2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算（十二大題型）（講義）（解析版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算

目錄

01考情透視?目標導(dǎo)航...........................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航...........................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................4

知識點1:導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義................................................................4

知識點2：導(dǎo)數(shù)的運算...........................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題................................................................6

題型二：導(dǎo)數(shù)的運算.............................................................................9

題型三：在點尸處的切線.......................................................................11

題型四：過點P的切線.........................................................................13

題型五：公切線問題............................................................................15

題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題.............................................................19

題型七：切線的條數(shù)問題.......................................................................22

題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題.........................................................28

題型九：牛頓迭代法...........................................................................37

題型十：切線平行、垂直、重合問題.............................................................41

題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題.........................................................45

題型十二：切線斜率的取值范圍問題.............................................................47

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................49

05課本典例?高考素材...........................................................51

06易錯分析?答題模板...........................................................53

易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置.......................................................53

答題模板：求曲線過點P的切線方程.............................................................53

考情透視.目標導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年甲卷第8題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

(1)導(dǎo)數(shù)的定義

2022年1卷第15題，5分容、頻率、題型、難度均變化不大.重點考查導(dǎo)

(2)導(dǎo)數(shù)的運算

2021年甲卷第13題，5分數(shù)的計算、四則運算法則的應(yīng)用和求切線方程為

(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2021年1卷第7題，5分主.

復(fù)習(xí)目標：

(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(2)通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

函數(shù)/（1）歸=M處瞬時變彳七率lim在=lim/（?%+：”?/（?。?

Ax-4）AXAx-4ZLV

我們稱它為函數(shù)尸/（X）在mXo處的導(dǎo)數(shù)，記作/'（項）或/|EJ

廠m數(shù)的概今和J1同章義,=同=辿、，函數(shù)＞,=/（2fe=.&處的導(dǎo)數(shù)/'（.&）的幾何意義、

、P數(shù)日9微心和幾何?,乂/Y幾何忌乂）（即為函數(shù)j，=/（；）在點二城處的切線的斜率.）

X------=7^（函數(shù)s=s（/）在點4處的導(dǎo)數(shù)s'（，o）是物體在，0時刻的瞬時速度「，即xs'O

乂物理意義）-I”電在點,。的導(dǎo)數(shù)一（Q是物體而。時刻的瞬時加速度4即a="Q.

/^7cx)=c(c為常數(shù))，/'")=0-

/(x)=v*(ae0,f(x)=axtl

f(x)=ax(a>01LA*1),f'(x)=axlna

f(x)=log^:(a>Q且"1)，/'代)=

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,,*

/(-v)=e\/'(x)=^

f(x)=lrixt/'(.v)=1

f(x)=shix,f'(x)=cosx/

、'、\^f(x)=cosx,f'(x)=-sinx

T函數(shù)和差求導(dǎo)法則:[/(2坨(2]'=/'(.、)壇'(2)

導(dǎo)數(shù)的運算法則函數(shù)積的求導(dǎo)法則：'=/'(2g(x)+/(Mg'(2)

1函數(shù)商的求導(dǎo)法她其30,則[懸]'=/'")飄；?[4'加'(2；

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)r復(fù)合函數(shù)丁=/ko］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)）'=/（"），〃=/?）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為機/可“〃；；

老占突曲?題理探密

知識固本

知識點1:導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

1、概念

函數(shù)/（%）在尤=%處瞬時變化率是lim"=lim,我們稱它為函數(shù)y=/⑴在X=%

心.°Ax以―。Ax

處的導(dǎo)數(shù)，記作了'（%）或可,氣.

知識點詮釋：

①增量V可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.-0的意義：Ax與。之間距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)—。時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

包=/（%+口）-/（/）無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即尸（%）=lim"=lim/^o+Ax-）-/（xo）.

-Ax"一。Ax

2、幾何意義

函數(shù)y=/（X）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)/（與）的幾何意義即為函數(shù)y=/（X）在點P（x。，%）處的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s⑺在點質(zhì)處的導(dǎo)數(shù)S&）是物體在時刻的瞬時速度V,即丫=5&）；v=v⑺在點r。的導(dǎo)數(shù)

MQo）是物體在％時刻的瞬時加速度。，即a=v'G））.

【診斷自測】設(shè)/（X）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且/'（1）=1，則期嚴）一弋+2A=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】因為廣⑴=lim四二/a士竺0=1,

v7--2Ax

所以1皿了⑴一八"2的二一2.

-Ax

故選:B.

知識點2：導(dǎo)數(shù)的運算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(x)=C(c為常數(shù))rw=o

f{x}=xa(aeg)fr(x)=axa~{

/(%)=ax(a>0,aw1)f\x)=axlna

f(x)=logax(a>O,a^l)/'(x)=-^—

xlna

/(x)=//'(x)=，

f(x)=]nx

/V)=-

/(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosxfr(x)=—sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(X)土g(x)］'=廣(x)±g，(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)］=f\x)g{x}+f(x)gXx)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則［效］=/'(x)g(x)1/(龍)g'(x).

g(X)g2(尤)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)丫=/1g(尤)］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(?),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y：=y,'u'：

【診斷自測】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=xcosx-(Inx)sinx；

(sinx\1

【解析】(1)y=cosx+x(-sinx)-l-----1-(inx)cosx=cosx(l-lnx)-sinxlx+—

'(x2+l)2(In.r)2

l-3x2x(1-sinx)Inx-(cosx+x)

_26?___________x___________

(x2+l)2(Inx)2

1-3x2x(l-sinx)lnx-(cosx+x)

2A/X(X2+1)2尤(lnx)2

解題方法總結(jié)

1、在點的切線方程

f

切線方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)的計算：函數(shù)y=/(%)在點A(x0,/(%()))處的切線方程為

%=/(/)

y—/(x())=/'a))(%—xo)，抓住關(guān)鍵

k=f'(x0)

2、過點的切線方程

r

設(shè)切點為尸(%,%),則斜率左=/Oo),過切點的切線方程為：y-y0=f(x0)(x-x0)9

又因為切線方程過點A(根，ri),所以〃-%=/(%0)(加-%0)然后解出/的值.(%有幾個值，就有幾條

切線)

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

3、高考?？嫉那芯€方程

(1)y=%是y=ln(x+l)的切線，同時)=%—1是y=lnx的切線，也是y=1—工和y=的切線.

x

(2)丁=%是〉=5111%的切線，丁=%是丁=1211%的切線.

(3)y="是y=e”的切線，y=%+l是y="的切線.

題型洞察

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題

【典例14］若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。㈤內(nèi)可導(dǎo)，且飛€(〃向，則聞"Xo+"3"x?！?)的值為()

A./'(%)B.27(%)

c.-2/(^0)D.0

【答案】B

【解析】由題意知,

1皿“%。+〃）一/（無。一"）=iim22日"？=2/U.

go〃-o2h

故選：B

【典例1-2］如圖1,現(xiàn)有一個底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm?/s的速度向該容器內(nèi)注入

溶液，隨著時間f（單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度,

V150

D.cm/s

2兀

【答案】C

【解析】設(shè)注入溶液的時間為/（單位：S）時，溶液的高為〃cm,

則g兀,得h=J"”.

中平，，

因為,〃=一1?一150r,

3Vitr

i,,1/150^/150

所以當(dāng)t=時，h'=-3—=-——,

3VJt3兀

即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為邊亙cm/s.

3%

故選：C

【方法技巧】

利用導(dǎo)數(shù)的定義，對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項、添項等變形和導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)一致，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求解.

【變式1-1］（多選題）已知/⑺，g（x）在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且/'優(yōu)）力0,下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法

中正確的是（）

/(xo-M-/(xo)

A.limB.lim=r(0

-AxAA->02A/z

+3limg(%+Ax)-g(Xo)=g'H)

C.lim/UM~/k)D.

A”。3Ars。/(%+?)-/(%)/'(%)

【答案】BCD

［解析］lim〃x。一.)一/(％)=_］jm/1+(-八)卜)=一故人錯;

—Ax——Ax'7

lim”"A"=Hm"2)7(。=a),故B對;

A/z->02NhA/i->02A/z-

Hm"%+3川-/(%)=］伉),由導(dǎo)數(shù)的定義知c對；

Av—2AI?*''

limg(%+詞-g(龍.)

g(x0+Ax)-g(x。)=…Ax________g(/)口對.

2”(玉+a)-/國)limf(-^o+M-f(x0)f'(x0))、'

-Ax

故選：BCD

【變式1-2](2024?上海閔行?二模)某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期

整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間f的關(guān)系為w=.f(。，用-/㈤一〃")的大小評價在可這段時間

b-a

內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.則下列

正確的命題是()

污

水

達

標

排

放

量

A.在，1,可這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

B.在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

C.在4時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標；

D.甲企業(yè)在[0d],[%,可，也闖這三段時間中，在[聞的污水治理能力最強

【答案】D

【解析】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時間f的關(guān)系為卬=/1?)，乙企業(yè)的污水排放量卬與時間/的關(guān)系為

w=g?).

對于A選項，在[%,可這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力/*)=一旦正處°，

‘2TI

乙企業(yè)的污水治理能力g?)=-g)".由圖可知，//&)一〃&)>g&)-gg),

所以Kt)>g⑺，即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故A選項錯誤；

對于B選項，由圖可知，/?⑺在三時刻的切線斜率小于g⑴在L時刻的切線斜率，

但兩切線斜率均為負值，故在右時刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故B選項錯誤；

對于C選項，在4時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達標排放量，

故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達標，故C選項錯誤；

對于D選項，由圖可知，甲企業(yè)在［0d］,［。,可，也，引這三段時間中，

在自國］時幽)-/電)的差值最大，所以在兒,可時的污水治理能力最強，故D選項正確,

故選：D.

題型二：導(dǎo)數(shù)的運算

【典例2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=xex

Inx

(2)y=

x2+1

(3)y=2sin(l-3x)

(4)y二—1dn-+Jl+%2.

【解析】(1)y=e"+xe'=(x+l)e'

x2+1

-2x]nx22

(2)x+1-2xInx

X^X2+1)2

(3)/=2x-3xcos(l-3x)=-6cos(l-3x)

31了一ajJi工

-----1—/-------

4x271774x+14x1+x2

【典例2-2】已知函數(shù)F3滿足滿足/(x)=r(l)ei-/(0)x+gx2；求“好的解析式

【解析】/W=/,(1X-1-/(0)x+|x2=>/,(x)=/'(l)^1-/(0)+x

令x=l得：/(0)=l

得：f(x)=ex—x+—x2

【方法技巧】

(1)對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求

導(dǎo)問題.

(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

【變式2-1】已知“同=：/+2礦(2022)-20221nx,則廣(2022)=_.

【答案】-2021

【解析】因為/(x)=g/+2礦(2022)一2022Inx,

70??707?

所以/'(尤)=尤+2/(2022)--,所以/'(2022)=2022+2廣(2022)———,

X

解得廣(2022)=—2021,

故答案為:-2021.

【變式2-2］設(shè)函數(shù)〃X)=X(X+D(X+2)(x+10),則7(0)的值為()

A.10B.59C.10x9x—x2xlD.0

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)=x(x+l)(x+2)(x+10)的定義域為R,

設(shè)g(x)=(x+l)(x+2)…(X+10),貝小a)=xg(x),

所以/(x)=g(x)+x.g［x)

所以r(O)=g(O)+Oxg'(O)=lx2x...x9xlO.

故選：C.

【變式2-3］在等比數(shù)列｛%｝中，為屋？，若函數(shù)/(%)=；武工-%)(%-〃2)(了-/023)，則/'(0)=(

A.-22022B.22022C.-22023D.22023

【答案】A

［解析］設(shè)g(x)=(X-⑷(A%)(X-%O23)，

則〃x)=gxg(無)，/'(x)=gg(無)+；xg，(x),

所以，r(o)=1g(o).

因為｛%｝是等比數(shù)列，且?1012=2,

所以，“1。2023=0202022='~=^1011^1013=。1012=2,

所以，g(0)=(0-4)(0-%)(0一出023)=(-1戶”"2-%023=-22陽，

所以，/,(0)=-22022.

故選：A.

【變式2-4］若定義域都為R的函數(shù)/")及其導(dǎo)函數(shù)/'(X),滿足對任意實數(shù)x都有

2024

“力-"2025-x)=2x-2025,貝江-㈤=.

k=l

【答案】2024

【解析】對/(力一/(2025—尤)=2%一2025,兩邊同時求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得廣(力+/'(2025—力=2,

則⑴+J'(2024)=2,廣(2)+廣(2023)=2,L,/,(1012)+/,(1013)=2,

2024

從而優(yōu))=2x1012=2024.

k=\

故答案為：2024

【變式2?5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(Xx\

(l)y=2e2+xe2；

\7

(2)y=a2x+x2；

(3)y=sin43x-cos34x；

,八xlnx[/

⑷尸kn(x+l).

-?XX1X\X

【解析】(1)y=2-e1+e2+-xe2=(3+%)61

(2)yr=2a2Vlna+2x

(3)Y=12sin33x-cos34x+12sin43xcos24x

(l+lnx)(x+l)-xlnx1In%

(4)y=

(x+1)2x+1gif

題型三：在點尸處的切線

【典例3-1】（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題）曲線y=ln2x在點、,0）處的切線方程為（）

A.2x—y+1=0B.2尤—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【答案】B

【解析】由題意，y=ln2x的導(dǎo)函數(shù)9=：,故曲線y=ln2x在點g,oj處的切線斜率為左=2,

貝U切線方程y=2、-；］=2x-l,即2x-y-l=0,

故選：B.

【典例3-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知曲線/（司=加在點（1,〃功處的切線為/,貝心在V軸上的截

距為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/（x）=xh比得r（x）=hu+i,所以直線/的斜率上=八1）=1,

又/⑴=0,所以直線/的方程為>令x=O,得y=-l,即/在》軸上的截距為-1.

故選：B

【方法技巧】

%=/(/)

函數(shù)y=/(x)在點A?,/(x。))處的切線方程為y-/?)=r(Xo)(x-Xo),抓住關(guān)鍵

人―

【變式3-1】曲線"0=217也》_2在點(0,/(0))處的切線方程為()

A.y=3xB.y=2xC.V=xD.>=一天

【答案】C

【解析】由函數(shù)/(x)=2e*-sinx-2,可得r(x)=2e*-cosx,

則外0)=1且/(。)=。，即切線的斜率為左=1,切點坐標為(。,0),

所以切線方程為〉=工

故選：C.

【變式3-2](2024?山東濟寧?三模)已知函數(shù)/(*)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，/(x)=ln(-x)+x2,則曲線

y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程是()

A.3x—y—2=0B.3%+y—2.=oc.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【答案】A

【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)XV。時，/(x)=ln(-x)+x2,

則當(dāng)x>0時，/(%)=/(-%)=In%+x2,求導(dǎo)得/'(x)=:+2無,則當(dāng)(1)=3,而/⑴=1,

x

所以曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程是y—l=3(x-l),即3x—y-2=0.

故選：A

【變式3-3](2024?四川?三模)已知函數(shù)/(x)=ox+a+cosx(awR),則曲線y=〃x)上一點(0,-2)處

的切線方程為()

A.2x+y+2-QB.x+y+2-O

C.3x+y+2=0D.3x+y-2=0

【答案】C

【解析】由題意可得/(0)=-2,即.+1=-2,所以。=-3,

所以/(X)=-3x+cosx-3,//(x)=-3-sinx,

則r(o)=—3,

所以曲線y=/(x)上一點(0,-2)處的切線方程為y+2=-3x,即3x+y+2=0.

故選：C.

題型四：過點尸的切線

【典例4-1】已知函數(shù)〃力=城一6犬+9尤一7,直線/過點（0,1）且與曲線y=〃x）相切，則直線/的斜率為

A.24B.24或-3C.45D.0或45

【答案】B

【解析】由"xbVYd+g-,得r（力=3/一12x+9,

設(shè)直線/與曲線y=相切的切點為夕（和兀），

則/（x）在戶（不幾）處的切線斜率為/'（%）=3片-12x0+9,

所以，切線方程為y—（只一6焉+9%-7）=（3竟—12%+9）（x-%,

將點（0,1）的坐標代入并整理，得君-3后+4=。，

即（%+1）（%—2）=0,解得/=—1或%=2,

所以直線/的斜率為24或-3.

故選：B.

【典例4-2】過點（0,m）可作〃x）=e'-x的斜率為1的切線，則實數(shù)加=.

【答案】2-21n2

【解析】由r（x）=e-l,設(shè)切點的橫坐標為飛,由廣&）=人—1=1,解得x°=ln2,

故/（1112）=即2一In2=2-ln2,由過點（In2,2-ln2）且斜率為1的切線方程：

y—（2—ln2）=x—ln2,令無=0得：y=2—21n2,,即〃z=2—21n2.

故答案為：2-21n2.

【方法技巧】

設(shè)切點為P（x。，%）,則斜率上=1（％）,過切點的切線方程為：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因為切線方程過點A（a,6）,所以6-%=100）（。-彳0）然后解出吃的值.

【變式4-1]曲線G"（x）=X+：過點A（|，oJ的切線方程為—.

【答案】3x-4y-8=O或3x+y-8=O

4____4

【解析】「（X）=iim尤++》+-*x=山n11——--]=1-4）

-0Ax-叫x（x+Ax）Jx

因為點不在曲線上，

4

所以設(shè)切線的切點是（X。,%）,則切線的斜率左=/'（無。）=1-F,

X。

又切線過點（%,%）和1,0）,

k--_3%

所以一「§一3廝-8，

03

3（x+—）.

所以1_"=3%=0-=3x；+12,

XQ3XQ-83xg-83xg-8x0

化簡得其+3%：-4%=。,

因為％。0，所以飛=-4或%o=L

434

所以上=1一77^=1，或左=1一正=_3,

（一4）1

QOO

所以所求切線方程是y=［（%-；）或y=-3（x-f）,

433

即3x—4y—8=0或3x+y—8=0.

故答案為：3x-4丁-8=0或3x+y-8=O.

【變式4-2】過點（0,-2）作曲線〃x）=lnx-2的切線，則切線方程為一.

【答案】y=-x-2

e

【解析】設(shè)切點為（七』叫-2）,由〃x）=lnx-2得廣（x）=g

則切點處的切線/：y-（1叫）-2）='（%-%0）,

玉）

因為切線過點（0,-2）,所以Im。=1,解得%=e,

所以切線方程為y-（-l）=：（Ae）即y=：x-2.

故答案為：y=-x-2

e

【變式4-3］（2024?山西呂梁?二模）若曲線/（x）=lnx在點9伍,九）處的切線過原點。（0,0）,則

%0=.

【答案】e

【解析】因為/（x）=lnx,所以廣（X）=f

所以/（x）在點夕值,人）處的切線方程為y-ln.r0=—（x-x0）.

又切線過原點。(0,0),則-1眸=-1,所以X°=e.

故答案為：e

【變式4-4](2024?高三?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=alnx("0),過原點作曲線

y=/(x)的切線/,則切線/的斜率為—.

【答案】-

e

【解析】根據(jù)題意得，/v)=->設(shè)切點坐標為(工,%),則八%)=巴,

Xxo

所以切線/的方程為丫二^^-不升％,

%

將點(0,0)代入，可得°=幺(°-/)+%,整理得先=環(huán)

故“In不：。，解得x0=e,

故廣(%)=g，即切線/的斜率為q.

ee

故答案為：—.

e

題型五：公切線問題

【典例5?1】若直線丁=-+)與曲線a：y=3+e'和曲線。2—=1+2同時相切，則人=()

93311

A.-------In—B.2—ln2C.----In—D.3—ln3

22222

【答案】A

【解析】設(shè)直線直線y=h+&與曲線G：y=3+e*相切于(九3+e"),

與曲線C2：V=e—相切于點(％e”*2),

曲線G：y=3+e，，其導(dǎo)數(shù)y，=e工，則有川『=留，

則在點(九3+"”)處切線的方程為y-(3+e")=e"<x-w),

mram

gPy=ex-We+(3+e),曲線G：y=e?2,其導(dǎo)數(shù)y=e??,則有y'|『=e"+2,

則在(〃,e*2)處切線的方程為y-en+2=en+2(x-n),即y=e2x-ae"?+e"+?,

則有e"'=e"2,則有祖=〃+2,

又由根e"—(3+e",)=〃e"+2—e”+2,則有6"2=,，則〃:足萬一2,

故選：A.

【典例5-2】（2024?湖南長沙?一模）若直線y=《（x+l）-l與曲線y=e，相切，直線,=匕（》+1）-1與曲

線y=lnx相切，則左芯的值為（）

A.1B.ec.72D.J

【答案】A

【解題思路】設(shè)出兩個切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得不戶=1,x2lnx2=l,再利用函數(shù)/（x）=xlnx的單調(diào)性

得到%=爐，最后代入計算即可.

【解析】設(shè)直線y=｛（x+l）-l與曲線y=e?'相切于點（占,戶），

因為直線＞=K（x+l）—l與曲線y=lnx相切于點（孫111尤2）,

設(shè)/?（%）=*磯尤）=1,且直線y=《（x+l）-1過定點（-LT）,

則k=eX|,且匕=----,所以2=1,

x玉+1

設(shè)g(x)=lnx,則,(x)=L則且直線y=為(x+l)-l過定點(一1,一1),

X%2

Inx+1

則k2=2所以％21nx2=1，

%+1

令/（x）=xlnx,則/f（x）=l+lnx,

當(dāng)時，/'（尤）＜0,“X）單調(diào)遞減，當(dāng)時，/'（尤）＞0,/⑴單調(diào)遞增，則

/(X),二，且/。）=0,

,\/nun

當(dāng)X—O時，/（x）-＞0,且〃x）＜0,所以當(dāng)xe（O,l）時，〃尤）＜0,

因為/（々）=々山12=1,/（鏟）=書百=1,即/（々）=/（峭）=1＞0,

所以々e（l,+oo）,e%1e（l,+（?）,所以々=6"',故％/2=e*-=l.

故選：A.

【方法技巧】

公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)

切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解.

【變式5?1】（2024?廣東茂名?一模）曲線y=與曲線y=/+2必有公切線，則實數(shù)，的取值范圍是

11

B.--,+ooC.D.—,+00

2

【答案】B

【解析】兩個函數(shù)求導(dǎo)分別為y'=±y'=2x+2a,

X

設(shè)y=lnx,y=Y+2ax圖象上的切點分別為(%,考+2方2),

%

則過這兩點處的切線方程分別為>=—+1叫T,y^(2x2+2a)x-xl，

x\

12

貝!J—=2々+2。，1叫一1=一后，所以2a=e巧t—2工2，

玉

設(shè)/(元)=12-_2》，/,(x)=2(xe^1-l),/'⑴=0,

x21

令g(x)=尸(x)=2(xe--l),所以g，(x)=2(21+1)/一>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，且/'⑴=0,

則/(X)在(-8』)上單調(diào)遞減，在。,+勸上單調(diào)遞增，

所以2。2/(1)=-1,?>-1.

故選：B.

【變式5-2](2024?遼寧大連?一模)斜率為1的直線/與曲線y=ln(x+a)和圓好+丫2=：都相切，則實數(shù)

。的值為()

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【解析】依題意得，設(shè)直線/的方程為y=x+b,

由直線和圓V+y2=g相切可得,\b\_V2

#+(T)2_2解得8=±1,

當(dāng)人=1時，y=x+i和y=ln(x+〃)相切,

設(shè)切點為(孫〃)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，」一=1,

m+a

[n=0

\n=m+1

又切點同時在直線和曲線上，即I,、，解得弧=-1,

a=2

即、=尤+1和>=ln(x+2)相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，

y=x—i和y=lnx仍會保持相切狀態(tài)，即6=-1時，々=0,

綜上所述，a=2或0=().

故選：A

【變式5-3]若存在直線>=立+6,使得函數(shù)/(X)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)，都滿足

F(x)>kx+b>G(x),則稱此直線y=>+6為4(尤)和G(x)的“隔離直線”.已知函數(shù)/(尤)=爐,

g(x)=alnx(a>0),若/(x)和g(x)存在唯一的“隔離直線”，貝！|。=()

A.冊B.2>/eC.eD.2e

【答案】D

【解析】當(dāng)〃力=四與g(x)=q1nx相切時,只有唯一的“隔離直線”，

且“隔離直線”為公切線.設(shè)切點為(工,%),

/'(%)=g'(x0),2x0=—,

則xo所以％=A/e,〃=2e.

/(x0)=g(x0),

xl=alwcQ,

故選：D.

【變式5-4](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=eTg(尤)=；ei,若直線/是曲線y=與曲線

>=g(x)的公切線，貝U的方程為()

A.ex—y=OB.ex-y-e=0

C.x-y=OD.x-y-l=O

【答案】B

【解析】設(shè)/：y=H+二與曲線y=〃x)相切于點A1,%),與y=g(x)相切于點8(石,乂),

由/'(x)=e-,可得/的斜率A=e*T,所以/。-工+加=已①①，

[11e

又由/(％)=萬"，可得左二萬叫，所以5叫王+機=^^即加=一(工；②,

又因為e與t=ge再③,

將②③代入①中，可1得ee，由③易知，%>o,則％_1=/1玉④，

將④代入③，可得一=]不，則gx「lTn(gxJ=O,

令/z(x)=x-l-Inx,則/(%)=土二，當(dāng)Ovxvl時，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，〃(%)>0,%(尤)單調(diào)遞增.所以⑴=0,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時取等號,

Ipe

故=1,可得玉=2,所以根=一］＞22=-e,左=^x2=e,

所以/的方程為y=e(x-l),即ex-y-e=0.

故選：B.

題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題

【典例6-1】若直線丁=質(zhì)與曲線y=log3%相切，則實數(shù)上=()

A.eln3B.elog3e

C.—D.-loge

ee3

【答案】D

【解析】設(shè)切點為(M』og3%)，由，=1。83彳可得則^=3

'xln30xom^

—^=上,。=e

所以<x()ln3,解得，1,即左=—log^e.

k=____e

kx0=log3^0[eln3

.故選：D.

【典例6-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)若直線y=2x-b與曲線=-2ax相切，則，的最小值

為()

A.-eB.-2C.-1D.0

【答案】C

【解析】設(shè)切點坐標為(%,%).由已知，得/'(x)=2e2，-2a,則/'(%)=2e2M-2a=2,

解得/=gln(a+l).

又切點在切線>=2x-b與曲線〃x)=e2-2?上，

所以ln(a+l)-5=a+l—aln(a+l),所以-6=(a+l)[l-ln(a+l)].

令r=a+l(f>O),g(O=](l_ln℃〉0),則g，(f)=l-ln/+/1-l)=-lnf

令g'(/)=-ln/=0,解得=1.當(dāng)優(yōu)(