2025屆安徽省安慶市潛山二中數(shù)學高一上期末檢測試題含解析

2025屆安徽省安慶市潛山二中數(shù)學高一上期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．為了得到函數(shù)圖象，只需把的圖象上的所有點（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位2．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠將圓(為坐標原點)的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：①對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個；②函數(shù)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；③正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；④函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③3．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A. B.C. D.4．若集合，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.5．已知,且在區(qū)間有最大值,無最小值,則＝()A B.C. D.6．在四棱錐中，平面，中，，，則三棱錐的外接球的表面積為A. B.C. D.7．在平面直角坐標系中，設角的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，規(guī)定：比值叫做的正余混弦，記作.若，則（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的定義域是，那么函數(shù)在區(qū)間上（）A.有最小值無最大值 B.有最大值無最小值C.既有最小值也有最大值 D.沒有最小值也沒有最大值9．若函數(shù)（）在有最大值無最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．用反證法證明命題：“已知.，若不能被7整除，則與都不能被7整除”時，假設的內(nèi)容應為A.,都能被7整除 B.,不能被7整除C.,至少有一個能被7整除 D.,至多有一個能被7整除二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是______.12．在上，滿足的取值范圍是______.13．已知直線與圓C：相交于A，B兩點，則|AB|＝____________14．已知符號函數(shù)sgn（x），則函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零點構成的集合為_____15．若實數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________16．①函數(shù)y=sin2x的單調(diào)增區(qū)間是[]，（k∈Z）；②函數(shù)y=tanx在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)；③函數(shù)y=|cos2x|的周期是π；④函數(shù)y=sin（）是偶函數(shù)；其中正確的是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知f(x)是定義在R上偶函數(shù)，且當x≥0時，（1）用定義法證明f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增;（2）求不等式f(x)>0的解集.18．一家貨物公司計劃在距離車站不超過8千米的范圍內(nèi)征地建造倉庫，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：征地費用（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：千米）的關系為.為了交通方便，倉庫與車站之間還要修一條道路，修路費用（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：千米）成正比.若倉庫到車站的距離為3千米時，修路費用為18萬元.設為征地與修路兩項費用之和.（1）求的解析式；（2）倉庫應建在離車站多遠處，可使總費用最小，并求最小值19．已知動圓經(jīng)過點和（1）當圓面積最小時，求圓的方程；（2）若圓的圓心在直線上，求圓的方程.20．設函數(shù)（1）若不等式解集，求、的值；（2）若，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍21．為了在冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層、某棟房屋要建造能使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層的建造成本是6萬元，該棟房屋每年的能源消耗費用C（萬元）與隔熱層厚度x（厘米）滿足關系式：，若無隔熱層，則每年能源消耗費用為5萬元.設為隔熱層建造費用與使用20年的能源消耗費用之和.（1）求和的表達式；（2）當隔熱層修建多少厘米厚時，總費用最小，并求出最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】利用三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律可得結論.【詳解】因為，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只需把的圖象上的所有點向右平移個單位.故選：D.2、D【解析】根據(jù)定義分析，優(yōu)美函數(shù)具備的特征是，函數(shù)關于圓心（即坐標原點）呈中心對稱.【詳解】對①，中心對稱圖形有無數(shù)個，①正確對②，函數(shù)是偶函數(shù)，不關于原點成中心對稱.②錯誤對③，正弦函數(shù)關于原點成中心對稱圖形，③正確.對④，充要條件應該是關于原點成中心對稱圖形，④錯誤故選D【點睛】仔細閱讀新定義問題，理解定義中優(yōu)美函數(shù)的含義，找到中心對稱圖形，即可判斷各項正誤.3、B【解析】當時，令，故，符合；當時，令，故，符合，所以的零點有2個，選B.4、C【解析】利用元素與集合，集合與集合的關系判斷.【詳解】因為集合是奇數(shù)集，所以，，，A，故選：C5、C【解析】結合題中所給函數(shù)的解析式可得：直線為的一條對稱軸，∴，∴，又，∴當k=1時,.本題選擇C選項.6、B【解析】由題意，求長，即可求外接圓半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】由題意中，，，則是等腰直角三角形，平面可得，，平面，，則的中點為球心設外接圓半徑為，則，設球心到平面的距離為，則，由勾股定理得，則三棱錐的外接球的表面積故選：【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法，利用球的對稱性確定球心到平面的距離，培養(yǎng)空間感知能力，中等題型.7、D【解析】由可得出，根據(jù)題意得出，結合可得出關于和的方程組，解出這兩個量，然后利用商數(shù)關系可求出的值.【詳解】，則，由正余混弦的定義可得.則有，解得，因此，.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的新定義，涉及同角三角函數(shù)基本關系的應用，根據(jù)題意建立方程組求解和的值是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題.8、A【解析】依題意不等式的解集為，即可得到且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最值；【詳解】解：因為函數(shù)的定義域是，即不等式的解集為，所以且，即，所以，函數(shù)開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，沒有最大值；故選：A9、B【解析】求出，根據(jù)題意結合正弦函數(shù)圖象可得答案.【詳解】∵，∴，根據(jù)題意結合正弦函數(shù)圖象可得，解得.故選：B.10、C【解析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學命題的步驟和方法，應先假設命題的否定成立而命題“與都不能被7整除”的否定為“至少有一個能被7整除”，故選C【點睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，把要證結論進行否定，得到要證的結論的反面，是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，則不等式可化為，則，，解得12、【解析】結合正弦函數(shù)圖象可知時，結合的范圍可得到結果.【詳解】本題正確結果：【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值的范圍求解角所處的范圍，關鍵是能夠熟練應用正弦函數(shù)圖象得到對應的自變量的取值集合.13、6【解析】先求圓心到直線的距離，再根據(jù)弦心距、半徑、弦長的幾何關系求|AB|.【詳解】因為圓心C(3,1)到直線的距離，所以故答案為：614、【解析】根據(jù)的取值進行分類討論，得到等價函數(shù)后分別求出其零點，然后可得所求集合【詳解】①當x＞0時，函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即當x＞0時，函數(shù)f（x）的零點是；②當x=0時，函數(shù)f（x）=0，故函數(shù)f（x）的零點是0；③當x＜0時，函數(shù)f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即當x＜0時，函數(shù)f（x）的零點是綜上可得函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣x的零點的集合為：故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的求法，解題的關鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)的解析式，考查轉化思想、分類討論思想，是基礎題15、【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可求出的值，再由基本不等式計算即可得答案【詳解】由題意，得：，則（當且僅當時，取等號）故答案為：16、①④【解析】①由，解得．可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；②函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；③由，即可得出函數(shù)的最小正周期；④利用誘導公式可得函數(shù)，即可得出奇偶性【詳解】解：①由，解得．可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，，，故①正確；②函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故②不正確；③，因此函數(shù)的最小正周期是，故③不正確；④函數(shù)是偶函數(shù)，故④正確其中正確的是①④故答案為：①④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）或【解析】（1）先設，然后利用作差法比較與的大小即可判斷，（2）當時，，然后結合分式不等式可求，再設，根據(jù)已知可求，然后再求解不等式【詳解】解：（1）是定義在上偶函數(shù)，且當時，，設，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，（2）當時，，整理得，，解得或（舍，設，則，，整理得，，解得，（舍或，綜上或故不等式的解集或18、（1），；（2）當倉庫建在離車站5千米時，總費用最少，最小值為70萬元.【解析】（1）先設，依題意求參數(shù)，即得的解析式；（2）先整理函數(shù)，再利用基本不等式求最值，即得函數(shù)最小值及取最小值的條件.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設修路費用，，解得，.，；（2）=，當且僅當即時取等號.當倉庫建在離車站5千米時，總費用最少，最小值為70萬元.19、（1）（2）【解析】（1）以為直徑的圓即為面積最小的圓，由此可以算出中點坐標和長度，即可求出圓的方程；（2）設出圓的標準方程，根據(jù)題意代入數(shù)值解方程組即可.【小問1詳解】要使圓的面積最小，則為圓的直徑，圓心，半徑所以所求圓的方程為：.【小問2詳解】設所求圓的方程為，根據(jù)已知條件得，所以所求圓的方程為.20、（1），；（2）.【解析】（1）分析可知的兩根是、，利用韋達定理可求得實數(shù)、的值；（2）分析可知不等式在上恒成立，可得出，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由已知可知，方程的兩根是、且，所以，解得；（2），可得，，因為在上恒成立，則在上恒成立，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.21、（1），（2）隔熱層修建4厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為64萬元【解析】(1)由已知，又不建隔熱層，每年能源消耗