2025屆北京市海淀區(qū)北京醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題含解析

2025屆北京市海淀區(qū)北京醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知正弦函數(shù)f(x)的圖像過點,則的值為()A.2 B.C. D.12．下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）A. B.C. D.3．已知點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定4．在一次數(shù)學(xué)實驗中，某同學(xué)運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x01.002.03.0y0.240.5112.023.988.02在四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映，y函數(shù)關(guān)系的是（）.A. B.C. D.5．若和都是定義在上的奇函數(shù)，則（）A.0 B.1C.2 D.36．已知向量，則銳角等于A.30° B.45°C.60° D.75°7．已知，且，則的最小值為（）A.3 B.4C.6 D.98．用區(qū)間表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)，若方程有且只有3個實數(shù)根，則正實數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.9．直線的傾斜角為()A. B.C. D.10．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞減；③在有個零點；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.①②④ B.②④C.①④ D.①③二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓，則過點且與圓C相切的直線方程為_____12．已知，則_________13．已知，若方程恰有個不同的實數(shù)解、、、，且，則______14．不等式的解集是___________.（用區(qū)間表示）15．已知冪函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)___________16．已知，若對一切實數(shù)，均有，則___.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，，且.（1）求實數(shù)m的值，并求函數(shù)有3個不同的零點時實數(shù)b的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)a取值范圍.18．計算下列各式的值：（1）；（2）.19．已知的頂點，邊上的高所在直線的方程為，邊上中線所在的直線方程為（1）求直線的方程；（2）求點的坐標(biāo)．20．已知函數(shù)的定義域為，且對一切，，都有，當(dāng)時，總有.（1）求的值；（2）證明：是定義域上的減函數(shù)；（3）若，解不等式.21．如圖，在長方體中，，是與的交點.求證：（1）平面；（2）平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式有：.本題選擇C選項.2、A【解析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可【詳解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選A考點：三角函數(shù)的性質(zhì).3、B【解析】由題意結(jié)合點與圓的位置關(guān)系考查圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】點在圓外，，圓心到直線距離，直線與圓相交.故選B.【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、B【解析】由題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，由圖觀察實驗室指數(shù)型函數(shù)圖象【詳解】由題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示，觀察圖象，類似于指數(shù)函數(shù)對于A，是一次函數(shù)，圖象是一條直線，所以A錯誤，對于B，是指數(shù)型函數(shù)，所以B正確，對于C，是對數(shù)型函數(shù)，由于表中的取到了負(fù)數(shù)，所以C錯誤，對于D，是反比例型函數(shù)，圖象是雙曲線，所以D錯誤，故選：B5、A【解析】根據(jù)題意可知是周期為的周期函數(shù)，以及，，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為和都是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以，所以，所以是周期為周期函數(shù)，所以因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.故選：A.6、B【解析】因為向量共線，則有，得,銳角等于45°，選B7、A【解析】將變形為，再將變形為，整理后利用基本不等式可求最小值.【詳解】因為，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為3.故選：A.【點睛】方法點睛：應(yīng)用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時要關(guān)注取等條件的驗證.8、A【解析】由方程的根與函數(shù)交點的個數(shù)問題，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，作圖觀察y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個交點時k的取值范圍，即可得解.【詳解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3個實數(shù)根等價于y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個交點，當(dāng)0≤x＜1時，{x}＝x，當(dāng)1≤x＜2時，{x}＝x﹣1，當(dāng)2≤x＜3時，{x}＝x﹣2，當(dāng)3≤x＜4時，{x}＝x﹣3，以此類推如上圖所示，實數(shù)k的取值范圍為：k，即實數(shù)k的取值范圍為：（，]，故選A【點睛】本題考查了方程的根與函數(shù)交點的個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題9、C【解析】先根據(jù)直線方程得斜率，再求傾斜角.【詳解】因為直線，所以直線斜率為，所以傾斜角為，選C.【點睛】本題考查直線斜率以及傾斜角，考查基本分析求解能力，屬基本題.10、A【解析】利用偶函數(shù)的定義可判斷出命題①的正誤；去絕對值，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷出命題②的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并利用偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；由取最大值知，然后去絕對值，即可判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，命題①為真命題；對于命題②，當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，命題②正確；對于命題③，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，，則函數(shù)在上有無數(shù)個零點，命題③錯誤；對于命題④，若函數(shù)取最大值時，，則，，當(dāng)時，函數(shù)取最大值，命題④正確.因此，正確的命題序號為①②④.故選A.【點睛】本題考查與余弦函數(shù)基本性質(zhì)相關(guān)的命題真假的判斷，解題時要結(jié)合自變量的取值范圍去絕對值，結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】先判斷點在圓上，再根據(jù)過圓上的點的切線方程的方法求出切線方程.【詳解】由，則點在圓上，，所以切線斜率為，因此切線方程，整理得.故答案為：【點睛】本題考查了過圓上的點的求圓的切線方程，屬于容易題.12、【解析】利用交集的運算解題即可.【詳解】交集即為共同的部分，即.故答案為：13、【解析】作出函數(shù)的圖象以及直線的圖象，利用對數(shù)的運算可求得的值，利用正弦型函數(shù)的對稱性可求得的值，即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象以及直線的圖象如下圖所示：由圖可知，由可得，即，所以，，可得，當(dāng)時，，由，可得，由圖可知，點、關(guān)于直線對稱，則，因此，.故答案為：.14、【解析】根據(jù)一元二次不等式解法求不等式解集.【詳解】由題設(shè)，，即，所以不等式解集為.故答案為：15、【解析】根據(jù)冪函數(shù)定義，可求得a值，根據(jù)其單調(diào)性，即可得答案.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，解得或，又在其定義域上是增函數(shù)，所以，所以.故答案為：16、【解析】列方程組解得參數(shù)a、b，得到解析式后，即可求得的值.【詳解】由對一切實數(shù)，均有可知，即解之得則，滿足故故答案：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）..（2）【解析】（1）由求得，作出函數(shù)圖象可知的范圍；（2）由函數(shù)圖象可知區(qū)間所屬范圍，列不等式示得結(jié)論【詳解】（1）因為，所以.函數(shù)的大致圖象如圖所示令，得.故有3個不同的零點.即方程有3個不同的實根.由圖可知.（2）由圖象可知，函數(shù)在區(qū)間和上分別單調(diào)遞增.因為，且函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以可得，解得.所以實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查由函數(shù)值求參數(shù)，考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．考查零點個數(shù)問題與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題18、（1）；（2）0.【解析】（1）直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則求解即可，化簡過程注意避免出現(xiàn)計算錯誤；（2）直接利用對數(shù)的運算法則求解即可，解答過程注意避免出現(xiàn)計算錯誤.【詳解】（1）；（2）19、（1）；（2）【解析】(1)由,知兩條直線的斜率乘積為-1,進(jìn)而由點斜式求直線即可;(2)設(shè)，則，代入方程求解即可.試題解析：（1）∵,且直線的斜率為，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即（2）設(shè)，則，∴，解得，∴20、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）令即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，由即可證得結(jié)論；（3）將所求不等式化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域的要求即可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【小問1詳解】令，則，解得：；【小問2詳解】設(shè)，則，，，，是定義域上的減函數(shù)；【小問3詳解】由得：，即，又，，是定義域上的減函數(shù)，，解得：；又，，的解集為.【點睛】思路點睛：本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求解、單調(diào)性證明以及利用單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題；求解函數(shù)不等式的基本思路是將所求不等式化為同一函數(shù)的兩個函數(shù)值之間的比較問題，進(jìn)而通過函數(shù)的單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系.21