中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何變式探究和類比變換綜合類問題

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型講練案（全國通用）

幾何變式探究和類比變換綜合類問題

【方法指導(dǎo)】

圖形的類比變換是近年來中考的常考點(diǎn)，常以三角形、四邊形為背景，與翻折、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，考查三角形

全等或相似的性質(zhì)與判定，難度較大.此類題目第一問相對(duì)簡單，后面的問題需要結(jié)合第一問的方法進(jìn)行

類比解答.根據(jù)其特征大致可分為：幾何變換類比探究問題、旋轉(zhuǎn)綜合問題、翻折類問題等.

解決此類問題要善于將復(fù)雜圖象分解為幾個(gè)基本圖形，通過添加副主席補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，借助轉(zhuǎn)化、

方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想解決幾何證明問題，計(jì)算則把幾何與代數(shù)知識(shí)綜合起來，滲透數(shù)形

結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題的能力、邏輯思維和推理能力.

【題型剖析】

【類型1】幾何類比變換綜合題

【例1】（2020?襄陽）在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。在邊BC上，DELDAMDE=DA,AE

交邊BC于點(diǎn)尸,連接CE.

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)AO=A尸時(shí)，

①求證：BD=CF；

②推斷：NACE=90°；

（2）探究證明：如圖2,當(dāng)AOWAF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄?ACE的度數(shù)是否為定值，并說明理由；

EF1

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)不=二時(shí)，過點(diǎn)。作AE的垂線，交AE于點(diǎn)尸，交AC

AF3

于點(diǎn)K,若CK=竽，求。產(chǎn)的長.

K

圖1圖2圖3

【分析】（1）①證明△ABDgZXAC尸（A4S）可得結(jié)論.

②利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)解決問題即可.

（2）結(jié)論不變.利用四點(diǎn)共圓證明即可.

（3）如圖3中，連接EK.首先證明AB=AC=3EC,設(shè)EC=a,貝!IAB=AC=3a,在Rt/XKCE中，利

用勾股定理求出。，再求出。P,PF即可解決問題.

【解析】（1）①證明：如圖1中,

'：AB=AC,

：.ZB^ZACF,

'：AD=AF,

：.ZADF=ZAFD,

：.ZADB=ZAFC,

:.△ABD注AACF(AAS),

：.BD=CF.

②結(jié)論：ZACE=90°.

理由：如圖1中，'：DA=DE,ZADE=90°,AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZACD=ZAED=45a,

.,.A,D,E,C四點(diǎn)共圓，

AZADE+ZACE=180°,

；.NACE=90°.

故答案為90.

(2)結(jié)論：ZACE=90°.

理由：如圖2中，

"：DA=DE,ZAD￡=90°,AB=AC,ZBAC=90°,

ZACD=ZAED=45°,

.,.A,D,E,C四點(diǎn)共圓，

ZADE+ZACE=180°,

ZACE=9Q°.

(3)如圖3中，連接EK.

VZBAC+ZACE=180°,

：.AB//CE,

ECEF1,16

一=一=一，設(shè)nEC=a,則nrAB=AC=3a,AK=3a—與,

ABAF33

,:DA=DE,DKLAE,

：.AP=PE,

；.AK=KE=3a-竽，

V￡7C2=C^2+EC2,

(3a-學(xué))2=(—)2+a2,

33

解得。=4或0(舍棄)，

；.EC=4,AB=AC=n,

：.AE=<AC2+EC2=V122+42=4V10,

：.DP=PA=PE=1A￡=2A/10,EF=1A￡=VlO，

:.PF=EF=VlO,

VZZ)PF=90°,

：.DF=y/DP2+PF2=(2V10)2+(VlO)2=5a.

【變式1-1](2020?黔東南州)如圖1,△ABC和△DCE都是等邊三角形.

探究發(fā)現(xiàn)

(1)△BC。與AACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說明理由.

拓展運(yùn)用

(2)若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，ZADC=3Q°,A￡)=3,CD=2,求的長.

(3)若8、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且△ABC和△OCE的邊長分別為1和2,求△ACD的面

積及A。的長.

【分析】(1)依據(jù)等式的性質(zhì)可證明NBCr)=NACE,然后依據(jù)&4s可證明△ACE四△BCD；

(2)由(1)知：BD=AE,利用勾股定理計(jì)算AE的長，可得8。的長；

(3)如圖2,過A作ABLCZ)于R先根據(jù)平角的定義得NACZ)=60°,利用特殊角的三角函數(shù)可得

AF的長，由三角形面積公式可得△AC。的面積，最后根據(jù)勾股定理可得的長.

【解析】(1)全等，理由是：

?；△ABC和△OCE都是等邊三角形,

：.AC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZBCD=ZACE,

在△BCD和△ACE中,

CD=CE

乙BCD=Z-ACE,

BC=AC

AACE^ABCD(SAS)；

(2)如圖3,由(1)得：△380/VICE,

：.BD=AEf

「△OCE是等邊三角形，

：.ZCDE=60°,CD=DE=2,

VZADC=30°,

AZADE=ZADC+ZCDE=30°+60°=90°,

在RtZXADE中，AD=3fDE=2,

：.AE=yjAD2+DE2=V9T4=g,

：.BD=V13；

(3)如圖2,過4作AF_LC￡)于尸，

圖2

:B、C、E三點(diǎn)在一條直線上,

AZBCA+ZACD+ZDCE=180°,

△ABC和△DCE都是等邊三角形，

：.ZBCA=ZDCE=60°,

AZACD=60°,

在RtZXACb中，sinZACF=

AF=ACXsinZACF=1X=苧，

S/\ACD=2xCDxAF=2x2x

1i

CF^ACXcosZACF^lx^=^,

13

FD=CD-3=2—忘=I，

111

在RtAAFD中，AD=AF+FD^（堯+（|）2=3,

：.AD=V3.

【變式1-2］（2020?鞍山）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作BFA.AE于點(diǎn)

G,交直線8于點(diǎn)?

AD

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)矩形ABC。是正方形時(shí)，以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)在正方形ABC。的外部作等腰直角三角形CPH,連

接EH.

①如圖1,若點(diǎn)E在線段8C上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是^位置關(guān)系是垂直；

②如圖2,若點(diǎn)E在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，

請(qǐng)說明理由；

(2)如圖3,若點(diǎn)E在線段BC上，以BE和為鄰邊作平行四邊形BEHRM是2"中點(diǎn)，連接GM,

A8=3,BC=2,求GM的最小值.

【分析】(1)①證明AABE空△8CF,得至ljBE=CF,AE=BF,再證明四邊形8EH尸為平行四邊形，從

而可得結(jié)果；

②根據(jù)(1)中同樣的證明方法求證即可；

(2)說明C、E、G、尸四點(diǎn)共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)證明△ABEs

△BCF,得到CF,再利用勾股定理表示出￡尸=居口二4x^4,求出最值即可得到GM的最小值.

【解析】(1)①???四邊形ABC。為正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZBC￡)=90°,ZBAE+ZAEB=90°,

'：AE±BF,

：.ZCBF+ZAEB=90°,

：.ZCBF=ZBAE,又AB=BC,NABE=NBCF=9Q°,

:.AABE出ABCF(A5A),

:.BE=CF,AE=BF,

,/叢FCH為等腰直角三角形，

：.FC=FH=BE,FH±FC,而CDLBC,

：.FH//BC,

四邊形BEES為平行四邊形，

:.BF〃EH且BF=EH,

:.AE=EH,AE.LEH,

故答案為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，

同理可得：AABE咨ABCF(ASA),

：.BE=CF,AE=BF,

'：AFCH為等腰直角三角形，

：.FC=FH=BE,FH±FC,而CDJ_BC,

：.FH//BC,

二四邊形BE族為平行四邊形，

；.BF〃EH且BF=EH,

：.AE=EH,AELEH-,

(2)'：ZEGF=ZBCD=90°,

：.C、E、G、F四點(diǎn)共圓，

:四邊形BEH尸是平行四邊形，M為①/中點(diǎn),

也是EF中點(diǎn)，

M是四邊形GECF外接圓圓心，

則GM的最小值為圓M半徑的最小值，

"：AB=3,BC=2,

設(shè)則C￡=2-x,

同(1)可得：/CBF=/BAE,

又???NA3E=N3C/=90°,

???△AB—△sc—

ABBE3X

--=---,即-=—,

BCCF2CF

2x

：.CF=

：.EF=yJCE2+CF2=22—4x+4,

設(shè)y=-g-x2—4%+4,

當(dāng)x=正時(shí)，y取最小值不,

工。13

4V13

的最小值為不一

故GM的最小值為等.

【變式1-3］（2020?赤峰）如圖，矩形ABC。中，點(diǎn)尸為對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸￡）,過

點(diǎn)尸作PELP。，交直線A8于點(diǎn)E,過點(diǎn)交直線C￡）于點(diǎn)M,交直線于點(diǎn)N.AB=

4V3,AD=4.

（1）如圖1,①當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時(shí)，和NEPN的數(shù)量關(guān)系為：ZPDM=ZEPN；

DP_

②而的值是一百一；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在C4延長線上時(shí)，(1)中的結(jié)論②是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明

理由；

(3)如圖3,以線段產(chǎn)。，PE為鄰邊作矩形PEED.設(shè)PM的長為x,矩形的面積為y.請(qǐng)直接寫

出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.

【分析】(1)①利用等角的余角相等證明即可.

②證明NCAB=30°,推出NPOE=NCA2=30°即可.

(2)結(jié)論成立.證明方法類似②.

(3)利用相似三角形的性質(zhì)求出DM,利用勾股定理求出PD,再利用(2)中結(jié)論.求出PE,即可解

決問題.

【解析】(1)①如圖1中，

???四邊形ABCD是矩形,

.,.AB//CD,

'：NM±AB,

C.NMLCD,

?：DP_LPE,

：.ZPMD=ZPNE=ZDPE=90°,

：?NPDM+NDPM=90°,ZDPM+ZEPN=90°,

：.ZPDM=ZEPN.

故答案為=.

②連接。石????四邊形ABC。是矩形,

：.ZDAE=ZB=90°,AD=BC=4.

???+tanz/_…CAn_=BC

.?.ZCAB=30°,

VZDAE+ZZ)PE=180°,

???A,D,P,E四點(diǎn)共圓，

：.ZEDP=ZPAB=30°,

PEV3

—=tan30°

PD百'

PD

PE

(2)如圖2中，結(jié)論成立.

理由：連接

*：ZDPE=ZDAE=90°,

???A,D,E,尸四點(diǎn)共圓,

；?/PDE=/EAP=/CAB=30°,

DP1

/.—=----------=y/3r.

PEtan30°

(3)如圖3中，由題意PA/=x,MN=4-x,

?:/PDM=NEPN,ZDMP=ZPNE=90°,

：?/\DMPs叢PNE,

DMPMPD

PN~ENPE

DMX

4-x~EN

F5

：.DM=V3(4-x),EN=TX,

：.PD=y/DM2+PM2=[V3(4-x)]2+x2=2V%2-6x+12,

PE=gpD=空75-6x+12,

：.y=PD'PE=竽(x2-6x+12)=竽/-8百x+16百(x>0),

?.?尸竽(尤-3)2+4V3,

4V3

"?一>0,

3

.?.當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值，最小值為4g.

【類型2】幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題

V2

【例2】(2020?錦州)己知△AOB和△MON都是等腰直角三角形JOA<OM=ON),NAOB=NMON

90°.

(1)如圖1：連AM,BN,求證：叢AOMq工BON；

(2)若將△MON繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：B呂士人萍=20a；

②當(dāng)點(diǎn)A,M,N在同一條直線上時(shí)，若。8=4,ON=3,請(qǐng)直接寫出線段8N的長.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可.

(2)②連接AM,證明AM=8N,ZMAN=90°,利用勾股定理解決問題即可.

②分兩種情形分別畫出圖形求解即可.

【解析】(1)證明：如圖1中,

圖1

VZAOB^ZMON^90°,

：.ZAOM=ZBON,

"：AO=BO,OM=ON,

：./\AOM^^BON(SAS).

(2)①證明：如圖2中，連接AM.

圖2

同法可證△AOMg/kBON,

：.AM=BN,ZOAM=ZB=45°,

'：ZOAB=ZB=45°,

：.NMAN=ZOAM+ZOAB=9Q°,

.?.AW2=A/V2+AM2,

：△MON是等腰直角三角形,

.,.加爐=20解，

:.N，+A心■MZON'1.

②如圖3-1中，設(shè)。4交BN于J,過點(diǎn)。作O〃_LMN于H.

：.AM=BN,ZOAM=ZOBN,

,//AJN=ZBJO,

:.NANJ=NJOB=9Q°,

?：OM=ON=3,NMON=90°,OH±MN,

:.MN=3近,MH=HN-OH=登,

：.AH^VOX2-OH2=J42-（苧尸=孚,

：.BN=AM=MH+AH=聞;③魚

如圖3-2中，同法可證AM=BN=同7..

B

N

圖3-2

【變式2-1](2020?沈陽)在△ABC中，AB=AC,N8AC=a，點(diǎn)尸為線段CA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸8,

將線段P8繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段尸連接。8,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)，

①求證：PA=DC-,

②求的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)a=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出B4和。C的數(shù)量關(guān)系.

/QH/O

(3)當(dāng)a=120°時(shí)，若AB=6,BP=V31;請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。到C尸的距離為一或——.

-2-2―

【分析】(1)①證明△PA4也△OBC(5AS)可得結(jié)論.

②利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)證明△CBDs/vigp,可得安=—=?解決問題.

PAAB

(3)分兩種情形，解直角三角形求出CO即可解決問題.

【解析】(1)①證明：如圖1中,

??,將線段尸8繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段尸Q,

：?PB=PD,

*：AB=AC,PB=PD,ZBAC=ZBPD=60°,

/.AABC,△PBD是等邊三角形,

ZABC=ZPBD=60°,

：.ZPBA=ZDBC,

?:BP=BD,BA=BC,

:ZBAQ4DBC(SAS),

：.PA=DC.

②解：如圖1中，設(shè)交尸c于點(diǎn)o.

VAPBA^ADBC,

???NBFA=NBDC,

■:/BOP=/COD,

：.ZOBP=ZOCD=60°,即NOCP=60°.

(2)解：結(jié)論：CD=WPA.

理由：如圖2中,

D

圖2

'：AB=AC,PB=PD,ZBAC=ZBPD=120°,

：.BC=2-AB-cos30°=V3BA,BD=2BP?cos30°=WBP,

BCBD

：.—=—=Vr3,

BABP

VZABC=ZPBD=3Q°,

：.NABP=NCBD,

：.4CBDs叢ABP,

.CDBC

"PA~AB

：.CD=V3E4.

(3)過點(diǎn)。作。M_LPC于過點(diǎn)8作BALLCP交CP的延長線于N.

如圖3-1中，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，

圖3-1

在RtZXABN中，,:NN=90°,AB=6,ZBAN=60°,

：.AN=AB'cos60°=3,BN=AB?sin60°=3百,

,:PN=7PB2—BN?=V31-27=2,

：.PA=3-2=1,

由（2）可知，CD=V3M=V3,

■:/BPA=/BDC,

：.ZDCA=ZPBD=30°,

：.DM=%D=孚

如圖3-2中，當(dāng)△A8尸是銳角三角形時(shí)，同法可得以=2+3=5,CD=5V3,DM=^CD=

圖3-2

綜上所述，滿足條件的。M的值為?或旦夕.

22

故答案為F或零.

22

【變式2-2］（2020?葫蘆島）在等腰△AOC和等腰△8EC中，ZADC=ZBEC=9Qa,BC<CD,將△BEC

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接48,點(diǎn)。為線段A8的中點(diǎn)，連接。O,EO.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到C。邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段。。與E。的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，

請(qǐng)說明理由；

（3）若BC=4,CD=2巡,在△BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)/ACB=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線

段OD的長.

【分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出OE=OA=3B,進(jìn)而得出NBOE=2N

BAE,同理得出。方=04=%2,ZDOE=2ZBAD,即可得出結(jié)論;

（2）先判斷出△AOM絲△BOE（SAS）,得出/M4O=/EB。，MA=EB,再判斷出/DCE,

進(jìn)而判斷出△MAD注△￡r€?,即可得出結(jié)論;

（3）分點(diǎn)3在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況，類似（2）的方法判斷出OD=OE,即可得出結(jié)論.

【解析】（1）DOLEO,DO=EO；

理由：當(dāng)點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到。邊上時(shí)，點(diǎn)E必在邊AC上,

AZAEB=ZCEB=90°,

在中，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn),

JOE=OA=

：?/BOE=2NBAE,

在RtZkA50中，點(diǎn)。是A3的中點(diǎn),

：.OD=OA=^AB,

:?/DOE=2/BAD,

：.OD=OE,

???等腰△AOC,且NADC=90°,

：.ZDAC=45°,

AZDOE=ZBOE+ZDOE=2ZBAE+2ZBAD=2(ZBAE+ZDAE)=2ZDAC=90°,

JOD±OE；

(2)仍然成立，

理由：如圖2,延長E0到點(diǎn)使得OM=OE,連接AM,DM,DE,

TO是A3的中點(diǎn)，

；.OA=OB,

丁ZAOM=ZBOEf

：.AAOM^ABOE(SAS),

:?/MAO=/EBO,MA=EB,

??.△AC。和△C5E是等腰三角形，ZADC=ZCEB=90°,

AZCAD=ZACD=ZEBC=ZBCE=45°,

VZOBE=180°-ZEBC=135°,

???NMAO=135°,

???ZMAD=ZMAO-ZZ)AC=90°,

VZDCE=ZDCA+ZBCE=90°,

NMAD=/DCE,

?：MA=EB,EB=EC,

：.MA=EC,

*：AD=DC,

:.MD=ED,ZADM=ZCDE,

*：ZCDE^-ZADE=90°,

AZADM+ZADE=90°,

AZMDE=90°,

■:MO=EO,MD=DE,

1

：.OD=^ME,ODLME,

1

*：OE=^ME,

：.OD=OE,OD±OE；

(3)①當(dāng)點(diǎn)5在AC左側(cè)時(shí)，如圖3,

延長EO到點(diǎn)M,使得OM=OE,連接AM,DM,DE,

同(2)的方法得，LOBE咨LOAM(SAS),

：.ZOBE=ZOAM,OM=OE,BE=AM,

?：BE=CE,

：.AM=CE,

在四邊形ABECD中，NADC+/DCE+/BEC+NOBE+/BAD=540°,

VZADC=ZBEC=90°,

：.ZDCE=540°-90°-90°-ZOBE-ZBAD=360°-ZOBE=360°-ZOAM-ABAD,

VZDAM+ZOAM+ZBAD=360°,

：.ZDAM=36Q°-ZOAM-ABAD,

；?NDAM=/DCE,

*：AD=CD,

：.ADAM^/\DCE(SAS),

:.DM=DE,ZADM=ZCDE,

：.ZEDM=ZADM+ZADE=ZCDE+ZADE=NAQC=90°,

?：OM=OE,

AOD=OE=^ME,ZDOE=W°,

在RtZXBCE中，CE=^BC=2

過點(diǎn)E作EHLDC交DC的延長線于H,

在RtZkCHE中，ZECH=180°-ZACD-ZACB-ZBCE=180°-45°-60°-45°=30°

：.EH=^CE=V2,

根據(jù)勾股定理得，CH=V3EW=V6,

：.DH=CD+CH=346,

在RtADHE中，根據(jù)勾股定理得，DE=y/EH2+DH2=2V14,

：.OD=^DE=2V7,

②當(dāng)點(diǎn)8在AC右側(cè)時(shí)，如圖4,

同①的方法得，OD=OE,ZDOE=9Q°,

連接OE,過點(diǎn)E作即，CD于8,

在RtZXEHC中，ZECH=30°

：.EH=^CE=V2,

根據(jù)勾股定理得，CH=V6,

：.DH=CD-CH=V6,

在RtZWHE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2?

/o

：.OD=^DE=2,

即：線段0D的長為2或2位.

圖3

M

4、

【變式2-3】（2020?濰坊）如圖1,在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=&+1,點(diǎn)。，E分別在邊48,AC

上，且AZ）=AE=1,連接。E.現(xiàn)將△&￡>￡1繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<360°）,如

圖2,連接CE,BD,CD.

（1）當(dāng)0°<a<180°時(shí)，求證：CE=BD；

（2）如圖3,當(dāng)a=90°時(shí)，延長CE交2。于點(diǎn)R求證：CF垂直平分BZ）；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【分析】（1）利用“SAS”證得△ACEgAW。即可得到結(jié)論;

（2）利用“SAS”證得推出NACE=NABD,計(jì)算得出CD=BC=&+2,利用等腰

三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的垂直平分線上時(shí)，△BCD的面積取得最大值，利用等腰直角三角

形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式即可求解.

【解析】（1）證明：如圖2中，根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

VZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,

:./CAE=/BAD,

在AACE1和△A3。中,

AC=AB

Z-CAE=Z-BADJ

AE=AD

：.AACE^AABD(SAS),

：.CE=BD；

(2)證明：如圖3中，根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE9ZCAB=ZEAD=90°,

在AACE■和△ABO中，

AC=AB

Z-CAE=Z-BAD，

AE=AD

：.AACE^AABD(SAS),

JZACE=/ABD,

VZACE+ZAEC=90°,且NAEC=NbE8,

；?NABD+NFEB=90°,

：.ZEFB=9Q°,

：.CF±BD,

VAB=AC=V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,

???BC=V2AB=V2+2,CD=AC+AD=V2+2,

:?BC=CD,

VCFXBZ),

：.CF是線段BD的垂直平分線；

(3)解：△BCD中，邊的長是定值，則邊上的高取最大值時(shí)△5CZ)的面積有最大值,

，當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的垂直平分線上時(shí)，△8C。的面積取得最大值，如圖4中:

圖4

V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=9Q°,DGLBC^G,

：.AG=^BC=^2,ZGAB=45°,

：.DG=AG+AD^^2+1=ZZ)AB=180°-45°=135°,

?—，11rV2+43V2+5

:ABCD的面積的最大值為：-BC-DG=-(V2+2)(0—)=---,

旋轉(zhuǎn)角a=135°.

【變式24](2020?鄂爾多斯)⑴【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

①請(qǐng)按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)方，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

C.連接;

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=45°.

(2)【問題解決】

如圖2,在Rt^ABC中，BC=1,NC=90°,延長CA到。，使CD=1,將斜邊A2繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°至UAE,連接。E,求NADE的度數(shù).

(3)【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABC。中，AELBC,垂足為E,ZBAE=AADC,BE=CE=\,CD=3,AD=kAB(k

為常數(shù))，求8。的長(用含左的式子表示).

【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可.

②只要證明△ABB'是等腰直角三角形即可.

(2)如圖2,過點(diǎn)E作E7九LCD交的延長線于H.證明△ABC絲△￡4H(44S)即可解決問題.

(3)如圖3中，由AE_LBC,BE=EC,推出48=AC,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AACG,連接

DG.則BD=CG,只要證明/GDC=90°,可得CG='DG2+CD?,由此即可解決問題.

【解析】(1)①如圖1中，AAB'C'即為所求.

圖1

②由作圖可知，AABB，是等腰直角三角形,

ZAB'8=45°,

故答案為45.

(2)如圖2中，過點(diǎn)E作由，CO交CO的延長線于

B

圖2

?；NC=NBAE=NH=90°,

：.ZB^ZCAB=90°,ZCAB+ZEAH=90°,

???NB=NEAH,

VAB=AE,

AAABC^AEAH(AAS),

:?BC=AH,EH=AC,

?：BC=CD,

：.CD=AH,

：.DH=AC=EH,

:?/EDH=45°,

AZAZ)E=135°.

(3)如圖3中，連接AC,

VAEXBC,BE=EC,

：.AB=AC,

將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接。G.則BQ=CG,

G

ZBAD=ZCAG,

：.ZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

：.ZABC=ZACB=ZADG=ZAGD.

：.△ABCs—

9：AD=kAB,

:,DG=kBC=2k,

9：ZBAE+ZABC=90°,NBAE=NADC,

：.ZADG^-ZADC=90°,

：.ZGDC=90°,

JCG=<DG2+CD2=V4/c2+9.

：.BD=CG=V4k2+9.

【類型3］幾何翻折變換綜合題

【例3】（2020?南通）矩形A3C。中，AB=8,AD=12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為?！?/p>

AD

（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP,求二的值；

（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交于點(diǎn)凡求8尸的長.

【分析】（1）如圖①中,取DE的中點(diǎn)M,連接PM.證明△POMs^nCP,利用相似三角形的性質(zhì)求

解即可.

（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH〃2C交于G,交CD于H.設(shè)EG=尤，則BG=4-x.證明△EGPs

EGPGEP41

△PHD,推出——=—=——推出PG=2EG=3x,DH^AG^4+x,在RtAPHD中，由

PHDHPD123

PH2+Dfi2=Pb1,可得（3x）2+（4+無）2=122,求出x,再證明△EGPSAEBR利用相似三角形的性質(zhì)

求解即可.

【解析】（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M,連接PW.

?.?四邊形ABCO是矩形,

：.ZBAD=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,

在RtZ\EPD中，:EM=MD,

：.PM=EM=DM,

：./3=ZMPD,

：.Zl=Z3+ZMPD=2Z3,

ZADP=2Z3,

：.Zl=ZADP,

\'AD//BC,

：.ZADP=NOPC,

：.Z1=ZDPC,

*：ZMOP=ZC=90°,

；?/\POMs/\DCP,

?poCD82

-f

PM~PD~123

?AP2P02

.?DE~2PM_3,

4PAB2

解法二：證明AAB尸和△DAE相似，一=—=一.

DEDA3

(2)如圖②中，過點(diǎn)尸作GH〃3C交A3于G,交CD于H.則四邊形AGHO是矩形，設(shè)EG=x,則

BG=4-x

VZA=ZEPD=90°,ZEGP=ZDHP=90°,

AZEPG+ZZ)PH=90°,NDPH+NPDH=90°,

:?/EPG=/PDH,

:?△EGPs^PHD,

.EGPGEP41

?'PH~DH~PD~12~3

:?PH=3EG=3x,DH=AG=4+x,

,122

在RtzXPHD中，\PH+DH=PDf

/.(3x)2+(4+x)2=122,

解得了=善(負(fù)值已經(jīng)舍棄)，

?,-BG=4-￥=1

___________12

在RtAEGP中，GP=>JEP2-EG2=

9：GH//BC,

:?△EGPs^EBF,

.EGGP

??—,

EBBF

1612

?_5_____5_

??一,

4BF

:.BF=3.

【變式3-1］（2020?無錫）如圖，在矩形中，AB=2,AD=1,點(diǎn)E為邊C￡＞上的一點(diǎn)（與C、。不

重合），四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對(duì)稱圖形為四邊形ANME,延長ME交于點(diǎn)P,記四邊形

的面積為S.

（1）若。E=字，求S的值；

（2）設(shè)。E=x,求S關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

B

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到NAED=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBAE=60°,根據(jù)折疊

的性質(zhì)得到NAEC=NAEM,推出為等邊三角形，于是得到結(jié)論；

（2）過E作E/tLAB于R由（1）可知，ZA￡P(guān)=ZA￡D=ZPAE,求得AP=PE,設(shè)AP=PE=a,AF

=ED=x,貝i]PP=a-x,EF=AD=1,根據(jù)勾股定理列方程得到a=曾，于是得到結(jié)論.

【解析】⑴：在矩形ABC。中，/。=90。，AD=1,DE=與,

：.AE=VXD2+DE2=孥，

/.tanAAED==V3,

ZAED=6Q°,

\9AB//CD,

：.ZBAE=60°,

???四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對(duì)稱圖形為四邊形ANME,

：.ZAEC=ZAEM,

?；NPEC=NDEM,

：.ZAEP=ZAED=60°,

???△APE為等邊三角形,

12>/3V3J3

S=5X(-----+—)X1=

2332

(2)過E作ERL48于凡

由(1)可知，ZAEP=ZAED=APAE,

：.AP=PE,

設(shè)AP=P￡=a,AF=ED=x,

貝|PP=a-x,EF=AD=1,

在RtZXPEP中，(a-x)2+1=/,解得：°=M±1,

【變式3-2］（2020?深圳）如圖，矩形紙片ABC。中，A2=6,BC=12.將紙片折疊，使點(diǎn)2落在邊AD的

延長線上的點(diǎn)G處，折痕為EF,點(diǎn)E、F分別在邊AD和邊8c上.連接BG,交。于點(diǎn)K,FG交CD

于點(diǎn)給出以下結(jié)論：

?EF±BG；

②GE=GF；

@/\GDK和△GKH的面積相等；

④當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，ZDEF=75°,

其中正確的結(jié)論共有（

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】連接BE，設(shè)EF與BG交于點(diǎn)0,由折疊的性質(zhì)可得所垂直平分2G,可判斷①；由“ASA”

可證△BO尸絲△GOE,可得BF=EG=GF,可判斷②；通過證明四邊形8EGF是菱形，可得/BEF=/

GEF,由銳角三角函數(shù)可求NAEB=30°,可得/￡＞所=75°,可判斷④，由題意無法證明△GDK和4

GK4的面積相等，即可求解.

【解析】如圖，連接BE,設(shè)E尸與BG交于點(diǎn)O,

???將紙片折疊，使點(diǎn)2落在邊的延長線上的點(diǎn)G處,

...所垂直平分BG,

J.EFLBG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正確，

".'AD//BC,

:.NEGO=NFBO,

又,：/EOG=/BOF,

:.△BOF出AGOE(ASA),

：.BF=EG,

：.BF=EG=GF,故②正確,

?:BE=EG=BF=FG,

???四邊形BEG尸是菱形,

:?/BEF=/GEF,

當(dāng)點(diǎn)方與點(diǎn)。重合時(shí)，貝1]8b=3。=8￡=12,

VsinZAEB=普=七=2，

AZAEB=30°,

：.ZDEF=15°,故④正確，

???3G平分NEGR

:?DG豐GH,

DGDK

由角平分線定理，—，

GHKH

:?DK#KH,

SAGDK羊SAGKH,

故③錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式3-3］（2020?廣東）如圖，在正方形ABC。中，AB=3,點(diǎn)、E,尸分別在邊AB,CD上，ZEFD=60°.若

將四邊形E3CB沿斯折疊，點(diǎn)"恰好落在邊上，則8E的長度為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【分析】由正方形的性質(zhì)得出NEED=N8E尸=60°,由折疊的性質(zhì)得出在方=60°,BE=

BE設(shè)則AE=3-x,由直角三角形的性質(zhì)可得：2(3-x)=x,解方程求出x即可得

出答案.

【解析】,??四邊形A3C。是正方形，

：.AB//CD,ZA=90°,

：.ZEFD=ZBEF=60°,

???將四邊形防C尸沿跖折疊，點(diǎn)8恰好落在AO邊上，

：.ZBEF=ZFEB'=60°,BE=B，E,

???NAE3'=180°-ZBEF-AFEB'=^°,

：.B,E=2AE,

BE=x,貝ijHEfAE=3-xf

：.2(3-x)=x,

解得x=2.

故選：D.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.(2020?包頭)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,RtZkABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)得到Rt^A'B'C,A'C與AB交于點(diǎn)D

(1)如圖1,當(dāng)A'B'〃AC時(shí)，過點(diǎn)B作5E_LA'C,垂足為E,連接AE.

①求證：AD=BD；

②求燮里的值；

SAABE

DN

(2)如圖2,當(dāng)A'CLAB時(shí)，過點(diǎn)。作。"〃A'B',交B'C于點(diǎn)N,交AC的延長線于點(diǎn)M,求—

NM

的值.

【分析】(1)①由平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得A'C=ZA'CA=ZBAC,CD=AD,再證明CD

=80便可得結(jié)論；

②證明△2E'CSA4CB得CE與CD的關(guān)系，進(jìn)而得SAACE與S^ADE的關(guān)系，由。是的中點(diǎn)得S^ABE

=2SAADE,進(jìn)而結(jié)果；

MNCN

(2)證明CN〃A3得△MCNsZUM。，得一=—,應(yīng)用面積法求得CQ,進(jìn)而求得AD,再解直角三

MDAD

角形求得CN,便可求得結(jié)果.

【解析】(1)①??0B'//AC,

:,/B'A'C=ZArCA,

VZB,A'C=ZBAC,

：.ZA1CA=ZBAC,

:?AD=CD,

VZACB=90°,

：.ZBCD=90°-/ACO,

VZABC=900-ABAC,

:?NCBD=/BCD,

：.BD=CD,

：.AD=BD；

@VZACB=90°,BC=2,AC=4,

：.AB=V22+42=2^5,

VBEXCD,

：.ZBEC=ZACB=90°,

?；/BCE=NABC,

:?△BECsXACB,

CEBCCE2

—=-，即—=—尸，

BCAB22V5

.-.CE=|V5,

VZACB=90°,AD=BD,

：.CD=^AB=V5,

2

CE=考CD,

.2

??S^ACE—'^S/\ADEf

9：AD=BD,

SAABE=ZSAADE,

,SbACE1

..------=一;

SLABE3

(2)9：CD±AB,

：.ZADC=90°=ZA'CB',

：.AB//CNf

，叢MCNs叢MAD,

.MN_CN

MD~AD"

11

■:S〉A(chǔ)BC=專AB-CD=^AC-BC,

.,,_AC,BC4x2Vs,

?，CD=FF=

______________o

：.AD=y/AC2-CD2=|V5,

9：DM//A'B'，

：.ZCDN=ZA'=NA,

BC4/-22

/.CN=CD?tanZCDN=CD?tanA=CD?—=x-=r

AC545

.MN|V5i

/，MD=%=7

DN

/.----=3.

NM

2.（2020?吉林）能夠完全重合的平行四邊形紙片ABC。和AEFG按圖①方式擺放，其中AO=AG=5,AB

=9.點(diǎn)。，G分別在邊AE,AB上，C。與尸G相交于點(diǎn)凡

【探究】求證：四邊形AGEffi）是菱形.

【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片ABCD,將平行四邊形紙片AEBG繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的

角度，使點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，如圖②.則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為二^.

【操作二】將圖②中的平行四邊形紙片AEFG繞著點(diǎn)A繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)E與點(diǎn)8重合,

4

連接。G,CF,如圖③，若sin/8AO=5，則四邊形DCFG的面積為72

圖①圖②圖③

【分析】【探究】先由平行四邊形的性質(zhì)得AE〃GF,DC//AB,進(jìn)而得四邊形AGHD是平行四邊形，再

結(jié)合鄰邊相等，得四邊形AGH。是菱形；

【操作一】這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和實(shí)際為平行四邊形4BCQ和平行四邊形AEFG

的周長和，由此求得結(jié)果便可；

【操作二】證明△AM。2AIMG得/AMD=/AMG=90°,解Rt/XADM得DM,再證明四邊形。CFG

為矩形，由矩形面積公式求得結(jié)果.

【解析】【探究】?.?四邊形"CD和AEFG都是平行四邊形，

：.AE//GF,DC//AB,

：.四邊形AGHD是平行四邊形,

'：AD=AG,

二四邊形AG7TO是菱形；

【操作一】根據(jù)題意得，這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為:

ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF=(ME+AM+AG+EF+NF+GN)+

(AD+BC+DM+MC+AN+BN)=2(AE+AG)+2CAB+AD)=2*(9+5)+2X(9+5)=56,

故答案為：56；

【操作二】由題意知，AD=AG=5,ZDAB=ZBAG,

又AM=AM,

：.AAMD^AAMG(SAS),

：.DM=GM,ZAMD=ZAMG,

VZAMD-^-ZAMG=180°,

AZAMD=ZAMG=90°,

4