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石嘴山市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.2.若,則()A. B. C. D.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)()在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上,則等于()A. B. C. D.5.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.6.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.7.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.8.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.9.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客(單位:萬(wàn)人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2014年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次最少B.后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì)C.這6年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)大于13340萬(wàn)人次D.前3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差10.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等11.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.412.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若存在實(shí)數(shù)使得不等式在某區(qū)間上恒成立,則稱與為該區(qū)間上的一對(duì)“分離函數(shù)”,下列各組函數(shù)中是對(duì)應(yīng)區(qū)間上的“分離函數(shù)”的有___________.(填上所有正確答案的序號(hào))①,,;②,,;③,,;④,,.14.已知集合,.若,則實(shí)數(shù)a的值是______.15.如圖,的外接圓半徑為,為邊上一點(diǎn),且,,則的面積為_(kāi)_____.16.已知,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍.18.(12分)我國(guó)在2018年社保又出新的好消息,之前流動(dòng)就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后,社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣,費(fèi)時(shí)費(fèi)力.社保改革后將簡(jiǎn)化手續(xù),深得流動(dòng)就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,得到其辦理手續(xù)所需時(shí)間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表:時(shí)間人數(shù)156090754515(1)若300名辦理社保的人員中流動(dòng)人員210人,非流動(dòng)人員90人,若辦理時(shí)間超過(guò)4天的人員里非流動(dòng)人員有60人,請(qǐng)完成辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時(shí)間不超過(guò)4天辦理社保手續(xù)所需時(shí)間超過(guò)4天60總計(jì)21090300(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng),提高效率,從抽取的300人中辦理時(shí)間為流動(dòng)人員中利用分層抽樣,抽取12名流動(dòng)人員召開(kāi)座談會(huì),其中3人要求交書(shū)面材料,3人中辦理的時(shí)間為的人數(shù)為,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求的值.20.(12分)已知中,角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為,且(1)求角的大?。唬?)求的值.21.(12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.(1)求的值;(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;(3)證明:.22.(10分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,過(guò)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過(guò)分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解析】
根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.4、C【解析】
由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡(jiǎn)整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.7、D【解析】
先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.9、D【解析】
ABD可通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論,C可通過(guò)計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計(jì)圖可知:2014年入境游客萬(wàn)人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計(jì)圖可知:后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì),故正確;C.入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬(wàn)次,故正確;D.由統(tǒng)計(jì)圖可知:前年的入境游客萬(wàn)人次相比于后年的波動(dòng)更大,所以對(duì)應(yīng)的方差更大,故錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對(duì)中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能通過(guò)所給統(tǒng)計(jì)圖,分析出對(duì)應(yīng)的信息,對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力有一定要求.10、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.12、C【解析】
由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計(jì)算.【詳解】由可得,因?yàn)?,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②④【解析】
由題意可知,若要存在使得成立,我們可考慮兩函數(shù)是否存在公切點(diǎn),若兩函數(shù)在公切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置一個(gè)單增,另一個(gè)單減,則很容易判斷,對(duì)①,③,④都可以采用此法判斷,對(duì)②分析式子特點(diǎn)可知,,進(jìn)而判斷【詳解】①時(shí),令,則,單調(diào)遞增,,即.令,則,單調(diào)遞減,,即,因此,滿足題意.②時(shí),易知,滿足題意.③注意到,因此如果存在直線,只有可能是(或)在處的切線,,因此切線為,易知,,因此不存在直線滿足題意.④時(shí),注意到,因此如果存在直線,只有可能是(或)在處的切線,,因此切線為.令,則,易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,即.令,則,易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即.因此,滿足題意.故答案為:①②④【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題14、9【解析】
根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合,,,,則a的值是9.故答案為:9【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進(jìn)一步得到B=C,最后利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】依題意可得,由正弦定理得,即,由圖可知是鈍角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,要靈活運(yùn)用正弦定理公式及三角形面積公式,本題屬于中檔題.16、【解析】
對(duì)原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切線的點(diǎn)斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當(dāng)時(shí)求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【詳解】(1)由于,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時(shí)時(shí),,時(shí),,故存在使得且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問(wèn)題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有;(2)分布列見(jiàn)解析,.【解析】
(1)根據(jù)題意,結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算出的觀測(cè)值,即可進(jìn)行判斷;(2)先計(jì)算出時(shí)間在和選取的人數(shù),再求出的可取值,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求得分布列,結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有流動(dòng)人員210人,非流動(dòng)人員90人,所以辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表如下:辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時(shí)間不超過(guò)4天453075辦理社保手續(xù)所需時(shí)間超過(guò)4天16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣可知時(shí)間在可選9人,時(shí)間在可以選3名,故,則,,,,可知分布列為0123可知.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中的計(jì)算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,涉及分層抽樣,屬綜合性中檔題.19、(1),(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫(xiě)出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】(1)直線的普通方程為,即,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化,,,而,則,即,故直線l的普通方程為,曲線C的直角坐標(biāo)方程(2)點(diǎn)在直線l上,且直線的傾斜角為,可設(shè)直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),代入到曲線C的方程得,,,由參數(shù)的幾何意義知.【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,難度一般.20、(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,以及兩角和的正弦公式展開(kāi),特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構(gòu)造齊次式,利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,得到,結(jié)合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因?yàn)榈谩摺?(2)∵又由余弦定理,得∴【點(diǎn)睛】1.考查學(xué)生對(duì)正余弦定理的綜合應(yīng)用;2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問(wèn)題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題21、(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無(wú)極大值;(3)見(jiàn)解析.【解析】
(1)切點(diǎn)既在切線上又在曲線上得一方程,再根據(jù)斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)再列一方程,解方程組即可;(2)先對(duì)求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.(3)把證明轉(zhuǎn)化為證明,然后證明極小值大于極大值即可.【詳解】解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)橛梢阎?,則,解得.(2)由題意得,則.當(dāng)時(shí),,
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