y2=i,

可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為11,坐)或［1,一半］.

又M2,0),

所以AM的方程為y=—乎x+6或y=^x—y［2.

(2)證明當(dāng)/與x軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，為A5的垂直平分線，

所以NOMA=NOMB

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，

設(shè)/的方程為丁=左。一1)(左WO),A(xi,yi),3(x2,yi),

則％1<隹，X2<?直線MA,M3的斜率之和為左MA+左

Ji1乙

,2/aiX2-3k(xi+%2)+4左

由yi=kx\~k,yi—kxi-kICMA+kMB—(?一？)(.—2),

將y=Z(x—l)代入日+y2=l得(2F+l)%2—4女2冗+2女2-2=0.

所以Xl+X2=￡g,X1X2=||^|.

4廬一4Z—12/+8K+4左

則2Axi%2—3%（11+冗2）+4左=2—+1=0-

從而左MA+左ws=0,故A￡4,MB的傾斜角互補(bǔ),

所以NOM4=NOMB

綜上，ZOMA=ZOMB.

課時(shí)作業(yè)

一、多選題

1.在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-A4G，中，。為正方形的中心，P為線段co上的一點(diǎn)，則下列說

法正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,使得PA=PB

B.三棱錐a-BDP的體積為定值

C.的面積的最小值為6

D.線段48上存在點(diǎn)Q,使得且PQJLOC

2.已知點(diǎn)A,8在圓。：V+寸=4上，點(diǎn)尸在直線/：2x+y-5=0上，貝I]（）

A.直線/與圓。相離

B.當(dāng)48=2逝時(shí)，慳+尸耳的最大值是2行+2

C.當(dāng)E4,PB為圓。的兩條切線時(shí)，（OA+O8AOP為定值

D.當(dāng)B4,尸8為圓O的兩條切線時(shí)，直線過定點(diǎn)

二、解答題

3.已知橢圓C：5+]=1（〃>6>0）的離心率e=g,且經(jīng)過點(diǎn)人（一1,一￡|.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如果斜率為1的直線所與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F,試判斷直線AE、AF的斜率之和是否為定值，

若是請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

⑶試求三角形AEF面積S取得最大值時(shí)，直線所的方程.

22

4.已知拋物線a：/=4x-4與雙曲線=J=l（l<o<2）相交于兩點(diǎn)A3,產(chǎn)是C?的右焦點(diǎn)，直線

U.4—Q.

AF分別交GC于CQ（不同于A,8點(diǎn)），直線3c皿分別交x軸于P,。兩點(diǎn).

⑴設(shè)4（苞,/）,。（%2，為），求證：是定值；

⑵求W■的取值范圍.

FP

22

5.已知月是雙曲線=-4=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,3)在雙曲線上且雙曲線的離心率為2.

ab

⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若P是雙曲線在第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，3(1,0),記/P與8的內(nèi)角平分線所在直線斜率為耳，直線外斜率為

K，求證：h+k3是定值.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：U=l(a>6>°)過點(diǎn)，且橢圓的離心率為孝.直

線/:y=x+f與橢圓E相交于兩點(diǎn)，線段A3的中垂線交橢圓E于兩點(diǎn).

⑴求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求線段C。長(zhǎng)的最大值；

⑶證明：AC.AO為定值，并求此定值.

22

7.已知橢圓加：谷+4=13>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為與、尸2,斜率不為0的直線/過點(diǎn)耳，與橢圓交

于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí)，|AB|=3,橢圓的離心率e=1.

⑴求橢圓M的方程；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使得尸從尸8為定值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

8.己知雙曲線C:土-1=l(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，工，A在雙曲線C上,且秋，x軸，月耳=30.

4b

⑴求雙曲線C的漸近線方程；

⑵設(shè)。為雙曲線C的右頂點(diǎn)，直線/與雙曲線C交于不同于。的E,歹兩點(diǎn)，若以斯為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D,

且。GLEF于G,證明：存在定點(diǎn)使|GH|為定值.

22

9.已知橢圓C:=+M=l(a>b>0)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,且右焦點(diǎn)為(1,0).

ab

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A,3分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)(不與A3重合)，直線AR3尸分別與直線x=4相

交于點(diǎn)“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以為直徑的圓截x軸所得的弦長(zhǎng)為定值.

10.已知在平面內(nèi)，點(diǎn)A(-應(yīng),0),B(A/I,0),點(diǎn)尸為動(dòng)點(diǎn)，滿足直線R4與直線尸3的斜率之積為1.

⑴求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明表示什么曲線；

⑵若直線/為上述曲線的任意一條切線，證明：點(diǎn)。(-2,0),￡>(2,0)分別到直線/的距離之積為定值，并求出

該定值.

221

11.已知橢圓C:1r+:=1(a>8>0)的右頂點(diǎn)(2,0),離心率e=5.

⑴求曲線C的方程；

(2)設(shè)斜率為4的直線/交x軸于T,交曲線C于A,8兩點(diǎn)，是否存在左使得+忸邛為定值，若存在,

求出左值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

12.已知雙曲線cj-弧=1(。>0/>0)的漸近線方程為>=±瓜，過其右焦點(diǎn)廠且垂直于無軸的直線與

C交于A,B兩點(diǎn),M|AB|=6.

⑴求C的方程.

(2)設(shè)尸(%,%)為C上的動(dòng)點(diǎn)，直線/：誓-咨=1與直線A3交于點(diǎn)與直線x=f(與直線A3不重合)

ab

\MF\

交于點(diǎn)N.是否存在r,使得島為定值？若存在，求f的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOx中，P,。是拋物線C:Y=y上兩點(diǎn)(異于點(diǎn)。)，過點(diǎn)尸且與C相切的直線/

交x軸于點(diǎn)且直線。。與/的斜率乘積為-2.

⑴求證：直線尸。過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵過M作/的垂線交橢圓?+y2=i于A,8兩點(diǎn)，過O作/的平行線交直線A3于H,記△。尸。的面積為

S,△ABD的面積為T.

①當(dāng)「取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；

②證明：存在定點(diǎn)G,使IGH|為定值.

14.己知橢圓C:三+y2=i,A,8是橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A0,8三點(diǎn)不共線，記AOB

的面積為SAOB

⑴若OA=（外,乂）,。3=（無2，%）,求證：SAOB=；憂%-%%|；

（2）記直線04,08的斜率為匕&，當(dāng)左心=-；時(shí)，試探究S九B是否為定值并說明理由.

第十節(jié)圓錐曲線中的定值問題【解析版】

題型歸類

題型一長(zhǎng)度或距離為定值

例1(2023?鄭州模擬)已知點(diǎn)尸(0,1),直線/：y=4,尸為曲線C上的任意一點(diǎn),

且|尸用是P到/的距離的;.

⑴求曲線C的方程；

(2)若經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為網(wǎng)上W0)的直線交曲線C于點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平

分線交y軸于點(diǎn)H,求證：㈱為定值.

⑴解設(shè)尸(x,y),由已知得N%2+(y—1)2=1jy—4|,

22

整理得點(diǎn)十1=1,

此即為曲線C的方程.

⑵證明經(jīng)過點(diǎn)R且斜率為如two)的直線的方程為y=kx+\,

與曲線C方程聯(lián)立，消去y整理得(4+3/)/+6右一9=0,

/=36/+4X9X(4+3R)=144(1+R)>O恒成立，

設(shè)M(xi，")，N(X2,yi),

則，》1+%2=一了若后，

%-1-%23k4

設(shè)線段MN的中點(diǎn)為T(%o,yo),則xo~=一4?3Pyo=fcw+1=4?3記，

線段MN的中垂線的斜率為一J,

K

其方程為y—春=—1》+7事)，

令x=0,解得［=4+37,

即為點(diǎn)H的縱坐標(biāo),

.13(1+R)

?.尸”|=1—4+3產(chǎn)=4+3左2

3(1+后)

\FH\4+3R1,、d

,而切=返亙王互=a(為定值)?

-4+3產(chǎn)-

感悟提升探求圓錐曲線中的定線段的長(zhǎng)的問題，一般用直接求解法，即先利用

弦長(zhǎng)公式把要探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)

得到弦長(zhǎng)表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長(zhǎng)表達(dá)式中，化

簡(jiǎn)可得弦長(zhǎng)為定值.

訓(xùn)練1已知拋物線C：y2=2px(p>0),其焦點(diǎn)為R。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與拋

物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為A3的中點(diǎn).

(1)若p=2,〃的坐標(biāo)為(1,1),求直線/的方程.

⑵若直線/過焦點(diǎn)RA3的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證：號(hào)鬻為定值.

(1)解由題意知直線/的斜率存在且不為0,

故設(shè)直線/的方程為x—1=0一1)

即設(shè)A(%i,yi),B(%2,/).

x=ty~\~1一t,

由彳9得；49一4+由=0,

l/=4x,

：.A=16116-16t=16(1+1)>0,

丁1+券=4%,/.4/=2,即

???直線l的方程為2x~y—1=0.

(2)證明???拋物線C：y2=2px(p>0),

...焦點(diǎn)R的坐標(biāo)為g,0).

由題意知直線I的斜率存在且不為0,

,直線I過焦點(diǎn)F,故設(shè)直線/的方程為》=什+宗樣0),

設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi).

由，"2得,2一22"一^2=0,

y=2px,

.".yi-\-y2=2pt,J=4/?2?+4/?2>0.

.,.xi+x2=(yi+y2)+p=2pF+p,

'.N/^pt1+^,ptj.

...MN的方程為y~pt=—^x—pi2—^.

令y=0,解得%二0戶+乎，°)，

\MN\2=p2+p2t2,|川=夕尸+當(dāng)一^=夕尸十夕,

.21MM22(p2+p2p)

**\FN\=—pfi+p—=2p,為定值.

題型二斜率或代數(shù)式為定值

例2如圖，橢圓E：2+%=1(。>°>°)經(jīng)過點(diǎn)A(0，—1)且離心率為坐.

(1)求橢圓E的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。(均異于點(diǎn)

A),證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.

⑴解由題設(shè)知:半，b=l,

結(jié)合/=〃+C2,解得。=近，

所以橢圓E的方程為，+產(chǎn)=1.

(2)證明由題設(shè)知直線PQ的方程為

%2

y=k(x—1)+1(^2),代入爹+丁=1,

得(1+2F)——4k(k—1)x+2-左一2)=0,

由已知/>0,設(shè)尸(xi,yi),2(x2,丁2),

4k(左一1)2k(左一2)

X1X2W0,則Xl+x2=

1+2MX1X2=]+2如，

從而直線AP,AQ的斜率之和為履P+乂0=上丑+型斗

JC1JC2,

kx\-\-2—k,kx2-\-2—k,(1?,xi-\-X2

=------------+-------------=2k+(2-ki-+-\=2k+(2~k)--------

XIXI7\X1W'7X1X2

4k(左一1)

=2左+(2一左)。/7/、-=2左一2/—1)=2(即為定值).

ZK—1)

感悟提升在證明一條直線斜率或兩條直線斜率和，差或者積與商為定值的問題

中，我們需要先將斜率表示出來，然后利用相關(guān)量之間的關(guān)系式化簡(jiǎn)即可.

訓(xùn)練2(2023?武漢模擬)已知橢圓C：3+5=1(。＞。＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,

F2,過點(diǎn)后的直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)膽，若尸1刑=2,AABF2

的周長(zhǎng)為8.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)M4=Am,MB=nF\B,試分析丸+〃是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，否

則，說明理由.

解(1)因?yàn)椤鰽BB的周長(zhǎng)為8,

所以4a=8,解得〃=2,

由尸匹|=2,得27a2—。2=2y4—廿=2,

所以b2=3,

?2

因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為作+5=1.

(2)由題意可知直線/的斜率存在，

設(shè)直線I的方程為y=k(x+l),

y=k(x+1),

由

整理得(3+4F)N+8左2%+4產(chǎn)—12=0,

顯然/＞0,

設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),

(,8心

項(xiàng)+股=一而F'

則q

4MT2

X1X2=I+4F-

設(shè)M(0,k),又0),

所以M4=(xi,yi-k),FiA=(xi+1,yi),

則f

同理可得Af3=(x2,y2-k),FIB=(X2-\-1,yi),

X2

則

XI.X2XI(X2+1)+%2(XI+1)

所以2+〃=

XI+1X2~\-1(XI+1)(X2+1)

4左2—128s

2x1x2+xi+l23+4F3+4左2

xix2+xi+x2+14k2—128k2

1

3+4產(chǎn)3+41c

8^—24—8產(chǎn)-248

—4F—12—8/+3+4產(chǎn)—-9—3'

所以7+〃為定值/

題型三幾何圖形的面積為定值

一X2

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:1+>2=1,點(diǎn)尸(xi,yi),2(X2,

XI)

>2)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OP,0Q的斜率分別為ki,ki,若m=5,切,

n=~2~9TTl'Tl~0.

⑴求證：krk2=一占；

(2)試探求△OPQ的面積S是不是定值，并說明理由.

⑴證明'：ki,匕存在，??.X1X2W0,

?〃/?〃=(),??一1一+，1，2=0,

1

“5方4,

⑵解是.理由：當(dāng)直線PQ的斜率不存在,

即xi=x2,yi=—"時(shí)，

由煎__不得4—尤一°，

Y?

由P（xi,yi）在橢圓。上,得號(hào)+才=1,

??S/\OPQ=~^\xi\t\yi_*1=1.

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，易知直線PQ的斜率不為0,

設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b(k^0).

y—kx~\~b,

由得(4F+l)f+8她x+4〃一4=0,

%+y=i，

~8kb4尻一4

Xl+%2=41+1'丁丁=4尸+「

..XIX2,

-4+yi>2—0,

X]X2

/.+(kxi+b)(kx2+/?)=0,

得2反一4標(biāo)=1,

滿足/=64於反一4（4標(biāo)+1）（4廿一4）=16（4上2+1—〃）〉（）,

1IAI1-------A/4A;2+1——b2

SA0PQ=1^^^|PQI=/N（X1+X2）2—4XIX2=2瓦Y4左2+1-=1.

...△OPQ的面積S為定值.

感悟提升探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即

可先利用三角形面積公式（如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求

解）把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的

面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式

中，化簡(jiǎn)即可.

訓(xùn)練3(2023?重慶診斷節(jié)選)已知橢圓E：g+f=i.若直線/交橢圓石于MN兩

點(diǎn)，直線0M的斜率為直線ON的斜率為左2,且依近=—今證明：叢OMN

的面積是定值，并求此定值.

證明當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),

設(shè)直線/：x=t（-3<t<3且f關(guān)0）,

.戶1’得41苔,

由,

i9

則kiki=g,解得/=￡.

,r,,3

所以SZ\OMN=1X2Xl-g-\t\=2-

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)M(%i,yi)9Ng聞，直線/：y=kx+m(m^0)9

y=kx-\-m9

由行消去y并整理,

j+/=1

得（9廬+l）x2+lSkmx-\-9m2—9=0.

J=（18M2-4（9Jt2+l）（9m2-9）=36（9^-m2+l）>0,

18km9m2—9

Xl+%2

9^+r尤1X2=9左2+1，

yi.2（履1+加）（丘2+加）-9、+加2工

所近xiX2xix29m2-99'

化簡(jiǎn)得93+1=2機(jī)2,滿足/>0.

\MN\=d1+/由一九2|=^1+^2-^/（Xl+x2）2—4x1X2

_]8版）29/一96，1+一々9左2——2+1

―9一+”—4Mg廬+廣9^+1

又原點(diǎn)。到直線/的距離d=

41+盧

2——2

缶z。13：1+——9/一謁+1\m\3|列42冽3

所以S⑻N(yùn)=]WAM=n—Q-----------r=^=一黃一=2.

3

綜上可知，△OMN的面積為定值］.

題型四圓錐曲線中的伴侶點(diǎn)問題

在圓錐曲線的很多性質(zhì)中，常常出現(xiàn)一對(duì)活躍的點(diǎn)4機(jī)，0）和3吟，0），這一對(duì)

點(diǎn)總是同時(shí)出現(xiàn)在圓錐曲線的對(duì)稱軸上，形影不離，相伴而行，我們把這一對(duì)特

殊點(diǎn)形象地稱作圓錐曲線的“伴侶點(diǎn)”.已知〃（機(jī)，0）,N（〃，0）（加〃=次）是雙曲

線,一，=1（。>0，6>0）的一對(duì)"伴侶點(diǎn)”，過點(diǎn)M作與坐標(biāo)軸不平行的直線

與雙曲線相交于A,3兩點(diǎn)，則直線A7V和3N與x軸成等角.

可得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一和諧性質(zhì)如下：

已知M,N是圓錐曲線的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”，

過點(diǎn)”作與坐標(biāo)軸不平行的直線與曲線相交于A,3兩點(diǎn)，則直線AN和3N與

x軸成等角.

例已知點(diǎn)MO,0），N（—加0）（mW0）是拋物線y2=2Qxg>0）的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”，

過點(diǎn)M作與x軸不平行的直線交拋物線于A,3兩點(diǎn)，證明：直線AN和3N與

x軸成等角.

證明因直線過點(diǎn)Mg,0）,

故可設(shè)直線的方程為x=m+ny,

將其代入拋*物線方程得，y2—2pny—2pm=0,

設(shè)A（?,yi）,B（X29yi）9

則丁1+丁2=2〃〃，yiy2=-2pm9

又點(diǎn)A,5在直線AB上，

所以xi=m+nyi,X2=m-\-ny2,

yi+券yu：2+y2Xi+M(yi+y2)

所以kAN~\~kBN

xi+mX2-\-m(xi+m)(x2+m)

又y1X2+yix\+m(yi+y2)=yi(m+nyi)+”(加+“yi)+m(yi+”)

=i,2+2m(yi+y2)=2n-(一2pm)-\-2m-2pn=0,

所以fcw+左BN=O,

即直線AN和BN關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以直線AN和BN與x軸成等角.

訓(xùn)練設(shè)橢圓C：弓+f=i的右焦點(diǎn)為R過R的直線/與C交于A,3兩點(diǎn),

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

(1)解由已知得網(wǎng)1,0),/的方程為x=l.

r2

把X=1代入橢圓方程,十丁=1,

可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為［1,坐)或11,一半)

又M2,0),

所以AM的方程為y=—乎》+啦或y=^x—\/2.

(2)證明當(dāng)/與x軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，。“為A5的垂直平分線，

所以NOMA=NOMB.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，

設(shè)/的方程為y=k(x—1)(左WO),A(xi,yi),3(x2,斐),

則》〈也,X2<?直線的4,MB的斜率之和為歷必+依〃=/+言.

,2kxixi—3k（xi+%2）+4左

=

由yi=kxi—k,yz=kx2—k得KMA+KMB（刈―？）一（X2—2）,

將丁=網(wǎng)1一1）代入:|_+歹2=1得（2左z+Df—dFx+ZF—ZuO.

止2-一2

所以Xl+X2=

21^+VX1X2=2^+r

e,4R—4左一12R+8R+4左

則2kx1X2—3^（xi+x2）+4k=21c+1=。

從而上MA+左MB=O,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),

所以NOMA=NOMB

綜上，ZOMA=ZOMB.

課時(shí)作業(yè)

一、多選題

I.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABGA中，。為正方形421G2的中心，尸為線段co上的

一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)尸，使得出=尸8

B.三棱錐A3。尸的體積為定值

C.的面積的最小值為百

D.線段48上存在點(diǎn)Q,使得尸且尸QLOC

【答案】ABC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，選項(xiàng)A,根據(jù)P為線段CO上的一點(diǎn)，設(shè)CP=/IC。得P點(diǎn)坐

標(biāo)，

選項(xiàng)A判斷pA|=|P,成立時(shí)尸是否存在即可；

選項(xiàng)B因.A3。面積不變，只需判斷P到平面34。的距離是否為定值即可；

選項(xiàng)C因A18的長(zhǎng)度不變，要求的面積的最小值，只需求尸到48的距離的最小值即

可；

選項(xiàng)D可類似P點(diǎn)坐標(biāo)的求法，先設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0,判斷P點(diǎn)、。點(diǎn)

是否存在即可.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

選項(xiàng)A：r＞（0,0,0）,a（2,0,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,0（1,1,2）

若存在P點(diǎn)，因P為線段CO上，可設(shè)CP=2CO=2（L-l,2）=（4T,24）,2e[0,l]

故P點(diǎn)坐標(biāo)為（42-幾24）,

2

^PAl=PB,貝!|（4_2）2+（2-2）+（24-2）2予―2）?+（-^

得故存在尸點(diǎn)，A正確；

選項(xiàng)B：

取30的中點(diǎn)a,則a（i』,o）,

AO1=（-1,1,-2）,OC=（-l,l,-2）,所以Aa=OC,

故aa〃OC,又A01U平面BAQ,0cz平面BA。，

所以O(shè)C〃平面54Q,

因P為線段CO上，故P到平面BAQ的距離不變，

故三棱錐\-BDP的體積為定值，B正確.

選項(xiàng)C：

由選項(xiàng)A知2尸=（幾一2,-A,22）,g=（0,-2,2）,

.2J~________________

P到”的距離為:"=卜『-年『水-2）2+（-行+（2行*+4

PA3的面積的最小時(shí)，d取最小值，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)a=1時(shí)，d取最小值為邁，

2

此時(shí)的面積為:X|A@X,=；X2忘x,=6,故C正確

選項(xiàng)D：

若Q存在，設(shè)臺(tái)。：〃%：^。,-2〃,？"），z/e[O,l]

則。（2,2—2〃,2〃），

則PQ=（2—4,4—2//,2〃一22）,

因PQLA/,PQYOC

PQAiB=O

所以

PQOC^O

12（2-2〃）-2（2〃-2幻=。

?[-（2-2）+（2-2//）+2（2//-2A）=0，

（A=-4

[〃=一3，

不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

2.已知點(diǎn)A,B在圓O：Y+y2=4上，點(diǎn)尸在直線/：2x+y-5=0上，則（）

A.直線/與圓。相離

B.當(dāng)AB=2指時(shí)，國(guó)+畫的最大值是2石+2

C.當(dāng)以，PB為圓。的兩條切線時(shí)，（。4+。8）。尸為定值

D.當(dāng)小，依為圓。的兩條切線時(shí)，直線A8過定點(diǎn)。J

【答案】AC

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離判斷A；取A8中點(diǎn)。，由線段長(zhǎng)判斷B；由Rt△240中,

|OP|cosZPOA=|。4],同理如cosZPOB=網(wǎng)，結(jié)合數(shù)量積的定義可判斷C；求出直線A8

的方程判斷D作答.

一|-5|I-

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤５街本€/的距離）==下＞2,即直線/與圓。相離，A正確;

V22+l2

對(duì)于B,令A(yù)B的中點(diǎn)為則OD_LAB,|0D|==5與=1,

點(diǎn)。在以。為圓心，1為半徑的圓上，

\PA+PB\=\2PD\=2.\PD\,顯然當(dāng)P在/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|尸。無最大值，B不正確;

對(duì)于C,當(dāng)尸AP2為切線時(shí)，PALOA,PBrOB,

所以在RtAPAO中，|oP|cosNPOA=|Q4],

同理]。尸|cosZPOB=|OB|,

(CM+OB)-OP=|OA|?|(?p|cosZPOA+|(?B|-|OP|COSZPOB

=|OA|-104cosZPOA+\OB\.|6>P|COSNPOB=+\OB^=8,故C正確.

對(duì)于D,設(shè)尸(。,5-2°),當(dāng)尸4尸8為切線時(shí)，PA±OA,PB±OB,

點(diǎn)A,8在以O(shè)P為直徑的圓上，

此圓的方程為x(x-a)+>(y-5+2a)=0,于是直線A8為ax+(5-2“)y=4,

即a(x-2y)+5y-4=0,

所以直線A3過定點(diǎn)D不正確.

故選：AC.

二、解答題

3.已知橢圓C：+，=1(。>6>0)的離心率e=；,且經(jīng)過點(diǎn)41-1,一"|

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵如果斜率為1的直線EF與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F,試判斷直線AE、的斜率之

和是否為定值，若是請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

⑶試求三角形A"面積S取得最大值時(shí)，直線EF的方程.

22

【答案】(1)?+(=1

⑵直線AE、AF的斜率之和是為定值0

.1「1+后

【分析】(1)由題意可得e=￡=〈，(-1)2,/=/+°2,求解即可；

a2b2

(2)設(shè)￡&,芳),網(wǎng)孫％),直線班1的方程為：y=g尤+根，聯(lián)立橢圓方程消元，結(jié)合韋

(M+%)=-m/、

達(dá)定理可得一2°，設(shè)A5,%),代入

［玉/=m—3/

七+加=皿+上^=5一%”2一玄(％7嚴(yán)一%)整理可得；

玉一百)X2-XQ(玉一式0)(%2一%0)

(3)利用弦長(zhǎng)公式求得國(guó)司=日112-31,利用點(diǎn)線距離求得點(diǎn)A到直線E尸的距離

l+m1._______339

dJ非\,從而求得S=—J12—3機(jī)2|加+1,設(shè)/(機(jī))=—=——機(jī)4——m3+_加2+6根+3,求

導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而可求得最大值，即可求解.

【詳解】(1)由題意，e=￡==，

a2

橢圓c經(jīng)過點(diǎn)/一1,一小，H(-I)21一￡|

12)2-+U=1

ab

22

又°2=/+°2,解得/=3,/=4,所以橢圓方程為L(zhǎng)+匕=1.

43

(2)設(shè)以百,%),尸(無2，%)，直線所的方程為：y=；尤+根，

22

代入土+匕=1,得：X2+mx+m2—3=0.

43

A=療-4(療-3)>0即一2<利<2,且卜十*;二.

\)［玉兀2=根