【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題09 難點(diǎn)探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題之四大考點(diǎn)（原卷版）

專題09難點(diǎn)探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求單線段最大值問題】 1【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求單線段最小值問題】 13【考點(diǎn)三二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】 20【考點(diǎn)四二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】 30【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求單線段最大值問題】例題：（23·24上·昆明·階段練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，，．

(1)求拋物線的解析式；(2)該拋物線上有一點(diǎn)不與點(diǎn)、、重合，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，求線段的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（23·24上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且，拋物線圖像經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)若點(diǎn)P是直線下方的拋物線上的一個動點(diǎn)，作于點(diǎn)D，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值．2．（23·24上·西青·期中）如圖，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為，且點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)；①點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，作軸交拋物線于點(diǎn)，求線段長度的最大值．3．（23·24上·襄陽·階段練習(xí)）如圖：拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．①點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)．②設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，作軸交拋物線于點(diǎn)，求線段長度的最大值．4．（23·24上·長春·階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，直線AC的函數(shù)表達(dá)式為．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求時，x的取值范圍；(3)點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)E作y軸的平行線交二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，若點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m，求m為何值時，線段有最大值，最大值是多少．5．（23·24上·大連·階段練習(xí)）拋物線：與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y交于，且．

(1)直接寫出拋物線G的解析式：___________；(2)如圖1，點(diǎn)在拋物線G上，點(diǎn)P是拋物線G上一個動點(diǎn)，且在直線的下方，過點(diǎn)P作x軸的平行線交直線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段取最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N在y軸左側(cè)的拋物線G上，且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M也在y軸左側(cè)的拋物線G上，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求單線段最小值問題】例題：（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）已知：拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B在x軸正半軸），頂點(diǎn)為C，且．(1)求a的值；(2)求的面積；(3)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)M，求的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）直線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其中和為實(shí)數(shù)．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，過作軸的平行線交直線于點(diǎn)．(1)求和的值；(2)當(dāng)拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值時，求線段的值；(3)求線段的最小值．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)為P，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線交于點(diǎn)M，Q，直線交x軸于點(diǎn)N．

(1)若點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，且N為中點(diǎn)，求拋物線的解析式；(2)求線段長的最小值，并求出當(dāng)?shù)拈L度最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若P，M，N三點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)都不重合，且，求m的取值范圍．3．（2023秋·福建龍巖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)若是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段上的一個動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)D分別作交AC于E，交于F．①求C點(diǎn)坐標(biāo)；②求證：四邊形是矩形；③連接，線段的長是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)三二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】例題：（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)，求出的最小值；(3)若拋物線上有一動點(diǎn)，使三角形的面積為，求點(diǎn)坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽蕪湖·九年級校考階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為直線．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________．(2)求拋物線的解析式．(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸l上的一個動點(diǎn)，求的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得被直線平分？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1所示，已知直線與拋物線分別交于x軸和y軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)和點(diǎn)，且拋物線的對稱軸為直線．

(1)請分別求出k，m，a，b的值；(2)如圖2，點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是y軸上一個動點(diǎn)，求線段的最小值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是直角三角形？若存在請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請說明理由．4．（2023春·廣東湛江·九年級湛江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和的周長的最小值，若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【考點(diǎn)四二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】例題：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川內(nèi)江·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，

(1)求拋物線解析式．(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，在軸上是否存在一個點(diǎn)，使的值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．2．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3．

(1)求該拋物線的解析式，并寫出其對稱軸；(2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線對稱軸第一象限部分上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，若點(diǎn)D恰好落在該拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求的最小值．3．（2023春·四川達(dá)州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線(