2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊(cè)1

PAGE模塊素養(yǎng)檢測(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.復(fù)數(shù)z=QUOTE(i為虛數(shù)單位)的虛部為()A.1 B.-1 C.±1 D.0【解析】選B.因?yàn)閦=QUOTE=-1-i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1.2.當(dāng)前,國家正大力建設(shè)保障性住房以解決低收入家庭住房困難的問題.已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶,假設(shè)第一批保障性住房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題,若采納分層抽樣的方法確定各社區(qū)戶數(shù),則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為()A.40 B.30 C.20 D.36【解析】選A.QUOTE×90=40.3.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2,再減去80,得到一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A.40.6,1.1 B.48.4,4.4C.81.2,44.4 D.78.8,75.6【解析】選A.設(shè)原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為QUOTE和s,則QUOTE解得QUOTE4.已知點(diǎn)O,N在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,則點(diǎn)O,N依次是△ABC的()A.重心外心 B.重心內(nèi)心C.外心重心 D.外心內(nèi)心【解析】選C.由||=||=||知,O為△ABC的外心;由++=0,得=+,取BC邊的中點(diǎn)D,則=+=2,知A,N,D三點(diǎn)共線,且AN=2ND,故點(diǎn)N是△ABC的重心.5.一只猴子隨意敲擊電腦鍵盤上的0到9這十個(gè)數(shù)字鍵,則它敲擊兩次(每次只敲擊一個(gè)數(shù)字鍵)得到的兩個(gè)數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.隨意敲擊0到9這十個(gè)數(shù)字鍵兩次,其得到的全部結(jié)果為(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100種結(jié)果.兩個(gè)數(shù)字都是3的倍數(shù)的結(jié)果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9種.故所求概率為QUOTE.6.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°【解析】選D.選項(xiàng)A,B,C明顯錯(cuò)誤.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以∠PDA是直線PD與平面ABC所成的角.因?yàn)锳BCDEF是正六邊形,所以AD=2AB.因?yàn)閠an∠PDA=QUOTE=QUOTE=1,所以直線PD與平面ABC所成的角為45°.故選D.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在等腰Rt△A′BC中,A′B=BC=1,M為A′C的中點(diǎn),沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為()A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】選C.如圖所示,由A′B=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=QUOTE.因?yàn)镸為A′C的中點(diǎn),所以MC=AM=QUOTE.且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA為二面角C-BM-A的平面角.因?yàn)锳C=1,MC=AM=QUOTE,所以∠CMA=90°.7.在△ABC中,若(+)·(-)=0,則△ABC為()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.形態(tài)無法確定【解析】選C.因?yàn)?+)·(-)=0,所以-=0,=,所以CA=CB,△ABC為等腰三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】圓O為△ABC的外接圓,半徑為2,若+=2,且||=||,則向量在向量方向上的投影為()A.1 B.2 C.3D.4【解析】選C.因?yàn)?=2,所以O(shè)是BC的中點(diǎn),故△ABC為直角三角形.在△AOC中,有||=||,所以∠B=30°.由定義,向量在向量方向上的投影為||cosB=2QUOTE×QUOTE=3.8.已知四棱錐S-ABCD的全部頂點(diǎn)都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi),當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí),其表面積等于4+4QUOTE,則球O的體積等于()A.QUOTEπ B.QUOTEπC.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選B.由題意可知四棱錐S-ABCD的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi),當(dāng)體積最大時(shí),可以判定該棱錐為正四棱錐,底面在球大圓上,可知底面正方形的對(duì)角線長度的一半為球的半徑r,且四棱錐的高h(yuǎn)=r,進(jìn)而可知此四棱錐的四個(gè)側(cè)面均是邊長為QUOTEr的正三角形,底面為邊長為QUOTEr的正方形,所以該四棱錐的表面積為S=4×QUOTE(QUOTEr)2+(QUOTEr)2=2QUOTEr2+2r2=(2QUOTE+2)r2=4+4QUOTE,因此r2=2,r=QUOTE,所以球O的體積V=QUOTEπr3=QUOTEπ×2QUOTE=QUOTE.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.奧林匹克會(huì)旗中心有5個(gè)套連的圓環(huán),顏色自左至右,上方依次為藍(lán)、黑、紅,下方依次為黃、綠,象征著五大洲.在手工課上,老師將這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué),每人分得1個(gè),則事務(wù)“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是()A.對(duì)立事務(wù)B.互斥事務(wù)C.不對(duì)立事務(wù)D.不互斥事務(wù)【解析】選BC.甲、乙不能同時(shí)得到紅色,因而這兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù);又甲、乙可能都得不到紅色,即“甲或乙分得紅色”的事務(wù)不是必定事務(wù),故這兩個(gè)事務(wù)不是對(duì)立事務(wù).10.下列說法:①一組數(shù)據(jù)不行能有兩個(gè)眾數(shù);②一組數(shù)據(jù)的方差必需是正數(shù);③將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后,方差恒不變;④在頻率分布直方圖中,每個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)小組的頻率.其中錯(cuò)誤的有()A.① B.② C.③ D.④【解析】選AB.若一組數(shù)據(jù)中,有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同且最多,則這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).可見,一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以不唯一,即①錯(cuò)誤.一組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方,必需是非負(fù)數(shù),即②錯(cuò)誤.依據(jù)方差的定義知③正確.依據(jù)頻率分布直方圖的定義知④正確.11.下列事務(wù)中,是隨機(jī)事務(wù)的有()A.從集合{2,3,4,5}中任取兩個(gè)元素,其和大于7B.明年清明節(jié)這天下雨C.物體在地球上不受地球引力D.盒子中有5個(gè)白球,2個(gè)紅球,從中任取3個(gè)球,則至少有1個(gè)白球【解析】選AB.A,B是隨機(jī)事務(wù);C是不行能事務(wù);D是必定事務(wù).12.如圖,在棱長均相等的正四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),推斷下列結(jié)論正確的是()A.PC∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.OM⊥PAD.直線PD與直線MN所成角的大小為90°【解析】選ABC.連接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,結(jié)論A正確.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,結(jié)論B正確.由于四棱錐的棱長均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以O(shè)M⊥PA,結(jié)論C正確.由于M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),所以MN∥AB.又四邊形ABCD為正方形,所以AB∥CD,所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角,即為∠PDC.又三角形PDC為等邊三角形,所以∠PDC=60°,故D錯(cuò)誤.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.a為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,QUOTE=2,則a=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=1-ai,則QUOTE=|1-ai|=QUOTE=2,所以a2=3.又因?yàn)閍為正實(shí)數(shù),所以a=QUOTE.答案:QUOTE14.如圖所示,是在某一年全國少數(shù)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上,七位評(píng)委為某民族舞蹈運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________,方差為________.

【解析】七位評(píng)委為某民族舞蹈運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所剩數(shù)據(jù)是84,84,86,84,87,平均分等于QUOTE(84+84+86+84+87)=85,則方差s2=QUOTE[3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.答案:851.615.已知a,b表示不同的直線,α,β,γ表示不重合的平面.①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;②若a?α,a垂直于β內(nèi)隨意一條直線,則α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b;④若a⊥α,b⊥β,a∥b,則α∥β.上述命題中,正確命題的序號(hào)是________.

【解析】對(duì)①可舉反例,如圖,需b⊥β才能推出α⊥β;對(duì)③可舉反例說明,當(dāng)γ不與α,β的交線垂直時(shí),即可知a,b不垂直;依據(jù)面面、線面垂直的定義與判定知②④正確.答案:②④16.已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(-1,QUOTE).O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在第一象限,且∠AOC=120°,設(shè)=-3+λ(λ∈R),則λ=________.

【解析】由題意,得=-3(-1,0)+λ(-1,QUOTE)=(3-λ,QUOTEλ),因?yàn)椤螦OC=120°,所以=-QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得λ=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)青海玉樹發(fā)生地震后,為了重建,對(duì)某項(xiàng)工程進(jìn)行競標(biāo),現(xiàn)共有6家企業(yè)參與競標(biāo),其中A企業(yè)來自遼寧省,B,C兩家企業(yè)來自山東省,D,E,F三家企業(yè)來自河南省,此項(xiàng)工程須要兩家企業(yè)聯(lián)合施工,假設(shè)每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同.(1)列舉全部企業(yè)的中標(biāo)狀況;(2)在中標(biāo)的企業(yè)中,至少有一家來自山東省的概率是多少?【解析】(1)全部企業(yè)的中標(biāo)狀況為:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15種.(2)在中標(biāo)的企業(yè)中,至少有一家來自山東省的狀況有:AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9種,在中標(biāo)的企業(yè)中,至少有一家來自山東省的概率是P=QUOTE=QUOTE.18.(12分)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿意QUOTEa-2bsinA=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=5,且a>c,b=QUOTE,求·的值.【解析】(1)因?yàn)镼UOTEa-2bsinA=0,所以QUOTEsinA-2sinBsinA=0,因?yàn)閟inA≠0,所以sinB=QUOTE,又B為銳角,所以B=QUOTE.(2)由(1)知,B=QUOTE,b=QUOTE,所以依據(jù)余弦定理得7=a2+c2-2accosQUOTE,整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,于是cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以·=||||cosA=2×QUOTE×QUOTE=1.19.(12分)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn)(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=2QUOTE,求三棱錐C-A1DE的體積.【解析】(1)連接AC1交A1C則F為AC1的中點(diǎn).又D是AB的中點(diǎn),則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥因?yàn)锳C=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1由AA1=AC=CB=2,AB=2QUOTE得∠ACB=90°,CD=QUOTE,A1D=QUOTE,DE=QUOTE,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=1.20.(12分)對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的次數(shù),依據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:分組頻數(shù)頻率[10,15)100.25[15,20)25n[20,25)mp[25,30)20.05合計(jì)M1(1)求出表中M,p及圖中a的值;(2)若該校高一學(xué)生有360人,試估計(jì)該校高一學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù).【解析】(1)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知,QUOTE=0.25,所以M=40.因?yàn)轭l數(shù)之和為40,所以10+25+m+2=40,解得m=3,故p=QUOTE=QUOTE=0.075.因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商,所以a=QUOTE=0.125.(2)因?yàn)樵撔８咭粚W(xué)生有360人,分組[10,15)內(nèi)的頻率是0.25,所以估計(jì)該校高一學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為360×0.25=90.21.(12分)在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且QUOTEa=2csinA.(1)確定角C的大小;(2)若c=QUOTE,求△ABC周長的取值范圍.【解析】(1)已知a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,由QUOTEa=2csinA,得QUOTEsinA=2sinCsinA,又sinA≠0,則sinC=QUOTE,所以C=QUOTE或C=QUOTE,因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以C=QUOTE舍去,所以C=QUOTE.(2)因?yàn)閏=QUOTE,sinC=QUOTE,所以由正弦定理得:QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,即a=2sinA,b=2sinB,又A+B=π-C=QUOTE,即B=QUOTE-A,所以a+b+c=2(sinA+sinB)+QUOTE=2[sinA+sinQUOTE]+QUOTE=2QUOTE+QUOTE=3sinA+QUOTEcosA+QUOTE=